pf 142 gab

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Universidade Federal do Rio de Janeiro – Instituto de F´ısica
F´ısica III – 2014/2 – Prova Final: 24/11/2014
Versa˜o: A
Formula´rio
~F = q ~E + q~v × ~B , ~E = 1
4πǫ0
q
r2
rˆ ,
∮
S
~E ·d ~A = Qint
ǫ0
, ~E = − ~∇V , V = 1
4πǫ0
q
r
,
uE =
ǫ0
2
E2 ~E = ~E0/K , C = Q/V , ~J = nq~v ,
d ~Fm = Id~ℓ× ~B ,
∮
S
~B ·d ~A = 0 , d ~B = µ0
4π
Id~ℓ× (~r−~r′)
|~r−~r′|3 ,
~Bfio =
µ0I
(2πs)
ϕˆ
∮
C
~B · d~ℓ = µ0Ienc + µ0ǫ0dΦE
dt
, Eind = −dΦB
dt
, ΦB = LI , uB =
1
2
B2
µ0
,
Sec¸a˜o 1. Mu´ltipla escolha (8×0,6 = 4,8 pontos)
1. Um capacitor possui placas paralelas separadas por
uma distaˆncia igual a 1 mm. O espac¸o entre as placas
esta´ cheio de polie´ster (Constante diele´trica, K = 3),
que possui rigidez diele´trica Emax = | ~Emax| = 6× 107
N/C). (I) Qual a voltagem ma´xima, e (II) a carga
ma´xima poss´ıvel que o capacitor pode suportar sem
que ocorra ruptura diele´trica. Considere que na
auseˆncia do polie´ster o capacitor possui capacitaˆncia
C0 = 1µF .
(a) (I) 6× 107 V; (II) 0, 18 C
(b) (I) 6× 104 V; (II) 0, 18 C
(c) (I) 18× 104 V; (II) 0, 06 C
(d) (I) 6× 107 V; (II) 1, 8 C
(e) (I) 6× 104 V; (II) 1, 8 C
2. Sabe-se que, no interior de um cilindro (circu-
lar reto) de raio a, existe um campo magne´tico
~B = K(s/a2) ϕˆ, onde (s, ϕ, z) sa˜o as coordenadas
cil´ındricas usuais, K e´ uma constante, e o eixo Z coin-
cide com o eixo de simetria do cilindro. A energia
magne´tica Em armazenada no cilindro entre z = 0 e
z = L e´
(a) Em = K
2s2/(2µ0a
4)
(b) Em = K
2L/(6µ0a)
(c) Em = πK
2/(3µ0a)
(d) Em = πK
2L/(3µ0a)
(e) Em = πK
2L/(4µ0)
1
3. Considere dois pequenos dipolos ele´tricos: o primeiro
encontra-se no eixo Y , com seu centro na origem O,
e e´ formado por part´ıculas de cargas q > 0 e −q, en-
quanto o segundo encontra-se no eixo X e e´ formado
por part´ıculas de cargas q′ > 0 e −q′ (cf. figura). Seja
~F1→2 a forc¸a eletrosta´tica exercida pelo dipolo 1 sobre
o dipolo 2. Podemos afirmar que:
(a) ~F1→2 e´ nula e o torque sobre o dipolo 1 tende
a gira´-lo no sentido hora´rio.
(b) ~F1→2 tem o sentido de −yˆ e o torque sobre o
dipolo 2 tende a gira´-lo no sentido hora´rio.
(c) ~F1→2 tem o sentido de yˆ e o torque sobre o
dipolo 2 tende a gira´-lo no sentido hora´rio.
(d) ~F1→2 tem o sentido de yˆ e o torque sobre o di-
polo 2 tende a gira´-lo no sentido anti-hora´rio.
(e) ~F1→2 tem o sentido de −yˆ e o torque sobre o
dipolo 2 tende a gira´-lo no sentido anti-hora´rio.
4. Considere as seguintes afirmac¸o˜es:
I - O campo magne´tico de uma espira circular por
onde passa uma corrente estaciona´ria satisfaz a lei de
Ampe`re.
II - A afirmac¸a˜o I e´ verdadeira devido a` simetria axial
da espira.
III - Se a espira fosse quadrada, a lei de Ampe`re na˜o
seria va´lida.
IV - Se a espira fosse quadrada, a lei de Ampe`re seria
va´lida, desde que se escolhessem curvas amperianas
que passassem pelo centro do quadrado.
Sa˜o verdadeiras as afirmativas:
(a) Somente I
(b) I e II
(c) I, II e III
(d) I e IV
(e) Somente IV
5. Qual e´ o trabalho necessa´rio para formarmos a confi-
gurac¸a˜o das quatro part´ıculas da figura (3 parti´ıculas
positivas e uma negativa, nos ve´rtices de um qua-
drado de lado a), supondo que as part´ıculas estejam,
de in´ıcio, infinitamente afastadas umas das outras?
(a) 3q2/(4πǫ0a)
(b) 3q2/(4πǫ0a)− q2/(4
√
2πǫ0a)
(c) 2q2/(4πǫ0a)
(d) 0
(e) −q2/(4π√2ǫ0a)
6. Seja uma regia˜o R delimitada por uma superf´ıcie fe-
chada S. Tal regia˜o possui uma densidade volumar
de carga ρ(~r) e uma carga total Q. A partir da lei de
Gauss, pode-se dizer que
(a) Se Q = 0, o campo ele´trico e´ nulo no interior
de R.
(b) Se ρ(~r) = 0, o campo ele´trico e´ nulo no interior
de R.
(c) Se Q = 0, o campo ele´trico e´ nulo em S.
(d) Se ρ(~r) = 0, o campo ele´trico e´ nulo em S.
(e) Nenhuma das opc¸o˜es anteriores.
2
7. Uma espira condutora retangular de dimenso˜es l e w
se move com velocidade v constante para a direita,
conforme a figura. A espira atravessa um campo
magne´tico uniforme e estaciona´rio ~B, dirigido para
dentro da pa´gina, numa extensa˜o de 3w ao longo do
eixo x.
Assinale abaixo o gra´fico que melhor representa a
forc¸a eletromotriz E como func¸a˜o da posic¸a˜o x da la-
teral a` direita da espira:
(a)
(b)
(c)
(d)
8. Uma barra de cobre cil´ındrica, de resisteˆncia ele´trica
R, comprimento L e sec¸a˜o reta A, e´ comprimida para
a metade do seu comprimento original, sem que seu
volume se altere. Pode-se afirmar que o novo valor de
sua resisteˆncia ele´trica e´:
(a) 4R .
(b) 2R .
(c) R/2 .
(d) R/4 .
(e) R
3
Sec¸a˜o 2. Questo˜es discursivas (2×2,6 = 5,2 pontos)
Todas as respostas devem ter ampla justificativa!
1. [3,2 pontos] Considere uma esfera so´lida, de raio R, na˜o-condutora e de densidade volume´trica de carga dada por
ρ(r) =
3α
π
(
1− r
R
)
Conceˆntrica a essa esfera, temos uma casca esfe´rica, espessa e condutora, em equil´ıbrio eletrosta´tico, de raio interno
a (a > R) e raio externo b (b > a), onde foi depositada uma carga Qcas.
(a) [0,6 ponto] Calcule a carga total Qesf da esfera na˜o-condutora.
(b) [1,4 pontos] Calcule o campo ele´trico dentro da esfera na˜o-condutora.
(c) [0,8 ponto] Calcule a densidade superficial de carga σa e σb nas superf´ıcies interna e externa da casca, e expresse
a sua resposta em termos de Qesf , Qcas, a e b.
(d) [0,4 ponto] Determine a diferenc¸a de potencial Vb − Va entre as superf´ıcies da casca.
