Apostila Superfícies quádricas

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1
AULA: Superfícies Quádricas 
Definição 1: Uma equação geral do 20 grau em três variáveis é uma equação do tipo: 
0222 =+++++++++ JIzHyGxFyzExzDxyCzByAx (I), 
com pelo menos uma das constantes A, B, C, D, E ou F é diferente de zero. 
Definição 2: Uma superfície cuja equação é do tipo (I) é chamada de superfície quádrica. 
Obs: A interseção de uma superfície quádrica com um dos planos coordenados ou por 
planos paralelos a eles é uma cônica. Em casos particulares, a interseção pode ser uma reta, 
duas retas, um ponto ou o conjunto vazio. Esses casos constituem as cônicas degeneradas. 
 Através de uma rotação e/ou translação de eixos a equação (I) pode assumir uma das 
seguintes formas: 
(II) DCzByAx =++ 222 (quádricas cêntricas) 
( )cêntricas não quádricas )(
22
22
22



=+
=+
=+
CxBzAy
CyBzAx
CzByAx
III 
Quádricas Cêntricas: DCzByAx =++ 222 
 Se as constantes A, B, C e D são não nulas, podemos escrever a equação (II) na 
forma canônica: 1
2
2
2
2
2
2
=±±±
c
z
b
y
a
x (IV), com a,b e c números reais positivos. 
 Se todos os sinais são negativos então o lugar geométrico da equação é vazio. Logo, 
existem três possibilidades: todos os sinais são positivos, dois sinais positivos e um 
negativo ou um positivo e dois negativos. 
A) Todos os sinais positivos: Elipsóide: 12
2
2
2
2
2
=++
c
z
b
y
a
x 
Características: 
1) A superfície é simétrica em relação a todos os eixos coordenados, a todos os planos 
coordenados e a origem. 
 2
x
y
(0,0,c)
(0,b,0)
(a,0,0)
2) Se duas das constantes a, b e c são iguais temos um elipsóide de revolução. 
3) Interseções com os eixos coordenados: 
? Eixo Ox : A ( )0,0,a± 
? Eixo Oy: B ( )0,,0 b± 
? Eixo Oz: C ( )c±,0,0 
4) Traços sobre os planos coordenados: elipses 



=
=+
0
12
2
2
2
z
b
y
a
x
 , 



=
=+
0
12
2
2
2
y
c
z
a
x
 , 



=
=+
0
12
2
2
2
x
c
z
b
y
 
 5) Seções por planos paralelos aos planos coordenados: 
 



=
−=+
kz
c
k
b
y
a
x
2
2
2
2
2
2
1 , elipses para -c < k < c. 
 



=
−=+
ky
b
k
c
z
a
x
2
2
2
2
2
2
1 , elipses para -b < k < b 
 



=
−=+
kx
a
k
c
z
b
y
2
2
2
2
2
2
1 , elipses para -a < k < a. 
 
Esboço da superficie: 
 
 
 
 
 
 3
B) Dois sinais positivos e um negativo: Hiperbolóide de uma folha: 
 12
2
2
2
2
2
=−+
c
z
b
y
a
x (a = b, superfície de revolução), 
12
2
2
2
2
2
=+−
c
z
b
y
a
x (a = c, superfície de revolução), 
 12
2
2
2
2
2
=++−
c
z
b
y
a
x (b = c, superfície de revolução). 
Características: 
1) A superfície é simétrica em relação a todos os eixos coordenados, a todos os planos 
coordenados e a origem. 
2) A superfície está ao longo do eixo coordenado correspondente à variável cujo 
coeficiente é negativo na forma canônica de sua equação. 
Analisando a equação: 12
2
2
2
2
2
=−+
c
z
b
y
a
x 
3) Interseções com os eixos coordenados: 
? Eixo Ox : A ( )0,0,a± 
? Eixo Oy: B ( )0,,0 b± 
? Eixo Oz: não existe 
4) Traços sobre os planos coordenados: 



