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Universidade Federal do Rio de Janeiro – Instituto de F´ısica
F´ısica III – 2014/1 – Segunda Chamada: 11/06/2014
Versa˜o: A
Formula´rio
~F e = q ~E , ~E = k0
q
r2
rˆ
(
k0 =
1
4πε0
)
,
∮
S
~E ·d~A =
Qint
ε0
, ~E = − ~∇V , V = k0
q
r
,
U = k0
qq′
r
, C = Q/V , uE =
1
2
ε0E
2 , I =
∫
S
~J ·d~A , ~J = nq~v , V = RI , P = V I ,
~Fm = q~v × ~B , d~Fm = Id~ℓ× ~B ,
∮
S
~B ·d~A = 0 , ~B =
µ0
4π
∮
C
Id~ℓ× rˆ
r2
,
∮
C
~B · d~ℓ = µ0Ienc + µ0ǫ0
dΦ~E
dt
, Eind = −
dΦ~B
dt
, Φ~B = LI , uB =
1
2
B2
µ0
ε0 = 8,85× 10
−12 F/m , G = 6,67× 10−11 N·m2/kg2 , mp = 1,67× 10
−27 kg , me = 9,11× 10
−31 kg
sen (2θ) = 2 sen θ cos θ
Sec¸a˜o 1. Mu´ltipla escolha (8×0,6 = 4,8 pontos)
1. Diga em qual(is) dos seguintes processos, conforme
descritos com respeito a um dado referencial inercial,
pode surgir uma corrente ele´trica por induc¸a˜o de Fa-
raday em um circuito r´ıgido condutor: (I) O circuito
e´ mantido em repouso, imerso dentro de um campo
magne´tico na˜o estaciona´rio. (II) O circuito translada-
se em um campo magne´tico estaciona´rio e uniforme.
(III) O circuito gira dentro de um campo magne´tico
estaciona´rio e uniforme.
(a) Apenas em I.
(b) Apenas em II.
(c) Apenas em III.
(d) Apenas em I e II.
(e) Apenas em I e III.
(f) Apenas em II e III.
(g) Em todos.
(h) Em nenhum.
2. Analise as seguintes afirmativas: (I) Um corpo carre-
gado positivamente nunca pode atrair eletricamente
outro corpo carregado positivamente. (II) A carga
ele´trica, assim como a massa, e´ conservada e quan-
tizada. (III) A forc¸a eletrosta´tica entre um pro´ton
e um ele´tron e´ cerca de 1040 vezes maior que a
forc¸a gravitacional newtoniana. Qual(is) e´(sa˜o) ver-
dadeira(s)?
(a) Todas.
(b) Apenas a I e a II.
(c) Apenas a I e a III.
(d) Apenas a II e a III.
(e) Apenas a I.
(f) Apenas a II.
(g) Apenas a III.
(h) Nenhuma.
1
3. Considere as seguintes afirmac¸o˜es: (I) Ele´trons ten-
dem a mover-se para regio˜es de potencial maior. (II)
Se o campo eletrosta´tico em um dado ponto e´ zero,
enta˜o o potencial, nesse mesmo ponto, tambe´m e´
zero. (III) O trabalho dispendido para carregar, uni-
formemente em superf´ıcie, uma casca esfe´rica (bi-
dimensional), desde carga inicial zero ate´ carga final
Q e´ maior que o trabalho dispendido para carregar,
uniformemente em volume, uma bola esfe´rica so´lida,
desde carga inicial zero ate´ carga final Q. Qual(is)
e´(sa˜o) a(s) afirmac¸a˜o(o˜es) correta(s)?
(a) Somente a I.
(b) Somente a II.
(c) Somente a III.
(d) Somente a I e a II.
(e) Somente a I e a III.
(f) Somente a II e a III.
(g) Todas.
(h) Nenhuma.
4. Considere um condutor macic¸o, com carga total −3Q,
em equil´ıbrio eletrosta´tico, com duas cavidades , C+ e
C−, dentro das quais esta˜o dispostas, respectivamente,
5. Considere as seguintes afirmac¸o˜es: (I) A diferenc¸a de
potencial (ddp) entre dois pontos esta´ associada a` in-
tegral de linha de um campo eletrosta´tico conserva-
tivo entre esses pontos e, como tal, seu valor depende
do caminho entre tais pontos. (II) A forc¸a eletromo-
triz (fem) ideal e´ responsa´vel, em um circuito dissipa-
tivo, pela manutenc¸a˜o de uma corrente estaciona´ria,
via a realizac¸a˜o de um trabalho diferente de zero ao
longo do circuito fechado. (III) Tanto a ddp como a
fem medem-se, no SI, em volts. Qual(is) e´(sa˜o) a(s)
afirmac¸a˜o(o˜es) correta(s)?
(a) Somente a I.
(b) Somente a II.
(c) Somente a III.
(d) Somente a I e a II.
(e) Somente a I e a III.
(f) Somente a II e a III.
(g) Todas.
(h) Nenhuma.
6. Considere as seguintes afirmac¸o˜es, com respeito a um
referencial inercial dado: (I) Uma part´ıcula carregada
em movimento em um campo magne´tico nunca se-2
7. Uma curva fechada orientada, C, esta´ contida em
um plano, perfurado por sete fios portando corren-
tes ele´tricas estaciona´rias, com va´rias intensidades e
orientac¸o˜es. Qual e´ a circulac¸a˜o
∮
C
~B · d~ℓ ao longo de
tal curva?
(a) 0 .
(b) 14µ0 A .
(c) 8µ0 A .
(d) −8µ0 A .
(e) 2µ0 A .
(f) −2µ0 A .
(g) 4µ0 A .
(h) −4µ0 A .
8. Considere os seguintes sistemas: (I) Segmento re-
til´ıneo (finito) com densidade linear de carga cons-
tante (estaciona´ria e uniforme). (II) Casca esfe´rica
com densidade superficial de carga uniforme, em
pulsac¸a˜o radial. (III) Superf´ıcie quadrada com densi-
dade volumar de carga constante (estaciona´ria e uni-
forme). Para qual desses sistemas pode-se aplicar a lei
de Gauss para determinar o campo ele´trico resultante
em um ponto arbitra´rio do espac¸o?
(a) Somente o I.
(b) Somente o II.
(c) Somente o III.
(d) Somente o I e o II.
(e) Somente o I e o III.
(f) Somente o II e o III.
(g) Todos.
(h) Nenhum.
3
Sec¸a˜o 2. Questo˜es discursivas (2×2,6 = 5,2 pontos)
Todas as respostas devem ter justificativas detalhadas!
1. [2,6 pontos] Uma semicircunfereˆncia de c´ırculo, no plano XY, com raio R e centro em O, esta´ carregada com uma
densidade linear λ(θ) = λ0 sen (2θ) , onde λ0 = const e 0 < θ < π.
(a) Fac¸a um esboc¸o cuidadoso do gra´fico λ×θ, desde θ = 0 ate´ θ = π (supondo, para tanto, que λ0 > 0) e determine
a carga total da semicircunfereˆncia. [0,6 ponto]
(b) Determine o campo ele´trico resultante no centro O da semicircunfereˆncia. [1,5 ponto]
(c) Determine o potencial ele´trico resultante no centro O da semicircunfereˆncia. [0,5 ponto]
Y
X
θ
O
R
2. [2,6 pontos] (a) Considere um anel circular, no
planoXY, de raio R, percorrido por uma cor-
rente estaciona´ria de intensidade i. Determine
o vetor campo magne´tico no centro de tal anel.
[0,6 ponto]
Seja agora uma coroa circular condutora, de
raios interno a e externo b, situada no plano
XY, portando uma corrente ele´trica esta-
ciona´ria de intensidade I, uniformemente dis-
tribu´ıda ao longo de suas direc¸o˜es radiais.
(b) Determine o vetor campo magne´tico no
centro de tal coroa. [1,0 ponto]
(c) Determine o vetor momento de dipolo
magne´tico de tal coroa. [1,0 ponto]
4
Gabarito para Versa˜o A
Sec¸a˜o 1. Mu´ltipla escolha (8×0,6 = 4,8 pontos)
1. (e)
2. (g)
3. (a)
4. (d)
5. (f)
6. (c)
7. (h)
8. (b)
Sec¸a˜o 2. Questo˜es discursivas (2×2,6 = 5,2 pontos)
1. Resoluc¸a˜o:
(a) [0,6 ponto]
O gra´fico de λ × θ, para λ0 = const > 0, sera´, obviamente, uma seno´ide, com per´ıodo π, como mostra a figura
abaixo:
Claro esta´ que a carga total da semicircunfereˆncia sera´ zero. De fato, por definic¸a˜o, para uma distribuic¸a˜o linear
de carga,
dq = λ dℓ .
No nosso caso, portanto, a carga total na semicircunfereˆncia sera´
Q =
∫
C
λ0 sen (2θ)Rdθ
=
1
2
λ0R
∫ π
θ=0
sen (2θ) d(2θ)
=
1
2
λ0R [− cos(2θ)]|
π
θ=0 ,
ou seja,
Q = 0 ,
como quer´ıamos demonstrar.
�
1
(b) [1,5 ponto]
O campo ele´trico provocado por um elemento infinitesimal da semicircunfereˆncia e´
d~E = k0
λ dℓ
R2
(−rˆ) .
Como a func¸a˜o λ e´ uma func¸a˜o “´ımpar”, em torno de θ = π/2, o campo ele´trico resultante, no centro da semicir-
cunfereˆncia, sera´ ao longo do eixo X e so´ temos de nos preocupar em calcular a componente x da expressa˜o acima;
ou seja,
dEx = d~E · xˆ
= −k0
λ0
R
sen (2θ) dθ rˆ · xˆ
= −k0
λ0
R
sen (2θ) dθ cos θ
= −k0
λ0
R
2 sen θ cos θ cos θ dθ
= −2k0
λ0
R
cos2 θ sen θ dθ
= 2k0
λ0
R
cos2 θ d(cos θ) .
Logo,
Ex = 2k0
λ0
R
∫ π
θ=0
cos2 θ d(cos θ)
= 2k0
λ0
R
[
cos3 θ
3
]∣∣∣∣
π
θ=0
.
