Exercicios de Derivadas

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FACULDADE EMPRESARIAL DE CHAPECÓ 
UCEFF FACULDADES 
 
CURSO DE ENGENHARIA 
CÁLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL 
 
 
 
EXERCÍCIOS DE DERIVADAS 
 
 Lembrando o conceito de derivada de uma função 
 
 
 
 
CONCEITO: 
Sabemos que a inclinação (m) de uma reta (y = mx + b) representa a taxa de variação 
de y em relação à variação de x. Então: 
 
 
 
 
 
Declividade da reta t, tangente 
à curva no ponto P. 
 ( ) 
 
 ( ) ( )
 
 
CONCEITO 1: 
A derivada de uma função f(x) é a inclinação da reta tangente à curva num ponto de 
abscissa x qualquer. 
 
 
CONCEITO 2: 
A derivada de uma função representa a taxa de variação instantânea da grandeza 
dependente, representada no eixo vertical (y), em relação à variação da grandeza 
independente, representada no eixo horizontal (x). 
1. CALCULE AS DERIVADAS DAS SEGUINTES FUNÇÕES UTILIZANDO AS 
REGRAS MAIS BÁSICAS: 
 
RESPOSTAS: 
 
 
 
 
2. CALCULE AS DERIVADAS DAS SEGUINTES FUNÇÕES, UTILIZANDO AS 
REGRAS MAIS BÁSICAS E A REGRA DA POTÊNCIA: 
 
 
 
RESPOSTAS: 
 
 
3. CALCULE AS DERIVADAS DAS SEGUINTES FUNÇÕES, UTILIZANDO AS 
REGRAS MAIS BÁSICAS E A REGRA DO PRODUTO E DO QUOCIENTE: 
 
 
 
RESPOSTAS: 
 
4. CALCULE AS DERIVADAS DAS SEGUINTES FUNÇÕES COMPOSTAS, 
UTILIZANDO A REGRA DA CADEIA E TODAS AS DEMAIS REGRAS: 
 
RESPOSTAS: 
 
 
 
 Taxa de variação 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 Exercícios sobre taxa de variação 
mPQ = taxa de variação média 
 
m = taxa de variação instantânea 
 
 
 
 
 
 
 
 
A idéia básica sobre taxa de variação: 
 
Se x varia de x1 para x2 então a variação em x é e a correspondente 
variação em y é ( ) ( ). 
 
O quociente 
 
 
 
 ( ) ( )
 
 é a taxa de variação média de y em relação a x no 
intervalo [x1 , x2] e pode ser interpretado como a inclinação da reta secante PQ. O limite 
para é a derivada ( ), que pode ser interpretado como a taxa de variação 
instantânea de y em relação à x, ou ainda a inclinação da reta tangente em P(x1 , f(x1)). 
Na notação de Leibnitz escrevemos o processo na forma: 
 
 
 
 
 
1-4. Uma partícula se move de acordo com a função deslocamento s = f(t), com t ≥ 0, onde t é 
medido em segundos e s em metros. 
a) Determine a velocidade no tempo t. 
b) Qual é a velocidade depois de 3 s? 
c) Quando a partícula está em repouso? 
d) Quando a partícula está se movendo na direção positiva? 
e) Determine a distância total percorrida nos primeiros 8 s. 
f) Determine a aceleração no tempo t e depois de 3 s. 
g) Faça os gráficos da funções posição, velocidade e aceleração para o intervalo de 0 a 8 s. 
h) Quando a partícula está aumentando a velocidade? E quando ela está diminuindo a 
velocidade? 
 
1. ( ) 2. ( ) 
 
 3. ( ) 
 
 
 com t ≤ 10 4. ( ) 
 
Resposta: 1) a) 3t² – 24t + 36 b) – 9 m/s c) t = 2,6 s d) 0 ≤ t < 2 e t > 6 
 e) 96,0 m f) 6t – 24 e – 6 m/s² g) figura abaixo 
 h) Aumentando 2 < t < 4 ou t > 6 Diminuindo 0 ≤ t < 2 ou 4 < t < 6 
 
 
 
5. Gráficos da função velocidade de duas partículas são mostrados abaixo, onde t é medido 
em segundos. Quando cada partícula está aumentando a velocidade? Quando está diminuindo a 
velocidade? Explique. 
 
