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Universidade Federal do Rio de Janeiro – Instituto de F´ısica F´ısica III – 2014/1 – Segunda Chamada: 11/06/2014 Versa˜o: A Formula´rio ~F e = q ~E , ~E = k0 q r2 rˆ ( k0 = 1 4πε0 ) , ∮ S ~E ·d~A = Qint ε0 , ~E = − ~∇V , V = k0 q r , U = k0 qq′ r , C = Q/V , uE = 1 2 ε0E 2 , I = ∫ S ~J ·d~A , ~J = nq~v , V = RI , P = V I , ~Fm = q~v × ~B , d~Fm = Id~ℓ× ~B , ∮ S ~B ·d~A = 0 , ~B = µ0 4π ∮ C Id~ℓ× rˆ r2 , ∮ C ~B · d~ℓ = µ0Ienc + µ0ǫ0 dΦ~E dt , Eind = − dΦ~B dt , Φ~B = LI , uB = 1 2 B2 µ0 ε0 = 8,85× 10 −12 F/m , G = 6,67× 10−11 N·m2/kg2 , mp = 1,67× 10 −27 kg , me = 9,11× 10 −31 kg sen (2θ) = 2 sen θ cos θ Sec¸a˜o 1. Mu´ltipla escolha (8×0,6 = 4,8 pontos) 1. Diga em qual(is) dos seguintes processos, conforme descritos com respeito a um dado referencial inercial, pode surgir uma corrente ele´trica por induc¸a˜o de Fa- raday em um circuito r´ıgido condutor: (I) O circuito e´ mantido em repouso, imerso dentro de um campo magne´tico na˜o estaciona´rio. (II) O circuito translada- se em um campo magne´tico estaciona´rio e uniforme. (III) O circuito gira dentro de um campo magne´tico estaciona´rio e uniforme. (a) Apenas em I. (b) Apenas em II. (c) Apenas em III. (d) Apenas em I e II. (e) Apenas em I e III. (f) Apenas em II e III. (g) Em todos. (h) Em nenhum. 2. Analise as seguintes afirmativas: (I) Um corpo carre- gado positivamente nunca pode atrair eletricamente outro corpo carregado positivamente. (II) A carga ele´trica, assim como a massa, e´ conservada e quan- tizada. (III) A forc¸a eletrosta´tica entre um pro´ton e um ele´tron e´ cerca de 1040 vezes maior que a forc¸a gravitacional newtoniana. Qual(is) e´(sa˜o) ver- dadeira(s)? (a) Todas. (b) Apenas a I e a II. (c) Apenas a I e a III. (d) Apenas a II e a III. (e) Apenas a I. (f) Apenas a II. (g) Apenas a III. (h) Nenhuma. 1 3. Considere as seguintes afirmac¸o˜es: (I) Ele´trons ten- dem a mover-se para regio˜es de potencial maior. (II) Se o campo eletrosta´tico em um dado ponto e´ zero, enta˜o o potencial, nesse mesmo ponto, tambe´m e´ zero. (III) O trabalho dispendido para carregar, uni- formemente em superf´ıcie, uma casca esfe´rica (bi- dimensional), desde carga inicial zero ate´ carga final Q e´ maior que o trabalho dispendido para carregar, uniformemente em volume, uma bola esfe´rica so´lida, desde carga inicial zero ate´ carga final Q. Qual(is) e´(sa˜o) a(s) afirmac¸a˜o(o˜es) correta(s)? (a) Somente a I. (b) Somente a II. (c) Somente a III. (d) Somente a I e a II. (e) Somente a I e a III. (f) Somente a II e a III. (g) Todas. (h) Nenhuma. 4. Considere um condutor macic¸o, com carga total −3Q, em equil´ıbrio eletrosta´tico, com duas cavidades , C+ e C−, dentro das quais esta˜o dispostas, respectivamente, 5. Considere as seguintes afirmac¸o˜es: (I) A diferenc¸a de potencial (ddp) entre dois pontos esta´ associada a` in- tegral de linha de um campo eletrosta´tico conserva- tivo entre esses pontos e, como tal, seu valor depende do caminho entre tais pontos. (II) A forc¸a eletromo- triz (fem) ideal e´ responsa´vel, em um circuito dissipa- tivo, pela manutenc¸a˜o de uma corrente estaciona´ria, via a realizac¸a˜o de um trabalho diferente de zero ao longo do circuito fechado. (III) Tanto a ddp como a fem medem-se, no SI, em volts. Qual(is) e´(sa˜o) a(s) afirmac¸a˜o(o˜es) correta(s)? (a) Somente a I. (b) Somente a II. (c) Somente a III. (d) Somente a I e a II. (e) Somente a I e a III. (f) Somente a II e a III. (g) Todas. (h) Nenhuma. 6. Considere as seguintes afirmac¸o˜es, com respeito a um referencial inercial dado: (I) Uma part´ıcula carregada em movimento em um campo magne´tico nunca se-2 7. Uma curva fechada orientada, C, esta´ contida em um plano, perfurado por sete fios portando corren- tes ele´tricas estaciona´rias, com va´rias intensidades e orientac¸o˜es. Qual e´ a circulac¸a˜o ∮ C ~B · d~ℓ ao longo de tal curva? (a) 0 . (b) 14µ0 A . (c) 8µ0 A . (d) −8µ0 A . (e) 2µ0 A . (f) −2µ0 A . (g) 4µ0 A . (h) −4µ0 A . 8. Considere os seguintes sistemas: (I) Segmento re- til´ıneo (finito) com densidade linear de carga cons- tante (estaciona´ria e uniforme). (II) Casca esfe´rica com densidade superficial de carga uniforme, em pulsac¸a˜o radial. (III) Superf´ıcie quadrada com densi- dade volumar de carga constante (estaciona´ria e uni- forme). Para qual desses sistemas pode-se aplicar a lei de Gauss para determinar o campo ele´trico resultante em um ponto arbitra´rio do espac¸o? (a) Somente o I. (b) Somente o II. (c) Somente o III. (d) Somente o I e o II. (e) Somente o I e o III. (f) Somente o II e o III. (g) Todos. (h) Nenhum. 3 Sec¸a˜o 2. Questo˜es discursivas (2×2,6 = 5,2 pontos) Todas as respostas devem ter justificativas detalhadas! 1. [2,6 pontos] Uma semicircunfereˆncia de c´ırculo, no plano XY, com raio R e centro em O, esta´ carregada com uma densidade linear λ(θ) = λ0 sen (2θ) , onde λ0 = const e 0 < θ < π. (a) Fac¸a um esboc¸o cuidadoso do gra´fico λ×θ, desde θ = 0 ate´ θ = π (supondo, para tanto, que λ0 > 0) e determine a carga total da semicircunfereˆncia. [0,6 ponto] (b) Determine o campo ele´trico resultante no centro O da semicircunfereˆncia. [1,5 ponto] (c) Determine o potencial ele´trico resultante no centro O da semicircunfereˆncia. [0,5 ponto] Y X θ O R 2. [2,6 pontos] (a) Considere um anel circular, no planoXY, de raio R, percorrido por uma cor- rente estaciona´ria de intensidade i. Determine o vetor campo magne´tico no centro de tal anel. [0,6 ponto] Seja agora uma coroa circular condutora, de raios interno a e externo b, situada no plano XY, portando uma corrente ele´trica esta- ciona´ria de intensidade I, uniformemente dis- tribu´ıda ao longo de suas direc¸o˜es radiais. (b) Determine o vetor campo magne´tico no centro de tal coroa. [1,0 ponto] (c) Determine o vetor momento de dipolo magne´tico de tal coroa. [1,0 ponto] 4 Gabarito para Versa˜o A Sec¸a˜o 1. Mu´ltipla escolha (8×0,6 = 4,8 pontos) 1. (e) 2. (g) 3. (a) 4. (d) 5. (f) 6. (c) 7. (h) 8. (b) Sec¸a˜o 2. Questo˜es discursivas (2×2,6 = 5,2 pontos) 1. Resoluc¸a˜o: (a) [0,6 ponto] O gra´fico de λ × θ, para λ0 = const > 0, sera´, obviamente, uma seno´ide, com per´ıodo π, como mostra a figura abaixo: Claro esta´ que a carga total da semicircunfereˆncia sera´ zero. De fato, por definic¸a˜o, para uma distribuic¸a˜o linear de carga, dq = λ dℓ . No nosso caso, portanto, a carga total na semicircunfereˆncia sera´ Q = ∫ C λ0 sen (2θ)Rdθ = 1 2 λ0R ∫ π θ=0 sen (2θ) d(2θ) = 1 2 λ0R [− cos(2θ)]| π θ=0 , ou seja, Q = 0 , como quer´ıamos demonstrar. � 1 (b) [1,5 ponto] O campo ele´trico provocado por um elemento infinitesimal da semicircunfereˆncia e´ d~E = k0 λ dℓ R2 (−rˆ) . Como a func¸a˜o λ e´ uma func¸a˜o “´ımpar”, em torno de θ = π/2, o campo ele´trico resultante, no centro da semicir- cunfereˆncia, sera´ ao longo do eixo X e so´ temos de nos preocupar em calcular a componente x da expressa˜o acima; ou seja, dEx = d~E · xˆ = −k0 λ0 R sen (2θ) dθ rˆ · xˆ = −k0 λ0 R sen (2θ) dθ cos θ = −k0 λ0 R 2 sen θ cos θ cos θ dθ = −2k0 λ0 R cos2 θ sen θ dθ = 2k0 λ0 R cos2 θ d(cos θ) . Logo, Ex = 2k0 λ0 R ∫ π θ=0 cos2 θ d(cos θ) = 2k0 λ0 R [ cos3 θ 3 ]∣∣∣∣ π θ=0 . Portanto, ~E = − 4k0λ0 3R xˆ . � (c) [0,5 ponto] O potencial eletrosta´tico, provocado por um elemento infinitesimal da semicircunfereˆncia e´ dV = k0 dq r . Como todos os pontos da semicircunfereˆncia esta˜o a` mesma distaˆncia de seu centro, e´ imediato e trivial que, tomandoo potencial como zero no infinito, que esta´ implic´ıcito, enta˜o o potencial em seu centro sera´ V = k0 Q R ; como, conforme o item (a), a carga total e´ zero, o potencial no centro sera´ tambe´m zero: V = 0 . � 2 2. Resoluc¸a˜o: (a) [0,6 ponto] Isto e´ um problema t´ıpico e trivial de lei de Biot-Savart. Um elemento infinitesimal t´ıpico do anel gera o seguinte campo magne´tico em seu centro d~B = µ0 4π i d~ℓ× rˆ r2 = µ0 4π iR dϕ ϕˆ× (−rˆ) R2 = µ0 4π i dϕ R zˆ . Logo, devido ao anel completo, temos ~B = µ0i 2R zˆ . (1) � (b) [1,0 ponto] A coroa circular pode ser imaginada como uma superposic¸a˜o de va´rios ane´is circulares conceˆnricos, coplanares, cada um deles com espessura dr, raio r e corrente ele´trica estaciona´ria de intensidade dI. O correspondente campo magne´tico, conforme (1), sera´, pois, d~B = µ0 dI 2r zˆ . Ora, como a corrente total I esta´ uniformemente distribu´ıda ao longo das direc¸o˜es radiais, a corrente dI pode ser determinada pela regra de treˆs: I b− a dI dr , ou seja, dI = I dr b− a . Logo, o campo magne´tico no centro da coroa sera´ ~B = ∫ b r=a µ0I dr 2(b− a)r zˆ = µ0I 2(b− a) (∫ b r=a dr r ) zˆ , ou, finalmente, ~B = µ0I 2(b− a) ln ( b a ) zˆ . � (c) [1,0 ponto] Uma espira gene´rica (plana), de a´rea A, ao longo da qual flui uma corrente ele´trica de intensidade i, tem o seguinte vetor momento de dipolo magne´tico ~µ = IA nˆ , 3 onde nˆ e´ o versor orientado (segundo a regra da ma˜o direita) normal a` superf´ıcie. Enta˜o, em nosso caso, supomos, novamente, a coroa como uma superposic¸a˜o de ane´is circulares, conceˆntricos, coplanares, cada um dos quais com momento de dipolo dado por d~µ = dI A zˆ = I dr b− a πr2 zˆ = πI b− a r2 dr zˆ . Logo, o momento de dipolo magne´tico total da coroa sera´ ~µ = ∫ b r=a πI b− a r2 dr zˆ = πI b− a ( r3 3 )∣∣∣∣ b r=a , ou, finalmente, ~µ = πI 3 b3 − a3 b− a zˆ = πI 3 ( a2 + ab+ b2 ) zˆ . � 4 Universidade Federal do Rio de Janeiro – Instituto de F´ısica F´ısica III – 2014/1 – Segunda Chamada: 11/06/2014 Versa˜o: B Formula´rio ~F e = q ~E , ~E = k0 q r2 rˆ ( k0 = 1 4πε0 ) , ∮ S ~E ·d~A = Qint ε0 , ~E = − ~∇V , V = k0 q r , U = k0 qq′ r , C = Q/V , uE = 1 2 ε0E 2 , I = ∫ S ~J ·d~A , ~J = nq~v , V = RI , P = V I , ~Fm = q~v × ~B , d~Fm = Id~ℓ× ~B , ∮ S ~B ·d~A = 0 , ~B = µ0 4π ∮ C Id~ℓ× rˆ r2 , ∮ C ~B · d~ℓ = µ0Ienc + µ0ǫ0 dΦ~E dt , Eind = − dΦ~B dt , Φ~B = LI , uB = 1 2 B2 µ0 ε0 = 8,85× 10 −12 F/m , G = 6,67× 10−11 N·m2/kg2 , mp = 1,67× 10 −27 kg , me = 9,11× 10 −31 kg sen (2θ) = 2 sen θ cos θ Sec¸a˜o 1. Mu´ltipla escolha (8×0,6 = 4,8 pontos) 1. Diga em qual(is) dos seguintes processos, conforme descritos com respeito a um dado referencial inercial, pode surgir uma corrente ele´trica por induc¸a˜o de Fa- raday em um circuito r´ıgido condutor: (I) O circuito e´ mantido em repouso, imerso dentro de um campo magne´tico na˜o estaciona´rio. (II) O circuito translada- se em um campo magne´tico estaciona´rio e uniforme. (III) O circuito gira dentro de um campo magne´tico estaciona´rio e uniforme. (a) Apenas em I. (b) Apenas em II. (c) Apenas em III. (d) Apenas em I e II. (e) Apenas em I e III. (f) Apenas em II e III. (g) Em todos. (h) Em nenhum. 2. Considere as seguintes afirmac¸o˜es, com respeito a um referencial inercial dado: (I) Uma part´ıcula carregada em movimento em um campo magne´tico nunca se- gue uma trajeto´ria retil´ınea. (II) Quando a forc¸a magne´tica sobre uma part´ıcula carregada na˜o e´ a forc¸a resultante, ela pode realizar trabalho ao longo da tra- jeto´ria real da part´ıcula. (III) A forc¸a magne´tica sobre uma part´ıcula carregada nunca pode alterar o mo´dulo da sua velocidade. Qual(is) delas e´(sa˜o) ver- dadeira(s)? (a) Somente a I. (b) Somente a II. (c) Somente a III. (d) Somente a I e a II. (e) Somente a I e a III. (f) Somente a II e a III. (g) Todas. (h) Nenhuma. 1 3. Analise as seguintes afirmativas: (I) Um corpo carre- gado positivamente nunca pode atrair eletricamente outro corpo carregado positivamente. (II) A carga ele´trica, assim como a massa, e´ conservada e quan- tizada. (III) A forc¸a eletrosta´tica entre um pro´ton e um ele´tron e´ cerca de 1040 vezes maior que a forc¸a gravitacional newtoniana. Qual(is) e´(sa˜o) ver- dadeira(s)? (a) Todas. (b) Apenas a I e a II. (c) Apenas a I e a III. (d) Apenas a II e a III. (e) Apenas a I. (f) Apenas a II. (g) Apenas a III. (h) Nenhuma. 4. Considere as seguintes afirmac¸o˜es: (I) Ele´trons ten- dem a mover-se para regio˜es de potencial maior. (II) Se o campo eletrosta´tico em um dado ponto e´ zero, 5. Considere um condutor macic¸o, com carga total −3Q, em equil´ıbrio eletrosta´tico, com duas cavidades , C+ e C−, dentro das quais esta˜o dispostas, respectivamente, part´ıculas de carga Q e −2Q. Determine as cargas induzidas nas superf´ıcies S+ e S− de cada cavidade, assim como na superf´ıcie externa S do condutor. (a) S+: Q/2; S−: Q/2; S: −4Q . (b) S+: −Q/2; S−: −Q/2; S: 3Q . (c) S+: Q; S−: −2Q; S: −2Q . (d) S+: −Q; S−: 2Q; S: −4Q . (e) S+: −Q; S−: 2Q; S: −3Q . 6. Uma curva fechada orientada, C, esta´ contida em um plano, perfurado por sete fios portando corren- tes ele´tricas estaciona´rias, com va´rias intensidades e∮ ~ ~ 2 7. Considere as seguintes afirmac¸o˜es: (I) A diferenc¸a de potencial (ddp) entre dois pontos esta´ associada a` in- tegral de linha de um campo eletrosta´tico conserva- tivo entre esses pontos e, como tal, seu valor depende do caminho entre tais pontos. (II) A forc¸a eletromo- triz (fem) ideal e´ responsa´vel, em um circuito dissipa- tivo, pela manutenc¸a˜o de uma corrente estaciona´ria, via a realizac¸a˜o de um trabalho diferente de zero ao longo do circuito fechado. (III) Tanto a ddp como a fem medem-se, no SI, em volts. Qual(is) e´(sa˜o) a(s) afirmac¸a˜o(o˜es) correta(s)? (a) Somente a I. (b) Somente a II. (c) Somente a III. (d) Somente a I e a II. (e) Somente a I e a III. (f) Somente a II e a III. (g) Todas. (h) Nenhuma. 8. Considere os seguintes sistemas: (I) Segmento re- til´ıneo (finito) com densidade linear de carga cons- tante (estaciona´ria e uniforme). (II) Casca esfe´rica com densidade superficial de carga uniforme, em pulsac¸a˜o radial. (III) Superf´ıcie quadrada com densi- dade volumar de carga constante (estaciona´ria e uni- forme). Para qual desses sistemas pode-se aplicar a lei de Gauss para determinar o campo ele´trico resultante em um ponto arbitra´rio do espac¸o? (a) Somente o I. (b) Somente o II. (c) Somente o III. (d) Somente o I e o II. (e) Somente o I e o III. (f) Somente o II e o III. (g) Todos. (h) Nenhum. Sec¸a˜o 2. Questo˜es discursivas (2×2,6 = 5,2 pontos) Todas as respostas devem ter justificativas detalhadas! 