Portanto,
~E = −
4k0λ0
3R
xˆ .
�
(c) [0,5 ponto]
O potencial eletrosta´tico, provocado por um elemento infinitesimal da semicircunfereˆncia e´
dV = k0
dq
r
.
Como todos os pontos da semicircunfereˆncia esta˜o a` mesma distaˆncia de seu centro, e´ imediato e trivial que,
tomandoo potencial como zero no infinito, que esta´ implic´ıcito, enta˜o o potencial em seu centro sera´
V = k0
Q
R
;
como, conforme o item (a), a carga total e´ zero, o potencial no centro sera´ tambe´m zero:
V = 0 .
�
2
2. Resoluc¸a˜o:
(a) [0,6 ponto]
Isto e´ um problema t´ıpico e trivial de lei de Biot-Savart. Um elemento infinitesimal t´ıpico do anel gera o seguinte
campo magne´tico em seu centro
d~B =
µ0
4π
i d~ℓ× rˆ
r2
=
µ0
4π
iR dϕ ϕˆ× (−rˆ)
R2
=
µ0
4π
i dϕ
R
zˆ .
Logo, devido ao anel completo, temos
~B =
µ0i
2R
zˆ . (1)
�
(b) [1,0 ponto]
A coroa circular pode ser imaginada como uma superposic¸a˜o de va´rios ane´is circulares conceˆnricos, coplanares,
cada um deles com espessura dr, raio r e corrente ele´trica estaciona´ria de intensidade dI. O correspondente campo
magne´tico, conforme (1), sera´, pois,
d~B =
µ0 dI
2r
zˆ .
Ora, como a corrente total I esta´ uniformemente distribu´ıda ao longo das direc¸o˜es radiais, a corrente dI pode ser
determinada pela regra de treˆs:
I b− a
dI dr ,
ou seja,
dI = I
dr
b− a
.
Logo, o campo magne´tico no centro da coroa sera´
~B =
∫ b
r=a
µ0I dr
2(b− a)r
zˆ
=
µ0I
2(b− a)
(∫ b
r=a
dr
r
)
zˆ ,
ou, finalmente,
~B =
µ0I
2(b− a)
ln
(
b
a
)
zˆ .
�
(c) [1,0 ponto]
Uma espira gene´rica (plana), de a´rea A, ao longo da qual flui uma corrente ele´trica de intensidade i, tem o seguinte
vetor momento de dipolo magne´tico
~µ = IA nˆ ,
3
onde nˆ e´ o versor orientado (segundo a regra da ma˜o direita) normal a` superf´ıcie. Enta˜o, em nosso caso, supomos,
novamente, a coroa como uma superposic¸a˜o de ane´is circulares, conceˆntricos, coplanares, cada um dos quais com
momento de dipolo dado por
d~µ = dI A zˆ
= I
dr
b− a
πr2 zˆ
=
πI
b− a
r2 dr zˆ .
Logo, o momento de dipolo magne´tico total da coroa sera´
~µ =
∫ b
r=a
πI
b− a
r2 dr zˆ
=
πI
b− a
(
r3
3
)∣∣∣∣
b
r=a
,
ou, finalmente,
~µ =
πI
3
b3 − a3
b− a
zˆ =
πI
3
(
a2 + ab+ b2
)
zˆ .
�
4
Universidade Federal do Rio de Janeiro – Instituto de F´ısica
F´ısica III – 2014/1 – Segunda Chamada: 11/06/2014
Versa˜o: B
Formula´rio
~F e = q ~E , ~E = k0
q
r2
rˆ
(
k0 =
1
4πε0
)
,
∮
S
~E ·d~A =
Qint
ε0
, ~E = − ~∇V , V = k0
q
r
,
U = k0
qq′
r
, C = Q/V , uE =
1
2
ε0E
2 , I =
∫
S
~J ·d~A , ~J = nq~v , V = RI , P = V I ,
~Fm = q~v × ~B , d~Fm = Id~ℓ× ~B ,
∮
S
~B ·d~A = 0 , ~B =
µ0
4π
∮
C
Id~ℓ× rˆ
r2
,
∮
C
~B · d~ℓ = µ0Ienc + µ0ǫ0
dΦ~E
dt
, Eind = −
dΦ~B
dt
, Φ~B = LI , uB =
1
2
B2
µ0
ε0 = 8,85× 10
−12 F/m , G = 6,67× 10−11 N·m2/kg2 , mp = 1,67× 10
−27 kg , me = 9,11× 10
−31 kg
sen (2θ) = 2 sen θ cos θ
Sec¸a˜o 1. Mu´ltipla escolha (8×0,6 = 4,8 pontos)
1. Diga em qual(is) dos seguintes processos, conforme
descritos com respeito a um dado referencial inercial,
pode surgir uma corrente ele´trica por induc¸a˜o de Fa-
raday em um circuito r´ıgido condutor: (I) O circuito
e´ mantido em repouso, imerso dentro de um campo
magne´tico na˜o estaciona´rio. (II) O circuito translada-
se em um campo magne´tico estaciona´rio e uniforme.
(III) O circuito gira dentro de um campo magne´tico
estaciona´rio e uniforme.
(a) Apenas em I.
(b) Apenas em II.
(c) Apenas em III.
(d) Apenas em I e II.
(e) Apenas em I e III.
(f) Apenas em II e III.
(g) Em todos.
(h) Em nenhum.
2. Considere as seguintes afirmac¸o˜es, com respeito a um
referencial inercial dado: (I) Uma part´ıcula carregada
em movimento em um campo magne´tico nunca se-
gue uma trajeto´ria retil´ınea. (II) Quando a forc¸a
magne´tica sobre uma part´ıcula carregada na˜o e´ a forc¸a
resultante, ela pode realizar trabalho ao longo da tra-
jeto´ria real da part´ıcula. (III) A forc¸a magne´tica
sobre uma part´ıcula carregada nunca pode alterar o
mo´dulo da sua velocidade. Qual(is) delas e´(sa˜o) ver-
dadeira(s)?
(a) Somente a I.
(b) Somente a II.
(c) Somente a III.
(d) Somente a I e a II.
(e) Somente a I e a III.
(f) Somente a II e a III.
(g) Todas.
(h) Nenhuma.
1
3. Analise as seguintes afirmativas: (I) Um corpo carre-
gado positivamente nunca pode atrair eletricamente
outro corpo carregado positivamente. (II) A carga
ele´trica, assim como a massa, e´ conservada e quan-
tizada. (III) A forc¸a eletrosta´tica entre um pro´ton
e um ele´tron e´ cerca de 1040 vezes maior que a
forc¸a gravitacional newtoniana. Qual(is) e´(sa˜o) ver-
dadeira(s)?
(a) Todas.
(b) Apenas a I e a II.
(c) Apenas a I e a III.
(d) Apenas a II e a III.
(e) Apenas a I.
(f) Apenas a II.
(g) Apenas a III.
(h) Nenhuma.
4. Considere as seguintes afirmac¸o˜es: (I) Ele´trons ten-
dem a mover-se para regio˜es de potencial maior. (II)
Se o campo eletrosta´tico em um dado ponto e´ zero,
5. Considere um condutor macic¸o, com carga total −3Q,
em equil´ıbrio eletrosta´tico, com duas cavidades , C+ e
C−, dentro das quais esta˜o dispostas, respectivamente,
part´ıculas de carga Q e −2Q. Determine as cargas
induzidas nas superf´ıcies S+ e S− de cada cavidade,
assim como na superf´ıcie externa S do condutor.
(a) S+: Q/2; S−: Q/2; S: −4Q .
(b) S+: −Q/2; S−: −Q/2; S: 3Q .
(c) S+: Q; S−: −2Q; S: −2Q .
(d) S+: −Q; S−: 2Q; S: −4Q .
(e) S+: −Q; S−: 2Q; S: −3Q .
6. Uma curva fechada orientada, C, esta´ contida em
um plano, perfurado por sete fios portando corren-
tes ele´tricas estaciona´rias, com va´rias intensidades e∮
~ ~
2
7. Considere as seguintes afirmac¸o˜es: (I) A diferenc¸a de
potencial (ddp) entre dois pontos esta´ associada a` in-
tegral de linha de um campo eletrosta´tico conserva-
tivo entre esses pontos e, como tal, seu valor depende
do caminho entre tais pontos. (II) A forc¸a eletromo-
triz (fem) ideal e´ responsa´vel, em um circuito dissipa-
tivo, pela manutenc¸a˜o de uma corrente estaciona´ria,
via a realizac¸a˜o de um trabalho diferente de zero ao
longo do circuito fechado. (III) Tanto a ddp como a
fem medem-se, no SI, em volts. Qual(is) e´(sa˜o) a(s)
afirmac¸a˜o(o˜es) correta(s)?
(a) Somente a I.
(b) Somente a II.
(c) Somente a III.
(d) Somente a I e a II.
(e) Somente a I e a III.
(f) Somente a II e a III.
(g) Todas.
(h) Nenhuma.
8. Considere os seguintes sistemas: (I) Segmento re-
til´ıneo (finito) com densidade linear de carga cons-
tante (estaciona´ria e uniforme). (II) Casca esfe´rica
com densidade superficial de carga uniforme, em
pulsac¸a˜o radial. (III) Superf´ıcie quadrada com densi-
dade volumar de carga constante (estaciona´ria e uni-
forme). Para qual desses sistemas pode-se aplicar a lei
de Gauss para determinar o campo ele´trico resultante
em um ponto arbitra´rio do espac¸o?
(a) Somente o I.
(b) Somente o II.
(c) Somente o III.
(d) Somente o I e o II.
(e) Somente o I e o III.
(f) Somente o II e o III.
(g) Todos.
(h) Nenhum.
Sec¸a˜o 2. Questo˜es discursivas (2×2,6 = 5,2 pontos)
Todas as respostas devem ter justificativas detalhadas!
1. [2,6 pontos] Uma semicircunfereˆncia de c´ırculo, no plano XY, com raio R e centro em O, esta´ carregada com uma
densidade linear λ(θ) = λ0 sen (2θ) , onde λ0 = const e 0 < θ < π.