2. [2 pontos] Seja um fio retil´ıneo infinito, paralelo ao eixo Z, por onde flui uma corrente estaciona´ria I1. Adjacente
a esse fio e a uma distaˆncia s0 dele, existe uma espira retangular no plano Y Z de lados b1 e b2, conforme mostra
a figura. Sabendo-se que a espira carrega uma corrente I2 e que o campo gerado pelo fio e´ dado (vide formula´rio),
determine
ẑ
x
ŷ 
b2
b1
I1
^
s0
I2
(a) [0,8 ponto] A forc¸a que o fio retil´ıneo exerce sobre o lado horizontal superior da espira.
(b) [0,4 ponto] A forc¸a que o fio retil´ıneo exerce sobre o lado vertical esquerdo da espira.
(c) [0,8 ponto] A forc¸a total sobre a espira (Justifique!!!).
4
Gabarito para Versa˜o A
Sec¸a˜o 1. Mu´ltipla escolha (8×0,6 = 4,8 pontos)
1. (b)
2. (e)
3. (c)
4. (a)
5. (d)
6. (e)
7. (a)
8. (d)
1
Sec¸a˜o 2. Questo˜es discursivas (2×2,6 = 5,2 pontos)
1. Resoluc¸a˜o:
(a) Como a densidade volumar ρ(r) e´ na˜o-uniforme, temos que integra´-la sobre a regia˜o definida pela esfera. Assim
Qesf =
∫
esf
d3r ρ(r) =
3α
π
=4π︷ ︸︸ ︷∫
dΩ
∫ R
0
dr r2
(
1− r
R
)
= 12α
[
r3
3
− r
4
4R
]r=R
r=0
=
12αR3
12
(1)
⇒ Qesf = αR3 (2)
(b) Este problema apresenta simetria esfe´rica, raza˜o pela qual adotaremos coordenadas esfe´ricas a partir de agora.
Podemos resolveˆ-lo em 4 passos
• Passo 1: devido a` simetria mencionada, podemos concluir que o campo ele´trico na˜o possui componentes ao
longo de θˆ e φˆ, ou seja, que ~E(~r)→ E(~r)rˆ.
• Passo 2: grac¸as ainda a` simetria esfe´rica, podemos concluir que o mo´dulo do campo na˜o depende das coorde-
nadas θ e φ, ou seja, que E(~r)rˆ → E(r)rˆ.
• Passo 3: Tendo reduzido enormemente o problema, podemos agora prepara´-lo para uma aplicac¸a˜o da lei de
Gauss e consequentemente determinar E(r). Utilizando uma superf´ıcie gaussiana S esfe´rica, de raio r < R,
podemos calcular o fluxo de campo ele´trico ΦE sobre S
ΦE =
∮
S
~E(~r) · ~dA =
∮
S
E(r) dA
=1︷ ︸︸ ︷
(rˆ · rˆ) = E(R)
∮
dA = 4πr2E(r) (3)
onde usamos que, numa superf´ıcie esfe´rica, temos ~dA = dA rˆ. Ja´ a carga encerrada em S e´ dada por
Qenc =
∫
r<R
ρ(r′)d3r′ = 12α
[
r′3
3
− r
′4
4R
]r′=r
r′=0
=
αr3
R
(4R− 3r) (4)
onde aproveitamos parte do resultado do ı´tem a).• Passo 4: Finalmente, aplicando efetivamente a lei de Gauss e igualando (3) e (4)/ǫ0, temos
4πr2E(r) =
αr3
ǫ0R
(4R− 3r) ⇒ E(r) = α
4πǫ0
r
R
(4R− 3r) (5)
donde
~E =
α
4πǫ0
(4R− 3r)r
R
rˆ (6)
(c) A casca condutora esta´ em equil´ıbrio eletrosta´tico, logo o campo ele´trico em seu miolo (a < r < b) e´ nulo. Por
outro lado, isso so´ e´ poss´ıvel se a carga total no interior de uma superf´ıcie gaussiana contida no miolo da casca for
nula, pois de outra forma a simetria esfe´rica impediria a anulac¸a˜o do campo. No entanto, sabemos ainda que um
condutor so´ tem carga nas suas superf´ıcies, donde conclu´ımos que a carga total na superf´ıcie interior da casca Qa
deve contrabalanc¸ar a carga da esfera Qesf , ou seja, devemos ter (i) Qa = −Qesf = −αR3. Novamente pela simetria
esfe´rica, podemos concluir que as (ii) densidades interna e externa sa˜o uniformes, e enta˜o, de (i) e (ii) conclu´ımos
que
σa =
Qa
Sa
⇒ σa = − Qesf
4πa2
(7)
2
Como a carga total da casca e´ Qcas, temos Qb = Qcas −Qa, e enta˜o
σb =
Qb
Sb
⇒ σb = Qcas +Qesf
4πb2
(8)
(d) Como o campo ele´trico num condutor em equil´ıbrio eletrosta´tico e´ zero, conclu´ımos que um condutor e´ uma
regia˜o equipotencial. Assim sendo, Va − Vb = 0.
�
2. Resoluc¸a˜o:
(a) Sabemos que, no plano Y Z, o campo magne´tico gerado pelo fio infinito e´ dado por (lembre-se que a corrente,
nesse exemplo espec´ıfico, flui no sentido −zˆ)
~B1 =
µ0I1
2πs
(−ϕˆ) = µ0I1
2πy
xˆ (9)
Assim sendo, a forc¸a exercida pelo fio retil´ıneo sobre o lado horizontal superior (lhs) e´ dada por
~Flhs = I2
∫
lhs
=−dyyˆ︷︸︸︷
~dl ×~B1 = −I2
∫ s0+b1
s0
dy
(
µ0I1
2πy
) =−zˆ︷ ︸︸ ︷
(yˆ × xˆ) = µ0I1I2
2π
zˆ
∫ s0+b1
s0
dy
y
=
µ0I1I2
2π
zˆ log [y]
∣∣∣s0+b1
s0
Ou seja, temos
~Flhs =
µ0I1I2
2π
zˆ log
[
s0 + b1
s0
]
(10)
(b) A forc¸a sobre o lado vertical esquerdo (lve) da espira pode ser calculada de forma ana´loga
~Flve = I2
∫
lve
=−dzzˆ︷︸︸︷
~dl ×~B1 = −I2
∫ b2
0
dz
(
µ0I1
2πs0
) =yˆ︷ ︸︸ ︷
(zˆ × xˆ) = −µ0I1I2
2πs0
yˆ
∫ b2
0
dz (11)
Ou seja, temos
~Flve = −µ0I1I2b2
2πs0
yˆ (12)
(c) Para obtermos a forc¸a resultante sobre a espira, precisamos das forc¸as sobre os quatro lados dela. Ja´ obtivemos
duas delas, ~Flhs e ~Flve, faltam ainda as forc¸as sobre os lados horizontal infeiror ~Flhi e vertical direito ~Flvd. O ca´lculo
de ~Flhi e´ ideˆntico ao de ~Flhs, exceto pelo fato de que a corrente flui no sentido contra´rio. Assim sendo temos
~Flhi = −~Flhs ⇒ ~Flhi + ~Flhs = ~0 (13)
Por sua vez, o calculo de ~Flvd tambe´m e´ parecido com o de ~Flve, mas agora temos duas difereˆnc¸as: a corrente flui
no sentido oposto e devemos fazer y = s0+ b1 no ca´lculo de ~Flvd (em vez de y = s0 como fizemos no ı´tem anterior).