1. [2,6 pontos] Uma semicircunfereˆncia de c´ırculo, no plano XY, com raio R e centro em O, esta´ carregada com uma densidade linear λ(θ) = λ0 sen (2θ) , onde λ0 = const e 0 < θ < π. (a) Fac¸a um esboc¸o cuidadoso do gra´fico λ×θ, desde θ = 0 ate´ θ = π (supondo, para tanto, que λ0 > 0) e determine a carga total da semicircunfereˆncia. [0,6 ponto] (b) Determine o campo ele´trico resultante no centro O da semicircunfereˆncia. [1,5 ponto] (c) Determine o potencial ele´trico resultante no centro O da semicircunfereˆncia. [0,5 ponto] Y X θ O R 2. 3 [2,6 pontos] (a) Considere um anel circular, no planoXY, de raio R, percorrido por uma cor- rente estaciona´ria de intensidade i. Determine o vetor campo magne´ticono centro de tal anel. [0,6 ponto] Seja agora uma coroa circular condutora, de raios interno a e externo b, situada no plano XY, portando uma corrente ele´trica esta- ciona´ria de intensidade I, uniformemente dis- tribu´ıda ao longo de suas direc¸o˜es radiais. (b) Determine o vetor campo magne´tico no centro de tal coroa. [1,0 ponto] (c) Determine o vetor momento de dipolo magne´tico de tal coroa. [1,0 ponto] 4 Gabarito para Versa˜o B Sec¸a˜o 1. Mu´ltipla escolha (8×0,6 = 4,8 pontos) 1. (e) 2. (c) 3. (g) 4. (a) 5. (d) 6. (h) 7. (f) 8. (b) Sec¸a˜o 2. Questo˜es discursivas (2×2,6 = 5,2 pontos) 1. Resoluc¸a˜o: (a) [0,6 ponto] O gra´fico de λ × θ, para λ0 = const > 0, sera´, obviamente, uma seno´ide, com per´ıodo π, como mostra a figura abaixo: Claro esta´ que a carga total da semicircunfereˆncia sera´ zero. De fato, por definic¸a˜o, para uma distribuic¸a˜o linear de carga, dq = λ dℓ . No nosso caso, portanto, a carga total na semicircunfereˆncia sera´ Q = ∫ C λ0 sen (2θ)Rdθ = 1 2 λ0R ∫ π θ=0 sen (2θ) d(2θ) = 1 2 λ0R [− cos(2θ)]| π θ=0 , ou seja, Q = 0 , como quer´ıamos demonstrar. � 1 (b) [1,5 ponto] O campo ele´trico provocado por um elemento infinitesimal da semicircunfereˆncia e´ d~E = k0 λ dℓ R2 (−rˆ) . Como a func¸a˜o λ e´ uma func¸a˜o “´ımpar”, em torno de θ = π/2, o campo ele´trico resultante, no centro da semicir- cunfereˆncia, sera´ ao longo do eixo X e so´ temos de nos preocupar em calcular a componente x da expressa˜o acima; ou seja, dEx = d~E · xˆ = −k0 λ0 R sen (2θ) dθ rˆ · xˆ = −k0 λ0 R sen (2θ) dθ cos θ = −k0 λ0 R 2 sen θ cos θ cos θ dθ = −2k0 λ0 R cos2 θ sen θ dθ = 2k0 λ0 R cos2 θ d(cos θ) . Logo, Ex = 2k0 λ0 R ∫ π θ=0 cos2 θ d(cos θ) = 2k0 λ0 R [ cos3 θ 3 ]∣∣∣∣ π θ=0 . Portanto, ~E = − 4k0λ0 3R xˆ . � (c) [0,5 ponto] O potencial eletrosta´tico, provocado por um elemento infinitesimal da semicircunfereˆncia e´ dV = k0 dq r . Como todos os pontos da semicircunfereˆncia esta˜o a` mesma distaˆncia de seu centro, e´ imediato e trivial que, tomando o potencial como zero no infinito, que esta´ implic´ıcito, enta˜o o potencial em seu centro sera´ V = k0 Q R ; como, conforme o item (a), a carga total e´ zero, o potencial no centro sera´ tambe´m zero: V = 0 . � 2 2. Resoluc¸a˜o: (a) [0,6 ponto] Isto e´ um problema t´ıpico e trivial de lei de Biot-Savart. Um elemento infinitesimal t´ıpico do anel gera o seguinte campo magne´tico em seu centro d~B = µ0 4π i d~ℓ× rˆ r2 = µ0 4π iR dϕ ϕˆ× (−rˆ) R2 = µ0 4π i dϕ R zˆ . Logo, devido ao anel completo, temos ~B = µ0i 2R zˆ . (1) � (b) [1,0 ponto] A coroa circular pode ser imaginada como uma superposic¸a˜o de va´rios ane´is circulares conceˆnricos, coplanares, cada um deles com espessura dr, raio r e corrente ele´trica estaciona´ria de intensidade dI. O correspondente campo magne´tico, conforme (1), sera´, pois, d~B = µ0 dI 2r zˆ . Ora, como a corrente total I esta´ uniformemente distribu´ıda ao longo das direc¸o˜es radiais, a corrente dI pode ser determinada pela regra de treˆs: I b− a dI dr , ou seja, dI = I dr b− a . Logo, o campo magne´tico no centro da coroa sera´ ~B = ∫ b r=a µ0I dr 2(b− a)r zˆ = µ0I 2(b− a) (∫ b r=a dr r ) zˆ , ou, finalmente, ~B = µ0I 2(b− a) ln ( b a ) zˆ . � (c) [1,0 ponto] Uma espira gene´rica (plana), de a´rea A, ao longo da qual flui uma corrente ele´trica de intensidade i, tem o seguinte vetor momento de dipolo magne´tico ~µ = IA nˆ , 3 onde nˆ e´ o versor orientado (segundo a regra da ma˜o direita) normal a` superf´ıcie. Enta˜o, em nosso caso, supomos, novamente, a coroa como uma superposic¸a˜o de ane´is circulares, conceˆntricos, coplanares, cada um dos quais com momento de dipolo dado por d~µ = dI A zˆ = I dr b− a πr2 zˆ = πI b− a r2 dr zˆ . Logo, o momento de dipolo magne´tico total da coroa sera´ ~µ = ∫ b r=a πI b− a r2 dr zˆ = πI b− a ( r3 3 )∣∣∣∣ b r=a , ou, finalmente, ~µ = πI 3 b3 − a3 b− a zˆ = πI 3 ( a2 + ab+ b2 ) zˆ . � 4 Universidade Federal do Rio de Janeiro – Instituto de F´ısica F´ısica III – 2014/1 – Segunda Chamada: 11/06/2014 Versa˜o: C Formula´rio ~F e = q ~E , ~E = k0 q r2 rˆ ( k0 = 1 4πε0 ) , ∮ S ~E ·d~A = Qint ε0 , ~E = − ~∇V , V = k0 q r , U = k0 qq′ r , C = Q/V , uE = 1 2 ε0E 2 , I = ∫ S ~J ·d~A , ~J = nq~v , V = RI , P = V I , ~Fm = q~v × ~B , d~Fm = Id~ℓ× ~B , ∮ S ~B ·d~A = 0 , ~B = µ0 4π ∮ C Id~ℓ× rˆ r2 , ∮ C ~B · d~ℓ = µ0Ienc + µ0ǫ0 dΦ~E dt , Eind = − dΦ~B dt , Φ~B = LI , uB = 1 2 B2 µ0 ε0 = 8,85× 10 −12 F/m , G = 6,67× 10−11 N·m2/kg2 , mp = 1,67× 10 −27 kg , me = 9,11× 10 −31 kg sen (2θ) = 2 sen θ cos θ Sec¸a˜o 1. Mu´ltipla escolha (8×0,6 = 4,8 pontos) 1. Considere as seguintes afirmac¸o˜es, com respeito a um referencial inercial dado: (I) Uma part´ıcula carregada em movimento em um campo magne´tico nunca se- gue uma trajeto´ria retil´ınea. (II) Quando a forc¸a magne´tica sobre uma part´ıcula carregada na˜o e´ a forc¸a resultante, ela pode realizar trabalho ao longo da tra- jeto´ria real da part´ıcula. (III) A forc¸a magne´tica sobre uma part´ıcula carregada nunca pode alterar o mo´dulo da sua velocidade. Qual(is) delas e´(sa˜o) ver- dadeira(s)? (a) Somente a I. (b) Somente a II. (c) Somente a III. (d) Somente a I e a II. (e) Somente a I e a III. (f) Somente a II e a III. (g) Todas. (h) Nenhuma. 1 2. Considere as seguintes afirmac¸o˜es: (I) A diferenc¸a de potencial (ddp) entre dois pontos esta´ associada a` in- tegral de linha de um campo eletrosta´tico conserva- tivo entre esses pontos e, como tal, seu valor depende do caminho entre tais pontos. (II) A forc¸a eletromo- triz (fem) ideal e´ responsa´vel, em um circuito dissipa- tivo, pela manutenc¸a˜o de uma corrente estaciona´ria, via a realizac¸a˜o de um trabalho diferente de zero ao longo do circuito fechado. (III) Tanto a ddp como a fem medem-se, no SI, em volts. Qual(is) e´(sa˜o) a(s) afirmac¸a˜o(o˜es) correta(s)? (a) Somente a I. (b) Somente a II. (c) Somente a III. (d) Somente a I e a II. (e) Somente a I e a III. (f) Somente a II e a III. (g) Todas. (h) Nenhuma. 