(a) Fac¸a um esboc¸o cuidadoso do gra´fico λ×θ, desde θ = 0 ate´ θ = π (supondo, para tanto, que λ0 > 0) e determine
a carga total da semicircunfereˆncia. [0,6 ponto]
(b) Determine o campo ele´trico resultante no centro O da semicircunfereˆncia. [1,5 ponto]
(c) Determine o potencial ele´trico resultante no centro O da semicircunfereˆncia. [0,5 ponto]
Y
X
θ
O
R
2.
3
[2,6 pontos] (a) Considere um anel circular, no
planoXY, de raio R, percorrido por uma cor-
rente estaciona´ria de intensidade i. Determine
o vetor campo magne´ticono centro de tal anel.
[0,6 ponto]
Seja agora uma coroa circular condutora, de
raios interno a e externo b, situada no plano
XY, portando uma corrente ele´trica esta-
ciona´ria de intensidade I, uniformemente dis-
tribu´ıda ao longo de suas direc¸o˜es radiais.
(b) Determine o vetor campo magne´tico no
centro de tal coroa. [1,0 ponto]
(c) Determine o vetor momento de dipolo
magne´tico de tal coroa. [1,0 ponto]
4
Gabarito para Versa˜o B
Sec¸a˜o 1. Mu´ltipla escolha (8×0,6 = 4,8 pontos)
1. (e)
2. (c)
3. (g)
4. (a)
5. (d)
6. (h)
7. (f)
8. (b)
Sec¸a˜o 2. Questo˜es discursivas (2×2,6 = 5,2 pontos)
1. Resoluc¸a˜o:
(a) [0,6 ponto]
O gra´fico de λ × θ, para λ0 = const > 0, sera´, obviamente, uma seno´ide, com per´ıodo π, como mostra a figura
abaixo:
Claro esta´ que a carga total da semicircunfereˆncia sera´ zero. De fato, por definic¸a˜o, para uma distribuic¸a˜o linear
de carga,
dq = λ dℓ .
No nosso caso, portanto, a carga total na semicircunfereˆncia sera´
Q =
∫
C
λ0 sen (2θ)Rdθ
=
1
2
λ0R
∫ π
θ=0
sen (2θ) d(2θ)
=
1
2
λ0R [− cos(2θ)]|
π
θ=0 ,
ou seja,
Q = 0 ,
como quer´ıamos demonstrar.
�
1
(b) [1,5 ponto]
O campo ele´trico provocado por um elemento infinitesimal da semicircunfereˆncia e´
d~E = k0
λ dℓ
R2
(−rˆ) .
Como a func¸a˜o λ e´ uma func¸a˜o “´ımpar”, em torno de θ = π/2, o campo ele´trico resultante, no centro da semicir-
cunfereˆncia, sera´ ao longo do eixo X e so´ temos de nos preocupar em calcular a componente x da expressa˜o acima;
ou seja,
dEx = d~E · xˆ
= −k0
λ0
R
sen (2θ) dθ rˆ · xˆ
= −k0
λ0
R
sen (2θ) dθ cos θ
= −k0
λ0
R
2 sen θ cos θ cos θ dθ
= −2k0
λ0
R
cos2 θ sen θ dθ
= 2k0
λ0
R
cos2 θ d(cos θ) .
Logo,
Ex = 2k0
λ0
R
∫ π
θ=0
cos2 θ d(cos θ)
= 2k0
λ0
R
[
cos3 θ
3
]∣∣∣∣
π
θ=0
.
Portanto,
~E = −
4k0λ0
3R
xˆ .
�
(c) [0,5 ponto]
O potencial eletrosta´tico, provocado por um elemento infinitesimal da semicircunfereˆncia e´
dV = k0
dq
r
.
Como todos os pontos da semicircunfereˆncia esta˜o a` mesma distaˆncia de seu centro, e´ imediato e trivial que,
tomando o potencial como zero no infinito, que esta´ implic´ıcito, enta˜o o potencial em seu centro sera´
V = k0
Q
R
;
como, conforme o item (a), a carga total e´ zero, o potencial no centro sera´ tambe´m zero:
V = 0 .
�
2
2. Resoluc¸a˜o:
(a) [0,6 ponto]
Isto e´ um problema t´ıpico e trivial de lei de Biot-Savart. Um elemento infinitesimal t´ıpico do anel gera o seguinte
campo magne´tico em seu centro
d~B =
µ0
4π
i d~ℓ× rˆ
r2
=
µ0
4π
iR dϕ ϕˆ× (−rˆ)
R2
=
µ0
4π
i dϕ
R
zˆ .
Logo, devido ao anel completo, temos
~B =
µ0i
2R
zˆ . (1)
�
(b) [1,0 ponto]
A coroa circular pode ser imaginada como uma superposic¸a˜o de va´rios ane´is circulares conceˆnricos, coplanares,
cada um deles com espessura dr, raio r e corrente ele´trica estaciona´ria de intensidade dI. O correspondente campo
magne´tico, conforme (1), sera´, pois,
d~B =
µ0 dI
2r
zˆ .
Ora, como a corrente total I esta´ uniformemente distribu´ıda ao longo das direc¸o˜es radiais, a corrente dI pode ser
determinada pela regra de treˆs:
I b− a
dI dr ,
ou seja,
dI = I
dr
b− a
.
Logo, o campo magne´tico no centro da coroa sera´
~B =
∫ b
r=a
µ0I dr
2(b− a)r
zˆ
=
µ0I
2(b− a)
(∫ b
r=a
dr
r
)
zˆ ,
ou, finalmente,
~B =
µ0I
2(b− a)
ln
(
b
a
)
zˆ .
�
(c) [1,0 ponto]
Uma espira gene´rica (plana), de a´rea A, ao longo da qual flui uma corrente ele´trica de intensidade i, tem o seguinte
vetor momento de dipolo magne´tico
~µ = IA nˆ ,
3
onde nˆ e´ o versor orientado (segundo a regra da ma˜o direita) normal a` superf´ıcie. Enta˜o, em nosso caso, supomos,
novamente, a coroa como uma superposic¸a˜o de ane´is circulares, conceˆntricos, coplanares, cada um dos quais com
momento de dipolo dado por
d~µ = dI A zˆ
= I
dr
b− a
πr2 zˆ
=
πI
b− a
r2 dr zˆ .
Logo, o momento de dipolo magne´tico total da coroa sera´
~µ =
∫ b
r=a
πI
b− a
r2 dr zˆ
=
πI
b− a
(
r3
3
)∣∣∣∣
b
r=a
,
ou, finalmente,
~µ =
πI
3
b3 − a3
b− a
zˆ =
πI
3
(
a2 + ab+ b2
)
zˆ .
�
4
Universidade Federal do Rio de Janeiro – Instituto de F´ısica
F´ısica III – 2014/1 – Segunda Chamada: 11/06/2014
Versa˜o: C
Formula´rio
~F e = q ~E , ~E = k0
q
r2
rˆ
(
k0 =
1
4πε0
)
,
∮
S
~E ·d~A =
Qint
ε0
, ~E = − ~∇V , V = k0
q
r
,
U = k0
qq′
r
, C = Q/V , uE =
1
2
ε0E
2 , I =
∫
S
~J ·d~A , ~J = nq~v , V = RI , P = V I ,
~Fm = q~v × ~B , d~Fm = Id~ℓ× ~B ,
∮
S
~B ·d~A = 0 , ~B =
µ0
4π
∮
C
Id~ℓ× rˆ
r2
,
∮
C
~B · d~ℓ = µ0Ienc + µ0ǫ0
dΦ~E
dt
, Eind = −
dΦ~B
dt
, Φ~B = LI , uB =
1
2
B2
µ0
ε0 = 8,85× 10
−12 F/m , G = 6,67× 10−11 N·m2/kg2 , mp = 1,67× 10
−27 kg , me = 9,11× 10
−31 kg
sen (2θ) = 2 sen θ cos θ
Sec¸a˜o 1. Mu´ltipla escolha (8×0,6 = 4,8 pontos)
1. Considere as seguintes afirmac¸o˜es, com respeito a um
referencial inercial dado: (I) Uma part´ıcula carregada
em movimento em um campo magne´tico nunca se-
gue uma trajeto´ria retil´ınea. (II) Quando a forc¸a
magne´tica sobre uma part´ıcula carregada na˜o e´ a forc¸a
resultante, ela pode realizar trabalho ao longo da tra-
jeto´ria real da part´ıcula. (III) A forc¸a magne´tica
sobre uma part´ıcula carregada nunca pode alterar o
mo´dulo da sua velocidade. Qual(is) delas e´(sa˜o) ver-
dadeira(s)?
(a) Somente a I.
(b) Somente a II.
(c) Somente a III.
(d) Somente a I e a II.
(e) Somente a I e a III.
(f) Somente a II e a III.
(g) Todas.
(h) Nenhuma.
1
2. Considere as seguintes afirmac¸o˜es: (I) A diferenc¸a de
potencial (ddp) entre dois pontos esta´ associada a` in-
tegral de linha de um campo eletrosta´tico conserva-
tivo entre esses pontos e, como tal, seu valor depende
do caminho entre tais pontos. (II) A forc¸a eletromo-
triz (fem) ideal e´ responsa´vel, em um circuito dissipa-
tivo, pela manutenc¸a˜o de uma corrente estaciona´ria,
via a realizac¸a˜o de um trabalho diferente de zero ao
longo do circuito fechado. (III) Tanto a ddp como a
fem medem-se, no SI, em volts. Qual(is) e´(sa˜o) a(s)
afirmac¸a˜o(o˜es) correta(s)?
(a) Somente a I.
(b) Somente a II.
(c) Somente a III.
(d) Somente a I e a II.
(e) Somente a I e a III.
(f) Somente a II e a III.
(g) Todas.
(h) Nenhuma.
