Mecânica Geral – Apostila SENAI

Prévia do material em texto

SERVIÇONACIONALDEAPRENDIZAGEMINDUSTRIAL
EscoladeEducaçãoProfissionalSENAI“PlínioGilbertoKröeff”
MECÂNICATÉCNICA
Professor:DilmarCordenonsiMartins
Curso:MecânicadePrecisão
SãoLeopoldo
2009
1
SUMÁRIO
1CÁLCULOAPLICADO............................................................................................03
1.1UNIDADESDEMEDIDAS.....................................................................................03
1.2SISTEMASDEUNIDADES...................................................................................04
1.3NOTAÇÃOCIENTÍFICA........................................................................................06
1.4PREFIXOSSI...........................................................................................................07
1.5TEOREMADEPITÁGORAS..................................................................................07
1.6TRIGONOMETRIA.................................................................................................09
1.7REGRADETRÊS....................................................................................................11
1.7.1RegradeTrêsDireta............................................................................................11
1.7.2RegradeTrêsInversa.........................................................................................12
1.8SISTEMADEEQUAÇÕES.....................................................................................14
1.8.1MétododaAdição................................................................................................14
1.8.2MétododaSubstituição.......................................................................................16
1.9ÁREADESUPERFÍCIESPLANAS........................................................................18
1.10VOLUME...............................................................................................................20
2VETORES..................................................................................................................27
2.1GRANDEZASFÍSICAS...........................................................................................27
2.2CONCEITODEVETOR..........................................................................................27
2.3VETORESIGUAISEVETORESOPOSTOS.......................................................28
2.4ADIÇÃODEVETORES..........................................................................................28
2.4.1MétododoParalelogramo...................................................................................28
2.4.2MétododoPolígono.............................................................................................30
2.4.3Casosparticularesdaadiçãodevetores..............................................................30
2.5PROJEÇÃODEUMVETORNUMEIXO...............................................................32
2.6COMPONENTESDEUMVETOR..........................................................................33
2.7ADIÇÃODEVETORESPELOMÉTODODASPROJEÇÕES...............................34
3INTRODUÇÃOÀCINEMÁTICA..........................................................................40
3.1VELOCIDADEMÉDIA(vm).................................................................................40
3.2ACELERAÇÃOMÉDIA(am).................................................................................41
4LEISDENEWTON..................................................................................................43
4.1INÉRCIA..................................................................................................................43
2
4.2PRIMEIRALEIDENEWTONOUPRINCÍPIODAINÉRCIA...............................44
4.3SEGUNDALEIDENEWTONOUPRINCÍIPIOFUNDAMENTAL......................45
4.4TERCEIRALEIDENEWTON-PRINCÍPIODAAÇÃOEREAÇÃO...................47
5FORÇADEATRITO................................................................................................49
5.1FORÇADEATRITOESTÁTICO............................................................................50
5.2FORÇADEATRITODINÂMICO...........................................................................51
5.3INFLUÊNCIADARESISTÊNCIADOAR.............................................................52
6PLANOINCLINADO...............................................................................................54
7EQUILÍBRIODEUMPONTOMATERIAL......................................................57
8MOMENTODEUMAFORÇAOUTORQUE...................................................60
8.1CONCEITO...............................................................................................................60
8.2CONVENÇÃODESINAISDOMOMENTO..........................................................61
8.3BINÁRIO.................................................................................................................63
9VÍNCULOS................................................................................................................67
9.1CLASSIFICAÇÃODOSVÍNCULOS......................................................................67
9.2EFICÁCIAVINCULAR...........................................................................................68
9.3CLASSIFICAÇÃOESTRUTURAL.........................................................................69
10EQUILÍBRIODEUMCORPOEXTENSO...........................................................71
10.1CONDIÇÕESDEEQUILÍBRIO............................................................................71
10.2CÁLCULODEREAÇÕESEMESTRUTURASISOSTÁTICA
PORAPLICAÇÃODASEQUAÇÕESDEEQUILÍBRIODAMECÂNICA................71
REFERÊNCIAS...........................................................................................................76
3
1CÁLCULOAPLICADO
1.1UNIDADESDEMEDIDAS
Medir uma grandeza física significa compará-la com outra grandeza de mesma
espécie,tomadacomopadrão.Estepadrãoéaunidadedemedida.
� Unidadesdecomprimento
Nome
quilômetro
hectômetro
decâmetro
metro
decímetro
centímetro
milímetro
Símbolo
km
hm
dam
m
dm
cm
mm
� UnidadesdeÁrea
Nome
quilômetro
quadrado
hectômetro
quadrado
decâmetro
quadrado
metro
quadrado
decímetro
quadrado
centímetro
quadrado
milímetro
quadrado
Símbolo
km²
hm²
dam²
m²
dm²
cm²
mm²
� UnidadesdeVolume
Nome
quilômetro
cúbico
hectômetro
cúbico
decâmetro
cúbico
metro
cúbico
decímetro
cúbico
centímetro
cúbico
milímetro
cúbico
Símbolo
km³
hm³
dam³
m³
dm³
cm³
mm³
Nome
quilolitro
hectolitro
decalitro
litro
decilitro
centilitro
mililitro
Símbolo
kl
hl
dal
l
dl
cl
ml
4
� UnidadesdeMassa
Nome
quilograma
hectograma
decagrama
grama
decigrama
centigrama
miligrama
Símbolo
kg
hg
dag
g
dg
cg
mg
1.2SISTEMASDEUNIDADES
� SistemaInternacionaldeUnidades
NoBrasil,osistemadeunidadesadotadooficialmenteéoSistemaInternacional(SI).
DeacordocomoSI,háseteunidadesfundamentais,conformeoquadroabaixo.
UNIDADESFUNDAMENTAISDOSI
 GRANDEZA
NOME SÍMBOLO
comprimento metro
m
massa quilograma kg
tempo segundo s
intensidadedecorrenteelétrica ampère A
temperaturatermodinâmica kelvin K
quantidadedematéria mol mol
intensidadeluminosa candela cd
Apartirdasunidadesfundamentais,derivam-seasunidadesdeoutrasgrandezas,querecebem,então,adenominaçãodeunidadesderivadas.
No estudo da Mecânica, adota-se um subconjunto do SI conhecido como sistema
MKS.
5
SISTEMAMKS
comprimento
M
m(metro)
massa
K
kg(quilograma)
tempo
S
s(segundo)
� SistemaCGS
NaMecânicatambéméutilizadoosistemaCGS.
SISTEMACGS
comprimento
C
cm(centímetro)
massa
G
g(grama)
tempo
S
s(segundo)
EXERCÍCIOS-CONVERSÃOUNIDADESDEMEDIDAS
1)Converter:
a)6,316m__________________cmb)56dm_______________________hm
c)45000000mm²____________m²d)8,915dam²___________________dm²
e)1538,7cm³_______________dm³f)6dam³________________________m³
g)832000mm³______________mlh)75100cl______________________m³
i)6,43kg___________________gj)3817,3dg____________________dag
2)ConverterparaoSistemaInternacionaldeUnidades(SI)asunidadesabaixo:
a)2,37cm________________b)8000dm²____________________
c)82dam³_______________d)34781,6dg____________________
6
3)Utilizandoosfatoresdeconversãodastabelas,converter:
a)50inemcm________________b)25cmemin_____________________
c)75kgemonça____________d)240lbemkg____________________
e)40kgfemN________________f)6atmemN/m²___________________
1.3NOTAÇÃOCIENTÍFICA
Umamaneirapráticadeescrevermosnúmeroscomgrandequantidadedezeroséa
notaçãocientífica,naqualseutilizamaspotênciadedez.Qualquernúmerorealpodeser
escritocomooprodutodeumnúmero,cujomóduloestáentre1e10 (incluindoo1),por
outro,queéumapotênciadedezcomexpoenteinteiro(10x).
NotaçãoCientífica(1≤N<10).10x
N=númerocompreendidoentre1e10
x=expoenteinteiro
Exemplos:
1ºcaso:Onúmeromaiorque1
35000000=3,5.107
Oexpoentedodezindicaonúmerodevezesquedevemosdeslocarparaadireitaavírgula.
2ºcaso:Onúmeroémenorque1
0,000469=4,69.10-4
Oexpoentenegativododezindicaonúmerodevezesquedevemosdeslocaravírgulaparaa
esquerda.
EXERCÍCIOS
Coloqueosnúmerosseguintesemformadenotaçãocientífica.
1)3580002)0,00153)0,0000000957
4)83410000005)141.1036)0,0064.10-2
7)8752,49)265,7.10510)45000.10-2
7
1.4PREFIXOSSI
Nome Símbolo FatordeMultiplicação
exa E 1018
peta P 1015
tera T 1012
giga G 109
mega M 106
quilo k 103
hecto h 102
deca da 10
deci d 10-1
centi c 10-2
mili m 10-3
micro µ 10-6
nano n 10-9
pico p 10-12
femto f 10-15
atto a 10-18
1.5TEOREMADEPITÁGORAS
Oquadradodahipotenusaéigualasomadoquadradodoscatetos.
Essarelaçãovaleparatodosostriângulosretângulos.
hipotenusaa
 