=
=+
0
12
2
2
2
z
b
y
a
x
 ( Elipse) , 



=
=−
0
12
2
2
2
y
c
z
a
x
 (Hipérbole) 
 



=
=−
0
12
2
2
2
x
c
z
b
y
 ( Hipérbole) 
 
 
 4
x
y
z
x
y
z
x
y
z
 5) Seções por planos paralelos aos planos coordenados: 
 



=
+=+
kz
c
k
b
y
a
x
2
2
2
2
2
2
1 , elipses para qualquer k em R, 
 



=
−=−
ky
b
k
c
z
a
x
2
2
2
2
2
2
1 , hipérboles , 



=
−=−
kx
a
k
c
z
b
y
2
2
2
2
2
2
1 , hipérboles 
Esboço da superficie: 
12
2
2
2
2
2
=−+
c
z
b
y
a
x 
 
12
2
2
2
2
2
=+−
c
z
b
y
a
x 
 
12
2
2
2
2
2
=++−
c
z
b
y
a
x 
 
 
 5
B) Dois sinais negativos e um positivo: Hiperbolóide de duas folhas: 
 12
2
2
2
2
2
=+−−
c
z
b
y
a
x (a = b, superfície de revolução), 
12
2
2
2
2
2
=−+−
c
z
b
y
a
x (a = c, superfície de revolução), 
12
2
2
2
2
2
=−−
c
z
b
y
a
x (b = c, superfície de revolução), 
Características: 
1) A superfície é simétrica em relação a todos os eixos coordenados, a todos os planos 
coordenados e a origem. 
2) A superfície está ao longo do eixo coordenado correspondente à variável cujo 
coeficiente é positivo na forma canônica de sua equação. 
Analisando a equação: 12
2
2
2
2
2
=+−−
c
z
b
y
a
x 
3) Interseções com os eixos coordenados: 
? Eixo Ox : não existe 
? Eixo Oy: não existe 
? Eixo Oz: C ( )c±,0,0 
4) Traços sobre os planos coordenados: 



=
=−−
0
12
2
2
2
z
b
y
a
x
 ( vazio) , 



=
=+−
0
12
2
2
2
y
c
z
a
x
 (Hipérbole) 
 



=
=+−
0
12
2
2
2
x
c
z
b
y
 ( Hipérbole) 
 
 
 6
 5) Seções por planos paralelos aos planos coordenados: 
 



=
−=+
kz
c
k
b
y
a
x 12
2
2
2
2
2
, elipses para k < -c ou k > c 
 



=
+=+−
ky
b
k
c
z
a
x
2
2
2
2
2
2
1 , hipérboles , Rk ∈∀ , 
 



=
+=+−
kx
a
k
c
z
b
y
2
2
2
2
2
2
1 , hipérboles Rk ∈∀ 
Esboço da superficie: 
12
2
2
2
2
2
=+−−
c
z
b
y
a
x 
x
y
z
 
12
2
2
2
2
2
=−+−
c
z
b
y
a
x 
x
y
 
 7
12
2
2
2
2
2
=−−
c
z
b
y
a
x 
x
y
z
 
Quádricas não Cêntricas: )(
22
22
22



=+
=+
=+
CxBzAy
CyBzAx
CzByAx
III 
 Se as constantes A, B e C são não nulas, podemos escrever as equações (II) nas 
formas canônicas:







=±±
=±±
=±±
cx
b
z
a
y
cy
b
z
a
x
cz
b
y
a
x
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
 (IV), com a,b números reais positivos e c real não nulo. 
 Temos duas possibilidades: os coeficientes dos termos de 20 grau têm sinais iguais 
ou contrários. 
A) os coeficientes dos termos de 20 grau têm sinais iguais: Parabolóide elíptico. 
cz
b
y
a
x =+ 2
2
2
2
, cy
b
z
a
x =+ 2
2
2
2
, cx
b
z
a
y =+ 2
2
2
2
. 
Características: 
1) Se a = b temos um parabolóide de revolução. 
2) A interseção da superfície com os eixos coordenados é O(0,0,0). 
3) A superfície se encontra ao longo do eixo correspondente à variável do primeiro 
grau na forma canônica da equação. 
 8
Analisando a equação cz
b
y
a
x =+ 2
2
2
2
 (c > 0) 
4) Observe que para c > 0 temos que z ≥ 0. Logo, a superfície se encontra inteiramente 
acima do plano xy. 
5) A superfície é simétrica em relação ao eixo Oz, aos planos xz e yz. 
6) Traços sobre os planos coordenados: 
)0,0,0(
0
02
2
2
2
=