3. Considere as seguintes afirmac¸o˜es: (I) Ele´trons ten- dem a mover-se para regio˜es de potencial maior. (II) Se o campo eletrosta´tico em um dado ponto e´ zero, 4. Diga em qual(is) dos seguintes processos, conforme descritos com respeito a um dado referencial inercial, pode surgir uma corrente ele´trica por induc¸a˜o de Fa- raday em um circuito r´ıgido condutor: (I) O circuito e´ mantido em repouso, imerso dentro de um campo magne´tico na˜o estaciona´rio. (II) O circuito translada- se em um campo magne´tico estaciona´rio e uniforme. (III) O circuito gira dentro de um campo magne´tico estaciona´rio e uniforme. (a) Apenas em I. (b) Apenas em II. (c) Apenas em III. (d) Apenas em I e II. (e) Apenas em I e III. (f) Apenas em II e III. (g) Em todos. (h) Em nenhum. 5. Considere os seguintes sistemas: (I) Segmento re- til´ıneo (finito) com densidade linear de carga cons- tante (estaciona´ria e uniforme). (II) Casca esfe´rica2 6. Uma curva fechada orientada, C, esta´ contida em um plano, perfurado por sete fios portando corren- tes ele´tricas estaciona´rias, com va´rias intensidades e orientac¸o˜es. Qual e´ a circulac¸a˜o ∮ C ~B · d~ℓ ao longo de tal curva? (a) 0 . (b) 14µ0 A . (c) 8µ0 A . (d) −8µ0 A . (e) 2µ0 A . (f) −2µ0 A .(g) 4µ0 A . (h) −4µ0 A . 7. Analise as seguintes afirmativas: (I) Um corpo carre- gado positivamente nunca pode atrair eletricamente outro corpo carregado positivamente. (II) A carga ele´trica, assim como a massa, e´ conservada e quan- tizada. (III) A forc¸a eletrosta´tica entre um pro´ton e um ele´tron e´ cerca de 1040 vezes maior que a forc¸a gravitacional newtoniana. Qual(is) e´(sa˜o) ver- dadeira(s)? (a) Todas. (b) Apenas a I e a II. (c) Apenas a I e a III. (d) Apenas a II e a III. (e) Apenas a I. (f) Apenas a II. (g) Apenas a III. (h) Nenhuma. 8. Considere um condutor macic¸o, com carga total −3Q, em equil´ıbrio eletrosta´tico, com duas cavidades , C+ e C−, dentro das quais esta˜o dispostas, respectivamente, part´ıculas de carga Q e −2Q. Determine as cargas induzidas nas superf´ıcies S+ e S− de cada cavidade, assim como na superf´ıcie externa S do condutor. (a) S+: Q/2; S−: Q/2; S: −4Q . (b) S+: −Q/2; S−: −Q/2; S: 3Q . (c) S+: Q; S−: −2Q; S: −2Q . (d) S+: −Q; S−: 2Q; S: −4Q . (e) S+: −Q; S−: 2Q; S: −3Q . Sec¸a˜o 2. Questo˜es discursivas (2×2,6 = 5,2 pontos) Todas as respostas devem ter justificativas detalhadas! 1. [2,6 pontos] Uma semicircunfereˆncia de c´ırculo, no plano XY, com raio R e centro em O, esta´ carregada com uma densidade linear λ(θ) = λ0 sen (2θ) , onde λ0 = const e 0 < θ < π. (a) Fac¸a um esboc¸o cuidadoso do gra´fico λ×θ, desde θ = 0 ate´ θ = π (supondo, para tanto, que λ0 > 0) e determine a carga total da semicircunfereˆncia. [0,6 ponto] (b) Determine o campo ele´trico resultante no centro O da semicircunfereˆncia. [1,5 ponto] (c) Determine o potencial ele´trico resultante no centro O da semicircunfereˆncia. [0,5 ponto] 3 Y X θ O R 2. [2,6 pontos] (a) Considere um anel circular, no planoXY, de raio R, percorrido por uma cor- rente estaciona´ria de intensidade i. Determine o vetor campo magne´tico no centro de tal anel. [0,6 ponto] Seja agora uma coroa circular condutora, de raios interno a e externo b, situada no plano XY, portando uma corrente ele´trica esta- ciona´ria de intensidade I, uniformemente dis- tribu´ıda ao longo de suas direc¸o˜es radiais. (b) Determine o vetor campo magne´tico no centro de tal coroa. [1,0 ponto] (c) Determine o vetor momento de dipolo magne´tico de tal coroa. [1,0 ponto] 4 Gabarito para Versa˜o C Sec¸a˜o 1. Mu´ltipla escolha (8×0,6 = 4,8 pontos) 1. (c) 2. (f) 3. (a) 4. (e) 5. (b) 6. (h) 7. (g) 8. (d) Sec¸a˜o 2. Questo˜es discursivas (2×2,6 = 5,2 pontos) 1. Resoluc¸a˜o: (a) [0,6 ponto] O gra´fico de λ × θ, para λ0 = const > 0, sera´, obviamente, uma seno´ide, com per´ıodo π, como mostra a figura abaixo: Claro esta´ que a carga total da semicircunfereˆncia sera´ zero. De fato, por definic¸a˜o, para uma distribuic¸a˜o linear de carga, dq = λ dℓ . No nosso caso, portanto, a carga total na semicircunfereˆncia sera´ Q = ∫ C λ0 sen (2θ)Rdθ = 1 2 λ0R ∫ π θ=0 sen (2θ) d(2θ) = 1 2 λ0R [− cos(2θ)]| π θ=0 , ou seja, Q = 0 , como quer´ıamos demonstrar. � 1 (b) [1,5 ponto] O campo ele´trico provocado por um elemento infinitesimal da semicircunfereˆncia e´ d~E = k0 λ dℓ R2 (−rˆ) . Como a func¸a˜o λ e´ uma func¸a˜o “´ımpar”, em torno de θ = π/2, o campo ele´trico resultante, no centro da semicir- cunfereˆncia, sera´ ao longo do eixo X e so´ temos de nos preocupar em calcular a componente x da expressa˜o acima; ou seja, dEx = d~E · xˆ = −k0 λ0 R sen (2θ) dθ rˆ · xˆ = −k0 λ0 R sen (2θ) dθ cos θ = −k0 λ0 R 2 sen θ cos θ cos θ dθ = −2k0 λ0 R cos2 θ sen θ dθ = 2k0 λ0 R cos2 θ d(cos θ) . Logo, Ex = 2k0 λ0 R ∫ π θ=0 cos2 θ d(cos θ) = 2k0 λ0 R [ cos3 θ 3 ]∣∣∣∣ π θ=0 . Portanto, ~E = − 4k0λ0 3R xˆ . � (c) [0,5 ponto] O potencial eletrosta´tico, provocado por um elemento infinitesimal da semicircunfereˆncia e´ dV = k0 dq r . Como todos os pontos da semicircunfereˆncia esta˜o a` mesma distaˆncia de seu centro, e´ imediato e trivial que, tomando o potencial como zero no infinito, que esta´ implic´ıcito, enta˜o o potencial em seu centro sera´ V = k0 Q R ; como, conforme o item (a), a carga total e´ zero, o potencial no centro sera´ tambe´m zero: V = 0 . � 2 2. Resoluc¸a˜o: (a) [0,6 ponto] Isto e´ um problema t´ıpico e trivial de lei de Biot-Savart. Um elemento infinitesimal t´ıpico do anel gera o seguinte campo magne´tico em seu centro d~B = µ0 4π i d~ℓ× rˆ r2 = µ0 4π iR dϕ ϕˆ× (−rˆ) R2 = µ0 4π i dϕ R zˆ . Logo, devido ao anel completo, temos ~B = µ0i 2R zˆ . (1) � (b) [1,0 ponto] A coroa circular pode ser imaginada como uma superposic¸a˜o de va´rios ane´is circulares conceˆnricos, coplanares, cada um deles com espessura dr, raio r e corrente ele´trica estaciona´ria de intensidade dI. O correspondente campo magne´tico, conforme (1), sera´, pois, d~B = µ0 dI 2r zˆ . Ora, como a corrente total I esta´ uniformemente distribu´ıda ao longo das direc¸o˜es radiais, a corrente dI pode ser determinada pela regra de treˆs: I b− a dI dr , ou seja, dI = I dr b− a . Logo, o campo magne´tico no centro da coroa sera´ ~B = ∫ b r=a µ0I dr 2(b− a)r zˆ = µ0I 2(b− a) (∫ b r=a dr r ) zˆ , ou, finalmente, ~B = µ0I 2(b− a) ln ( b a ) zˆ . � (c) [1,0 ponto] Uma espira gene´rica (plana), de a´rea A, ao longo da qual flui uma corrente ele´trica de intensidade i, tem o seguinte vetor momento de dipolo magne´tico ~µ = IA nˆ , 3 onde nˆ e´ o versor orientado (segundo a regra da ma˜o direita) normal a` superf´ıcie. Enta˜o, em nosso caso, supomos, novamente, a coroa como uma superposic¸a˜o de ane´is circulares, conceˆntricos, coplanares, cada um dos quais com momento de dipolo dado por d~µ = dI A zˆ = I dr b− a πr2 zˆ = πI b− a r2 dr zˆ . Logo, o momento de dipolo magne´tico total da coroa sera´ ~µ = ∫ b r=a πI b− a r2 dr zˆ = πI b− a ( r3 3 )∣∣∣∣ b r=a , ou, finalmente, ~µ = πI 3 b3 − a3 b− a zˆ = πI 3 ( a2 + ab+ b2 ) zˆ . � 4 Universidade Federal do Rio de Janeiro – Instituto de F´ısica F´ısica III – 2014/1 – Segunda Chamada: 11/06/2014 Versa˜o: D Formula´rio ~F e = q ~E , ~E = k0 q r2 rˆ ( k0 = 1 4πε0 ) , ∮ S ~E ·d~A = Qint ε0 , ~E = − ~∇V , V = k0 q r , U = k0 qq′ r , C = Q/V , uE = 1 2 ε0E 2 , I = ∫ S ~J ·d~A , ~J = nq~v , V = RI , P = V I , ~Fm = q~v × ~B , d~Fm = Id~ℓ× ~B , ∮ S ~B ·d~A = 0 , ~B = µ0 4π ∮ C Id~ℓ× rˆ r2 , ∮ C ~B · d~ℓ = µ0Ienc + µ0ǫ0 dΦ~E dt , Eind = − dΦ~B dt , Φ~B = LI , uB = 1 2 B2 µ0 ε0 = 8,85× 10 −12 F/m , G = 6,67× 10−11 N·m2/kg2 , mp = 1,67× 10 −27 kg , me = 9,11× 10 −31 kg sen (2θ) = 2 sen θ cos θ Sec¸a˜o 1. Mu´ltipla escolha (8×0,6 = 4,8 pontos) 1. Considere as seguintes afirmac¸o˜es: (I) Ele´trons ten- dem a mover-se para regio˜es de potencial maior. (II) Se o campo eletrosta´tico em um dado ponto e´ zero, enta˜o o potencial, nesse mesmo ponto, tambe´m e´ zero. (III) O trabalho dispendido para carregar, uni- formemente em superf´ıcie, uma casca esfe´rica (bi- dimensional), desde carga inicial zero ate´ carga final Q e´ maior que o trabalho dispendido para carregar, uniformemente em volume, uma bola esfe´rica so´lida, desde carga inicial zero ate´ carga final Q. Qual(is) e´(sa˜o) a(s) afirmac¸a˜o(o˜es) correta(s)? (a) Somente a I. (b) Somente a II. (c) Somente a III. (d) Somente a I e a II. (e) Somente a I e a III. (f) Somente a II e a III. (g) Todas. (h) Nenhuma. 2. Analise as seguintes afirmativas: (I) Um corpo carre-gado positivamente nunca pode atrair eletricamente outro corpo carregado positivamente. (II) A carga ele´trica, assim como a massa, e´ conservada e quan- tizada. (III) A forc¸a eletrosta´tica entre um pro´ton e um ele´tron e´ cerca de 1040 vezes maior que a forc¸a gravitacional newtoniana. Qual(is) e´(sa˜o) ver- dadeira(s)? (a) Todas. (b) Apenas a I e a II. (c) Apenas a I e a III. (d) Apenas a II e a III. (e) Apenas a I. (f) Apenas a II. (g) Apenas a III. (h) Nenhuma. 1 3. Diga em qual(is) dos seguintes processos, conforme descritos com respeito a um dado referencial inercial, pode surgir uma corrente ele´trica por induc¸a˜o de Fa- raday em um circuito r´ıgido condutor: (I) O circuito e´ mantido em repouso, imerso dentro de um campo magne´tico na˜o estaciona´rio. (II) O circuito translada- se em um campo magne´tico estaciona´rio e uniforme. (III) O circuito gira dentro de um campo magne´tico estaciona´rio e uniforme. (a) Apenas em I. (b) Apenas em II. (c) Apenas em III. (d) Apenas em I e II. (e) Apenas em I e III. (f) Apenas em II e III. (g) Em todos. (h) Em nenhum. 4. Considere um condutor macic¸o, com carga total −3Q, em equil´ıbrio eletrosta´tico, com duas cavidades , C+ e C−, dentro das quais esta˜o dispostas, respectivamente, 5. Considere os seguintes sistemas: (I) Segmento re- til´ıneo (finito) com densidade linear de carga cons- tante (estaciona´ria e uniforme). (II) Casca esfe´rica com densidade superficial de carga uniforme, em pulsac¸a˜o radial. (III) Superf´ıcie quadrada com densi- dade volumar de carga constante (estaciona´ria e uni- forme). Para qual desses sistemas pode-se aplicar a lei de Gauss para determinar o campo ele´trico resultante em um ponto arbitra´rio do espac¸o? (a) Somente o I. (b) Somente o II. (c) Somente o III. (d) Somente o I e o II. (e) Somente o I e o III. (f) Somente o II e o III. (g) Todos. (h) Nenhum. 6. Considere as seguintes afirmac¸o˜es: (I) A diferenc¸a de potencial (ddp) entre dois pontos esta´ associada a` in- tegral de linha de um campo eletrosta´tico conserva-2 7. Considere as seguintes afirmac¸o˜es, com respeito a um referencial inercial dado: (I) Uma part´ıcula carregada em movimento em um campo magne´tico nunca se- gue uma trajeto´ria retil´ınea. (II) Quando a forc¸a magne´tica sobre uma part´ıcula carregada na˜o e´ a forc¸a resultante, ela pode realizar trabalho ao longo da tra- jeto´ria real da part´ıcula. (III) A forc¸a magne´tica sobre uma part´ıcula carregada nunca pode alterar o mo´dulo da sua velocidade. Qual(is) delas e´(sa˜o) ver- dadeira(s)? (a) Somente a I. (b) Somente a II. (c) Somente a III. (d) Somente a I e a II. (e) Somente a I e a III. (f) Somente a II e a III. (g) Todas. (h) Nenhuma. 8. Uma curva fechada orientada, C, esta´ contida em um plano, perfurado por sete fios portando corren- tes ele´tricas estaciona´rias, com va´rias intensidades e orientac¸o˜es. Qual e´ a circulac¸a˜o ∮ C ~B · d~ℓ ao longo de tal curva? (a) 0 . (b) 14µ0 A . (c) 8µ0 A . (d) −8µ0 A . (e) 2µ0 A . (f) −2µ0 A . (g) 4µ0 A . (h) −4µ0 A . Sec¸a˜o 2. Questo˜es discursivas (2×2,6 = 5,2 pontos) Todas as respostas devem ter justificativas detalhadas! 1. [2,6 pontos] Uma semicircunfereˆncia de c´ırculo, no plano XY, com raio R e centro em O, esta´ carregada com uma densidade linear λ(θ) = λ0 sen (2θ) , onde λ0 = const e 0 < θ < π. (a) Fac¸a um esboc¸o cuidadoso do gra´fico λ×θ, desde θ = 0 ate´ θ = π (supondo, para tanto, que λ0 > 0) e determine a carga total da semicircunfereˆncia. [0,6 ponto] (b) Determine o campo ele´trico resultante no centro O da semicircunfereˆncia. [1,5 ponto] (c) Determine o potencial ele´trico resultante no centro O da semicircunfereˆncia. [0,5 ponto] Y X θ O R 2. 3 [2,6 pontos] (a) Considere um anel circular, no planoXY, de raio R, percorrido por uma cor- rente estaciona´ria de intensidade i. Determine o vetor campo magne´tico no centro de tal anel. [0,6 ponto] Seja agora uma coroa circular condutora, de raios interno a e externo b, situada no plano XY, portando uma corrente ele´trica esta- ciona´ria de intensidade I, uniformemente dis- tribu´ıda ao longo de suas direc¸o˜es radiais. (b) Determine o vetor campo magne´tico no centro de tal coroa. [1,0 ponto] (c) Determine o vetor momento de dipolo magne´tico de tal coroa. [1,0 ponto] 4 Gabarito para Versa˜o D Sec¸a˜o 1. Mu´ltipla escolha (8×0,6 = 4,8 pontos) 1. (a) 2. (g) 3. (e) 4. (d) 5. (b) 6. (f) 7. (c) 8. (h) Sec¸a˜o 2. Questo˜es discursivas (2×2,6 = 5,2 pontos) 1. Resoluc¸a˜o: (a) [0,6 ponto] O gra´fico de λ × θ, para λ0 = const > 0, sera´, obviamente, uma seno´ide, com per´ıodo π, como mostra a figura abaixo: Claro esta´ que a carga total da semicircunfereˆncia sera´ zero. De fato, por definic¸a˜o, para uma distribuic¸a˜o linear de carga, dq = λ dℓ . No nosso caso, portanto, a carga total na semicircunfereˆncia sera´ Q = ∫ C λ0 sen (2θ)Rdθ = 1 2 λ0R ∫ π θ=0 sen (2θ) d(2θ) = 1 2 λ0R [− cos(2θ)]| π θ=0 , ou seja, Q = 0 , como quer´ıamos demonstrar. � 1 (b) [1,5 ponto] O campo ele´trico provocado por um elemento infinitesimal da semicircunfereˆncia e´ d~E = k0 λ dℓ R2 (−rˆ) . Como a func¸a˜o λ e´ uma func¸a˜o “´ımpar”, em torno de θ = π/2, o campo ele´trico resultante, no centro da semicir- cunfereˆncia, sera´ ao longo do eixo X e so´ temos de nos preocupar em calcular a componente x da expressa˜o acima; ou seja, dEx = d~E · xˆ = −k0 λ0 R sen (2θ) dθ rˆ · xˆ = −k0 λ0 R sen (2θ) dθ cos θ = −k0 λ0 R 2 sen θ cos θ cos θ dθ = −2k0 λ0 R cos2 θ sen θ dθ = 2k0 λ0 R cos2 θ d(cos θ) . Logo, Ex = 2k0 λ0 R ∫ π θ=0 cos2 θ d(cos θ) = 2k0 λ0 R [ cos3 θ 3 ]∣∣∣∣ π θ=0 . Portanto, ~E = − 4k0λ0 3R xˆ . � (c) [0,5 ponto] O potencial eletrosta´tico, provocado por um elemento infinitesimal da semicircunfereˆncia e´ dV = k0 dq r . Como todos os pontos da