Ou seja, temos
~Flvd =
µ0I1I2b2
2π(s0 + b1)
yˆ (14)
3
e enta˜o
~Flve + ~Flvd =
(
−µ0I1I2b2
2πs0
+
µ0I1I2b2
2π(s0 + b1)
)
yˆ = −
(
µ0I1I2b2b1
2πs0(s0 + b1)
)
yˆ . (15)
A forc¸a total ~Ftot enta˜o fica
~Ftot =
=~0︷ ︸︸ ︷
~Flhs + ~Flhi+~Flve + ~Flvd
~Ftot = −
(
µ0I1I2b2b1
2πs0(s0 + b1)
)
yˆ (16)
�
4
Universidade Federal do Rio de Janeiro – Instituto de F´ısica
F´ısica III – 2014/2 – Prova Final: 24/11/2014
Versa˜o: B
Formula´rio
~F = q ~E + q~v × ~B , ~E = 1
4πǫ0
q
r2
rˆ ,
∮
S
~E ·d ~A = Qint
ǫ0
, ~E = − ~∇V , V = 1
4πǫ0
q
r
,
uE =
ǫ0
2
E2 ~E = ~E0/K , C = Q/V , ~J = nq~v ,
d ~Fm = Id~ℓ× ~B ,
∮
S
~B ·d ~A = 0 , d ~B = µ0
4π
Id~ℓ× (~r−~r′)
|~r−~r′|3 ,
~Bfio =
µ0I
(2πs)
ϕˆ
∮
C
~B · d~ℓ = µ0Ienc + µ0ǫ0dΦE
dt
, Eind = −dΦB
dt
, ΦB = LI , uB =
1
2
B2
µ0
,
Sec¸a˜o 1. Mu´ltipla escolha (8×0,6 = 4,8 pontos)
1. Um capacitor possui placas paralelas separadas por
uma distaˆncia igual a 1 mm. O espac¸o entre as placas
esta´ cheio de polie´ster (Constante diele´trica, K = 3),
que possui rigidez diele´trica Emax = | ~Emax| = 6× 107
N/C). (I) Qual a voltagem ma´xima, e (II) a carga
ma´xima poss´ıvel que o capacitor pode suportar sem
que ocorra ruptura diele´trica. Considere que na
auseˆncia do polie´ster o capacitor possui capacitaˆncia
C0 = 1µF .
(a) (I) 6× 107 V; (II) 0, 18 C
(b) (I) 6× 104 V; (II) 0, 18 C
(c) (I) 18× 104 V; (II) 0, 06 C
(d) (I) 6× 107 V; (II) 1, 8 C
(e) (I) 6× 104 V; (II) 1, 8 C
2. Considere as seguintes afirmac¸o˜es:
I - O campo magne´tico de uma espira circular por
onde passa uma corrente estaciona´ria satisfaz a lei de
Ampe`re.
II - A afirmac¸a˜o I e´ verdadeira devido a` simetria axial
da espira.
III - Se a espira fosse quadrada, a lei de Ampe`re na˜o
seria va´lida.
IV - Se a espira fosse quadrada, a lei de Ampe`re seria
va´lida, desde que se escolhessem curvas amperianas
que passassem pelo centro do quadrado.
Sa˜o verdadeiras as afirmativas:
(a) Somente I
(b) I e II
(c) I, II e III
(d) I e IV
(e) Somente IV
1
3. Sabe-se que, no interior de um cilindro (circu-
lar reto) de raio a, existe um campo magne´tico
~B = K(s/a2) ϕˆ, onde (s, ϕ, z) sa˜o as coordenadas
cil´ındricas usuais, K e´ uma constante, e o eixo Z coin-
cide com o eixo de simetria do cilindro. A energia
magne´tica Em armazenada no cilindro entre z = 0 e
z = L e´
(a) Em = K
2s2/(2µ0a
4)
(b) Em = K
2L/(6µ0a)
(c) Em = πK
2/(3µ0a)
(d) Em = πK
2L/(3µ0a)
(e) Em = πK
2L/(4µ0)
4. Qual e´ o trabalho necessa´rio para formarmos a confi-
gurac¸a˜o das quatro part´ıculas da figura (3 parti´ıculas
positivas e uma negativa, nos ve´rtices de um qua-
drado de lado a), supondo que as part´ıculas estejam,
de in´ıcio, infinitamente afastadas umas das outras?
(a) 3q2/(4πǫ0a)
(b) 3q2/(4πǫ0a)− q2/(4
√
2πǫ0a)
(c) 2q2/(4πǫ0a)
(d) 0
(e) −q2/(4π√2ǫ0a)
5. Considere dois pequenos dipolos ele´tricos: o primeiro
encontra-se no eixo Y , com seu centro na origem O,
e e´ formado por part´ıculas de cargas q > 0 e −q, en-
quanto o segundo encontra-se no eixo X e e´ formado
por part´ıculas de cargas q′ > 0 e −q′ (cf. figura). Seja
~F1→2 a forc¸a eletrosta´tica exercida pelo dipolo 1 sobre
o dipolo 2. Podemos afirmar que:
(a) ~F1→2 e´ nula e o torque sobre o dipolo 1 tende
a gira´-lo no sentido hora´rio.
(b) ~F1→2 tem o sentido de −yˆ e o torque sobre o
dipolo 2 tende a gira´-lo no sentido hora´rio.
(c) ~F1→2 tem o sentido de yˆ e o torque sobre o
dipolo 2 tende a gira´-lo no sentido hora´rio.
(d) ~F1→2 tem o sentido de yˆ e o torque sobre o di-
polo 2 tende a gira´-lo no sentido anti-hora´rio.
(e) ~F1→2 tem o sentido de −yˆ e o torque sobre o
dipolo 2 tende a gira´-lo no sentido anti-hora´rio.
6. Uma barra de cobre cil´ındrica, de resisteˆncia ele´trica
R, comprimento L e sec¸a˜o reta A, e´ comprimida para
a metade do seu comprimento original, sem que seu
volume se altere. Pode-se afirmar que o novo valor de
sua resisteˆncia ele´trica e´:
(a) 4R .
(b) 2R .
(c) R/2 .
(d) R/4 .
(e) R
7. Seja uma regia˜o R delimitada por uma superf´ıcie fe-
chada S. Tal regia˜o possui uma densidade volumar
de carga ρ(~r) e uma carga total Q. A partir da lei de
Gauss, pode-se dizer que
(a) Se Q = 0, o campo ele´trico e´ nulo no interior
de R.
(b) Se ρ(~r) = 0, o campo ele´trico e´ nulo no interior
de R.
(c) Se Q = 0, o campo ele´trico e´ nulo em S.
(d) Se ρ(~r) = 0, o campo ele´trico e´ nulo em S.
(e) Nenhuma das opc¸o˜es anteriores.
2
8. Uma espira condutora retangular de dimenso˜es l e w
se move com velocidade v constante para a direita,
conforme a figura. A espira atravessa um campo
magne´tico uniforme e estaciona´rio ~B, dirigido para
dentro da pa´gina, numa extensa˜o de 3w ao longo do
eixo x.
Assinale abaixo o gra´fico que melhor representa a
forc¸a eletromotriz E como func¸a˜o da posic¸a˜o x da la-
teral a` direita da espira:
(a)(b)
(c)
(d)
3
Sec¸a˜o 2. Questo˜es discursivas (2×2,6 = 5,2 pontos)
Todas as respostas devem ter ampla justificativa!
1. [3,2 pontos] Considere uma esfera so´lida, de raio R, na˜o-condutora e de densidade volume´trica de carga dada por
ρ(r) =
3α
π
(
1− r
R
)
Conceˆntrica a essa esfera, temos uma casca esfe´rica, espessa e condutora, em equil´ıbrio eletrosta´tico, de raio interno
a (a > R) e raio externo b (b > a), onde foi depositada uma carga Qcas.
(a) [0,6 ponto] Calcule a carga total Qesf da esfera na˜o-condutora.
(b) [1,4 pontos] Calcule o campo ele´trico dentro da esfera na˜o-condutora.
(c) [0,8 ponto] Calcule a densidade superficial de carga σa e σb nas superf´ıcies interna e externa da casca, e expresse
a sua resposta em termos de Qesf , Qcas, a e b.
(d) [0,4 ponto] Determine a diferenc¸a de potencial Vb − Va entre as superf´ıcies da casca.