3. Considere as seguintes afirmac¸o˜es: (I) Ele´trons ten-
dem a mover-se para regio˜es de potencial maior. (II)
Se o campo eletrosta´tico em um dado ponto e´ zero,
4. Diga em qual(is) dos seguintes processos, conforme
descritos com respeito a um dado referencial inercial,
pode surgir uma corrente ele´trica por induc¸a˜o de Fa-
raday em um circuito r´ıgido condutor: (I) O circuito
e´ mantido em repouso, imerso dentro de um campo
magne´tico na˜o estaciona´rio. (II) O circuito translada-
se em um campo magne´tico estaciona´rio e uniforme.
(III) O circuito gira dentro de um campo magne´tico
estaciona´rio e uniforme.
(a) Apenas em I.
(b) Apenas em II.
(c) Apenas em III.
(d) Apenas em I e II.
(e) Apenas em I e III.
(f) Apenas em II e III.
(g) Em todos.
(h) Em nenhum.
5. Considere os seguintes sistemas: (I) Segmento re-
til´ıneo (finito) com densidade linear de carga cons-
tante (estaciona´ria e uniforme). (II) Casca esfe´rica2
6. Uma curva fechada orientada, C, esta´ contida em
um plano, perfurado por sete fios portando corren-
tes ele´tricas estaciona´rias, com va´rias intensidades e
orientac¸o˜es. Qual e´ a circulac¸a˜o
∮
C
~B · d~ℓ ao longo de
tal curva?
(a) 0 .
(b) 14µ0 A .
(c) 8µ0 A .
(d) −8µ0 A .
(e) 2µ0 A .
(f) −2µ0 A .(g) 4µ0 A .
(h) −4µ0 A .
7. Analise as seguintes afirmativas: (I) Um corpo carre-
gado positivamente nunca pode atrair eletricamente
outro corpo carregado positivamente. (II) A carga
ele´trica, assim como a massa, e´ conservada e quan-
tizada. (III) A forc¸a eletrosta´tica entre um pro´ton
e um ele´tron e´ cerca de 1040 vezes maior que a
forc¸a gravitacional newtoniana. Qual(is) e´(sa˜o) ver-
dadeira(s)?
(a) Todas.
(b) Apenas a I e a II.
(c) Apenas a I e a III.
(d) Apenas a II e a III.
(e) Apenas a I.
(f) Apenas a II.
(g) Apenas a III.
(h) Nenhuma.
8. Considere um condutor macic¸o, com carga total −3Q,
em equil´ıbrio eletrosta´tico, com duas cavidades , C+ e
C−, dentro das quais esta˜o dispostas, respectivamente,
part´ıculas de carga Q e −2Q. Determine as cargas
induzidas nas superf´ıcies S+ e S− de cada cavidade,
assim como na superf´ıcie externa S do condutor.
(a) S+: Q/2; S−: Q/2; S: −4Q .
(b) S+: −Q/2; S−: −Q/2; S: 3Q .
(c) S+: Q; S−: −2Q; S: −2Q .
(d) S+: −Q; S−: 2Q; S: −4Q .
(e) S+: −Q; S−: 2Q; S: −3Q .
Sec¸a˜o 2. Questo˜es discursivas (2×2,6 = 5,2 pontos)
Todas as respostas devem ter justificativas detalhadas!
1. [2,6 pontos] Uma semicircunfereˆncia de c´ırculo, no plano XY, com raio R e centro em O, esta´ carregada com uma
densidade linear λ(θ) = λ0 sen (2θ) , onde λ0 = const e 0 < θ < π.
(a) Fac¸a um esboc¸o cuidadoso do gra´fico λ×θ, desde θ = 0 ate´ θ = π (supondo, para tanto, que λ0 > 0) e determine
a carga total da semicircunfereˆncia. [0,6 ponto]
(b) Determine o campo ele´trico resultante no centro O da semicircunfereˆncia. [1,5 ponto]
(c) Determine o potencial ele´trico resultante no centro O da semicircunfereˆncia. [0,5 ponto]
3
Y
X
θ
O
R
2. [2,6 pontos] (a) Considere um anel circular, no
planoXY, de raio R, percorrido por uma cor-
rente estaciona´ria de intensidade i. Determine
o vetor campo magne´tico no centro de tal anel.
[0,6 ponto]
Seja agora uma coroa circular condutora, de
raios interno a e externo b, situada no plano
XY, portando uma corrente ele´trica esta-
ciona´ria de intensidade I, uniformemente dis-
tribu´ıda ao longo de suas direc¸o˜es radiais.
(b) Determine o vetor campo magne´tico no
centro de tal coroa. [1,0 ponto]
(c) Determine o vetor momento de dipolo
magne´tico de tal coroa. [1,0 ponto]
4
Gabarito para Versa˜o C
Sec¸a˜o 1. Mu´ltipla escolha (8×0,6 = 4,8 pontos)
1. (c)
2. (f)
3. (a)
4. (e)
5. (b)
6. (h)
7. (g)
8. (d)
Sec¸a˜o 2. Questo˜es discursivas (2×2,6 = 5,2 pontos)
1. Resoluc¸a˜o:
(a) [0,6 ponto]
O gra´fico de λ × θ, para λ0 = const > 0, sera´, obviamente, uma seno´ide, com per´ıodo π, como mostra a figura
abaixo:
Claro esta´ que a carga total da semicircunfereˆncia sera´ zero. De fato, por definic¸a˜o, para uma distribuic¸a˜o linear
de carga,
dq = λ dℓ .
No nosso caso, portanto, a carga total na semicircunfereˆncia sera´
Q =
∫
C
λ0 sen (2θ)Rdθ
=
1
2
λ0R
∫ π
θ=0
sen (2θ) d(2θ)
=
1
2
λ0R [− cos(2θ)]|
π
θ=0 ,
ou seja,
Q = 0 ,
como quer´ıamos demonstrar.
�
1
(b) [1,5 ponto]
O campo ele´trico provocado por um elemento infinitesimal da semicircunfereˆncia e´
d~E = k0
λ dℓ
R2
(−rˆ) .
Como a func¸a˜o λ e´ uma func¸a˜o “´ımpar”, em torno de θ = π/2, o campo ele´trico resultante, no centro da semicir-
cunfereˆncia, sera´ ao longo do eixo X e so´ temos de nos preocupar em calcular a componente x da expressa˜o acima;
ou seja,
dEx = d~E · xˆ
= −k0
λ0
R
sen (2θ) dθ rˆ · xˆ
= −k0
λ0
R
sen (2θ) dθ cos θ
= −k0
λ0
R
2 sen θ cos θ cos θ dθ
= −2k0
λ0
R
cos2 θ sen θ dθ
= 2k0
λ0
R
cos2 θ d(cos θ) .
Logo,
Ex = 2k0
λ0
R
∫ π
θ=0
cos2 θ d(cos θ)
= 2k0
λ0
R
[
cos3 θ
3
]∣∣∣∣
π
θ=0
.
Portanto,
~E = −
4k0λ0
3R
xˆ .
�
(c) [0,5 ponto]
O potencial eletrosta´tico, provocado por um elemento infinitesimal da semicircunfereˆncia e´
dV = k0
dq
r
.
Como todos os pontos da semicircunfereˆncia esta˜o a` mesma distaˆncia de seu centro, e´ imediato e trivial que,
tomando o potencial como zero no infinito, que esta´ implic´ıcito, enta˜o o potencial em seu centro sera´
V = k0
Q
R
;
como, conforme o item (a), a carga total e´ zero, o potencial no centro sera´ tambe´m zero:
V = 0 .
�
2
2. Resoluc¸a˜o:
(a) [0,6 ponto]
Isto e´ um problema t´ıpico e trivial de lei de Biot-Savart. Um elemento infinitesimal t´ıpico do anel gera o seguinte
campo magne´tico em seu centro
d~B =
µ0
4π
i d~ℓ× rˆ
r2
=
µ0
4π
iR dϕ ϕˆ× (−rˆ)
R2
=
µ0
4π
i dϕ
R
zˆ .
Logo, devido ao anel completo, temos
~B =
µ0i
2R
zˆ . (1)
�
(b) [1,0 ponto]
A coroa circular pode ser imaginada como uma superposic¸a˜o de va´rios ane´is circulares conceˆnricos, coplanares,
cada um deles com espessura dr, raio r e corrente ele´trica estaciona´ria de intensidade dI. O correspondente campo
magne´tico, conforme (1), sera´, pois,
d~B =
µ0 dI
2r
zˆ .
Ora, como a corrente total I esta´ uniformemente distribu´ıda ao longo das direc¸o˜es radiais, a corrente dI pode ser
determinada pela regra de treˆs:
I b− a
dI dr ,
ou seja,
dI = I
dr
b− a
.
Logo, o campo magne´tico no centro da coroa sera´
~B =
∫ b
r=a
µ0I dr
2(b− a)r
zˆ
=
µ0I
2(b− a)
(∫ b
r=a
dr
r
)
zˆ ,
ou, finalmente,
~B =
µ0I
2(b− a)
ln
(
b
a
)
zˆ .
�
(c) [1,0 ponto]
Uma espira gene´rica (plana), de a´rea A, ao longo da qual flui uma corrente ele´trica de intensidade i, tem o seguinte
vetor momento de dipolo magne´tico
~µ = IA nˆ ,
3
onde nˆ e´ o versor orientado (segundo a regra da ma˜o direita) normal a` superf´ıcie. Enta˜o, em nosso caso, supomos,
novamente, a coroa como uma superposic¸a˜o de ane´is circulares, conceˆntricos, coplanares, cada um dos quais com
momento de dipolo dado por
d~µ = dI A zˆ
= I
dr
b− a
πr2 zˆ
=
πI
b− a
r2 dr zˆ .
Logo, o momento de dipolo magne´tico total da coroa sera´
~µ =
∫ b
r=a
πI
b− a
r2 dr zˆ
=
πI
b− a
(
r3
3
)∣∣∣∣
b
r=a
,
ou, finalmente,
~µ =
πI
3
b3 − a3
b− a
zˆ =
πI
3
(
a2 + ab+ b2
)
zˆ .