catetoc
ca
te
to
b
8
Hipotenusa:ladomaiordotriânguloretângulo
EXERCÍCIOS
1) Adiagonal"d"deumretângulocujosladosmedem16cme12cmé:
a)17cm
b)18cm
c)19cm d
d)20cm 12cm
e)21cm
16cm
2)Ovalordexdotriânguloabaixoéiguala:
a) 3
b) 3
c) 4
d) 55 3 cm10cm
e) 5
3) Uma torre vertical é presa por cabos de aço fixos no chão, em um terreno plano
horizontal,conformemostraafigura.SeAestáa15mdabaseBdatorreeCestáa20mde
altura,ocomprimentodocabo AC é:
AB
a2=b2+c2
Ca) 15mb) 20m
c) 25m
d) 35m
e) 40m
.
x
9
1.6TRIGONOMETRIA
C
a
Hipotenusa→ladomaiordotriânguloretângulo=a
Catetoadjacenteaoânguloα:ladoqueformaoânguloαjuntamentecomahipotenusa=b
Catetoopostoaoânguloα=c
RelaçõesTrigonométricasnoTriânguloRetângulo
SENODEUMÂNGULO
senÂ=senα=
hipotenusa
opostocateto
=
a
c
senÂ=senodoânguloÂou
senα=senodoânguloα
CO-SENODEUMÂNGULO
cosÂ=cosα=
hipotenusa
cateto adjacente
=
a
b
α
AbB
c
10
TANGENTEDEUMÂNGULO
EXERCÍCIOS
1)DetermineovalordeXdostriângulosretângulosabaixo.
a) b)
20cm
2)Umfiovaiseresticadodotopodeumprédioatéumpontonochão,conformeindicaa
figura.Considerandosen37º=0,6;cos37º=0,8etg37º=0,75,determineocomprimento
dofio.
37º
42m
tgÂ=tgα=
adjacente
oposto
cateto
cateto
=
b
c
30º
X
53ºX
12cm
11
3)Qualéaalturadaigreja,sabendo-sequeadistânciadopontoAatéopontoBé100m.
A
4)Notriânguloretânguloabaixo,éverdadeiraaigualdade:
a)senα =
t
s
b)senα =
r
t
c)cosα =
r
s
s
d)cosα =
r
t
e)tgα =
r
s
1.7REGRADETRÊS
1.7.1RegradeTrêsDireta
Exemplo:
Em12m2deparedeforamutilizados540tijolos.Quantostijolosserãonecessários
paraconstruir20m2deparede?
Relação:maism2deparedemaistijolos-RelaçãoMAIS-MAIS
37º
B
α
.
r
t
12
ArelaçãoMais-MaisouMenos-Menoscaracterizaaregradetrêsdireta.Naregra
detrêsdiretamultiplicamoscruzado.
12m2540tijolos
20m2X
X.12=20.540→X.12=10800→X=
12
10800
→
X=900tijol.os.
1.7.2RegradeTrêsInversa
Exemplo: Uma casa é construída por 20 pedreiros em 30 dias. Em quantos dias será
construídaamesmacasaseonúmerodepedreirosaumentarpara50?
Relação:maisoperáriosmenosdias
ArelaçãoMais-MenosouMenos–Maiscaracterizaaregradetrêsinversa.
Naregradetrêsinversamultiplicamosladaalado.
20operários30dias
50operáriosX
50.X=20.30→50X=600→X=
50
600
→X=12dias
EXERCÍCIOS
1)Umamáquinaproduz100peçasem5horas.Quantaspeçasproduzem2horas?
2)Umaponteé feita em120diaspor16 trabalhadores.Seonúmerode trabalhadores for
reduzidopara10,qualonúmerodediasnecessáriosparaaconstruçãodamesmaponte?
3)Duaspolias, ligadasporumacorreia, têm raios20cme50cm.Supondoquea polia
maiorefetua100rpm,qualarotaçãodapoliamenor?
13
1.8SISTEMADEEQUAÇÕES
1.8.1 MétododaAdição
Elimina-seumadas incógnitas somandoalgebricamenteaequaçãodecimacoma
equaçãodebaixo.
Exemplo1
-3X+Y=14
4X–Y=8
Adicionandoasequaçõesmembroamembro,temos:
-3X+Y=14
4X–Y=8
X+0Y=22→X=22
AchandoX,podemosdeterminarovalordeYna1ªouna2ªequação.
-3X+Y=14→X=22
-3.(22)+Y=14
-66+Y=14→Y=14+66→Y=80
Exemplo2
4X+3Y=6
2X+5Y=-4
Nesseexemplonãoadiantasomarasequações,poisnemXnemYserãocancelados.
Devemos preparar o sistema de modo que os coeficientes de uma das incógnitas
fiquemsimétricos,porexemploX.Paraconseguirqueoscoeficientesfiquemsimétricos,
podemosmultiplicara2ªequaçãopor(-2).
Obs.:Umaigualdadenãosealteraquandomultiplicamostodososseustemos
pelomesmonúmero
14
4X+3Y=6
2X+5Y=-4multiplicandotodosostermosdaequaçãopor(-2),temos:
4X+3Y=6
-4X
-10Y=+8Somando-seasequações,encontramos:
-7Y=14→-14=7Y→ Y=−
7
14
→Y=-2
Substituindo-seovalordeYna1ªequação,tem-se:
4X+3(-2)=6→4X–6=6→4X=6+6→4X=12→X=
4
12
X=3
Exemplo3
2a+4b=9
3a-5b=7
Paraajustarasequaçõesparaqueumadasincógnitaseanulepodemosmultiplicara
1ªequaçãopor-3ea2ªequaçãopor2.
2a+4b=9x(-3)
3a-5b=7x(2)
-6a-12b=-27
6a-10b=14
0a-22b=-13
13=22b→
22
13
=b
2a+4b=9→2a+4(
22
13 )=9→2a+
22
52
=9→2a=9-
22
52
15
2a=
11
73
→a=
2
11
73
→a=
22
73
1.8.2 MétododaSubstituição
X+Y=11
2X–4Y=10
Escolhemosumadasequações,a1ªequação,porexemplo,eisolamosumadasincógnitas.
X+Y=11→X=11-Y
Tomamos a outra equação do sistema (2ª equação) e substituindo X pela expressão que
obtivemosanteriormente,temos:
2X–4Y=10
2(11–Y)–4Y=10→22–2Y–4Y=10→22–6Y=10→22–10=6Y12=6Y→ Y=
6
12
→Y=2
Substituindo-seYpeloseuvalornaequaçãoX=11–Y,encontramos:
X=11–Y→X=11–2→X=9
16
EXERCÍCIOS
Resolvaossistemasseguintespelométodoqueacharmaisconveniente.
 