 
 
 
 
R. a) Aumentando de 0 a 1 e 2 a 3 Diminuindo de 1 a 2 
 b) Aumentando de 1 a 2 e 3 a 4 Diminuindo de 0 a 1 e 2 a 3 
 
 
6. Gráficos da função posição de duas partículas são mostrados abaixo, onde t é medido 
em segundos. Quando cada partícula está aumentando a velocidade? Quando está diminuindo a 
velocidade? Explique. 
 
 
7. A altura (em metros) de um projétil disparado verticalmente para cima a partir de um 
ponto 2,0m acima do chão, com uma velocidade inicial de 24,5 m/s, é 
depois de t segundos. 
 
 a) Determine a velocidade depois de 2 s e depois de 4 s. R. 4,9 m/s e –14,7 m/s 
 b) Quando o projétil alcançará a máxima altura? R. Depois de 2,5 s 
 c) Qual é a máxima altura? R. 32,3125 m 
 d) Quando ele atingirá o solo? R. 5,08 s 
 e) Com qual velocidade ele atinge o solo? R. –25,3 m/s 
 
8. Se uma bola é jogada verticalmente para cima com uma velocidade de 80 m/s, sua altura 
depois de t segundos é s = 80t – 16t². 
 
 a) Qual é a máxima altura alcançada pela bola? 
 b) Qual é a velocidade da bola quando ela está a 96,0 m acima do chão na sua subida? 
E na sua descida? 
 
9. Se uma rocha é jogada verticalmente para cima a partir da superfície de Marte, com 
velocidade de 15 m/s, sua altura depois de t segundos é h = 15t – 1,86t². 
 
 a) Qual é a velocidade da rocha depois de 2 s? R. 7,56 m/s 
 b) Qual é a velocidade da rocha quando sua altura é 25,0 m acima do chão na sua 
subida? E na sua descida? R. 6,24 m/s e –6,24 m/s 
 
 
10. Um grupo de biólogos marinhos recomendou que uma série de medidas de preservação 
fossem implementadas durante a próxima década para salvar da extinção uma certa espécie de 
baleias. Depois da implementação das medidas de preservação, espera-se que a população 
desta espécie seja igual a 
 
 N (t) = 3t³ + 2t² – 10t + 600 (0  t  10) 
 
onde N (t) denota a população no fim do ano t. Determine a taxa de crescimento da população 
de baleias quando t = 2 e t = 6. Qual será o tamanho da população de baleias 8 anos após a 
implementação das medidas de preservação? 
 
Respostas: 
N’(2) = 34 baleias / ano 
N’(6) = 338 baleias / ano 
N(8) = 2.184 baleias 
 
 
11. O produto interno bruto (PIB) de um certo país (em milhões de dólares) é descrito pela 
função 
 
G (t) = – 2t³ + 45t² + 20t + 6000 (0  t  11) 
 
onde t = 0 corresponde ao início de 1990. 
a) Qual era a taxa de variação do PIB no início de 1995? E em 1997? E em 2000? 
b) Qual era a taxa média de crescimento do PIB no período de 1995-2000? 
 
Respostas: 
a) G’(5) = 320 milhões / ano 
G’(7) = 356 milhões / ano 
G’(10) = 320 milhões / ano 
b) Taxa média: 345 milhões /ano 
 
12. Eficiência do trabalhador. Um estudo de eficiência conduzido pela companhia EE 
mostrou que o número de walkie-talkies montados por um trabalhador médio t horas após iniciar 
o trabalho às 8:00 horas da manhã é dado por 
 
N (t) = – t³ + 6t² + 15t (0  t  11) 
 
a) Determine a taxa de montagem de walkie-talkies por um trabalhador médio t horas após 
iniciar o trabalho; 
b) Qual a taxa de montagem de walkie-talkies por um trabalhador médio às 10:00 horas da 
manhã? E às 11:00 horas? 
c) Quantos walkie-talkies irá um trabalhador médio montar entre 10:00 e 11:00 horas da 
manhã? 
 