2. [2 pontos] Seja um fio retil´ıneo infinito, paralelo ao eixo Z, por onde flui uma corrente estaciona´ria I1. Adjacente
a esse fio e a uma distaˆncia s0 dele, existe uma espira retangular no plano Y Z de lados b1 e b2, conforme mostra
a figura. Sabendo-se que a espira carrega uma corrente I2 e que o campo gerado pelo fio e´ dado (vide formula´rio),
determine
ẑ
x
ŷ 
b2
b1
I1
^
s0
I2
(a) [0,8 ponto] A forc¸a que o fio retil´ıneo exerce sobre o lado horizontal superior da espira.
(b) [0,4 ponto] A forc¸a que o fio retil´ıneo exerce sobre o lado vertical esquerdo da espira.
(c) [0,8 ponto] A forc¸a total sobre a espira (Justifique!!!).
4
Gabarito para Versa˜o B
Sec¸a˜o 1. Mu´ltipla escolha (8×0,6 = 4,8 pontos)
1. (b)
2. (a)
3. (e)
4. (d)
5. (c)
6. (d)
7. (e)
8. (a)
1
Sec¸a˜o 2. Questo˜es discursivas (2×2,6 = 5,2 pontos)
1. Resoluc¸a˜o:
(a) Como a densidade volumar ρ(r) e´ na˜o-uniforme, temos que integra´-la sobre a regia˜o definida pela esfera. Assim
Qesf =
∫
esf
d3r ρ(r) =
3α
π
=4π︷ ︸︸ ︷∫
dΩ
∫ R
0
dr r2
(
1− r
R
)
= 12α
[
r3
3
− r
4
4R
]r=R
r=0
=
12αR3
12
(1)
⇒ Qesf = αR3 (2)
(b) Este problema apresenta simetria esfe´rica, raza˜o pela qual adotaremos coordenadas esfe´ricas a partir de agora.
Podemos resolveˆ-lo em 4 passos
• Passo 1: devido a` simetria mencionada, podemos concluir que o campo ele´trico na˜o possui componentes ao
longo de θˆ e φˆ, ou seja, que ~E(~r)→ E(~r)rˆ.
• Passo 2: grac¸as ainda a` simetria esfe´rica, podemos concluir que o mo´dulo do campo na˜o depende das coorde-
nadas θ e φ, ou seja, que E(~r)rˆ → E(r)rˆ.
• Passo 3: Tendo reduzido enormemente o problema, podemos agora prepara´-lo para uma aplicac¸a˜o da lei de
Gauss e consequentemente determinar E(r). Utilizando uma superf´ıcie gaussiana S esfe´rica, de raio r < R,
podemos calcular o fluxo de campo ele´trico ΦE sobre S
ΦE =
∮
S
~E(~r) · ~dA =
∮
S
E(r) dA
=1︷ ︸︸ ︷
(rˆ · rˆ) = E(R)
∮
dA = 4πr2E(r) (3)
onde usamos que, numa superf´ıcie esfe´rica, temos ~dA = dA rˆ. Ja´ a carga encerrada em S e´ dada por
Qenc =
∫
r<R
ρ(r′)d3r′ = 12α
[
r′3
3
− r
′4
4R
]r′=r
r′=0
=
αr3
R
(4R− 3r) (4)
onde aproveitamos parte do resultado do ı´tem a).
• Passo 4: Finalmente, aplicando efetivamente a lei de Gauss e igualando (3) e (4)/ǫ0, temos
4πr2E(r) =
αr3
ǫ0R
(4R− 3r) ⇒ E(r) = α
4πǫ0
r
R
(4R− 3r) (5)
donde
~E =
α
4πǫ0
(4R− 3r)r
R
rˆ (6)
(c) A casca condutora esta´ em equil´ıbrio eletrosta´tico, logo o campo ele´trico em seu miolo (a < r < b) e´ nulo. Por
outro lado, isso so´ e´ poss´ıvel se a carga total no interior de uma superf´ıcie gaussiana contida no miolo da casca for
nula, pois de outra forma a simetria esfe´rica impediria a anulac¸a˜o do campo. No entanto, sabemos ainda que um
condutor so´ tem carga nas suas superf´ıcies, donde conclu´ımos que a carga total na superf´ıcie interior da casca Qa
deve contrabalanc¸ar a carga da esfera Qesf , ou seja, devemos ter (i) Qa = −Qesf = −αR3. Novamente pela simetria
esfe´rica, podemos concluir que as (ii) densidades interna e externa sa˜o uniformes, e enta˜o, de (i) e (ii) conclu´ımos
que
σa =
Qa
Sa
⇒ σa = − Qesf
4πa2
(7)
2
Como a carga total da casca e´ Qcas, temos Qb = Qcas −Qa, e enta˜o
σb =
Qb
Sb
⇒ σb = Qcas +Qesf
4πb2
(8)
(d) Como o campo ele´trico num condutor em equil´ıbrio eletrosta´tico e´ zero, conclu´ımos que um condutor e´ uma
regia˜o equipotencial. Assim sendo, Va − Vb = 0.
�
2. Resoluc¸a˜o:
(a) Sabemos que, no plano Y Z, o campo magne´tico gerado pelo fio infinito e´ dado por (lembre-se que a corrente,
nesse exemplo espec´ıfico, flui no sentido −zˆ)
~B1 =
µ0I1
2πs
(−ϕˆ) = µ0I1
2πy
xˆ (9)
Assim sendo, a forc¸a exercida pelo fio retil´ıneo sobre o lado horizontal superior (lhs) e´ dada por
~Flhs = I2
∫
lhs
=−dyyˆ︷︸︸︷
~dl ×~B1 = −I2
∫ s0+b1
s0
dy
(
µ0I1
2πy
) =−zˆ︷ ︸︸ ︷
(yˆ × xˆ) = µ0I1I2
2π
zˆ
∫ s0+b1
s0
dy
y
=
µ0I1I2
2π
zˆ log [y]
∣∣∣s0+b1
s0
Ou seja, temos
~Flhs =
µ0I1I2
2π
zˆ log
[
s0 + b1
s0
]
(10)
(b) A forc¸a sobre o lado vertical esquerdo (lve) da espira pode ser calculada de forma ana´loga
~Flve = I2
∫
lve
=−dzzˆ︷︸︸︷
~dl ×~B1 = −I2
∫ b2
0
dz
(
µ0I1
2πs0
) =yˆ︷ ︸︸ ︷
(zˆ × xˆ) = −µ0I1I2
2πs0
yˆ
∫ b2
0
dz (11)
Ou seja, temos
~Flve = −µ0I1I2b2
2πs0
yˆ (12)
(c) Para obtermos a forc¸a resultante sobre a espira, precisamos das forc¸as sobre os quatro lados dela. Ja´ obtivemos
duas delas, ~Flhs e ~Flve, faltam ainda as forc¸as sobre os lados horizontal infeiror ~Flhi e vertical direito ~Flvd. O ca´lculo
de ~Flhi e´ ideˆntico ao de ~Flhs, exceto pelo fato de que a corrente flui no sentido contra´rio. Assim sendo temos
~Flhi = −~Flhs ⇒ ~Flhi + ~Flhs = ~0 (13)
Por sua vez, o calculo de ~Flvd tambe´m e´ parecido com o de ~Flve, mas agora temos duas difereˆnc¸as: a corrente flui
no sentido oposto e devemos fazer y = s0+ b1 no ca´lculo de ~Flvd (em vez de y = s0 como fizemos no ı´tem anterior).