1.-X+4Y=3
6X–2Y=26
2.2a+b=-4
3a+6b=-15
3.
2X+3Y=14
3X+2Y=11
17
1.9ÁREADESUPERFÍCIESPLANAS
A=a.b A=a2
A=
2
.ha
A=a.h
A=
2
).( hbB +
 A=
2
.dD
A=pi.R2
αemgraus
A=
360
..
2Rpiα
α emradianos
A=
2
.
2Rα
A=pi.(R2–r2)
αemradianos
A= ).(
2
2
αα sen
R
−
18
EXERCÍCIOS
1) Nafigura AB =2,0cm; CF =8,0cm; DE =5,0cm; AF =3,0cme FE =3cm.
DetermineaáreadopolígonoABCDE,emcm2.
 C
A FE
2) Umterreno tem a forma e as dimensõesespecificadasna figura abaixo.Aáreadesse
terrenoé:
24m
3)Calculeaáreadassuperfíciesplanaspintadasabaixo.
 
 
A) B)
 
 42cm
B
D
30
m
20
m
a) 1200m²
b) 1000m²
c) 600m²
d) 500m²
e) 360m²
18cm
30cm
10
cm
r
Raior=10cm
34cm
19
1.10VOLUME
a
aa
V=a3
a b
c
V=a.b.c
r
h
V=pi.r2.h
d
V=
6
.
3dpi
V=
3
..
2 hrpi
h
r
r
h
r
V= )..(
3
. 22
rRrRh ++pi
h
Ab
V=
3
1
.Ab.h
V= )..(
3 bBbB
AAAAh ++
AB
Ab
h
20
EXERCÍCIOS
1)Quantoslitrosdeáguacabemnumreservatórioquetemaformadeumblocoretangular
comdimensõesde3mx1,5mx1,2m.
1,5m
3m
2)Ocilindrorepresentadonafiguratemraiode3mealturaiguala4m.Determineoseu
volume.
3) UmcuboXtem2mdearestaeumcuboYtem1mdearesta.Então,ovolumedocubo
Xéiguala:
a)duasvezesovolumedeY
b)trêsvezesovolumedeYa
c)quatrovezesovolumedeY
d)seisvezesovolumedeYa
e)oitovezesovolumedeY
1,2m
a
21
EXERCÍCIOSCOMPLEMENTARES
1)Efetueasconversões:
a)12,781m=________________cmb)2595,4dm2=_______________dam2
c)126hm2=_______________m2d)57000mm3=________________cm3
e)28cm³=________________cl f)135,1mg=_________________g
g)15in=__________________cmh)40lb=____________________kg
i)40kgf=_________________Nj)6atm=____________________Pa
2) ConverterparaoSistemaInternacionaldeUnidades(SI)asunidadesabaixo:
a)1,947hm_________________b)527000litros___________________
c)76500cm2_________________d)2456,9dg_______________________
3)Escrevaosnúmerosabaixonaformadenotaçãocientífica
a)0,0058___________________b)65000000________________________
4)Deacordocomosdadosdafigura,determineamedidadosegmentoY.
5)QualéovalordamedidaXnotriângulosabaixo.
30cm
a) b)
X 
X
15cm
60cm
80cm
Y
.
30º 53º
22
6)Umapessoaestádistante60mdabasedeumprédioevêopontomaisaltodoprédiosob
umângulode37ºemrelaçãoahorizontal.Qualéaalturadoprédio?
7)Considereotriângulodafigura.
A
DadoAB=20cm,calculeamedidaACeAH
8)Transforme:
a)150ºemradianos b)5pi/6rademgraus
9)Qualéaáreadafigura?
5m2m
 
2m5m 
60º45º
BHC
2
m
2
m
23
10)Calculeaáreadassuperfíciesplanasabaixo.
30cm8cm
11) O reservatório da figura tem as seguintes dimensões internas: 5 m de comprimento,
2,4 m de altura e 1,5 m de largura. Estando com água até os
3
2
 de sua capacidade
máxima,elecontémumvolumedeáguacorrespondentea:
a)21m3
b)12m3
c)18m3 
d)8m3
e)6m3 
 5m
12)Calcularovolumedeumparalelepípedoretângulocujos ladossão40cm,30cme20
cm.
13)Calcularovolumedeumcilindrodediâmetro20cmealtura30cm.
14)Ovolumedeumcuboé27cm³.Calculeamedidadaarestadocubo.
a
a
2,4m
20
cm
14cm
a
.
20
cm
a) b)
1,5m
24
15)Asraízesreaisdaequação9x2-
2
3x
=0,são
a) 0ou-6
b) 1ou3
c) 0ou
6
1
d) 3ou6
e)
3
2
ou1
16.Quaisasraízesreaisdaequação4x2-3x-1=0?
17.Osistemax-y=5temcomosolução:
2x+3y=-55
a) (-8,-
2
1
)
b) (-13,4)
c) (-4,-8)
d) (-8,-13)
e) (-4,8)
18) Dezesseismáquinas foramalugadas para fazer um serviço de terraplanagem em vinte
dias. Porém seis dessas máquinas não puderam ser usadas por defeitos técnicos. Em
quantosdiasasmáquinasrestantesfizeramomesmoserviço?
19) O litro de gasolina comum custava R$ 2,00. Houve umaumento de 10 % no preço.
Apósoaumentoparaencherumtanquede40litrossãonecessários:
a)R$80,00
b)R$84,00
c)R$88,00
d)R$92,00
e)R$94,00
25
20.Opneudeumveículo,com800mmdediâmetro,aodarumavoltacompletapercorre,
aproximadamente,umadistânciade:
a) 2,51m
b) 5,00m
c) 25,10m
d) 0,50m
e) 1,51m
21.Operímetrodoretânguloemfiguraé30cm.
Entãoxéiguala:
a) 5cm
b) 2cm
c) 4,5cm
d) 10cm
e) 7,5cm
4x
3x+1
26
2 VETORES
2.1GRANDEZASFÍSICAS
A tudo aquilo que pode ser medido, associando-se a um valor numérico e a uma
unidade,dá-seonomedegrandezafísica.
Asgrandezasfísicassãoclassificadasem:
Grandeza Escalar: fica perfeitamente definida (caracterizada) pelo valor
numéricoacompanhadodeumaunidadedemedida.
Exemplos:comprimento,área,volume,massa,tempo,temperatura,etc.
GrandezaVetorial:necessita,paraserperfeitamentedefinida(caracterizada),de
umvalornumérico,denominadomóduloouintensidade,acompanhadodeumaunidadede
medida, deumadireçãoedeumsentido.TodaagrandezaFísicaVetorial érepresentada
porumvetor.
Exemplos:Força,velocidade,aceleração,campoelétrico,etc.
2.2CONCEITO
Vetor:éumsímbolomatemáticoutilizadopararepresentaromódulo,adireçãoeosentido
deumagrandezafísicavetorial.Ovetorérepresentadoporumsegmentoderetaorientado.
Módulo:éamedidadocomprimentodosegmentoderetaorientadoqueorepresenta.
Direção: ângulo que o vetor forma com um eixo de referência. Determinada pela reta
suportedosegmentoorientado.
Sentido:orientaçãodovetor.
Exemplo1
P Módulo: F
r
=30NouF=30N
 Direção:90ºcomoeixohorizontalXou
 F
r
=30N direçãoVertical
O Sentido:deOparaPouNorte
X.
27
 Módulo: vv =8m/s
Exemplo2P Direção:55ºcomoeixohorizontalX
 v
r
=8m/s Sentido:deOparaP
O55º
X
2.3VETORESIGUAISEVETORESOPOSTOS
Vetores iguais: Dois ou mais vetores são iguais quando têm o mesmomódulo, a mesma
direçãoeomesmosentido.
Vetoresopostos:Doisvetoressãoopostosquandotêmomesmomódulo,amesmadireçãoe
sentidoscontrários.
2.4ADIÇÃODEVETORES
2.4.1MétododoParalelogramo
Vetor Resultante:Vetor Resultante deváriosvetores é ovetor que,sozinho, produzo
mesmoefeitoquetodososvetoresreunidas.
R
r
=vetorresultanteou S
r
=vetorsoma
Sejamdoisvetores Fr 1e F
r
2,formandoentresiumânguloα.Ovetorsoma S
r
,também
chamadodevetorresultante R
r
,éindicadopor S
r
ou R
r= F
r
1+ F
r
2.
 F
r
1 F
r
2
28
Desenhamososdoisvetorescomsuasorigenscoincidentes.Apartirdaextremidade
dovetor F
r
1,traçamosumsegmentoderetaparaleloaovetor F
r
2.
Em seguida, a partir da extremidade do vetor F
r
2, traçamos um outro segmento
paraleloaovetor F
r
1.Ovetorsomaéobtidopela ligaçãodopontodeorigemcomumdos
vetoresaopontodeintersecçãodossegmentosderetatraçados.
 R
v
 