�
4
Universidade Federal do Rio de Janeiro – Instituto de F´ısica
F´ısica III – 2014/1 – Segunda Chamada: 11/06/2014
Versa˜o: D
Formula´rio
~F e = q ~E , ~E = k0
q
r2
rˆ
(
k0 =
1
4πε0
)
,
∮
S
~E ·d~A =
Qint
ε0
, ~E = − ~∇V , V = k0
q
r
,
U = k0
qq′
r
, C = Q/V , uE =
1
2
ε0E
2 , I =
∫
S
~J ·d~A , ~J = nq~v , V = RI , P = V I ,
~Fm = q~v × ~B , d~Fm = Id~ℓ× ~B ,
∮
S
~B ·d~A = 0 , ~B =
µ0
4π
∮
C
Id~ℓ× rˆ
r2
,
∮
C
~B · d~ℓ = µ0Ienc + µ0ǫ0
dΦ~E
dt
, Eind = −
dΦ~B
dt
, Φ~B = LI , uB =
1
2
B2
µ0
ε0 = 8,85× 10
−12 F/m , G = 6,67× 10−11 N·m2/kg2 , mp = 1,67× 10
−27 kg , me = 9,11× 10
−31 kg
sen (2θ) = 2 sen θ cos θ
Sec¸a˜o 1. Mu´ltipla escolha (8×0,6 = 4,8 pontos)
1. Considere as seguintes afirmac¸o˜es: (I) Ele´trons ten-
dem a mover-se para regio˜es de potencial maior. (II)
Se o campo eletrosta´tico em um dado ponto e´ zero,
enta˜o o potencial, nesse mesmo ponto, tambe´m e´
zero. (III) O trabalho dispendido para carregar, uni-
formemente em superf´ıcie, uma casca esfe´rica (bi-
dimensional), desde carga inicial zero ate´ carga final
Q e´ maior que o trabalho dispendido para carregar,
uniformemente em volume, uma bola esfe´rica so´lida,
desde carga inicial zero ate´ carga final Q. Qual(is)
e´(sa˜o) a(s) afirmac¸a˜o(o˜es) correta(s)?
(a) Somente a I.
(b) Somente a II.
(c) Somente a III.
(d) Somente a I e a II.
(e) Somente a I e a III.
(f) Somente a II e a III.
(g) Todas.
(h) Nenhuma.
2. Analise as seguintes afirmativas: (I) Um corpo carre-gado positivamente nunca pode atrair eletricamente
outro corpo carregado positivamente. (II) A carga
ele´trica, assim como a massa, e´ conservada e quan-
tizada. (III) A forc¸a eletrosta´tica entre um pro´ton
e um ele´tron e´ cerca de 1040 vezes maior que a
forc¸a gravitacional newtoniana. Qual(is) e´(sa˜o) ver-
dadeira(s)?
(a) Todas.
(b) Apenas a I e a II.
(c) Apenas a I e a III.
(d) Apenas a II e a III.
(e) Apenas a I.
(f) Apenas a II.
(g) Apenas a III.
(h) Nenhuma.
1
3. Diga em qual(is) dos seguintes processos, conforme
descritos com respeito a um dado referencial inercial,
pode surgir uma corrente ele´trica por induc¸a˜o de Fa-
raday em um circuito r´ıgido condutor: (I) O circuito
e´ mantido em repouso, imerso dentro de um campo
magne´tico na˜o estaciona´rio. (II) O circuito translada-
se em um campo magne´tico estaciona´rio e uniforme.
(III) O circuito gira dentro de um campo magne´tico
estaciona´rio e uniforme.
(a) Apenas em I.
(b) Apenas em II.
(c) Apenas em III.
(d) Apenas em I e II.
(e) Apenas em I e III.
(f) Apenas em II e III.
(g) Em todos.
(h) Em nenhum.
4. Considere um condutor macic¸o, com carga total −3Q,
em equil´ıbrio eletrosta´tico, com duas cavidades , C+ e
C−, dentro das quais esta˜o dispostas, respectivamente,
5. Considere os seguintes sistemas: (I) Segmento re-
til´ıneo (finito) com densidade linear de carga cons-
tante (estaciona´ria e uniforme). (II) Casca esfe´rica
com densidade superficial de carga uniforme, em
pulsac¸a˜o radial. (III) Superf´ıcie quadrada com densi-
dade volumar de carga constante (estaciona´ria e uni-
forme). Para qual desses sistemas pode-se aplicar a lei
de Gauss para determinar o campo ele´trico resultante
em um ponto arbitra´rio do espac¸o?
(a) Somente o I.
(b) Somente o II.
(c) Somente o III.
(d) Somente o I e o II.
(e) Somente o I e o III.
(f) Somente o II e o III.
(g) Todos.
(h) Nenhum.
6. Considere as seguintes afirmac¸o˜es: (I) A diferenc¸a de
potencial (ddp) entre dois pontos esta´ associada a` in-
tegral de linha de um campo eletrosta´tico conserva-2
7. Considere as seguintes afirmac¸o˜es, com respeito a um
referencial inercial dado: (I) Uma part´ıcula carregada
em movimento em um campo magne´tico nunca se-
gue uma trajeto´ria retil´ınea. (II) Quando a forc¸a
magne´tica sobre uma part´ıcula carregada na˜o e´ a forc¸a
resultante, ela pode realizar trabalho ao longo da tra-
jeto´ria real da part´ıcula. (III) A forc¸a magne´tica
sobre uma part´ıcula carregada nunca pode alterar o
mo´dulo da sua velocidade. Qual(is) delas e´(sa˜o) ver-
dadeira(s)?
(a) Somente a I.
(b) Somente a II.
(c) Somente a III.
(d) Somente a I e a II.
(e) Somente a I e a III.
(f) Somente a II e a III.
(g) Todas.
(h) Nenhuma.
8. Uma curva fechada orientada, C, esta´ contida em
um plano, perfurado por sete fios portando corren-
tes ele´tricas estaciona´rias, com va´rias intensidades e
orientac¸o˜es. Qual e´ a circulac¸a˜o
∮
C
~B · d~ℓ ao longo de
tal curva?
(a) 0 .
(b) 14µ0 A .
(c) 8µ0 A .
(d) −8µ0 A .
(e) 2µ0 A .
(f) −2µ0 A .
(g) 4µ0 A .
(h) −4µ0 A .
Sec¸a˜o 2. Questo˜es discursivas (2×2,6 = 5,2 pontos)
Todas as respostas devem ter justificativas detalhadas!
1. [2,6 pontos] Uma semicircunfereˆncia de c´ırculo, no plano XY, com raio R e centro em O, esta´ carregada com uma
densidade linear λ(θ) = λ0 sen (2θ) , onde λ0 = const e 0 < θ < π.
(a) Fac¸a um esboc¸o cuidadoso do gra´fico λ×θ, desde θ = 0 ate´ θ = π (supondo, para tanto, que λ0 > 0) e determine
a carga total da semicircunfereˆncia. [0,6 ponto]
(b) Determine o campo ele´trico resultante no centro O da semicircunfereˆncia. [1,5 ponto]
(c) Determine o potencial ele´trico resultante no centro O da semicircunfereˆncia. [0,5 ponto]
Y
X
θ
O
R
2.
3
[2,6 pontos] (a) Considere um anel circular, no
planoXY, de raio R, percorrido por uma cor-
rente estaciona´ria de intensidade i. Determine
o vetor campo magne´tico no centro de tal anel.
[0,6 ponto]
Seja agora uma coroa circular condutora, de
raios interno a e externo b, situada no plano
XY, portando uma corrente ele´trica esta-
ciona´ria de intensidade I, uniformemente dis-
tribu´ıda ao longo de suas direc¸o˜es radiais.
(b) Determine o vetor campo magne´tico no
centro de tal coroa. [1,0 ponto]
(c) Determine o vetor momento de dipolo
magne´tico de tal coroa. [1,0 ponto]
4
Gabarito para Versa˜o D
Sec¸a˜o 1. Mu´ltipla escolha (8×0,6 = 4,8 pontos)
1. (a)
2. (g)
3. (e)
4. (d)
5. (b)
6. (f)
7. (c)
8. (h)
Sec¸a˜o 2. Questo˜es discursivas (2×2,6 = 5,2 pontos)
1. Resoluc¸a˜o:
(a) [0,6 ponto]
O gra´fico de λ × θ, para λ0 = const > 0, sera´, obviamente, uma seno´ide, com per´ıodo π, como mostra a figura
abaixo:
Claro esta´ que a carga total da semicircunfereˆncia sera´ zero. De fato, por definic¸a˜o, para uma distribuic¸a˜o linear
de carga,
dq = λ dℓ .
No nosso caso, portanto, a carga total na semicircunfereˆncia sera´
Q =
∫
C
λ0 sen (2θ)Rdθ
=
1
2
λ0R
∫ π
θ=0
sen (2θ) d(2θ)
=
1
2
λ0R [− cos(2θ)]|
π
θ=0 ,
ou seja,
Q = 0 ,
como quer´ıamos demonstrar.
�
1
(b) [1,5 ponto]
O campo ele´trico provocado por um elemento infinitesimal da semicircunfereˆncia e´
d~E = k0
λ dℓ
R2
(−rˆ) .
Como a func¸a˜o λ e´ uma func¸a˜o “´ımpar”, em torno de θ = π/2, o campo ele´trico resultante, no centro da semicir-
cunfereˆncia, sera´ ao longo do eixo X e so´ temos de nos preocupar em calcular a componente x da expressa˜o acima;
ou seja,
dEx = d~E · xˆ
= −k0
λ0
R
sen (2θ) dθ rˆ · xˆ
= −k0
λ0
R
sen (2θ) dθ cos θ
= −k0
λ0
R
2 sen θ cos θ cos θ dθ
= −2k0
λ0
R
cos2 θ sen θ dθ
= 2k0
λ0
R
cos2 θ d(cos θ) .
Logo,
Ex = 2k0
λ0
R
∫ π
θ=0
cos2 θ d(cos θ)
= 2k0
λ0
R
[
cos3 θ
3
]∣∣∣∣
π
θ=0
.
Portanto,
~E = −
4k0λ0
3R
xˆ .
�
(c) [0,5 ponto]
O potencial eletrosta´tico, provocado por um elemento infinitesimal da semicircunfereˆncia e´
dV = k0
dq
r
.