semicircunfereˆncia esta˜o a` mesma distaˆncia de seu centro, e´ imediato e trivial que, tomando o potencial como zero no infinito, que esta´ implic´ıcito, enta˜o o potencial em seu centro sera´ V = k0 Q R ; como, conforme o item (a), a carga total e´ zero, o potencial no centro sera´ tambe´m zero: V = 0 . � 2 2. Resoluc¸a˜o: (a) [0,6 ponto] Isto e´ um problema t´ıpico e trivial de lei de Biot-Savart. Um elemento infinitesimal t´ıpico do anel gera o seguinte campo magne´tico em seu centro d~B = µ0 4π i d~ℓ× rˆ r2 = µ0 4π iR dϕ ϕˆ× (−rˆ) R2 = µ0 4π i dϕ R zˆ . Logo, devido ao anel completo, temos ~B = µ0i 2R zˆ . (1) � (b) [1,0 ponto] A coroa circular pode ser imaginada como uma superposic¸a˜o de va´rios ane´is circulares conceˆnricos, coplanares, cada um deles com espessura dr, raio r e corrente ele´trica estaciona´ria de intensidade dI. O correspondente campo magne´tico, conforme (1), sera´, pois, d~B = µ0 dI 2r zˆ . Ora, como a corrente total I esta´ uniformemente distribu´ıda ao longo das direc¸o˜es radiais, a corrente dI pode ser determinada pela regra de treˆs: I b− a dI dr , ou seja, dI = I dr b− a . Logo, o campo magne´tico no centro da coroa sera´ ~B = ∫ b r=a µ0I dr 2(b− a)r zˆ = µ0I 2(b− a) (∫ b r=a dr r ) zˆ , ou, finalmente, ~B = µ0I 2(b− a) ln ( b a ) zˆ . � (c) [1,0 ponto] Uma espira gene´rica (plana), de a´rea A, ao longo da qual flui uma corrente ele´trica de intensidade i, tem o seguinte vetor momento de dipolo magne´tico ~µ = IA nˆ , 3 onde nˆ e´ o versor orientado (segundo a regra da ma˜o direita) normal a` superf´ıcie. Enta˜o, em nosso caso,supomos, novamente, a coroa como uma superposic¸a˜o de ane´is circulares, conceˆntricos, coplanares, cada um dos quais com momento de dipolo dado por d~µ = dI A zˆ = I dr b− a πr2 zˆ = πI b− a r2 dr zˆ . Logo, o momento de dipolo magne´tico total da coroa sera´ ~µ = ∫ b r=a πI b− a r2 dr zˆ = πI b− a ( r3 3 )∣∣∣∣ b r=a , ou, finalmente, ~µ = πI 3 b3 − a3 b− a zˆ = πI 3 ( a2 + ab+ b2 ) zˆ . � 4 Universidade Federal do Rio de Janeiro – Instituto de F´ısica F´ısica III – 2014/1 – Segunda Chamada: 11/06/2014 Versa˜o: E Formula´rio ~F e = q ~E , ~E = k0 q r2 rˆ ( k0 = 1 4πε0 ) , ∮ S ~E ·d~A = Qint ε0 , ~E = − ~∇V , V = k0 q r , U = k0 qq′ r , C = Q/V , uE = 1 2 ε0E 2 , I = ∫ S ~J ·d~A , ~J = nq~v , V = RI , P = V I , ~Fm = q~v × ~B , d~Fm = Id~ℓ× ~B , ∮ S ~B ·d~A = 0 , ~B = µ0 4π ∮ C Id~ℓ× rˆ r2 , ∮ C ~B · d~ℓ = µ0Ienc + µ0ǫ0 dΦ~E dt , Eind = − dΦ~B dt , Φ~B = LI , uB = 1 2 B2 µ0 ε0 = 8,85× 10 −12 F/m , G = 6,67× 10−11 N·m2/kg2 , mp = 1,67× 10 −27 kg , me = 9,11× 10 −31 kg sen (2θ) = 2 sen θ cos θ Sec¸a˜o 1. Mu´ltipla escolha (8×0,6 = 4,8 pontos) 1. Considere as seguintes afirmac¸o˜es: (I) A diferenc¸a de potencial (ddp) entre dois pontos esta´ associada a` in- tegral de linha de um campo eletrosta´tico conserva- tivo entre esses pontos e, como tal, seu valor depende do caminho entre tais pontos. (II) A forc¸a eletromo- triz (fem) ideal e´ responsa´vel, em um circuito dissipa- tivo, pela manutenc¸a˜o de uma corrente estaciona´ria, via a realizac¸a˜o de um trabalho diferente de zero ao longo do circuito fechado. (III) Tanto a ddp como a fem medem-se, no SI, em volts. Qual(is) e´(sa˜o) a(s) afirmac¸a˜o(o˜es) correta(s)? (a) Somente a I. (b) Somente a II. (c) Somente a III. (d) Somente a I e a II. (e) Somente a I e a III. (f) Somente a II e a III. (g) Todas. (h) Nenhuma. 2. Analise as seguintes afirmativas: (I) Um corpo carre- gado positivamente nunca pode atrair eletricamente outro corpo carregado positivamente. (II) A carga ele´trica, assim como a massa, e´ conservada e quan- tizada. (III) A forc¸a eletrosta´tica entre um pro´ton e um ele´tron e´ cerca de 1040 vezes maior que a forc¸a gravitacional newtoniana. Qual(is) e´(sa˜o) ver- dadeira(s)? (a) Todas. (b) Apenas a I e a II. (c) Apenas a I e a III. (d) Apenas a II e a III. (e) Apenas a I. (f) Apenas a II. (g) Apenas a III. (h) Nenhuma. 1 3. Considere os seguintes sistemas: (I) Segmento re- til´ıneo (finito) com densidade linear de carga cons- tante (estaciona´ria e uniforme). (II) Casca esfe´rica com densidade superficial de carga uniforme, em pulsac¸a˜o radial. (III) Superf´ıcie quadrada com densi- dade volumar de carga constante (estaciona´ria e uni- forme). Para qual desses sistemas pode-se aplicar a lei de Gauss para determinar o campo ele´trico resultante em um ponto arbitra´rio do espac¸o? (a) Somente o I. (b) Somente o II. (c) Somente o III. (d) Somente o I e o II. (e) Somente o I e o III. (f) Somente o II e o III. (g) Todos. (h) Nenhum. 4. Uma curva fechada orientada, C, esta´ contida em um plano, perfurado por sete fios portando corren- tes ele´tricas estaciona´rias, com va´rias intensidades e∮ ~ ~ 5. Considere um condutor macic¸o, com carga total −3Q, em equil´ıbrio eletrosta´tico, com duas cavidades , C+ e C−, dentro das quais esta˜o dispostas, respectivamente, part´ıculas de carga Q e −2Q. Determine as cargas induzidas nas superf´ıcies S+ e S− de cada cavidade, assim como na superf´ıcie externa S do condutor. (a) S+: Q/2; S−: Q/2; S: −4Q . (b) S+: −Q/2; S−: −Q/2; S: 3Q . (c) S+: Q; S−: −2Q; S: −2Q . (d) S+: −Q; S−: 2Q; S: −4Q . (e) S+: −Q; S−: 2Q; S: −3Q . 6. Diga em qual(is) dos seguintes processos, conforme descritos com respeito a um dado referencial inercial, pode surgir uma corrente ele´trica por induc¸a˜o de Fa-2 7. Considere as seguintes afirmac¸o˜es, com respeito a um referencial inercial dado: (I) Uma part´ıcula carregada em movimento em um campo magne´tico nunca se- gue uma trajeto´ria retil´ınea. (II) Quando a forc¸a magne´tica sobre uma part´ıcula carregada na˜o e´ a forc¸a resultante, ela pode realizar trabalho ao longo da tra- jeto´ria real da part´ıcula. (III) A forc¸a magne´tica sobre uma part´ıcula carregada nunca pode alterar o mo´dulo da sua velocidade. Qual(is) delas e´(sa˜o) ver- dadeira(s)? (a) Somente a I. (b) Somente a II. (c) Somente a III. (d) Somente a I e a II. (e) Somente a I e a III. (f) Somente a II e a III. (g) Todas. (h) Nenhuma. 8. Considere as seguintes afirmac¸o˜es: (I) Ele´trons ten- dem a mover-se para regio˜es de potencial maior. (II) Se o campo eletrosta´tico em um dado ponto e´ zero, enta˜o o potencial, nesse mesmo ponto, tambe´m e´ zero. (III) O trabalho dispendido para carregar, uni- formemente em superf´ıcie, uma casca esfe´rica (bi- dimensional), desde carga inicial zero ate´ carga final Q e´ maior que o trabalho dispendido para carregar, uniformemente em volume, uma bola esfe´rica so´lida, desde carga inicial zero ate´ carga final Q. Qual(is) e´(sa˜o) a(s) afirmac¸a˜o(o˜es) correta(s)? (a) Somente a I. (b) Somente a II. (c) Somente a III. (d) Somente a I e a II. (e) Somente a I e a III. (f) Somente a II e a III. (g) Todas. (h) Nenhuma. Sec¸a˜o 2. Questo˜es discursivas (2×2,6 = 5,2 pontos) Todas as respostas devem ter justificativas detalhadas! 