 
 
Omódulodovetorresultanteédadopor:
 R
r
2
=
2
1F
r
+
2
2F
r
+2. 1F
r
. 2F
r
.cosαLeidoscossenos
Exemplo-Dadososvetores ra e
r
b abaixo,demódulosiguaisa5unidadese9unidades,
respectivamente. Sendo cos 60º =0,5 , represente graficamente, pela regra do
paralelogramoovetorsoma
r
S ecalculeoseumódulo.
 αcos...222 babaS
vvvvv
++=
 º60cos.9.5.295 22 ++=S
v
= 5,0.908125 ++ = 458125 ++ =12,29u
F
r
1
F
r
2
α
 
 
 
ou
 R
r
= αcos...2 21
2
2
2
1 FFFF
vvvv
++
r
a
60º
r
b
r
a
r
b
S
v
29
2.4.2MétododoPolígono
Aregradopolígonopodeserutilizadanaadiçãodequalquernúmerodevetores.Para
a sua utilização devemos colocar os vetores de tal modo que a origem do segundo vetor
coincidacomaextremidadedoprimeiro;aorigemdoterceirocoincidacomaextremidade
do segundo; a origem do quarto coincida com a extremidade do terceiro; e assim
sucessivamente.Ovetorsomaouvetorresultanteédeterminadoligando-seaorigemdo1º
vetoràextremidadedoúltimovetor,conformemostraoexemploabaixo.
 Ex.Dadasasforças F
r
1, F
r
2, F
r
3e F
r
4,cujosmódulossão,respectivamente,30
N, 50N, 40 N e 20 N, determine graficamente (método do polígono) a força resultante
R
r
= F
r
1+ F
r
2+ F
r
3+ F
r
4.Escala:1cm=10N
 F
r
2 F
r
4
 F
r
1 F
r
3
 F
r
4
 R
r
≅31N
 F
r
3
 F
r
1
 F
r
2
2.4.3Casosparticularesdaadiçãodevetores
1°)Osvetorestemamesmadireçãoeomesmosentido(αααα=0º)
 1F
r
=4N
 2F
r
=3N
 
 1F
r
 2F
r
 R
v
=4+3=7N
 NR 7=
v
21 FFR
vrv
+=
30
2º)Osvetorestemamesmadireçãoesentidoscontrários(αααα=180º)
 1F
r
=7N
 
 2F
r
=3N
 1F
r
 R
v
=7-3=4N
 NR 4=
v
 2F
r
3º)Osvetoressãoperpendicularesentresi(αααα=90º)
 Triânguloretângulo“1”
 R
r
 AplicandoPitágoras,temos:
 1F
r
F1
R2=(F1)2+(F2)2
2
2
2
1 FFR
rvv
++++====
21 FFR
vrv
−=
1
 2F
r
31
2.5PROJEÇÃODEUMVETORNUMEIXO
Ex.1
Y
 projxF→projeçãonoeixoXdaforça F
rr
 F
rr
=30N
yF
r
=0 projxF=Fx=30N
 projyF=Fy=0
 xF
r
X
Ex.2
Y
 yF
r
 projxF=Fx=0N
 projyF=Fy=60N
 ====F
v
60N
 xF
r
=0X
CONVENÇÃODESINAISPARAPROJEÇÕESDEVETORES
- Eixo“X”
- Orientaçãodovetorparaadireita–positivo
- Orientaçãodovetorparaaesquerda-negativo
- Eixo“Y”
- Orientaçãodovetorparacimapositivo
- Orientaçãodovetorparabaixonegativo
 
-
+
+
-
32
2.6COMPONENTESDEUMVETOR
Todoovetorpodeserobtidoapartirdasomadedoisoutrosvetores,perpendiculares
entresi,chamadosdecomponentesdovetordado.Assim,dadoovetor NF 100====
r
,elepode
serdecompostoemdoisoutrosvetores, xF
r
 e yF
r
, que recebemonomedecomponentes
retangulares(oucomponenteshorizontalevertical)dovetor F
r
.
YY
 
β F
r
 yF
r
 X xF
r
X
CálculodeFxCálculodeFy
Triângulo1 Triângulo2 
 
cosα=catetoadjacente/hipotenusacosβ=catetoadjacente/hipotenusa
cosα=
F
Fx
cosβ=
F
Fy
cosα.F=FxF.cosβ=Fy
Fx=F.cosαFy=F.cosβ
α α
β
1
2
F
r
33
CálculodeFyusandooseno-Triângulo1
senα=catetooposto/hipotenusa
senα=
F
FY
→Fy=F.senα
Ex.1.Determinaroscomponenteshorizontaleverticaldovetor F
r
.
Y
 F
r
=50NFx=Fcosα
 Fx=50.cos37º
 yF
r
53º Fx=50.0,8=40N
Fy=F.cosβ
Fy=50.cos53º
Fy=50.0,6=30N
Ex.2.Determinarascomponenteshorizontaleverticaldovetor vr representadoabaixo.
Y
 v
r
X
2.7ADIÇÃODEVETORESPELOMÉTODODASPROJEÇÕES
Quando o sistema é formado por mais de dois vetores concorrentes e coplanares,
podemos determinar o vetor resultante pelométodo das projeções de cadavetor em dois
eixosperpendiculares(XeY).
37º
 xF
r
X
60º
34
Ex.Dadasasforçasindicadasnafigura,determineomódulo,adireçãoeosentidodaforça
resultante R
r
( R
r
= 321 FFF
vvv
++++++++ )
Y
 37º 
 X
 3F
r
=40N
1º)ResultanteemX
Rx=ΣprojxF
Rx=projxF1+projxF2+projxF3
Rx=50–20cos37º+0Rx=50–20.0,8Rx=50–16Rx=34N
2º)ResultanteemY
RY=ΣprojYF
Ry=projyF1+projyF2+projyF3
RY=0+20.cos53º-40RY=20.0,6–40=12–40=–28
1F
r
=50N
2F
r
=20N
35
3º)Cálculodomódulodovetorresultante
Y
 R
v
=
22 RyRx ++++
 XR
r
 