Ou seja, temos
~Flvd =
µ0I1I2b2
2π(s0 + b1)
yˆ (14)
3
e enta˜o
~Flve + ~Flvd =
(
−µ0I1I2b2
2πs0
+
µ0I1I2b2
2π(s0 + b1)
)
yˆ = −
(
µ0I1I2b2b1
2πs0(s0 + b1)
)
yˆ . (15)
A forc¸a total ~Ftot enta˜o fica
~Ftot =
=~0︷ ︸︸ ︷
~Flhs + ~Flhi+~Flve + ~Flvd
~Ftot = −
(
µ0I1I2b2b1
2πs0(s0 + b1)
)
yˆ (16)
�
4
Universidade Federal do Rio de Janeiro – Instituto de F´ısica
F´ısica III – 2014/2 – Prova Final: 24/11/2014
Versa˜o: C
Formula´rio
~F = q ~E + q~v × ~B , ~E = 1
4πǫ0
q
r2
rˆ ,
∮
S
~E ·d ~A = Qint
ǫ0
, ~E = − ~∇V , V = 1
4πǫ0
q
r
,
uE =
ǫ0
2
E2 ~E = ~E0/K , C = Q/V , ~J = nq~v ,
d ~Fm = Id~ℓ× ~B ,
∮
S
~B ·d ~A = 0 , d ~B = µ0
4π
Id~ℓ× (~r−~r′)
|~r−~r′|3 ,
~Bfio =
µ0I
(2πs)
ϕˆ
∮
C
~B · d~ℓ = µ0Ienc + µ0ǫ0dΦE
dt
, Eind = −dΦB
dt
, ΦB = LI , uB =
1
2
B2
µ0
,
Sec¸a˜o 1. Mu´ltipla escolha (8×0,6 = 4,8 pontos)
1. Sabe-se que, no interior de um cilindro (circu-
lar reto) de raio a, existe um campo magne´tico
~B = K(s/a2) ϕˆ, onde (s, ϕ, z) sa˜o as coordenadas
cil´ındricas usuais, K e´ uma constante, e o eixo Z coin-
cide com o eixo de simetria do cilindro. A energia
magne´tica Em armazenada no cilindro entre z = 0 e
z = L e´
(a) Em = K
2s2/(2µ0a
4)
(b) Em = K
2L/(6µ0a)
(c) Em = πK
2/(3µ0a)
(d) Em = πK
2L/(3µ0a)
(e) Em = πK
2L/(4µ0)
2. Uma barra de cobre cil´ındrica, de resisteˆncia ele´trica
R, comprimento L e sec¸a˜o reta A, e´ comprimida para
a metade do seu comprimento original, sem que seu
volume se altere. Pode-se afirmar que o novo valor de
sua resisteˆncia ele´trica e´:
(a) 4R .
(b) 2R .
(c) R/2 .
(d) R/4 .
(e) R
3. Seja uma regia˜o R delimitada por uma superf´ıcie fe-
chada S. Tal regia˜o possui uma densidadevolumar
de carga ρ(~r) e uma carga total Q. A partir da lei de
Gauss, pode-se dizer que
(a) Se Q = 0, o campo ele´trico e´ nulo no interior
de R.
(b) Se ρ(~r) = 0, o campo ele´trico e´ nulo no interior
de R.
(c) Se Q = 0, o campo ele´trico e´ nulo em S.
(d) Se ρ(~r) = 0, o campo ele´trico e´ nulo em S.
(e) Nenhuma das opc¸o˜es anteriores.
1
4. Considere as seguintes afirmac¸o˜es:
I - O campo magne´tico de uma espira circular por
onde passa uma corrente estaciona´ria satisfaz a lei de
Ampe`re.
II - A afirmac¸a˜o I e´ verdadeira devido a` simetria axial
da espira.
III - Se a espira fosse quadrada, a lei de Ampe`re na˜o
seria va´lida.
IV - Se a espira fosse quadrada, a lei de Ampe`re seria
va´lida, desde que se escolhessem curvas amperianas
que passassem pelo centro do quadrado.
Sa˜o verdadeiras as afirmativas:
(a) Somente I
(b) I e II
(c) I, II e III
(d) I e IV
(e) Somente IV
5. Considere dois pequenos dipolos ele´tricos: o primeiro
encontra-se no eixo Y , com seu centro na origem O,
e e´ formado por part´ıculas de cargas q > 0 e −q, en-
quanto o segundo encontra-se no eixo X e e´ formado
por part´ıculas de cargas q′ > 0 e −q′ (cf. figura). Seja
~F1→2 a forc¸a eletrosta´tica exercida pelo dipolo 1 sobre
o dipolo 2. Podemos afirmar que:
(a) ~F1→2 e´ nula e o torque sobre o dipolo 1 tende
a gira´-lo no sentido hora´rio.
(b) ~F1→2 tem o sentido de −yˆ e o torque sobre o
dipolo 2 tende a gira´-lo no sentido hora´rio.
(c) ~F1→2 tem o sentido de yˆ e o torque sobre o
dipolo 2 tende a gira´-lo no sentido hora´rio.
(d) ~F1→2 tem o sentido de yˆ e o torque sobre o di-
polo 2 tende a gira´-lo no sentido anti-hora´rio.
(e) ~F1→2 tem o sentido de −yˆ e o torque sobre o
dipolo 2 tende a gira´-lo no sentido anti-hora´rio.
6. Qual e´ o trabalho necessa´rio para formarmos a confi-
gurac¸a˜o das quatro part´ıculas da figura (3 parti´ıculas
positivas e uma negativa, nos ve´rtices de um qua-
drado de lado a), supondo que as part´ıculas estejam,
de in´ıcio, infinitamente afastadas umas das outras?
(a) 3q2/(4πǫ0a)
(b) 3q2/(4πǫ0a)− q2/(4
√
2πǫ0a)
(c) 2q2/(4πǫ0a)
(d) 0
(e) −q2/(4π√2ǫ0a)
7. Um capacitor possui placas paralelas separadas por
uma distaˆncia igual a 1 mm. O espac¸o entre as placas
esta´ cheio de polie´ster (Constante diele´trica, K = 3),
que possui rigidez diele´trica Emax = | ~Emax| = 6× 107
N/C). (I) Qual a voltagem ma´xima, e (II) a carga
ma´xima poss´ıvel que o capacitor pode suportar sem
que ocorra ruptura diele´trica. Considere que na
auseˆncia do polie´ster o capacitor possui capacitaˆncia
C0 = 1µF .
(a) (I) 6× 107 V; (II) 0, 18 C
(b) (I) 6× 104 V; (II) 0, 18 C
(c) (I) 18× 104 V; (II) 0, 06 C
(d) (I) 6× 107 V; (II) 1, 8 C
(e) (I) 6× 104 V; (II) 1, 8 C
2
8. Uma espira condutora retangular de dimenso˜es l e w
se move com velocidade v constante para a direita,
conforme a figura. A espira atravessa um campo
magne´tico uniforme e estaciona´rio ~B, dirigido para
dentro da pa´gina, numa extensa˜o de 3w ao longo do
eixo x.
Assinale abaixo o gra´fico que melhor representa a
forc¸a eletromotriz E como func¸a˜o da posic¸a˜o x da la-
teral a` direita da espira:
(a)
(b)
(c)
(d)
3
Sec¸a˜o 2. Questo˜es discursivas (2×2,6 = 5,2 pontos)
Todas as respostas devem ter ampla justificativa!
1. [3,2 pontos] Considere uma esfera so´lida, de raio R, na˜o-condutora e de densidade volume´trica de carga dada por
ρ(r) =
3α
π
(
1− r
R
)
Conceˆntrica a essa esfera, temos uma casca esfe´rica, espessa e condutora, em equil´ıbrio eletrosta´tico, de raio interno
a (a > R) e raio externo b (b > a), onde foi depositada uma carga Qcas.
(a) [0,6 ponto] Calcule a carga total Qesf da esfera na˜o-condutora.
(b) [1,4 pontos] Calcule o campo ele´trico dentro da esfera na˜o-condutora.
(c) [0,8 ponto] Calcule a densidade superficial de carga σa e σb nas superf´ıcies interna e externa da casca, e expresse
a sua resposta em termos de Qesf , Qcas, a e b.
(d) [0,4 ponto] Determine a diferenc¸a de potencial Vb − Va entre as superf´ıcies da casca.