Como todos os pontos da semicircunfereˆncia esta˜o a` mesma distaˆncia de seu centro, e´ imediato e trivial que,
tomando o potencial como zero no infinito, que esta´ implic´ıcito, enta˜o o potencial em seu centro sera´
V = k0
Q
R
;
como, conforme o item (a), a carga total e´ zero, o potencial no centro sera´ tambe´m zero:
V = 0 .
�
2
2. Resoluc¸a˜o:
(a) [0,6 ponto]
Isto e´ um problema t´ıpico e trivial de lei de Biot-Savart. Um elemento infinitesimal t´ıpico do anel gera o seguinte
campo magne´tico em seu centro
d~B =
µ0
4π
i d~ℓ× rˆ
r2
=
µ0
4π
iR dϕ ϕˆ× (−rˆ)
R2
=
µ0
4π
i dϕ
R
zˆ .
Logo, devido ao anel completo, temos
~B =
µ0i
2R
zˆ . (1)
�
(b) [1,0 ponto]
A coroa circular pode ser imaginada como uma superposic¸a˜o de va´rios ane´is circulares conceˆnricos, coplanares,
cada um deles com espessura dr, raio r e corrente ele´trica estaciona´ria de intensidade dI. O correspondente campo
magne´tico, conforme (1), sera´, pois,
d~B =
µ0 dI
2r
zˆ .
Ora, como a corrente total I esta´ uniformemente distribu´ıda ao longo das direc¸o˜es radiais, a corrente dI pode ser
determinada pela regra de treˆs:
I b− a
dI dr ,
ou seja,
dI = I
dr
b− a
.
Logo, o campo magne´tico no centro da coroa sera´
~B =
∫ b
r=a
µ0I dr
2(b− a)r
zˆ
=
µ0I
2(b− a)
(∫ b
r=a
dr
r
)
zˆ ,
ou, finalmente,
~B =
µ0I
2(b− a)
ln
(
b
a
)
zˆ .
�
(c) [1,0 ponto]
Uma espira gene´rica (plana), de a´rea A, ao longo da qual flui uma corrente ele´trica de intensidade i, tem o seguinte
vetor momento de dipolo magne´tico
~µ = IA nˆ ,
3
onde nˆ e´ o versor orientado (segundo a regra da ma˜o direita) normal a` superf´ıcie. Enta˜o, em nosso caso,supomos,
novamente, a coroa como uma superposic¸a˜o de ane´is circulares, conceˆntricos, coplanares, cada um dos quais com
momento de dipolo dado por
d~µ = dI A zˆ
= I
dr
b− a
πr2 zˆ
=
πI
b− a
r2 dr zˆ .
Logo, o momento de dipolo magne´tico total da coroa sera´
~µ =
∫ b
r=a
πI
b− a
r2 dr zˆ
=
πI
b− a
(
r3
3
)∣∣∣∣
b
r=a
,
ou, finalmente,
~µ =
πI
3
b3 − a3
b− a
zˆ =
πI
3
(
a2 + ab+ b2
)
zˆ .
�
4
Universidade Federal do Rio de Janeiro – Instituto de F´ısica
F´ısica III – 2014/1 – Segunda Chamada: 11/06/2014
Versa˜o: E
Formula´rio
~F e = q ~E , ~E = k0
q
r2
rˆ
(
k0 =
1
4πε0
)
,
∮
S
~E ·d~A =
Qint
ε0
, ~E = − ~∇V , V = k0
q
r
,
U = k0
qq′
r
, C = Q/V , uE =
1
2
ε0E
2 , I =
∫
S
~J ·d~A , ~J = nq~v , V = RI , P = V I ,
~Fm = q~v × ~B , d~Fm = Id~ℓ× ~B ,
∮
S
~B ·d~A = 0 , ~B =
µ0
4π
∮
C
Id~ℓ× rˆ
r2
,
∮
C
~B · d~ℓ = µ0Ienc + µ0ǫ0
dΦ~E
dt
, Eind = −
dΦ~B
dt
, Φ~B = LI , uB =
1
2
B2
µ0
ε0 = 8,85× 10
−12 F/m , G = 6,67× 10−11 N·m2/kg2 , mp = 1,67× 10
−27 kg , me = 9,11× 10
−31 kg
sen (2θ) = 2 sen θ cos θ
Sec¸a˜o 1. Mu´ltipla escolha (8×0,6 = 4,8 pontos)
1. Considere as seguintes afirmac¸o˜es: (I) A diferenc¸a de
potencial (ddp) entre dois pontos esta´ associada a` in-
tegral de linha de um campo eletrosta´tico conserva-
tivo entre esses pontos e, como tal, seu valor depende
do caminho entre tais pontos. (II) A forc¸a eletromo-
triz (fem) ideal e´ responsa´vel, em um circuito dissipa-
tivo, pela manutenc¸a˜o de uma corrente estaciona´ria,
via a realizac¸a˜o de um trabalho diferente de zero ao
longo do circuito fechado. (III) Tanto a ddp como a
fem medem-se, no SI, em volts. Qual(is) e´(sa˜o) a(s)
afirmac¸a˜o(o˜es) correta(s)?
(a) Somente a I.
(b) Somente a II.
(c) Somente a III.
(d) Somente a I e a II.
(e) Somente a I e a III.
(f) Somente a II e a III.
(g) Todas.
(h) Nenhuma.
2. Analise as seguintes afirmativas: (I) Um corpo carre-
gado positivamente nunca pode atrair eletricamente
outro corpo carregado positivamente. (II) A carga
ele´trica, assim como a massa, e´ conservada e quan-
tizada. (III) A forc¸a eletrosta´tica entre um pro´ton
e um ele´tron e´ cerca de 1040 vezes maior que a
forc¸a gravitacional newtoniana. Qual(is) e´(sa˜o) ver-
dadeira(s)?
(a) Todas.
(b) Apenas a I e a II.
(c) Apenas a I e a III.
(d) Apenas a II e a III.
(e) Apenas a I.
(f) Apenas a II.
(g) Apenas a III.
(h) Nenhuma.
1
3. Considere os seguintes sistemas: (I) Segmento re-
til´ıneo (finito) com densidade linear de carga cons-
tante (estaciona´ria e uniforme). (II) Casca esfe´rica
com densidade superficial de carga uniforme, em
pulsac¸a˜o radial. (III) Superf´ıcie quadrada com densi-
dade volumar de carga constante (estaciona´ria e uni-
forme). Para qual desses sistemas pode-se aplicar a lei
de Gauss para determinar o campo ele´trico resultante
em um ponto arbitra´rio do espac¸o?
(a) Somente o I.
(b) Somente o II.
(c) Somente o III.
(d) Somente o I e o II.
(e) Somente o I e o III.
(f) Somente o II e o III.
(g) Todos.
(h) Nenhum.
4. Uma curva fechada orientada, C, esta´ contida em
um plano, perfurado por sete fios portando corren-
tes ele´tricas estaciona´rias, com va´rias intensidades e∮
~ ~
5. Considere um condutor macic¸o, com carga total −3Q,
em equil´ıbrio eletrosta´tico, com duas cavidades , C+ e
C−, dentro das quais esta˜o dispostas, respectivamente,
part´ıculas de carga Q e −2Q. Determine as cargas
induzidas nas superf´ıcies S+ e S− de cada cavidade,
assim como na superf´ıcie externa S do condutor.
(a) S+: Q/2; S−: Q/2; S: −4Q .
(b) S+: −Q/2; S−: −Q/2; S: 3Q .
(c) S+: Q; S−: −2Q; S: −2Q .
(d) S+: −Q; S−: 2Q; S: −4Q .
(e) S+: −Q; S−: 2Q; S: −3Q .
6. Diga em qual(is) dos seguintes processos, conforme
descritos com respeito a um dado referencial inercial,
pode surgir uma corrente ele´trica por induc¸a˜o de Fa-2
7. Considere as seguintes afirmac¸o˜es, com respeito a um
referencial inercial dado: (I) Uma part´ıcula carregada
em movimento em um campo magne´tico nunca se-
gue uma trajeto´ria retil´ınea. (II) Quando a forc¸a
magne´tica sobre uma part´ıcula carregada na˜o e´ a forc¸a
resultante, ela pode realizar trabalho ao longo da tra-
jeto´ria real da part´ıcula. (III) A forc¸a magne´tica
sobre uma part´ıcula carregada nunca pode alterar o
mo´dulo da sua velocidade. Qual(is) delas e´(sa˜o) ver-
dadeira(s)?
(a) Somente a I.
(b) Somente a II.
(c) Somente a III.
(d) Somente a I e a II.
(e) Somente a I e a III.
(f) Somente a II e a III.
(g) Todas.
(h) Nenhuma.
8. Considere as seguintes afirmac¸o˜es: (I) Ele´trons ten-
dem a mover-se para regio˜es de potencial maior. (II)
Se o campo eletrosta´tico em um dado ponto e´ zero,
enta˜o o potencial, nesse mesmo ponto, tambe´m e´
zero. (III) O trabalho dispendido para carregar, uni-
formemente em superf´ıcie, uma casca esfe´rica (bi-
dimensional), desde carga inicial zero ate´ carga final
Q e´ maior que o trabalho dispendido para carregar,
uniformemente em volume, uma bola esfe´rica so´lida,
desde carga inicial zero ate´ carga final Q. Qual(is)
e´(sa˜o) a(s) afirmac¸a˜o(o˜es) correta(s)?
(a) Somente a I.
(b) Somente a II.
(c) Somente a III.
(d) Somente a I e a II.
(e) Somente a I e a III.
(f) Somente a II e a III.
(g) Todas.
(h) Nenhuma.
Sec¸a˜o 2. Questo˜es discursivas (2×2,6 = 5,2 pontos)
Todas as respostas devem ter justificativas detalhadas!
1. [2,6 pontos] Uma semicircunfereˆncia de c´ırculo, no plano XY, com raio R e centro em O, esta´ carregada com uma
densidade linear λ(θ) = λ0 sen (2θ) , onde λ0 = const e 0 < θ < π.