 X R
v
=
228234 ++++
 YR
r
 
 R
v
 R
v
= 7841156 ++++ 
 R
v
=44,04N
Direção:tgθ=
Rx
Ry
tgθ=
34
28
=0,823θ ≅ 39º
Direção:aproximadamente39ºcomoeixoX,sentidosudeste
EXERCÍCIOS-VETORES
1)Determineaintensidadeetrace,pelométododoparalelogramo,ovetorsoma
r
S = ra +
r
b paraocasoabaixo.
Dados:| ra |=10cm,| rb |=8cm,cos60º=0,5
 
r
b
 
 
r
a
60º
θ
36
2)Noscasosaseguir,determineaforçaresultantequeagesobrecadapartícula,sabendo-se
queaintensidadedasforças F
r
1e F
r
2são,respectivamente,20Ne50N.
 A)B)
 F
r
2 F
r
2 F
r
1
•
 F
r
1
C) D)
 F
r
1120º F
r
1 F
r
2
 F
r
2
3)Paraosvetores ra e
r
b e cv aseguir,determinegraficamenteovetor
r
S = ra +
r
b + cv
 
 
 
 
 
 
 
 
 
4)Emcadacasodetermineascomponentesretangularesdovetor rF representadoabaixo.
a)Y b)Y
 NF 50====
r
 NF 40====
r
 
 37º
 XX
c) Y
Yd)
 NF 30====
r
 NF 40====
r
XX
60°
r
b
c
v
r
a
.
.
37
5)Determineomódulo,adireçãoeosentidodaforçaresultantequeagesobreapartícula.
EXERCÍCIOSCOMPLEMENTARES
1)Determineparaoscasosabaixoaintensidadedaforçaresultanteetrace,pelométododo
paralelogramo,asuadireçãoeoseusentido.
a)
b)
F1=40N
F2=30N
F3=10N
F4=50N
r
F 1
r
F 2
r
F 3
60º
53º
X
Y
r
F 4
●
100N
60N
65º
38
2)Determine,omódulo,adireçãoeosentidodaforçaresultantedasfigurasabaixo.
a)
 
b)
r
F 2=30Nr
F 1=50N
X
r
F 4=80N
100N
300N
200N
53º
37º
Y
r
F 3=60N
37º
39
3INTRODUÇÃOÀCINEMÁTICA
3.1VELOCIDADEMÉDIA(vm)
vm=
t
d
∆
∆
vm
o
o
tt
dd
−
−
∆d=distânciatotalpercorrida
∆t=tempogastonopercurso
do=posiçãoinicial
d=posiçãofinal
to=instanteinicial
t=instantefinal
Unidades–noSI
∆d–metro(m)
∆t–segundo(s)
v-m/s
d=0do∆dd
tot
40
EXERCÍCIOS
1)Umautomóvel,quetrafegaaolongodeumarodovia,passapelomarcodeestrada250km
às7hepelomarco400kmàs10h.Determineavelocidadeescalarmédia,emkm/hem/s,
nesseintervalodetempo.
2)Umveículopercorre, inicialmente, 50kmdeumaestradaem0,5h.A seguir percorre
mais120kmem1he30min.Determineavelocidadeescalarmédiadoveículo,emkm/h,
durantetodoopercurso.
3) Um caminhão, em um trecho inicial não-pavimentado da estrada, desenvolve uma
velocidade de 40 km/h, gastando um tempo de 2h neste percurso. No trecho seguinte
(asfaltado),suavelocidadepassaaser70km/h,sendomantidaduranteumtempode1h.
a)Quedistânciatotalocaminhãopercorreu?
b)Qualfoiavelocidademédiadocaminhãonestaviagem?
3.2ACELERAÇÃOMÉDIA(am)
Quando um movimento apresenta variação da sua velocidade, ao longo do tempo, o
movimentoéummovimentovariado–apresentaaceleração.
Movimentos acelerados apresentam um aumento da velocidade e os retardados uma
diminuiçãodavelocidade.
vov
v
tot
41
am=
t
v
∆
∆
am=
0
0
tt
vv
−
−
∆v=variaçãodavelocidade=v–vo
∆t=intervalodetempo(variaçãodotempo)=t-to
vo=velocidadeinicial
v=velocidadefinal
Unidades-noSI
v–m/s
t–s
a–m/s2
Aceleraçãoéagrandeza físicaque relacionaavariaçãodavelocidadecomo tempogasto
nessavariação.
Ex.:am=5m/s2 significaqueavelocidadeestávariando,emmédia,de5m/semcada1
segundo.
EXERCÍCIOS
1) Partindodorepouso,umaviãopercorreapistaeatingeavelocidadede360km/h,em
25s.Qualovalordaaceleraçãoescalarmédia,emm/s2?
2) Ummóvelsemovimentasobreuma trajetória retilíneae temvelocidadeemfunçãodo
tempo,indicadapelatabela.Determineaaceleraçãomédianointervalode0a10s.
t(s) 0 2 4 6 8 10
v(m
/s)
8 16 24 32 40 48
42
4LEISDENEWTON
4.1INÉRCIA
A tendêncianaturaldoscorposdemanterseuestadoderepousooudemovimento
retilíneoeuniformedenomina-sedeinércia,portantoinérciaconsistenatendêncianatural
queoscorpospossuememmantervelocidadeconstante.
Exemplo: Quando um ônibus arranca, o passageiro por inércia tende a permanecer em
repousoemrelaçãoaosoloterrestre.Comooônibusmovimenta-separafrenteopassageiro
caiparatrás,conformefigura.
Nocasodeumônibusfrearbruscamenteospassageirostendemamanter-senoseu
estado de movimento. Por isso as pessoas vão para a frente do ônibus. Na realidade, a
mudança do estado de movimento é do ônibus. Os passageiros tendem a manter-se como
estavam,ouseja,emmovimentoeoônibusnão.
43
4.2PRIMEIRALEIDENEWTONOUPRINCÍPIODAINÉRCIA
Todoocorpocontinuanoseuestadoderepousooudemovimentoretilíneouniforme,
amenosquesejaobrigadoamudaresseestadoporforçasimprimidassobreele.
Podemos concluir, que um corpo livre de ação de forças, ou com força resultante
nula,conservará,porinércia,suavelocidadeconstante.Todoocorpoemequilíbriomantém,
porinércia,suavelocidadeconstante.
Equilíbriode RepousoEquilíbrioestático
umpontoFr=0 vr constanteou
materialMRU Equilíbriodinâmico
 