2. [2 pontos] Seja um fio retil´ıneo infinito, paralelo ao eixo Z, por onde flui uma corrente estaciona´ria I1. Adjacente
a esse fio e a uma distaˆncia s0 dele, existe uma espira retangular no plano Y Z de lados b1 e b2, conforme mostra
a figura. Sabendo-se que a espira carrega uma corrente I2 e que o campo gerado pelo fio e´ dado (vide formula´rio),
determine
ẑ
x
ŷ 
b2
b1
I1
^
s0
I2
(a) [0,8 ponto] A forc¸a que o fio retil´ıneo exerce sobre o lado horizontal superior da espira.
(b) [0,4 ponto] A forc¸a que o fio retil´ıneo exerce sobre o lado vertical esquerdo da espira.
(c) [0,8 ponto] A forc¸a total sobre a espira (Justifique!!!).
4
Gabarito para Versa˜o C
Sec¸a˜o 1. Mu´ltipla escolha (8×0,6 = 4,8 pontos)
1. (e)
2. (d)
3. (e)
4. (a)
5. (c)
6. (d)
7. (b)
8. (a)
1
Sec¸a˜o 2. Questo˜es discursivas (2×2,6 = 5,2 pontos)
1. Resoluc¸a˜o:
(a) Como a densidade volumar ρ(r) e´ na˜o-uniforme, temos que integra´-la sobre a regia˜o definida pela esfera. Assim
Qesf =
∫
esf
d3r ρ(r) =
3α
π
=4π︷ ︸︸ ︷∫
dΩ
∫ R
0
dr r2
(
1− r
R
)
= 12α
[
r3
3
− r
4
4R
]r=R
r=0
=
12αR3
12
(1)
⇒ Qesf = αR3 (2)
(b) Este problema apresenta simetria esfe´rica, raza˜o pela qual adotaremos coordenadas esfe´ricas a partir de agora.
Podemos resolveˆ-lo em 4 passos
• Passo 1: devido a` simetria mencionada, podemos concluir que o campo ele´trico na˜o possui componentes ao
longo de θˆ e φˆ, ou seja, que ~E(~r)→ E(~r)rˆ.
• Passo 2: grac¸as ainda a` simetria esfe´rica, podemos concluir que o mo´dulo do campo na˜o depende das coorde-
nadas θ e φ, ou seja, que E(~r)rˆ → E(r)rˆ.
• Passo 3: Tendo reduzido enormemente o problema, podemos agora prepara´-lo para uma aplicac¸a˜o da lei de
Gauss e consequentemente determinar E(r). Utilizando uma superf´ıcie gaussiana S esfe´rica, de raio r < R,
podemos calcular o fluxo de campo ele´trico ΦE sobre S
ΦE =
∮
S
~E(~r) · ~dA =
∮
S
E(r) dA
=1︷ ︸︸ ︷
(rˆ · rˆ) = E(R)
∮
dA = 4πr2E(r) (3)
onde usamos que, numa superf´ıcie esfe´rica, temos ~dA = dA rˆ. Ja´ a carga encerrada em S e´ dada por
Qenc =
∫
r<R
ρ(r′)d3r′ = 12α
[
r′3
3
− r
′4
4R
]r′=r
r′=0
=
αr3
R
(4R− 3r) (4)
onde aproveitamos parte do resultado do ı´tem a).
• Passo 4: Finalmente, aplicando efetivamente a lei de Gauss e igualando (3) e (4)/ǫ0, temos
4πr2E(r) =
αr3
ǫ0R
(4R− 3r) ⇒ E(r) = α
4πǫ0
r
R
(4R− 3r) (5)
donde
~E =
α
4πǫ0
(4R− 3r)r
R
rˆ (6)
(c) A casca condutora esta´ em equil´ıbrio eletrosta´tico, logo o campo ele´trico em seu miolo (a < r < b) e´ nulo. Por
outro lado, isso so´ e´ poss´ıvel se a carga total no interior de uma superf´ıcie gaussiana contida no miolo da casca for
nula, pois de outra forma a simetria esfe´rica impediria a anulac¸a˜o do campo. No entanto, sabemos ainda que um
condutor so´ tem carga nas suas superf´ıcies, donde conclu´ımos que a carga total na superf´ıcie interior da casca Qa
deve contrabalanc¸ar a carga da esfera Qesf , ou seja, devemos ter (i) Qa = −Qesf = −αR3. Novamente pela simetria
esfe´rica, podemos concluir que as (ii) densidades interna e externa sa˜o uniformes, e enta˜o, de (i) e (ii) conclu´ımos
que
σa =
Qa
Sa
⇒ σa = − Qesf
4πa2
(7)
2
Como a carga total da casca e´ Qcas, temos Qb = Qcas −Qa, e enta˜o
σb =
Qb
Sb
⇒ σb = Qcas +Qesf
4πb2
(8)
(d) Como o campo ele´trico num condutor em equil´ıbrio eletrosta´tico e´ zero, conclu´ımos que um condutor e´ uma
regia˜o equipotencial. Assim sendo, Va − Vb = 0.
�
2. Resoluc¸a˜o:
(a) Sabemos que, no plano Y Z, o campo magne´tico gerado pelo fio infinito e´ dado por (lembre-se que a corrente,
nesse exemplo espec´ıfico, flui no sentido −zˆ)
~B1 =
µ0I12πs
(−ϕˆ) = µ0I1
2πy
xˆ (9)
Assim sendo, a forc¸a exercida pelo fio retil´ıneo sobre o lado horizontal superior (lhs) e´ dada por
~Flhs = I2
∫
lhs
=−dyyˆ︷︸︸︷
~dl ×~B1 = −I2
∫ s0+b1
s0
dy
(
µ0I1
2πy
) =−zˆ︷ ︸︸ ︷
(yˆ × xˆ) = µ0I1I2
2π
zˆ
∫ s0+b1
s0
dy
y
=
µ0I1I2
2π
zˆ log [y]
∣∣∣s0+b1
s0
Ou seja, temos
~Flhs =
µ0I1I2
2π
zˆ log
[
s0 + b1
s0
]
(10)
(b) A forc¸a sobre o lado vertical esquerdo (lve) da espira pode ser calculada de forma ana´loga
~Flve = I2
∫
lve
=−dzzˆ︷︸︸︷
~dl ×~B1 = −I2
∫ b2
0
dz
(
µ0I1
2πs0
) =yˆ︷ ︸︸ ︷
(zˆ × xˆ) = −µ0I1I2
2πs0
yˆ
∫ b2
0
dz (11)
Ou seja, temos
~Flve = −µ0I1I2b2
2πs0
yˆ (12)
(c) Para obtermos a forc¸a resultante sobre a espira, precisamos das forc¸as sobre os quatro lados dela. Ja´ obtivemos
duas delas, ~Flhs e ~Flve, faltam ainda as forc¸as sobre os lados horizontal infeiror ~Flhi e vertical direito ~Flvd. O ca´lculo
de ~Flhi e´ ideˆntico ao de ~Flhs, exceto pelo fato de que a corrente flui no sentido contra´rio. Assim sendo temos
~Flhi = −~Flhs ⇒ ~Flhi + ~Flhs = ~0 (13)
Por sua vez, o calculo de ~Flvd tambe´m e´ parecido com o de ~Flve, mas agora temos duas difereˆnc¸as: a corrente flui
no sentido oposto e devemos fazer y = s0+ b1 no ca´lculo de ~Flvd (em vez de y = s0 como fizemos no ı´tem anterior).