(a) Fac¸a um esboc¸o cuidadoso do gra´fico λ×θ, desde θ = 0 ate´ θ = π (supondo, para tanto, que λ0 > 0) e determine
a carga total da semicircunfereˆncia. [0,6 ponto]
(b) Determine o campo ele´trico resultante no centro O da semicircunfereˆncia. [1,5 ponto]
(c) Determine o potencial ele´trico resultante no centro O da semicircunfereˆncia. [0,5 ponto]
Y
X
θ
O
R
2.
3
[2,6 pontos] (a) Considere um anel circular, no
planoXY, de raio R, percorrido por uma cor-
rente estaciona´ria de intensidade i. Determine
o vetor campo magne´tico no centro de tal anel.
[0,6 ponto]
Seja agora uma coroa circular condutora, de
raios interno a e externo b, situada no plano
XY, portando uma corrente ele´trica esta-
ciona´ria de intensidade I, uniformemente dis-
tribu´ıda ao longo de suas direc¸o˜es radiais.
(b) Determine o vetor campo magne´tico no
centro de tal coroa. [1,0 ponto]
(c) Determine o vetor momento de dipolo
magne´tico de tal coroa. [1,0 ponto]
4
Gabarito para Versa˜o E
Sec¸a˜o 1. Mu´ltipla escolha (8×0,6 = 4,8 pontos)
1. (f)
2. (g)
3. (b)
4. (h)
5. (d)
6. (e)
7. (c)
8. (a)
Sec¸a˜o 2. Questo˜es discursivas (2×2,6 = 5,2 pontos)
1. Resoluc¸a˜o:
(a) [0,6 ponto]
O gra´fico de λ × θ, para λ0 = const > 0, sera´, obviamente, uma seno´ide, com per´ıodo π, como mostra a figura
abaixo:
Claro esta´ que a carga total da semicircunfereˆncia sera´ zero. De fato, por definic¸a˜o, para uma distribuic¸a˜o linear
de carga,
dq = λ dℓ .
No nosso caso, portanto, a carga total na semicircunfereˆncia sera´
Q =
∫
C
λ0 sen (2θ)Rdθ
=
1
2
λ0R
∫ π
θ=0
sen (2θ) d(2θ)
=
1
2
λ0R [− cos(2θ)]|
π
θ=0 ,
ou seja,
Q = 0 ,
como quer´ıamos demonstrar.
�
1
(b) [1,5 ponto]
O campo ele´trico provocado por um elemento infinitesimal da semicircunfereˆncia e´
d~E = k0
λ dℓ
R2
(−rˆ) .
Como a func¸a˜o λ e´ uma func¸a˜o “´ımpar”, em torno de θ = π/2, o campo ele´trico resultante, no centro da semicir-
cunfereˆncia, sera´ ao longo do eixo X e so´ temos de nos preocupar em calculara componente x da expressa˜o acima;
ou seja,
dEx = d~E · xˆ
= −k0
λ0
R
sen (2θ) dθ rˆ · xˆ
= −k0
λ0
R
sen (2θ) dθ cos θ
= −k0
λ0
R
2 sen θ cos θ cos θ dθ
= −2k0
λ0
R
cos2 θ sen θ dθ
= 2k0
λ0
R
cos2 θ d(cos θ) .
Logo,
Ex = 2k0
λ0
R
∫ π
θ=0
cos2 θ d(cos θ)
= 2k0
λ0
R
[
cos3 θ
3
]∣∣∣∣
π
θ=0
.
Portanto,
~E = −
4k0λ0
3R
xˆ .
�
(c) [0,5 ponto]
O potencial eletrosta´tico, provocado por um elemento infinitesimal da semicircunfereˆncia e´
dV = k0
dq
r
.
Como todos os pontos da semicircunfereˆncia esta˜o a` mesma distaˆncia de seu centro, e´ imediato e trivial que,
tomando o potencial como zero no infinito, que esta´ implic´ıcito, enta˜o o potencial em seu centro sera´
V = k0
Q
R
;
como, conforme o item (a), a carga total e´ zero, o potencial no centro sera´ tambe´m zero:
V = 0 .
�
2
2. Resoluc¸a˜o:
(a) [0,6 ponto]
Isto e´ um problema t´ıpico e trivial de lei de Biot-Savart. Um elemento infinitesimal t´ıpico do anel gera o seguinte
campo magne´tico em seu centro
d~B =
µ0
4π
i d~ℓ× rˆ
r2
=
µ0
4π
iR dϕ ϕˆ× (−rˆ)
R2
=
µ0
4π
i dϕ
R
zˆ .
Logo, devido ao anel completo, temos
~B =
µ0i
2R
zˆ . (1)
�
(b) [1,0 ponto]
A coroa circular pode ser imaginada como uma superposic¸a˜o de va´rios ane´is circulares conceˆnricos, coplanares,
cada um deles com espessura dr, raio r e corrente ele´trica estaciona´ria de intensidade dI. O correspondente campo
magne´tico, conforme (1), sera´, pois,
d~B =
µ0 dI
2r
zˆ .
Ora, como a corrente total I esta´ uniformemente distribu´ıda ao longo das direc¸o˜es radiais, a corrente dI pode ser
determinada pela regra de treˆs:
I b− a
dI dr ,
ou seja,
dI = I
dr
b− a
.
Logo, o campo magne´tico no centro da coroa sera´
~B =
∫ b
r=a
µ0I dr
2(b− a)r
zˆ
=
µ0I
2(b− a)
(∫ b
r=a
dr
r
)
zˆ ,
ou, finalmente,
~B =
µ0I
2(b− a)
ln
(
b
a
)
zˆ .
�
(c) [1,0 ponto]
Uma espira gene´rica (plana), de a´rea A, ao longo da qual flui uma corrente ele´trica de intensidade i, tem o seguinte
vetor momento de dipolo magne´tico
~µ = IA nˆ ,
3
onde nˆ e´ o versor orientado (segundo a regra da ma˜o direita) normal a` superf´ıcie. Enta˜o, em nosso caso, supomos,
novamente, a coroa como uma superposic¸a˜o de ane´is circulares, conceˆntricos, coplanares, cada um dos quais com
momento de dipolo dado por
d~µ = dI A zˆ
= I
dr
b− a
πr2 zˆ
=
πI
b− a
r2 dr zˆ .
Logo, o momento de dipolo magne´tico total da coroa sera´
~µ =
∫ b
r=a
πI
b− a
r2 dr zˆ
=
πI
b− a
(
r3
3
)∣∣∣∣
b
r=a
,
ou, finalmente,
~µ =
πI
3
b3 − a3
b− a
zˆ =
πI
3
(
a2 + ab+ b2
)
zˆ .
�
4
Universidade Federal do Rio de Janeiro – Instituto de F´ısica
F´ısica III – 2014/1 – Segunda Chamada: 11/06/2014
Versa˜o: F
Formula´rio
~F e = q ~E , ~E = k0
q
r2
rˆ
(
k0 =
1
4πε0
)
,
∮
S
~E ·d~A =
Qint
ε0
, ~E = − ~∇V , V = k0
q
r
,
U = k0
qq′
r
, C = Q/V , uE =
1
2
ε0E
2 , I =
∫
S
~J ·d~A , ~J = nq~v , V = RI , P = V I ,
~Fm = q~v × ~B , d~Fm = Id~ℓ× ~B ,
∮
S
~B ·d~A = 0 , ~B =
µ0
4π
∮
C
Id~ℓ× rˆ
r2
,
∮
C
~B · d~ℓ = µ0Ienc + µ0ǫ0
dΦ~E
dt
, Eind = −
dΦ~B
dt
, Φ~B = LI , uB =
1
2
B2
µ0
ε0 = 8,85× 10
−12 F/m , G = 6,67× 10−11 N·m2/kg2 , mp = 1,67× 10
−27 kg , me = 9,11× 10
−31 kg
sen (2θ) = 2 sen θ cos θ
Sec¸a˜o 1. Mu´ltipla escolha (8×0,6 = 4,8 pontos)
1. Considere um condutor macic¸o, com carga total −3Q,
em equil´ıbrio eletrosta´tico, com duas cavidades , C+ e
C−, dentro das quais esta˜o dispostas, respectivamente,
part´ıculas de carga Q e −2Q. Determine as cargas
induzidas nas superf´ıcies S+ e S− de cada cavidade,
assim como na superf´ıcie externa S do condutor.
(a) S+: Q/2; S−: Q/2; S: −4Q .
(b) S+: −Q/2; S−: −Q/2; S: 3Q .
(c) S+: Q; S−: −2Q; S: −2Q .
(d) S+: −Q; S−: 2Q; S: −4Q .
(e) S+: −Q; S−: 2Q; S: −3Q .
2. Considere os seguintes sistemas: (I) Segmento re-
til´ıneo (finito) com densidade linear de carga cons-
tante (estaciona´ria e uniforme). (II) Casca esfe´rica
com densidade superficial de carga uniforme, em
pulsac¸a˜o radial. (III) Superf´ıcie quadrada com densi-
dade volumar de carga constante (estaciona´ria e uni-
forme). Para qual desses sistemas pode-se aplicar a lei
de Gauss para determinar o campo ele´trico resultante
em um ponto arbitra´rio do espac¸o?
(a) Somente o I.
(b) Somente o II.
(c) Somente o III.
(d) Somente o I e o II.
(e) Somente o I e o III.
(f) Somente o II e o III.
(g) Todos.
(h) Nenhum.
1
3. Considere as seguintes afirmac¸o˜es: (I) A diferenc¸a de
potencial (ddp) entre dois pontos esta´ associada a` in-
tegral de linha de um campo eletrosta´tico conserva-
tivo entre esses pontos e, como tal, seu valor depende
do caminho entre tais pontos. (II) A forc¸a eletromo-
triz (fem) ideal e´ responsa´vel, em um circuito dissipa-
tivo, pela manutenc¸a˜o de uma corrente estaciona´ria,
via a realizac¸a˜o de um trabalho diferente de zero ao
longo do circuito fechado. (III) Tanto a ddp como a
fem medem-se, no SI, em volts. Qual(is) e´(sa˜o) a(s)
afirmac¸a˜o(o˜es) correta(s)?
(a) Somente a I.