ReferencialInercial
Asnoçõesde repouso,movimento,velocidade,aceleração, força,etc.dependemdo
sistemadereferência.ReferencialInercialétodoaquelequetornaválidaaleidainércia,ou
seja,umsistemadereferênciaquenãopossuiaceleraçãoemrelaçãoasestrelasfixas.
ParaamaioriadosproblemasdeDinâmica,envolvendomovimentosdecurtaduração
na superfície terrestre, podemosconsiderar um sistema de referência fixo na superfície da
Terracomoinercial,emborasabemosqueaTerranãosejaumperfeitoreferencialinercial
devidoaseumovimentoderotação.
Quandoomovimentoemestudo émuitoprolongado , devemosconsiderar inercial
umsistemadereferêncialigadoasestrelasfixas,quesãoestrelasqueaparentammanterfixas
suasposiçõesnocéuapósmuitosséculosdeobservaçõesastronômicas.
44
4.3SEGUNDALEIDENEWTONOUPRINCÍIPIOFUNDAMENTAL
Quandoumaforça resultanteatuanumpontomaterial,esteadquireumaaceleração
namesmadireçãoesentidodaforça,segundoumreferencialinercial.
 Aresultantedasforçasqueagemnumpontomaterialéigual
aoprodutodesuamassapelaaceleraçãoadquirida.
m=massa
 F
v
r=m. a
v
a=aceleração
Fr=forçaresultante
Asgrandezasvetoriais F
v
re a
v
possuemmesmadireçãoesentido.
Unidades–noSI
memquilograma(kg)
a
v
emm/s²
F
v
remnewton(N)
1kg.1m/s²=1N
Pesodeumcorpo(P)
Éaforçadeatraçãogravitacionalsofridaporumcorponavizinhançadeumplaneta
ououtro grande corpo. Opeso de um corpo na Terra é a força de atração que a Terra
exercesobreocorpo,sendoessaforçadirigidaparaoseucentro.
 Devidoàsdiferentesmassasdosplanetasdosistemasolar,opesodeumcorpo
serádiferenteemcadaumdeles.Quantomaiorforamassadeumplaneta,maiorseráaforça
gravitacionalqueoplanetaexercesobreoscorpos.
Quando um corpo está em movimento sob ação exclusiva de seu peso Pv , ele
adquireumaaceleraçãodenominadaaceleraçãodagravidade gv .
45
Peloprincípiofundamentaldadinâmica,resulta:
 gmP v
v
.====
Aaceleraçãodagravidade(g),emnossoplaneta,temintensidadeaproximadade9,8
m/s².Emoutrosastroscelestes,aaceleraçãodagravidadetemintensidadediferente,como
porexemplo,naLuag=1,6m/s²eemJúpiterg=26,5m/s².
Exemplo:Amassadeumapessoaéde80kgDetermineopesodapessoanaTerra,naLua
easuamassanaLua.
PesonaTerra
P=m.gP=80kg.9,8m/s²=784N
PesonaLua
P=m.g
P=80kg.1,6m/s²=128N
MassanaLua
m=80kgamassaéconstanteemqualquerplaneta.
46
4.4TERCEIRALEIDENEWTON-PRINCÍPIODAAÇÃOEREAÇÃO
SeumcorpoAaplicarumaforça AF
v
sobreumcorpoB,esteaplicaemA
umaforça BF
v
demesmaintensidade,mesmadireçãoesentidooposto.
Exemplo1
AforçaqueAexerceemBeacorrespondenteforçaqueBexerceemAconstituemo
paração-reação
Exemplo2-Blocoapoiadonumamesa
 NF
v
 P
v
No exemplo, o bloco é atraído pela Terra, exercendo sobre a mesa uma força de
compressão. Pelo princípio da Ação e Reação a mesa exerce sobre o bloco uma força de
reação NF
v
demesmaintensidade,mesmadireção,porémdesentidocontrário.
47
Exemplo3
Asforçasdeaçãoereaçãopossuemasseguintescaracterísticas:
• Sãoforçastrocadasentredoiscorpos;
• Não se equilibram e não se anulam, pois estão aplicadas em corpos
diferentes.
• Temamesmadireçãoesentidoscontrários.
EXERCÍCIOS
1) Suponha que um bloco seja puxado com uma força horizontal F = 20 kgf sobre uma
superfíciehorizontalsematrito,adquirindoummovimentoretilíneocomumaaceleraçãode
5m/s2.Qualéamassadobloco?Considere1kgf=9,8N
2)Umblocodemassa4kgdeslizasobreumplanohorizontalsujeitoaaçãodasforças 1Fv =
50Ne 2F
v
=26N,conformeindicaafigura.Determineaaceleraçãodocorpoeareaçãodo
planodeapoio.Considereg=9,8m/s2
 2F
v
 1F
v
48
5FORÇADEATRITO
Considere um corpo apoiado sobre uma superfície horizontal e rígida. Se o corpo
receberaaçãodeumaforçaF,devidoàsrugosidadessurgeaforçadeatrito.Asforçasde
atritosãocontráriasaomovimento.
A forçade atrito entre os corpos sólidos é devido às asperezas das superfícies em
contatoediminuicomopolimentooucomusodelubrificantes.
 