1. [2,6 pontos] Uma semicircunfereˆncia de c´ırculo, no plano XY, com raio R e centro em O, esta´ carregada com uma densidade linear λ(θ) = λ0 sen (2θ) , onde λ0 = const e 0 < θ < π. (a) Fac¸a um esboc¸o cuidadoso do gra´fico λ×θ, desde θ = 0 ate´ θ = π (supondo, para tanto, que λ0 > 0) e determine a carga total da semicircunfereˆncia. [0,6 ponto] (b) Determine o campo ele´trico resultante no centro O da semicircunfereˆncia. [1,5 ponto] (c) Determine o potencial ele´trico resultante no centro O da semicircunfereˆncia. [0,5 ponto] Y X θ O R 2. 3 [2,6 pontos] (a) Considere um anel circular, no planoXY, de raio R, percorrido por uma cor- rente estaciona´ria de intensidade i. Determine o vetor campo magne´tico no centro de tal anel. [0,6 ponto] Seja agora uma coroa circular condutora, de raios interno a e externo b, situada no plano XY, portando uma corrente ele´trica esta- ciona´ria de intensidade I, uniformemente dis- tribu´ıda ao longo de suas direc¸o˜es radiais. (b) Determine o vetor campo magne´tico no centro de tal coroa. [1,0 ponto] (c) Determine o vetor momento de dipolo magne´tico de tal coroa. [1,0 ponto] 4 Gabarito para Versa˜o E Sec¸a˜o 1. Mu´ltipla escolha (8×0,6 = 4,8 pontos) 1. (f) 2. (g) 3. (b) 4. (h) 5. (d) 6. (e) 7. (c) 8. (a) Sec¸a˜o 2. Questo˜es discursivas (2×2,6 = 5,2 pontos) 1. Resoluc¸a˜o: (a) [0,6 ponto] O gra´fico de λ × θ, para λ0 = const > 0, sera´, obviamente, uma seno´ide, com per´ıodo π, como mostra a figura abaixo: Claro esta´ que a carga total da semicircunfereˆncia sera´ zero. De fato, por definic¸a˜o, para uma distribuic¸a˜o linear de carga, dq = λ dℓ . No nosso caso, portanto, a carga total na semicircunfereˆncia sera´ Q = ∫ C λ0 sen (2θ)Rdθ = 1 2 λ0R ∫ π θ=0 sen (2θ) d(2θ) = 1 2 λ0R [− cos(2θ)]| π θ=0 , ou seja, Q = 0 , como quer´ıamos demonstrar. � 1 (b) [1,5 ponto] O campo ele´trico provocado por um elemento infinitesimal da semicircunfereˆncia e´ d~E = k0 λ dℓ R2 (−rˆ) . Como a func¸a˜o λ e´ uma func¸a˜o “´ımpar”, em torno de θ = π/2, o campo ele´trico resultante, no centro da semicir- cunfereˆncia, sera´ ao longo do eixo X e so´ temos de nos preocupar em calculara componente x da expressa˜o acima; ou seja, dEx = d~E · xˆ = −k0 λ0 R sen (2θ) dθ rˆ · xˆ = −k0 λ0 R sen (2θ) dθ cos θ = −k0 λ0 R 2 sen θ cos θ cos θ dθ = −2k0 λ0 R cos2 θ sen θ dθ = 2k0 λ0 R cos2 θ d(cos θ) . Logo, Ex = 2k0 λ0 R ∫ π θ=0 cos2 θ d(cos θ) = 2k0 λ0 R [ cos3 θ 3 ]∣∣∣∣ π θ=0 . Portanto, ~E = − 4k0λ0 3R xˆ . � (c) [0,5 ponto] O potencial eletrosta´tico, provocado por um elemento infinitesimal da semicircunfereˆncia e´ dV = k0 dq r . Como todos os pontos da semicircunfereˆncia esta˜o a` mesma distaˆncia de seu centro, e´ imediato e trivial que, tomando o potencial como zero no infinito, que esta´ implic´ıcito, enta˜o o potencial em seu centro sera´ V = k0 Q R ; como, conforme o item (a), a carga total e´ zero, o potencial no centro sera´ tambe´m zero: V = 0 . � 2 2. Resoluc¸a˜o: (a) [0,6 ponto] Isto e´ um problema t´ıpico e trivial de lei de Biot-Savart. Um elemento infinitesimal t´ıpico do anel gera o seguinte campo magne´tico em seu centro d~B = µ0 4π i d~ℓ× rˆ r2 = µ0 4π iR dϕ ϕˆ× (−rˆ) R2 = µ0 4π i dϕ R zˆ . Logo, devido ao anel completo, temos ~B = µ0i 2R zˆ . (1) � (b) [1,0 ponto] A coroa circular pode ser imaginada como uma superposic¸a˜o de va´rios ane´is circulares conceˆnricos, coplanares, cada um deles com espessura dr, raio r e corrente ele´trica estaciona´ria de intensidade dI. O correspondente campo magne´tico, conforme (1), sera´, pois, d~B = µ0 dI 2r zˆ . Ora, como a corrente total I esta´ uniformemente distribu´ıda ao longo das direc¸o˜es radiais, a corrente dI pode ser determinada pela regra de treˆs: I b− a dI dr , ou seja, dI = I dr b− a . Logo, o campo magne´tico no centro da coroa sera´ ~B = ∫ b r=a µ0I dr 2(b− a)r zˆ = µ0I 2(b− a) (∫ b r=a dr r ) zˆ , ou, finalmente, ~B = µ0I 2(b− a) ln ( b a ) zˆ . � (c) [1,0 ponto] Uma espira gene´rica (plana), de a´rea A, ao longo da qual flui uma corrente ele´trica de intensidade i, tem o seguinte vetor momento de dipolo magne´tico ~µ = IA nˆ , 3 onde nˆ e´ o versor orientado (segundo a regra da ma˜o direita) normal a` superf´ıcie. Enta˜o, em nosso caso, supomos, novamente, a coroa como uma superposic¸a˜o de ane´is circulares, conceˆntricos, coplanares, cada um dos quais com momento de dipolo dado por d~µ = dI A zˆ = I dr b− a πr2 zˆ = πI b− a r2 dr zˆ . Logo, o momento de dipolo magne´tico total da coroa sera´ ~µ = ∫ b r=a πI b− a r2 dr zˆ = πI b− a ( r3 3 )∣∣∣∣ b r=a , ou, finalmente, ~µ = πI 3 b3 − a3 b− a zˆ = πI 3 ( a2 + ab+ b2 ) zˆ . � 4 Universidade Federal do Rio de Janeiro – Instituto de F´ısica F´ısica III – 2014/1 – Segunda Chamada: 11/06/2014 Versa˜o: F Formula´rio ~F e = q ~E , ~E = k0 q r2 rˆ ( k0 = 1 4πε0 ) , ∮ S ~E ·d~A = Qint ε0 , ~E = − ~∇V , V = k0 q r , U = k0 qq′ r , C = Q/V , uE = 1 2 ε0E 2 , I = ∫ S ~J ·d~A , ~J = nq~v , V = RI , P = V I , ~Fm = q~v × ~B , d~Fm = Id~ℓ× ~B , ∮ S ~B ·d~A = 0 , ~B = µ0 4π ∮ C Id~ℓ× rˆ r2 , ∮ C ~B · d~ℓ = µ0Ienc + µ0ǫ0 dΦ~E dt , Eind = − dΦ~B dt , Φ~B = LI , uB = 1 2 B2 µ0 ε0 = 8,85× 10 −12 F/m , G = 6,67× 10−11 N·m2/kg2 , mp = 1,67× 10 −27 kg , me = 9,11× 10 −31 kg sen (2θ) = 2 sen θ cos θ Sec¸a˜o 1. Mu´ltipla escolha (8×0,6 = 4,8 pontos) 1. Considere um condutor macic¸o, com carga total −3Q, em equil´ıbrio eletrosta´tico, com duas cavidades , C+ e C−, dentro das quais esta˜o dispostas, respectivamente, part´ıculas de carga Q e −2Q. Determine as cargas induzidas nas superf´ıcies S+ e S− de cada cavidade, assim como na superf´ıcie externa S do condutor. (a) S+: Q/2; S−: Q/2; S: −4Q . (b) S+: −Q/2; S−: −Q/2; S: 3Q . (c) S+: Q; S−: −2Q; S: −2Q . (d) S+: −Q; S−: 2Q; S: −4Q . (e) S+: −Q; S−: 2Q; S: −3Q . 2. Considere os seguintes sistemas: (I) Segmento re- til´ıneo (finito) com densidade linear de carga cons- tante (estaciona´ria e uniforme). (II) Casca esfe´rica com densidade superficial de carga uniforme, em pulsac¸a˜o radial. (III) Superf´ıcie quadrada com densi- dade volumar de carga constante (estaciona´ria e uni- forme). Para qual desses sistemas pode-se aplicar a lei de Gauss para determinar o campo ele´trico resultante em um ponto arbitra´rio do espac¸o? (a) Somente o I. (b) Somente o II. (c) Somente o III. (d) Somente o I e o II. (e) Somente o I e o III. (f) Somente o II e o III. (g) Todos. (h) Nenhum. 1 3. Considere as seguintes afirmac¸o˜es: (I) A diferenc¸a de potencial (ddp) entre dois pontos esta´ associada a` in- tegral de linha de um campo eletrosta´tico conserva- tivo entre esses pontos e, como tal, seu valor depende do caminho entre tais pontos. (II) A forc¸a eletromo- triz (fem) ideal e´ responsa´vel, em um circuito dissipa- tivo, pela manutenc¸a˜o de uma corrente estaciona´ria, via a realizac¸a˜o de um trabalho diferente de zero ao longo do circuito fechado. (III) Tanto a ddp como a fem medem-se, no SI, em volts. Qual(is) e´(sa˜o) a(s) afirmac¸a˜o(o˜es) correta(s)? (a) Somente a I. (b) Somente a II. (c) Somente a III. (d) Somente a I e a II. (e) Somente a I e a III. (f) Somente a II e a III. (g) Todas. (h) Nenhuma. 