(b) Somente a II.
(c) Somente a III.
(d) Somente a I e a II.
(e) Somente a I e a III.
(f) Somente a II e a III.
(g) Todas.
(h) Nenhuma.
4. Uma curva fechada orientada, C, esta´ contida em
um plano, perfurado por sete fios portando corren-
tes ele´tricas estaciona´rias, com va´rias intensidades e∮
~ ~
5. Considere as seguintes afirmac¸o˜es: (I) Ele´trons ten-
dem a mover-se para regio˜es de potencial maior. (II)
Se o campo eletrosta´tico em um dado ponto e´ zero,
enta˜o o potencial, nesse mesmo ponto, tambe´m e´
zero. (III) O trabalho dispendido para carregar, uni-
formemente em superf´ıcie, uma casca esfe´rica (bi-
dimensional), desde carga inicial zero ate´ carga final
Q e´ maior que o trabalho dispendido para carregar,
uniformemente em volume, uma bola esfe´rica so´lida,
desde carga inicial zero ate´ carga final Q. Qual(is)
e´(sa˜o) a(s) afirmac¸a˜o(o˜es) correta(s)?
(a) Somente a I.
(b) Somente a II.
(c) Somente a III.
(d) Somente a I e a II.
(e) Somente a I e a III.
(f) Somente a II e a III.
(g) Todas.
(h) Nenhuma.
6. Diga em qual(is) dos seguintes processos, conforme
descritos com respeito a um dado referencial inercial,
pode surgir uma corrente ele´trica por induc¸a˜o de Fa-2
7. Considere as seguintes afirmac¸o˜es, com respeito a um
referencial inercial dado: (I) Uma part´ıcula carregada
em movimento em um campo magne´tico nunca se-
gue uma trajeto´ria retil´ınea. (II) Quando a forc¸a
magne´tica sobre uma part´ıcula carregada na˜o e´ a forc¸a
resultante, ela pode realizar trabalho ao longo da tra-
jeto´ria real da part´ıcula. (III) A forc¸a magne´tica
sobre uma part´ıcula carregada nunca pode alterar o
mo´dulo da sua velocidade. Qual(is) delas e´(sa˜o) ver-
dadeira(s)?
(a) Somente a I.
(b) Somente a II.
(c) Somente a III.
(d) Somente a I e a II.
(e) Somente a I e a III.
(f) Somente a II e a III.
(g) Todas.
(h) Nenhuma.
8. Analise as seguintes afirmativas: (I) Um corpo carre-
gado positivamente nunca pode atrair eletricamente
outro corpo carregado positivamente. (II) A carga
ele´trica, assim como a massa, e´ conservada e quan-
tizada. (III) A forc¸a eletrosta´tica entre um pro´ton
e um ele´tron e´ cerca de 1040 vezes maior que a
forc¸a gravitacional newtoniana. Qual(is) e´(sa˜o) ver-
dadeira(s)?
(a) Todas.
(b) Apenas a I e a II.
(c) Apenas a I e a III.
(d) Apenas a II e a III.
(e) Apenas a I.
(f) Apenas a II.
(g) Apenas a III.
(h) Nenhuma.
Sec¸a˜o 2. Questo˜es discursivas (2×2,6 = 5,2 pontos)Todas as respostas devem ter justificativas detalhadas!
1. [2,6 pontos] Uma semicircunfereˆncia de c´ırculo, no plano XY, com raio R e centro em O, esta´ carregada com uma
densidade linear λ(θ) = λ0 sen (2θ) , onde λ0 = const e 0 < θ < π.
(a) Fac¸a um esboc¸o cuidadoso do gra´fico λ×θ, desde θ = 0 ate´ θ = π (supondo, para tanto, que λ0 > 0) e determine
a carga total da semicircunfereˆncia. [0,6 ponto]
(b) Determine o campo ele´trico resultante no centro O da semicircunfereˆncia. [1,5 ponto]
(c) Determine o potencial ele´trico resultante no centro O da semicircunfereˆncia. [0,5 ponto]
Y
X
θ
O
R
2.
3
[2,6 pontos] (a) Considere um anel circular, no
planoXY, de raio R, percorrido por uma cor-
rente estaciona´ria de intensidade i. Determine
o vetor campo magne´tico no centro de tal anel.
[0,6 ponto]
Seja agora uma coroa circular condutora, de
raios interno a e externo b, situada no plano
XY, portando uma corrente ele´trica esta-
ciona´ria de intensidade I, uniformemente dis-
tribu´ıda ao longo de suas direc¸o˜es radiais.
(b) Determine o vetor campo magne´tico no
centro de tal coroa. [1,0 ponto]
(c) Determine o vetor momento de dipolo
magne´tico de tal coroa. [1,0 ponto]
4
Gabarito para Versa˜o F
Sec¸a˜o 1. Mu´ltipla escolha (8×0,6 = 4,8 pontos)
1. (d)
2. (b)
3. (f)
4. (h)
5. (a)
6. (e)
7. (c)
8. (g)
Sec¸a˜o 2. Questo˜es discursivas (2×2,6 = 5,2 pontos)
1. Resoluc¸a˜o:
(a) [0,6 ponto]
O gra´fico de λ × θ, para λ0 = const > 0, sera´, obviamente, uma seno´ide, com per´ıodo π, como mostra a figura
abaixo:
Claro esta´ que a carga total da semicircunfereˆncia sera´ zero. De fato, por definic¸a˜o, para uma distribuic¸a˜o linear
de carga,
dq = λ dℓ .
No nosso caso, portanto, a carga total na semicircunfereˆncia sera´
Q =
∫
C
λ0 sen (2θ)Rdθ
=
1
2
λ0R
∫ π
θ=0
sen (2θ) d(2θ)
=
1
2
λ0R [− cos(2θ)]|
π
θ=0 ,
ou seja,
Q = 0 ,
como quer´ıamos demonstrar.
�
1
(b) [1,5 ponto]
O campo ele´trico provocado por um elemento infinitesimal da semicircunfereˆncia e´
d~E = k0
λ dℓ
R2
(−rˆ) .
Como a func¸a˜o λ e´ uma func¸a˜o “´ımpar”, em torno de θ = π/2, o campo ele´trico resultante, no centro da semicir-
cunfereˆncia, sera´ ao longo do eixo X e so´ temos de nos preocupar em calcular a componente x da expressa˜o acima;
ou seja,
dEx = d~E · xˆ
= −k0
λ0
R
sen (2θ) dθ rˆ · xˆ
= −k0
λ0
R
sen (2θ) dθ cos θ
= −k0
λ0
R
2 sen θ cos θ cos θ dθ
= −2k0
λ0
R
cos2 θ sen θ dθ
= 2k0
λ0
R
cos2 θ d(cos θ) .
Logo,
Ex = 2k0
λ0
R
∫ π
θ=0
cos2 θ d(cos θ)
= 2k0
λ0
R
[
cos3 θ
3
]∣∣∣∣
π
θ=0
.
Portanto,
~E = −
4k0λ0
3R
xˆ .
�
(c) [0,5 ponto]
O potencial eletrosta´tico, provocado por um elemento infinitesimal da semicircunfereˆncia e´
dV = k0
dq
r
.
Como todos os pontos da semicircunfereˆncia esta˜o a` mesma distaˆncia de seu centro, e´ imediato e trivial que,
tomando o potencial como zero no infinito, que esta´ implic´ıcito, enta˜o o potencial em seu centro sera´
V = k0
Q
R
;
como, conforme o item (a), a carga total e´ zero, o potencial no centro sera´ tambe´m zero:
V = 0 .
�
2
2. Resoluc¸a˜o:
(a) [0,6 ponto]
Isto e´ um problema t´ıpico e trivial de lei de Biot-Savart. Um elemento infinitesimal t´ıpico do anel gera o seguinte
campo magne´tico em seu centro
d~B =
µ0
4π
i d~ℓ× rˆ
r2
=
µ0
4π
iR dϕ ϕˆ× (−rˆ)
R2
=
µ0
4π
i dϕ
R
zˆ .
Logo, devido ao anel completo, temos
~B =
µ0i
2R
zˆ . (1)
�
(b) [1,0 ponto]
A coroa circular pode ser imaginada como uma superposic¸a˜o de va´rios ane´is circulares conceˆnricos, coplanares,
cada um deles com espessura dr, raio r e corrente ele´trica estaciona´ria de intensidade dI. O correspondente campo
magne´tico, conforme (1), sera´, pois,
d~B =
µ0 dI
2r
zˆ .
Ora, como a corrente total I esta´ uniformemente distribu´ıda ao longo das direc¸o˜es radiais, a corrente dI pode ser
determinada pela regra de treˆs:
I b− a
dI dr ,
ou seja,
dI = I
dr
b− a
.
Logo, o campo magne´tico no centro da coroa sera´
~B =
∫ b
r=a
µ0I dr
2(b− a)r
zˆ
=
µ0I
2(b− a)
(∫ b
r=a
dr
r
)
zˆ ,
ou, finalmente,
~B =
µ0I
2(b− a)
ln
(
b
a
)
zˆ .
�
(c) [1,0 ponto]
Uma espira gene´rica (plana), de a´rea A, ao longo da qual flui uma corrente ele´trica de intensidade i, tem o seguinte
vetor momento de dipolo magne´tico
~µ = IA nˆ ,
3
onde nˆ e´ o versor orientado (segundo a regra da ma˜o direita) normal a` superf´ıcie. Enta˜o, em nosso caso, supomos,
novamente, a coroa como uma superposic¸a˜o de ane´is circulares, conceˆntricos, coplanares, cada um dos quais com
momento de dipolo dado por
d~µ = dI A zˆ
= I
dr
b− a
πr2 zˆ
=
πI
b− a
r2 dr zˆ .
Logo, o momento de dipolo magne´tico total da coroa sera´
~µ =
∫ b
r=a
πI
b− a
r2 dr zˆ
=
πI
b− a
(
r3
3
)∣∣∣∣
b
r=a
,
ou, finalmente,
~µ =
πI
3
b3 − a3
b− a
zˆ =
πI
3
(
a2 + ab+ b2
)
zˆ .
�
4

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