Existemdoistiposdeforçasdeatrito.Forçadeatritoestáticaeforçadeatrito
cinético.Quandoa forçadeatrito impedequeocorpodeslize,ouseja,nestecasoocorpo
estáemrepouso,dizemosqueoatritoédotipoestático.Quandoaforçadeatritoatuasobre
corposqueestãodeslizandosobrealgumasuperfície,ousejaemmovimento,dizemosqueo
atritoédotipodinâmico.
 F
r
49
5.1FORÇADEATRITOESTÁTICO
 N
r
 F
v
 aeF
v
 P
r
Admitaumcorposobreumasuperfície,conformefiguraacima, sendosolicitadaa
mover-sepelaforça F
v
.Enquantoocorponãodeslizar,àmedidaquecresceovalorde F
v
,
crescetambémovalordaforçadeatritoestática,demodoaequilibraaforça F
v
,impedindo
omovimento.Quandoaforça Fv atingirumdeterminadovalor,ocorpoficanaiminênciade
deslizar,eaforçadeatritoestáticaatingeoseuvalormáximo.Apartirdesseinstante,com
qualqueracréscimoqueaforça F
v
sofra,ocorpocomeçaadeslizar.
Aforçadeatritoestáticaédadapor:
Fae=µe.N
N=forçanormalqueocorpotrocacomasuperfíciedeapoio.
µe=coeficientedeatritoestático
Ocoeficientedeatrito µ éumnúmeroadimensional edependedomaterial
doscorposemcontatoedopolimentodassuperfícies
50
5.2FORÇADEATRITODINÂMICOOUCINÉTICO
 N
r
v
v
 F
v
adF
v
 P
r
Seocorpoestáescorregandonasuperfíciedeapoio,comvelocidade v
v
,conforme
figura,significaqueaforçadeatritoqueageneleédinâmicooucinéticoeédadapor:
µd=coeficientedeatritodinâmico(dependedasduassuperfíciesqueestãoemcontato).
N=forçanormal
Observações:
1) Sealguémestiverempurrando umcorpo,masestepermaneceemrepouso, a forçade
atritoqueagenestasituação serásempre iguala forçaqueapessoa estiveraplicandono
corpo.
2)Aequaçãodaforçadeatritoestáticomáximoserveparadeterminaraforçamáximaque
a superfície pode aplicar no corpo para mantê-lo em repouso. Depois deste valor a
superfíciedeixaocorpoentraremmovimento.
3)Aequaçãodaforçadeatritodinâmicasópodeserusadaparadeterminarqualovalorda
forçadeatritoaplicadapelasuperfícieemcorposquejáestãomovimentando-se.
4)Aforçadeatritoderolamentoémuitomenorquenoatritodedeslizamento,aíresidindo
avantagemdainvençãodaroda.
Fad=µd.N
51
5.3INFLUÊNCIADARESISTÊNCIADOAR
Omeionoqualocorpoestáimerso(aroulíquido)oferecetambémumaresistência
aodeslocamento.
Umcorpoabandonadodoaltodeumprédioadquiremovimentoaceleradoporcausa
daaçãodaforçapeso.Alémdessaforça,atuanocorpoaforçaderesistênciadoar,quetem
mesmadireçãoesentidocontrárioaodaforçapeso.
Essaforçaderesistênciadoarévariáveledependedavelocidadedocorpo,desua
formaedamaiorsecçãotransversalemrelaçãoàdireçãodomovimento.
Exemplos:
• Um pára-quedas tem forma semi-esférica côncava (área grande) para aumentar a
forçaderesistênciadoar.
• Carros, aviões e peixes têm forma aerodinâmica (cortam o ar e água) e área da
secção transversal muito pequena para diminuir a força de resistência do ar ou da
água.
EXERCÍCIOS
1)Umcorpodemassa4kgestásobaaçãodeumaforçaF=80Nesedeslocanadireção
horizontal. O coeficiente de atrito cinético entre o corpo e o apoio é igual a 0,5.
Considerandoaaceleraçãodagravidadelocaliguala10m/s2,determine:
 F
v
a)Aforçanormal(reaçãodoapoio) aF
v
b)Aforçadeatrito
c)Aaceleraçãoadquiridapelocorpo.
2)Parainiciaromovimentodeumcorpodemassa8kg,apoiadosobreumplanohorizontal,
énecessáriaumaforçamínimade50N.Paramanterocorpoemmovimentouniformeé
precisoaplicar aoblocoumaforçade40N.Determineoscoeficientesdeatritoestáticoe
dinâmicoentreocorpoeoplano.Adoteg=10m/s2.
3)Umcarrode800kg,andandoa108km/h,freiabruscamenteepáraem5s.
a)Qualaaceleraçãodocarro?
b)Qualovalordaforçadeatritoqueatuasobreocarro?
52
4) Sistemadafigura,oscorposAeBtêmmassasmA=3kgemB=6kg.Oscorposestão
ligadosporumfio idealquepassaporumapoliasematrito,conformefigura..Entreo
corpo A e o apoio há atrito, cujo coeficiente é 0,5. Considerando-se g = 10 m/s2,
determineaaceleraçãodoscorposeaforçadetraçãonofio.
A
B
53
6PLANOINCLINADO
Y
 N
v
 a
v
X
Px=P.senαouPx=P.cosβ
Py=P.cosα
P=pesodocorpo
N=reaçãonormaldeapoio
Fa=Forçadeatrito
Px>Fa→ corpoemmovimento
Py=N
P
v
yP
v
xP
v
α
α
aF
v
β
54
EXERCÍCIOS
1)Umcorpodemassa20kgdesceumplanohorizontal quefazumângulode37ºcoma
horizontal. O coeficiente de atrito entre as superfícies é 0,4. Considerando g = 10 m/s2 ,
determine:
a)areaçãonormaldeapoio
b)aaceleraçãodocorpo.
2)Umcorpodemassa5kgmove-sesobreumplanohorizontalperfeitamenteliso,puxado
porumaforça F
v
paralelaaoplanoinclinado,comoindicaafigura.
 F
v
Sabendoqueg=10m/s2,calculeaintensidadedaforça F
v
nosseguintescasos:
a)ocorposobeoplanoinclinadocomumaaceleraçãode2m/s2
b)ocorposobeoplanoinclinadocomvelocidadeconstante.
α
m
30º
55
3)Nosistemadafigura,ocoeficientedeatritoestáticoentreoblocoAeoplanovale0,3eo
coeficientedeatritodinâmicovale0,2.AsmassasdeAeBsãorespectivamenteiguaisa10
kge8kgeosistemaéabandonadoapartirdorepouso.Ofioeapoliasãoideaiseg=10
m/s2.
a)QualaintensidadedaforçadeatritoentreoblocoAeoplanoinclinado?
b)Qualaaceleraçãodosistema?
A
B
30º
56
7EQUILÍBRIODEUMPONTOMATERIAL
Para que um ponto material esteja em equilíbrio é necessário e suficiente que a
resultantedetodasasforçasqueneleagemsejanula.
Equilíbrioestático- vv = 0
v
-pontomaterialemrepousoemrelação
Fr=0 aumreferencial
Equilíbriodinâmico- =vv constante≠ 0
v
-opontomaterialestáem
MRU(movimentoretilíneoeuniforme)
Rx=0-ΣprojxF=0–somatóriodasprojeçõesemXdetodasas
Fr=0 forçaséigualazero
Ry=0-ΣprojyF=0–somatóriodasprojeçõesemYdetodasas
forçaséigualazero.
EXERCÍCIOS
1) Calculeaintensidadedastraçõesnosfiosideais1e2nassituaçõesabaixo.
 
 
30º 60º
a) b)
 2
 1 2
 
 1
 
P=300N
 
P=200N
53°
57
2)DetermineasforçasdetraçãonoscabosABeBCdafiguraaseguir.Considereoscabos
ideais.
3)Afiguramostraoesquemadesustentaçãodeduascargaspormeiodeumcabodeaço.O
caboestáfixoemAepassaporumapequenaroldanaemB.OesforçonocaboACé500
kgf.CalcularascargasPeQ.Considereosfiosideaisedesprezeoatrito.
B
 
 
 
 
 Q 
 
 
P 
 
4)DetermineaforçadetraçãonofioACeacompressãonabarraABdaestruturaaseguir.
Considereofioeabarraideais.
C
⋅⋅⋅⋅30º
BA
500N
37º
P=50N
60º
37º
C A
58
5)Considereumaesferahomogêneadepeso250Nsuspensaporumfioeencostadaauma
paredevertical,comoilustraafigura.Aesferaestáemequilíbrio.Determine:
a)aforçatensoranofio
b)areaçãoopostaàesferapelaparede.
6)CalculeaintensidadedaforçadetraçãonofioABeacompressãonabarra.ACdaestruturaabaixo.Desprezeopesodofioedabarra.
B
40º
A
60º
C
P=200N
.
25º
59
8MOMENTODEUMAFORÇAOUTORQUE
8.1CONCEITO
O momento de uma força é a capacidade dessa força em fazer girar um objeto.
Consideremosumaforçade intensidadeF,aplicada numpontoAdeumabarraquepode
girarlivrementeemtornodopontoO(pólo),conformefigura:
r
F
O 
d
Aintensidadedomomentoda
r
F emrelaçãoaopontoO(pólo)édadopor:
MTOOF=F.d
Omomentodaforça
r
F ,emrelaçãoaumpontoOfixo,éoprodutodaintensidadeda
força
r
F peladistânciaddopontoàretasuportedaforça.
Ponto“O”–pólodomomento
F=força
d=braçodaforça–distânciadaretasuportedaforça(linhadeaçãodaforça)aoeixode
rotação.Perpendiculartraçadadalinhadeaçãodaforçaaoponto(pólo).
MTOOF=MomentodaforçaFemrelaçãoaopontoO.
No caso de uma força que não seja perpendicular ao segmento de reta que une o
pontode aplicação da força aopólo, podemoscalcularomomentodessa forçasdeduas
maneiras:decompondoaforçaoucalculandoamedidadobraçodaforça.
60
UnidadesnoSI:
F-emN(Newton)
d-emm(metro)
MTO-N.m
Outrasunidadesdomomento
N.cm,N.mm,kgf.m,kgf.cm,kgf.mm
8.2CONVENÇÃODESINAISDOMOMENTO
••••Rotaçãosentidohorário–MTO+
••••Rotaçãosentidoanti-horário–MTO-
EXERCÍCIOS
1)Calcularomomentodecadaumadasforças,emrelaçãoaopontoO,dabarraemfigura.
r
F 1=80N
O
r
F 3=100N
0,3m0,2m
 2F
r
=50N
61
2) Determinaromomentoresultante,emrelaçãoaopontoC,dabarraemfigura.
 2F
r
=60N
r
F 4=70N
 
r
F 6=90N
ABCDE
r
F 1=50N
r
F 3=80N
r
F 5=100N
1m1m1m1m
3)Determineomomentoresultante,emrelaçãoaopontoO,dafiguraabaixo.
 2F
r
=70N
r
F 1=50N
 
 
 3F
r
=40N
 
r
F 3=40N
 4F
r
=60N
4)Determineomomentodaforça rF emrelaçãoaopontoA.
20cm
A•B
37º
r
F =100N
O
40cm
30cm
62
8.3BINÁRIO
Denomina-se binário o sistema constituído por duas forças de mesma intensidade,
mesmadireção,sentidosopostoseaplicadasempontosdistintos.
r
F
ABsentidoderotação
r
F
b
 
OBS:
� Umbináriotendeaproduzirapenasumarotaçãonocorpoemqueéaplicadoesópode
serequilibradoporoutrobinário,poisumaoutraforçaqueatuassenocorpoprovocaria
umaresultanteR ≠ 0;
� Aresultantedeumbinárioénula.
Omomentodobinárioédadopor:
b=braçodobinário
F=intensidadedaforça
EXERCÍCIOS
Determineomomentodosbináriosdasbarrasrepresentadasabaixo.
 NF 50=
r
1)
NF 50=
r
 
Mtobinário=F.b
0,3m
63
2)
 NF 70====
r
 
 30º 
A20cmB
30º
 NF 70====
r
EXERCÍCIOSCOMPLEMENTARES
1)Calculeaintensidadedastraçõesnosfiosideais1e2nassituaçõesabaixo.
 