4. Uma curva fechada orientada, C, esta´ contida em um plano, perfurado por sete fios portando corren- tes ele´tricas estaciona´rias, com va´rias intensidades e∮ ~ ~ 5. Considere as seguintes afirmac¸o˜es: (I) Ele´trons ten- dem a mover-se para regio˜es de potencial maior. (II) Se o campo eletrosta´tico em um dado ponto e´ zero, enta˜o o potencial, nesse mesmo ponto, tambe´m e´ zero. (III) O trabalho dispendido para carregar, uni- formemente em superf´ıcie, uma casca esfe´rica (bi- dimensional), desde carga inicial zero ate´ carga final Q e´ maior que o trabalho dispendido para carregar, uniformemente em volume, uma bola esfe´rica so´lida, desde carga inicial zero ate´ carga final Q. Qual(is) e´(sa˜o) a(s) afirmac¸a˜o(o˜es) correta(s)? (a) Somente a I. (b) Somente a II. (c) Somente a III. (d) Somente a I e a II. (e) Somente a I e a III. (f) Somente a II e a III. (g) Todas. (h) Nenhuma. 6. Diga em qual(is) dos seguintes processos, conforme descritos com respeito a um dado referencial inercial, pode surgir uma corrente ele´trica por induc¸a˜o de Fa-2 7. Considere as seguintes afirmac¸o˜es, com respeito a um referencial inercial dado: (I) Uma part´ıcula carregada em movimento em um campo magne´tico nunca se- gue uma trajeto´ria retil´ınea. (II) Quando a forc¸a magne´tica sobre uma part´ıcula carregada na˜o e´ a forc¸a resultante, ela pode realizar trabalho ao longo da tra- jeto´ria real da part´ıcula. (III) A forc¸a magne´tica sobre uma part´ıcula carregada nunca pode alterar o mo´dulo da sua velocidade. Qual(is) delas e´(sa˜o) ver- dadeira(s)? (a) Somente a I. (b) Somente a II. (c) Somente a III. (d) Somente a I e a II. (e) Somente a I e a III. (f) Somente a II e a III. (g) Todas. (h) Nenhuma. 8. Analise as seguintes afirmativas: (I) Um corpo carre- gado positivamente nunca pode atrair eletricamente outro corpo carregado positivamente. (II) A carga ele´trica, assim como a massa, e´ conservada e quan- tizada. (III) A forc¸a eletrosta´tica entre um pro´ton e um ele´tron e´ cerca de 1040 vezes maior que a forc¸a gravitacional newtoniana. Qual(is) e´(sa˜o) ver- dadeira(s)? (a) Todas. (b) Apenas a I e a II. (c) Apenas a I e a III. (d) Apenas a II e a III. (e) Apenas a I. (f) Apenas a II. (g) Apenas a III. (h) Nenhuma. Sec¸a˜o 2. Questo˜es discursivas (2×2,6 = 5,2 pontos)Todas as respostas devem ter justificativas detalhadas! 1. [2,6 pontos] Uma semicircunfereˆncia de c´ırculo, no plano XY, com raio R e centro em O, esta´ carregada com uma densidade linear λ(θ) = λ0 sen (2θ) , onde λ0 = const e 0 < θ < π. (a) Fac¸a um esboc¸o cuidadoso do gra´fico λ×θ, desde θ = 0 ate´ θ = π (supondo, para tanto, que λ0 > 0) e determine a carga total da semicircunfereˆncia. [0,6 ponto] (b) Determine o campo ele´trico resultante no centro O da semicircunfereˆncia. [1,5 ponto] (c) Determine o potencial ele´trico resultante no centro O da semicircunfereˆncia. [0,5 ponto] Y X θ O R 2. 3 [2,6 pontos] (a) Considere um anel circular, no planoXY, de raio R, percorrido por uma cor- rente estaciona´ria de intensidade i. Determine o vetor campo magne´tico no centro de tal anel. [0,6 ponto] Seja agora uma coroa circular condutora, de raios interno a e externo b, situada no plano XY, portando uma corrente ele´trica esta- ciona´ria de intensidade I, uniformemente dis- tribu´ıda ao longo de suas direc¸o˜es radiais. (b) Determine o vetor campo magne´tico no centro de tal coroa. [1,0 ponto] (c) Determine o vetor momento de dipolo magne´tico de tal coroa. [1,0 ponto] 4 Gabarito para Versa˜o F Sec¸a˜o 1. Mu´ltipla escolha (8×0,6 = 4,8 pontos) 1. (d) 2. (b) 3. (f) 4. (h) 5. (a) 6. (e) 7. (c) 8. (g) Sec¸a˜o 2. Questo˜es discursivas (2×2,6 = 5,2 pontos) 1. Resoluc¸a˜o: (a) [0,6 ponto] O gra´fico de λ × θ, para λ0 = const > 0, sera´, obviamente, uma seno´ide, com per´ıodo π, como mostra a figura abaixo: Claro esta´ que a carga total da semicircunfereˆncia sera´ zero. De fato, por definic¸a˜o, para uma distribuic¸a˜o linear de carga, dq = λ dℓ . No nosso caso, portanto, a carga total na semicircunfereˆncia sera´ Q = ∫ C λ0 sen (2θ)Rdθ = 1 2 λ0R ∫ π θ=0 sen (2θ) d(2θ) = 1 2 λ0R [− cos(2θ)]| π θ=0 , ou seja, Q = 0 , como quer´ıamos demonstrar. � 1 (b) [1,5 ponto] O campo ele´trico provocado por um elemento infinitesimal da semicircunfereˆncia e´ d~E = k0 λ dℓ R2 (−rˆ) . Como a func¸a˜o λ e´ uma func¸a˜o “´ımpar”, em torno de θ = π/2, o campo ele´trico resultante, no centro da semicir- cunfereˆncia, sera´ ao longo do eixo X e so´ temos de nos preocupar em calcular a componente x da expressa˜o acima; ou seja, dEx = d~E · xˆ = −k0 λ0 R sen (2θ) dθ rˆ · xˆ = −k0 λ0 R sen (2θ) dθ cos θ = −k0 λ0 R 2 sen θ cos θ cos θ dθ = −2k0 λ0 R cos2 θ sen θ dθ = 2k0 λ0 R cos2 θ d(cos θ) . Logo, Ex = 2k0 λ0 R ∫ π θ=0 cos2 θ d(cos θ) = 2k0 λ0 R [ cos3 θ 3 ]∣∣∣∣ π θ=0 . Portanto, ~E = − 4k0λ0 3R xˆ . � (c) [0,5 ponto] O potencial eletrosta´tico, provocado por um elemento infinitesimal da semicircunfereˆncia e´ dV = k0 dq r . Como todos os pontos da semicircunfereˆncia esta˜o a` mesma distaˆncia de seu centro, e´ imediato e trivial que, tomando o potencial como zero no infinito, que esta´ implic´ıcito, enta˜o o potencial em seu centro sera´ V = k0 Q R ; como, conforme o item (a), a carga total e´ zero, o potencial no centro sera´ tambe´m zero: V = 0 . � 2 2. Resoluc¸a˜o: (a) [0,6 ponto] Isto e´ um problema t´ıpico e trivial de lei de Biot-Savart. Um elemento infinitesimal t´ıpico do anel gera o seguinte campo magne´tico em seu centro d~B = µ0 4π i d~ℓ× rˆ r2 = µ0 4π iR dϕ ϕˆ× (−rˆ) R2 = µ0 4π i dϕ R zˆ . Logo, devido ao anel completo, temos ~B = µ0i 2R zˆ . (1) � (b) [1,0 ponto] A coroa circular pode ser imaginada como uma superposic¸a˜o de va´rios ane´is circulares conceˆnricos, coplanares, cada um deles com espessura dr, raio r e corrente ele´trica estaciona´ria de intensidade dI. O correspondente campo magne´tico, conforme (1), sera´, pois, d~B = µ0 dI 2r zˆ . Ora, como a corrente total I esta´ uniformemente distribu´ıda ao longo das direc¸o˜es radiais, a corrente dI pode ser determinada pela regra de treˆs: I b− a dI dr , ou seja, dI = I dr b− a . Logo, o campo magne´tico no centro da coroa sera´ ~B = ∫ b r=a µ0I dr 2(b− a)r zˆ = µ0I 2(b− a) (∫ b r=a dr r ) zˆ , ou, finalmente, ~B = µ0I 2(b− a) ln ( b a ) zˆ . � (c) [1,0 ponto] Uma espira gene´rica (plana), de a´rea A, ao longo da qual flui uma corrente ele´trica de intensidade i, tem o seguinte vetor momento de dipolo magne´tico ~µ = IA nˆ , 3 onde nˆ e´ o versor orientado (segundo a regra da ma˜o direita) normal a` superf´ıcie. Enta˜o, em nosso caso, supomos, novamente, a coroa como uma superposic¸a˜o de ane´is circulares, conceˆntricos, coplanares, cada um dos quais com momento de dipolo dado por d~µ = dI A zˆ = I dr b− a πr2 zˆ = πI b− a r2 dr zˆ . Logo, o momento de dipolo magne´tico total da coroa sera´ ~µ = ∫ b r=a πI b− a r2 dr zˆ = πI b− a ( r3 3 )∣∣∣∣ b r=a , ou, finalmente, ~µ = πI 3 b3 − a3 b− a zˆ = πI 3 ( a2 + ab+ b2 ) zˆ . � 4
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