Respostas: 
a) N’(t) = – 3t² + 12t +15 
b) N’(2) = 27 aparelhos / hora 
N’(3) = 24 aparelhos / hora 
c) Taxa média: 26 aparelhos / hora 
 
13. Índice de preços ao consumidor. O índice de preços ao consumidor (IPC) de uma 
economia é descrito pela função 
 
I (t) = – 0,2t³ + 3t² + 100 (0  t  10) 
 
onde t = 0 corresponde a 1989. 
a) Com que taxa o IPC estava variando em 1994? E em 1996? E em 1999? 
b) Qual foi a taxa média de crescimento do IPC no período de 1994 a 1999? 
 
Respostas: 
a) I’(5) = 15 pontos / ano 
I’(7) = 12,6 pontos / ano 
I’(10) = 0 ponto / ano 
b) 10,0 pontos / ano 
 
14. Função demanda. A função demanda de uma certa marca de rádio é dada por 
 
p = f (x) = 0,0001x5/4 + 10 
 
onde x é a quantidade fornecida e p é o preço unitário em reais. 
a) Determine f ’ (x) 
b) Qual é a taxa de variação do preço unitário se a quantidade fornecida for de 10.000 
rádios? 
 
Respostas: 
a) f’(x) = 0,000125 x
¼
 
b) f’(10.000) = 0,00125 reais / aparelho 
 
15. Aumento de trabalhadores temporários. De acordo com o Ministério do Trabalho, 
estima-se que o númerode trabalhadores temporários (em milhões) é de 
 
 N (t) = 0,025t² + 0,255t + 1,505 (0  t  5) 
 
onde t é medido em anos, com t = 0 correspondendo a 1991. 
a) Quantos trabalhadores temporários havia no início de 1994? 
b) Com que rapidez o número de trabalhadores temporários estava crescendo no início de 
1994? 
 
Respostas: 
a) N(3) = 2.495.000 trabalhadores 
b) N’(3) = 405.000 trabalhadores / ano 
 
16. Custo de remoção de lixo tóxico. O reservatório principal de uma cidade foi 
contaminado recentemente com tricloroetileno, um agente cancerígeno, em virtude de um 
vazamento proveniente de lixo químico abandonado. Uma proposta submetida aos membros do 
conselho da cidade indica que o custo da remoção de x por cento dos poluentes químicos, 
medido em milhões de dólares, é dado por 
x
x
xC


100
5,0
)(
 
 
Determine C’ (80), C’ (90), C’ (95), C’ (99) e interprete seus resultados. 
 
Respostas: 
C’ (80) = 0,125 
C’ (90) = 0,5 
C’ (95) = 2,0 
C’ (99) = 50,0 
 
Chega um momento que não vale a pena querer remover próximo de 100% pois o custo 
aumenta muito. 
 
 
17. Funçãos demanda. A função demanda para relógios de pulso da marca Sicard é dada 
por 
101,0
50
)(
2 

x
xd
 (0  x  20) 
 
onde x (medido em milhares de unidades) é a quantidade demandada por semana e d(x) é o 
preço unitário em dólares. 
a) Determine d’ (x). 
b) Determine d’ (5), d’ (10) e d’ (15) e interprete seus resultados. 
 
Respostas: 
a) d’(x) = – x / (0,01x² +1)² 
b) d’(5) = – 3,2 
d’(10) = – 2,5 
d’(15) = – 1,42 
 
18. Crescimento populacional. Uma grande empresa imobiliária está construindo um 
complexo de 4.325 acres de casas, escritórios, lojas, escolas e igrejas na comunidade rural de 
Colônia Cela. Como resultado deste projeto os construtores estimam que a população da 
Colônia Cela (em milhares) t anos após o início do projeto será dada por 
405
20012525
)(
2
2



tt
tt
tP
 
 
d) Determine a taxa de variação da população da Colônia Cela ao longo do tempo. 
e) Qual será o tamanho da população após 10 anos? Com que razão a população estará 
aumentando quando t = 10? 
 
Respostas: 
a) P’(t) = 1600t + 4000 / (t² + 5t + 40)² 
b) P(10) = 20.789 habitantes e P’(10) = 554 hab / ano 
 
 
19. Seja f (x) = x³ + 1. 
f) Determine o(s) ponto(s) no gráfico de f onde a declividade da reta tangente é igual a 12. 
g) Determine a(s) equação(ões) da(s) reta(s) tangente na parte (a) 
h) Esboce o gráfico de f mostrando a(s) reta(s) tangente(s). 
 
Respostas: 
a) x = 2 e x = – 2 
b) y = 12x – 15 e y = 12x +17