Ou seja, temos
~Flvd =
µ0I1I2b2
2π(s0 + b1)
yˆ (14)
3
e enta˜o
~Flve + ~Flvd =
(
−µ0I1I2b2
2πs0
+
µ0I1I2b2
2π(s0 + b1)
)
yˆ = −
(
µ0I1I2b2b1
2πs0(s0 + b1)
)
yˆ . (15)
A forc¸a total ~Ftot enta˜o fica
~Ftot =
=~0︷ ︸︸ ︷
~Flhs + ~Flhi+~Flve + ~Flvd
~Ftot = −
(
µ0I1I2b2b1
2πs0(s0 + b1)
)
yˆ (16)
�
4
Universidade Federal do Rio de Janeiro – Instituto de F´ısica
F´ısica III – 2014/2 – Prova Final: 24/11/2014
Versa˜o: D
Formula´rio
~F = q ~E + q~v × ~B , ~E = 1
4πǫ0
q
r2
rˆ ,
∮
S
~E ·d ~A = Qint
ǫ0
, ~E = − ~∇V , V = 1
4πǫ0
q
r
,
uE =
ǫ0
2
E2 ~E = ~E0/K , C = Q/V , ~J = nq~v ,
d ~Fm = Id~ℓ× ~B ,
∮
S
~B ·d ~A = 0 , d ~B = µ0
4π
Id~ℓ× (~r−~r′)
|~r−~r′|3 ,
~Bfio =
µ0I
(2πs)
ϕˆ
∮
C
~B · d~ℓ = µ0Ienc + µ0ǫ0dΦE
dt
, Eind = −dΦB
dt
, ΦB = LI , uB =
1
2
B2
µ0
,
Sec¸a˜o 1. Mu´ltipla escolha (8×0,6 = 4,8 pontos)
1. Considere dois pequenos dipolos ele´tricos: o primeiro
encontra-se no eixo Y , com seu centro na origem O,
e e´ formado por part´ıculas de cargas q > 0 e −q, en-
quanto o segundo encontra-se no eixo X e e´ formado
por part´ıculas de cargas q′ > 0 e −q′ (cf. figura). Seja
~F1→2 a forc¸a eletrosta´tica exercida pelo dipolo 1 sobre
o dipolo 2. Podemos afirmar que:
(a) ~F1→2 e´ nula e o torque sobre o dipolo 1 tende
a gira´-lo no sentido hora´rio.
(b) ~F1→2 tem o sentido de −yˆ e o torque sobre o
dipolo 2 tende a gira´-lo no sentido hora´rio.
(c) ~F1→2 tem o sentido de yˆ e o torque sobre o
dipolo 2 tende a gira´-lo no sentido hora´rio.
(d) ~F1→2 tem o sentido de yˆ e o torque sobre o di-
polo 2 tende a gira´-lo no sentido anti-hora´rio.
(e) ~F1→2 tem o sentido de −yˆ e o torque sobre o
dipolo 2 tende a gira´-lo no sentido anti-hora´rio.
2. Qual e´ o trabalho necessa´rio para formarmos a confi-
gurac¸a˜o das quatro part´ıculas da figura (3 parti´ıculas
positivas e uma negativa, nos ve´rtices de um qua-
drado de lado a), supondo que as part´ıculas estejam,
de in´ıcio, infinitamente afastadas umas das outras?
(a) 3q2/(4πǫ0a)
(b) 3q2/(4πǫ0a)− q2/(4
√
2πǫ0a)
(c) 2q2/(4πǫ0a)
(d) 0
(e) −q2/(4π√2ǫ0a)
1
3. Um capacitor possui placas paralelas separadas por
uma distaˆncia igual a 1 mm. O espac¸o entre as placas
esta´ cheio de polie´ster (Constante diele´trica, K = 3),
que possui rigidez diele´trica Emax = | ~Emax| = 6× 107
N/C). (I) Qual a voltagem ma´xima, e (II) a carga
ma´xima poss´ıvel que o capacitor pode suportar sem
que ocorra ruptura diele´trica. Considere que na
auseˆncia do polie´ster o capacitor possui capacitaˆncia
C0 = 1µF .
(a) (I) 6× 107 V; (II) 0, 18 C
(b) (I) 6× 104 V; (II) 0, 18 C
(c) (I) 18× 104 V; (II) 0, 06 C
(d) (I) 6× 107 V; (II) 1, 8 C
(e) (I) 6× 104 V; (II) 1, 8 C
4. Considere as seguintes afirmac¸o˜es:
I - O campo magne´tico de uma espira circular por
onde passa uma corrente estaciona´ria satisfaz a lei de
Ampe`re.
II - A afirmac¸a˜o I e´ verdadeira devido a` simetria axial
da espira.
III - Se a espira fosse quadrada, a lei de Ampe`re na˜o
seria va´lida.
IV - Se a espira fosse quadrada, a lei de Ampe`re seria
va´lida, desde que se escolhessem curvas amperianas
que passassem pelo centro do quadrado.
Sa˜o verdadeiras as afirmativas:
(a) Somente I
(b) I e II
(c) I, II e III
(d) I e IV
(e) Somente IV
5. Sabe-se que, no interior de um cilindro (circu-
lar reto) de raio a, existe um campo magne´tico
~B = K(s/a2) ϕˆ, onde (s, ϕ, z) sa˜o as coordenadas
cil´ındricas usuais, K e´ uma constante, e o eixo Z coin-
cide com o eixo de simetria do cilindro. A energia
magne´tica Em armazenada no cilindro entre z = 0 e
z = L e´
(a) Em = K
2s2/(2µ0a
4)
(b) Em = K
2L/(6µ0a)
(c) Em = πK
2/(3µ0a)
(d) Em = πK
2L/(3µ0a)
(e) Em = πK
2L/(4µ0)
6. Uma barra de cobre cil´ındrica, de resisteˆncia ele´trica
R, comprimento L e sec¸a˜o reta A, e´ comprimida para
a metade do seu comprimento original, sem que seu
volume se altere. Pode-se afirmar que o novo valor de
sua resisteˆncia ele´trica e´:
(a) 4R .
(b) 2R .
(c) R/2 .
(d) R/4 .
(e) R
7. Seja uma regia˜o R delimitada por uma superf´ıcie fe-
chada S. Tal regia˜o possui uma densidade volumar
de carga ρ(~r) e uma carga total Q. A partir da lei de
Gauss, pode-se dizer que
(a) Se Q = 0, o campo ele´trico e´ nulo no interior
de R.
(b) Se ρ(~r) = 0, o campo ele´trico e´ nulo no interior
de R.
(c) Se Q = 0, o campo ele´trico e´ nulo em S.
(d) Se ρ(~r) = 0, o campo ele´trico e´ nulo em S.
(e) Nenhuma das opc¸o˜es anteriores.
2
8. Uma espira condutora retangular de dimenso˜es l e w
se move com velocidade v constante para a direita,
conforme a figura. A espira atravessa um campo
magne´tico uniforme e estaciona´rio ~B, dirigido para
dentro da pa´gina, numa extensa˜o de 3w ao longo do
eixo x.
Assinale abaixo o gra´fico que melhor representa a
forc¸a eletromotriz E como func¸a˜o da posic¸a˜o x da la-
teral a` direita da espira:
(a)
(b)
(c)
(d)
3
Sec¸a˜o 2. Questo˜es discursivas (2×2,6 = 5,2 pontos)
Todas as respostas devem ter ampla justificativa!
1. [3,2 pontos] Considere uma esfera so´lida, de raio R, na˜o-condutora e de densidade volume´trica de carga dada por
ρ(r) =
3α
π
(
1− r
R
)
Conceˆntrica a essa esfera, temos uma casca esfe´rica, espessa e condutora, em equil´ıbrio eletrosta´tico, de raio interno
a (a > R) e raio externo b (b > a), onde foi depositada uma carga Qcas.
(a) [0,6 ponto] Calcule a carga total Qesf da esfera na˜o-condutora.
(b) [1,4 pontos] Calcule o campo ele´trico dentro da esfera na˜o-condutora.
(c) [0,8 ponto] Calcule a densidade superficial de carga σa e σb nas superf´ıcies interna e externa da casca, e expresse
a sua resposta em termos de Qesf , Qcas, a e b.
(d) [0,4 ponto] Determine a diferenc¸a de potencial Vb − Va entre as superf´ıcies da casca.