=
=+
z
b
y
a
x
, 



=
=
0
2
2
y
cz
a
x
 (parábola), 



=
=
0
2
2
x
cz
b
y
 ( parábola) 
 7) Seções por planos paralelos aos planos coordenados: 
 



=
=+
kz
ck
b
y
a
x
2
2
2
2
, elipses parak > 0. 
 



=
−=
ky
b
kcz
a
x
2
2
2
2
, parábolas e 



=
−=
kx
a
kcz
b
y
2
2
2
2
, parábolas. 
Esboço da superficie: 
cz
b
y
a
x =+ 2
2
2
2
 (c > 0) cz
b
y
a
x =+ 2
2
2
2
 (c < 0) 
x
z
 
x
z
 
 9
cy
b
z
a
x =+ 2
2
2
2
 (c > 0) cy
b
z
a
x =+ 2
2
2
2
 (c < 0) 
x y
z
 
x
y
z
 
cx
b
z
a
y =+ 2
2
2
2
 (c > 0) cx
b
z
a
y =+ 2
2
2
2
 (c < 0) 
x
y
z
 
x
y
z
 
 
B) os coeficientes dos termos de 20 grau têm sinais contrários: 
Parabolóide hiperbólico (sela) 
cz
b
y
a
x =+− 2
2
2
2
, cy
b
z
a
x =+− 2
2
2
2
, cx
b
z
a
y =+− 2
2
2
2
. 
Características: 
1) A interseção da superfície com os eixos coordenados é O(0,0,0). 
2) A superfície se encontra ao longo do eixo correspondente à variável do primeiro 
grau na forma canônica da equação. 
 10
Analisando a equação cz
b
y
a
x =+− 2
2
2
2
 (c > 0). 
3) A superfície é simétrica em relação ao eixo Oz, aos planos xz e yz. 
4) Traços sobre os planos coordenados: 



=
=

 +

 −=



=
=+−
0
0
0
02
2
2
2
z
a
x
b
y
a
x
b
y
z
b
y
a
x
, par de retas concorrentes 



=
=−
0
2
2
y
cz
a
x
 (parábola), 



=
=
0
2
2
x
cz
b
y
 ( parábola) 
 5) Seções por planos paralelos aos planos coordenados: 
 



=
=+−
kz
ck
b
y
a
x
2
2
2
2
, hipérboles para k≠ 0. Para k > 0, hipérboles no plano z = k, com 
o eixo focal paralelo ao eixo Oy e para k < 0, hipérboles no plano z = k, com o eixo focal 
paralelo ao eixo Ox. 
 



=
−=−
ky
b
kcz
a
x
2
2
2
2
, parábolas e 



=
+=
kx
a
kcz
b
y
2
2
2
2
, parábolas. 
 
 
 
 
 
 
 11
Esboço da superficie: 
cz
b
y
a
x =+− 2
2
2
2
 (c > 0) cz
b
y
a
x =+− 2
2
2
2
 (c < 0) 
x
y
z
 
x
y
z
 
cy
b
z
a
x =+− 2
2
2
2
 (c > 0) cy
b
z
a
x =+− 2
2
2
2
 (c < 0) 
x
y
z
 
x
y
z
 
cx
b
z
a
y =+− 2
2
2
2
 (c > 0) cx
b
z
a
y =+− 2
2
2
2
 (c < 0) 
x
y
z
 
x
y
z
 
 12
Bibliografia: 
Lehmann. Charles, Geometria Analítica, Editora Globo 
Boulos, Paulo, Geometria Analítica um tratamento vetorial, MAKRON Books.