 
 50º
a) b)
 2 12 
 
 1
 
 P=400N
 P=500N
2)Afiguramostraoesquemadesustentaçãodetrêscargaspormeiodecabos.Determine
ospesosNeP,sabendo-sequeopesoQéiguala600kgf.Considereosfiosideais.
 
 
 
 
 
 
 Q
 N 
 N
60°
P
30º
40º
64
3)Calcularaforçadetraçãonofioeacompressãonabarradaestrutura.Desprezeopeso
dabarraedofio.
45º
P=900N
4) Determine o momento resultante,em relação ao ponto C, das forças representadas a
seguir.
Dados:
F1=10N,F2=50N,F3=60N,F4=100N,F5=50N,F6=20N
 2F
r
 3F
r
 4F
r
 
 
5F
r
ABCDE
 
 1F
r
 6F
r
 2m3m2m2m
 
 
 
5)DetermineomomentodaforçaFemrelaçãoaopontoB.
B A
 
 60°
 F
r
=80N
0,3m
.
65
9VÍNCULOS
Étodoelementodeligaçãoentreaspartescomponentesdeumaestruturaouentrea
estruturaeosolo.Todaacondiçãogeométricaquelimiteamobilidadedeumcorpochama-
sevínculo.Osvínculosdevemimpedirqueaestruturapercasuaformaequesemovimente,
todaviapermitemasdeformaçõeselásticasdaspeçasdaestrutura.
9.1CLASSIFICAÇÃODOSVÍNCULOS
Osvínculossãoclassificadossegundoosmovimentosqueimpedem.Examinaremos
aqui os vínculos no caso plano, lembrando que uma barra possui no plano três graus de
liberdade:duastranslaçõeseumarotação.
Vínculode1ªClasse:sãoosqueimpedemumúnicomovimentodaestrutura
Representação: 
 
 F
r
Exemplo-Apoiosimples
66
Vínculode2ªClasse:Sãoosqueimpedemdoismovimentosdaestrutura
Representação:
Exemplo
 MovimentodocarrinhosomentenoeixoX
Vínculode3ªClasse:Sãoosqueimpedemostrêsmovimentosdaestrutura.
Representação:
 
 
 
 
Exemplo-Engaste
9.2EFICÁCIAVINCULAR
Para que a vinculação seja eficaz é necessário que a quantidade de vínculos seja
suficiente para impedir os movimentos da estrutura e ainda que esses vínculos estejam
corretamentedistribuídos.
67
- Vinculaçãoeficaz
 2F
r
 1F
r
- Vinculaçãoineficaz
 
 2F
r
 1F
r
9.3CLASSIFICAÇÃOESTRUTURAL
Conformeonúmerodevínculosaestruturapodeser:
1º)EstruturaHipoestática
Onúmerodevínculoséinsuficienteparaimpedirosmovimentosdaestrutura.
 2F
r
1
F
r
68
2º)EstruturaIsostática
Onúmerodevínculosésuficienteparaimpedirosmovimentosdaestrutura.
 2F
r
 1F
r
3º)EstruturaHiperestática
Onúmerodevínculosémaisdoquesuficienteparaimpedirosmovimentosda
estrutura.
 
 2F
r
69
10EQUILÍBRIODEUMCORPOEXTENSO
10.1CONDIÇÕESDEEQUILÍBRIO
Paraqueumcorpoestejaemequilíbrioénecessárioesuficientequearesultantede
todasasforçasqueneleagemsejanulaequeosomatóriodosmomentosdetodasasforças,
emrelaçãoaumpontoqualquerdaestrutura,sejanula.
Rx=0-ΣprojxF=0–somatóriodasprojeçõesemXdetodasas
Fr=0 forçaséigualazero
Ry=0-ΣprojyF=0–somatóriodasprojeçõesemYdetodasas
forçaséigualazero.
Essacondiçãoimplicaqueocorponãoterámovimentodetranslação.
ΣMTOAF=0 Osomatóriodosmomentosdetodasasforças,emrelaçãoaum
pontoAqualquerdaestrutura,énula.
Essacondiçãoimplicaqueocorponãoterámovimentoderotação.
10.2CÁLCULODEREAÇÕESEMESTRUTURASISOSTÁTICA
PORAPLICAÇÃODASEQUAÇÕESDEEQUILÍBRIODAMECÂNICA.
Para o cálculo de reações, em estruturas isostática, utilizam-se as equações de
equilíbriodamecânicavistasacima.
70
EXERCÍCIOS
DeterminarasreaçõesnosapoiosAeBdasestruturasrepresentadasabaixo.
1) 200N500N
 
 A 
 
 1m3m1m 
300N200N500N
2)
 A B 100N
1m1,5m1,5m1m
3)
500N 1000N
 
 
 AB 37° 
1m2m1m
 500kgf/m
800kgf
4) 
A
B
2m2m4m2m 
B
71
5)Osistemadafiguraestáemequilíbrioestático.OpontoArepresentaumaarticulaçãoemtornodaqualabarraABdecomprimento3mepeso2000Npodegirar.Determine:
a) Aintensidadedatraçãonocabo,considerando-oideal.
b) Aintensidadedasforçascomponentes(horizontalevertical)naarticulaçãoA.
 30°
ACB
 
F
=4000N
2m1m
 
6)Determinaraforçadetraçãonocabo1easforçasdereaçõeshorizontaleverticalno
apoioAdaestruturaabaixo.
5kN/m1
 10kN
 
AB
53º
4m3m3m
72
7) Oguindastedafigurafoiprojetadopara5kN. Determinaraforçaatuantenahastedo
cilindroereaçãohorizontaleverticalnaarticulaçãoA.
EXERCÍCIOSCOMPLEMENTARES
1)DetermineasreaçõesnosapoiosAeBdasestruturasrepresentadasaseguir.
a)
10kN15kN
200mm350mm350mm
73
b)
c)
0,5m0,4m0,10,2
d)
e)
 
200Nm
37º
1,5m1,5m
8000N/m2500N
3,0m1,5m1,5m
4kN/m5kN
4kN/m6kN/m
3m3m
500N
600N300N
74
REFERÊNCIAS
BONJORNO,JoséR.etal.Físicafundamental:volumeúnico.SãoPaulo:FTD,1992.
HIBBELER,RusselCharles.Mecânicaestática.RiodeJaneiro:LivrosTécnicose
CientíficosEditora,[199?].
MELCONIAN,Sarkis.Mecânicatécnicaeresistênciadosmateriais.14.ed.SãoPaulo:
Érica,2004.
NICOLAU,Gilberto;PENTEADO,Paulo;TORRES,Carlos.Física:ciênciasetecnologia.
SãoPaulo:Moderna,2006.