2. [2 pontos] Seja um fio retil´ıneo infinito, paralelo ao eixo Z, por onde flui uma corrente estaciona´ria I1. Adjacente
a esse fio e a uma distaˆncia s0 dele, existe uma espira retangular no plano Y Z de lados b1 e b2, conforme mostra
a figura. Sabendo-se que a espira carrega uma corrente I2 e que o campo gerado pelo fio e´ dado (vide formula´rio),
determine
ẑ
x
ŷ 
b2
b1
I1
^
s0
I2
(a) [0,8 ponto] A forc¸a que o fio retil´ıneo exerce sobre o lado horizontal superior da espira.
(b) [0,4 ponto] A forc¸a que o fio retil´ıneo exerce sobre o lado verticalesquerdo da espira.
(c) [0,8 ponto] A forc¸a total sobre a espira (Justifique!!!).
4
Gabarito para Versa˜o D
Sec¸a˜o 1. Mu´ltipla escolha (8×0,6 = 4,8 pontos)
1. (c)
2. (d)
3. (b)
4. (a)
5. (e)
6. (d)
7. (e)
8. (a)
1
Sec¸a˜o 2. Questo˜es discursivas (2×2,6 = 5,2 pontos)
1. Resoluc¸a˜o:
(a) Como a densidade volumar ρ(r) e´ na˜o-uniforme, temos que integra´-la sobre a regia˜o definida pela esfera. Assim
Qesf =
∫
esf
d3r ρ(r) =
3α
π
=4π︷ ︸︸ ︷∫
dΩ
∫ R
0
dr r2
(
1− r
R
)
= 12α
[
r3
3
− r
4
4R
]r=R
r=0
=
12αR3
12
(1)
⇒ Qesf = αR3 (2)
(b) Este problema apresenta simetria esfe´rica, raza˜o pela qual adotaremos coordenadas esfe´ricas a partir de agora.
Podemos resolveˆ-lo em 4 passos
• Passo 1: devido a` simetria mencionada, podemos concluir que o campo ele´trico na˜o possui componentes ao
longo de θˆ e φˆ, ou seja, que ~E(~r)→ E(~r)rˆ.
• Passo 2: grac¸as ainda a` simetria esfe´rica, podemos concluir que o mo´dulo do campo na˜o depende das coorde-
nadas θ e φ, ou seja, que E(~r)rˆ → E(r)rˆ.
• Passo 3: Tendo reduzido enormemente o problema, podemos agora prepara´-lo para uma aplicac¸a˜o da lei de
Gauss e consequentemente determinar E(r). Utilizando uma superf´ıcie gaussiana S esfe´rica, de raio r < R,
podemos calcular o fluxo de campo ele´trico ΦE sobre S
ΦE =
∮
S
~E(~r) · ~dA =
∮
S
E(r) dA
=1︷ ︸︸ ︷
(rˆ · rˆ) = E(R)
∮
dA = 4πr2E(r) (3)
onde usamos que, numa superf´ıcie esfe´rica, temos ~dA = dA rˆ. Ja´ a carga encerrada em S e´ dada por
Qenc =
∫
r<R
ρ(r′)d3r′ = 12α
[
r′3
3
− r
′4
4R
]r′=r
r′=0
=
αr3
R
(4R− 3r) (4)
onde aproveitamos parte do resultado do ı´tem a).
• Passo 4: Finalmente, aplicando efetivamente a lei de Gauss e igualando (3) e (4)/ǫ0, temos
4πr2E(r) =
αr3
ǫ0R
(4R− 3r) ⇒ E(r) = α
4πǫ0
r
R
(4R− 3r) (5)
donde
~E =
α
4πǫ0
(4R− 3r)r
R
rˆ (6)
(c) A casca condutora esta´ em equil´ıbrio eletrosta´tico, logo o campo ele´trico em seu miolo (a < r < b) e´ nulo. Por
outro lado, isso so´ e´ poss´ıvel se a carga total no interior de uma superf´ıcie gaussiana contida no miolo da casca for
nula, pois de outra forma a simetria esfe´rica impediria a anulac¸a˜o do campo. No entanto, sabemos ainda que um
condutor so´ tem carga nas suas superf´ıcies, donde conclu´ımos que a carga total na superf´ıcie interior da casca Qa
deve contrabalanc¸ar a carga da esfera Qesf , ou seja, devemos ter (i) Qa = −Qesf = −αR3. Novamente pela simetria
esfe´rica, podemos concluir que as (ii) densidades interna e externa sa˜o uniformes, e enta˜o, de (i) e (ii) conclu´ımos
que
σa =
Qa
Sa
⇒ σa = − Qesf
4πa2
(7)
2
Como a carga total da casca e´ Qcas, temos Qb = Qcas −Qa, e enta˜o
σb =
Qb
Sb
⇒ σb = Qcas +Qesf
4πb2
(8)
(d) Como o campo ele´trico num condutor em equil´ıbrio eletrosta´tico e´ zero, conclu´ımos que um condutor e´ uma
regia˜o equipotencial. Assim sendo, Va − Vb = 0.
�
2. Resoluc¸a˜o:
(a) Sabemos que, no plano Y Z, o campo magne´tico gerado pelo fio infinito e´ dado por (lembre-se que a corrente,
nesse exemplo espec´ıfico, flui no sentido −zˆ)
~B1 =
µ0I1
2πs
(−ϕˆ) = µ0I1
2πy
xˆ (9)
Assim sendo, a forc¸a exercida pelo fio retil´ıneo sobre o lado horizontal superior (lhs) e´ dada por
~Flhs = I2
∫
lhs
=−dyyˆ︷︸︸︷
~dl ×~B1 = −I2
∫ s0+b1
s0
dy
(
µ0I1
2πy
) =−zˆ︷ ︸︸ ︷
(yˆ × xˆ) = µ0I1I2
2π
zˆ
∫ s0+b1
s0
dy
y
=
µ0I1I2
2π
zˆ log [y]
∣∣∣s0+b1
s0
Ou seja, temos
~Flhs =
µ0I1I2
2π
zˆ log
[
s0 + b1
s0
]
(10)
(b) A forc¸a sobre o lado vertical esquerdo (lve) da espira pode ser calculada de forma ana´loga
~Flve = I2
∫
lve
=−dzzˆ︷︸︸︷
~dl ×~B1 = −I2
∫ b2
0
dz
(
µ0I1
2πs0
) =yˆ︷ ︸︸ ︷
(zˆ × xˆ) = −µ0I1I2
2πs0
yˆ
∫ b2
0
dz (11)
Ou seja, temos
~Flve = −µ0I1I2b2
2πs0
yˆ (12)
(c) Para obtermos a forc¸a resultante sobre a espira, precisamos das forc¸as sobre os quatro lados dela. Ja´ obtivemos
duas delas, ~Flhs e ~Flve, faltam ainda as forc¸as sobre os lados horizontal infeiror ~Flhi e vertical direito ~Flvd. O ca´lculo
de ~Flhi e´ ideˆntico ao de ~Flhs, exceto pelo fato de que a corrente flui no sentido contra´rio. Assim sendo temos
~Flhi = −~Flhs ⇒ ~Flhi + ~Flhs = ~0 (13)
Por sua vez, o calculo de ~Flvd tambe´m e´ parecido com o de ~Flve, mas agora temos duas difereˆnc¸as: a corrente flui
no sentido oposto e devemos fazer y = s0+ b1 no ca´lculo de ~Flvd (em vez de y = s0 como fizemos no ı´tem anterior).
Ou seja, temos
~Flvd =
µ0I1I2b2
2π(s0 + b1)
yˆ (14)
3
e enta˜o
~Flve + ~Flvd =
(
−µ0I1I2b2
2πs0
+
µ0I1I2b2
2π(s0 + b1)
)
yˆ = −
(
µ0I1I2b2b1
2πs0(s0 + b1)
)
yˆ . (15)
A forc¸a total ~Ftot enta˜o fica
~Ftot =
=~0︷ ︸︸ ︷
~Flhs + ~Flhi+~Flve + ~Flvd
~Ftot = −
(
µ0I1I2b2b1
2πs0(s0 + b1)
)
yˆ (16)
�
4