Ondas eletromagnéticas

Prévia do material em texto

Unidade III 
1. Ondas Eletromagnéticas
Professor Dr. Edalmy Oliveira de Almeida 
Governo do Estado do Rio Grande do NorteSecretaria de Estado da Educação e da Cultura - SEECUNIVERSIDADE DO ESTADO DO RIO GRANDE DO NORTE - UERNPró-Reitoria de Ensino de Graduação – PROEGHome Page: http://www.uern.br E-mail: proeg@uern.brUNIDADE: Campus Avançado de Natal
Sumário
1. Ondas Eletromagnéticas;
2. Energia e momento linear em ondas 
eletromagnéticas;
3. Ondas eletromagnéticas estacionárias
O Arco-Íres de Maxwell
Na época de Maxwell (meados do século XIX), a luz visível e as radiaçõesinfravermelha e ultravioleta eram as únicas ondas eletromagnéticas conhecidas. Inspirado pelasprevisões teóricas de Maxwell, Hertz descobriu o que hoje chamamos de ondas de rádio everificou que se propagam com a mesma velocidade que a luz visível.Como mostrado na Fig. 1, hoje conhecemos um largo espectro de ondaseletromagnéticas, que foi chamado por um autor criativo de “arco-íris de Maxwell”. Somosconstantemente banhados por ondas eletromagnéticas de todo este espectro. Nossos corpos sãotambém atravessados por sinais de rádio e televisão.
Fig. 1 O espectro eletromagnético.
A região visível do espectro é, naturalmente, de particular interesse para nós. A Fig. 2mostra a sensibilidade relativa do olho humano a radiações de vários comprimentos de onda. Ocentro da região visível corresponde aproximadamente a 555 nm; luz deste comprimento deonda produz a sensação de verde claro.Os limites do espectro visível não são bem definidos, já que a curva de sensibilidadedo olho tende assintoticamente para a linha de sensibilidade zero, tanto para grandes como parapequenos comprimentos de onda. Se tomarmos arbitrariamente como limites os comprimentosde onda para os quais a sensibilidade do olho é 1% do valor máximo, estes limites serãoaproximadamente 430 e 690 nm; entretanto, o olho pode detectar radiações fora deste limites,contanto que sejam suficientemente intensas.
Fig. 2 Sensibilidade relativa do olho humano a ondas eletromagnéticas de diferentes comprimentos deonda. Esta parte do espectro eletromagnético, à qual o olho é sensível, é chamada de luz visível.
Descrição Quantitativo de uma Onda Eletromagnética
Vamos agora discutir como é gerado outro tipo de ondas eletromagnética. Parasimplificar a discussão, vamos nos restringir à região do espectro (comprimento de onda λ = 1)na qual a fonte de radiação (as ondas emitidas) é macroscópica, mas de dimensõesrelativamente pequenas.A Fig. 3 mostra, de forma esquemática, uma fonte externa. O componente principal éum oscilador LC, que estabelece uma freqüência angular w = (1/√LC). As cargas e as correntesneste circuito variam senoidalmente com esta frequência.
Fig. 3 Sistema usado para gerar uma onda eletromagnética na faixa de rádio de ondas curtas do espectro eletromagnético:um oscilador LC produz uma corrente senoidal na antena, que a onda. P é um ponto distante no qual um detector podeindicar a presença da onda.
Equações de Maxwell e ondas eletromagnéticas
Maxwell provou em 1865 que uma perturbação eletromagnética pode se propagar noespaço vazio com uma velocidade igual a velocidade da luz e que a luz era uma ondaeletromagnética. Ele descobriu que os princípios básicos do eletromagnetismo podem serdescritos em quatro equações, conhecidas como equações de Maxwell:
Faraday de Lei .E
Ampère de Lei .B
magnéticos campos os para Gauss de Lei 0.
elétricos campos os para Gauss de Lei .
int00
0
int
dt
dld
dt
dild
AdB
QAdE
B
EC






 




1. Ondas Eletromagnéticas
Ondas eletromagnéticas é formada por campo elétricos e magnéticos variáveis. Asvárias frequências possíveis de ondas eletromagnéticas constituem um espectro, do qual umapequena parte constitui a luz visível. Uma onda eletromagnética que se propaga na direção doeixo x possui um campo elétrico e um campo magnético cujos módulos dependem de x e t:
      kwtkxBtxB jwtkxEtxE máxmáx 

cos,
cos, Eq. 01
Onde Emáx e Bmáx são as amplitudes de e . O campo elétrico induz o campo magnético evice-versa. A velocidade de qualquer onda eletromagnética no vácuo é c, que pode ser escritacomo:
smB
Ec /1031 8
00
  Eq. 02
Onde E e B são os módulos dos campos em um instante qualquer.
fcfV ..  
As curvas senoidais da figura acima representam valores instantâneos dos camposelétricos e magnéticos em função de x. A medida que o tempo passa, a onda se desloca para adireita com velocidade c. Em qualquer ponto, as oscilações senoidais de E e B estão em fase.As amplitudes devem ser relacionadas por
máxmáx cBE 
Exemplo: 1
Um laser de dióxido de carbono emite ondas eletromagnéticas senoidais que sepropagam no vácuo no sentido negativo do eixo Ox. O comprimento de onda e igual a 10,6 μm,o campo E é paralelo ao eixo Oz e seu modulo máximo é igual a 1,5 MV/m. Escreva asequações vetoriais para E e para B em função do tempo e da posição.
Sentido – Oxλ = 10,6 μmEz (x,t) → Emáx = 1,5 MV/m
               jwtkxBtxBjwtkxBtxB kwtkxEtxEkwtkxEtxE máxmáx máxmáx 

cos,cos,
cos,cos, x
y
z
V B
E0
Txx
x
c
EB
sradxx
cfw
mradxxk
máxmáx 28
6
146
8
56
105,0103
105,1
/1078,1106,10
10.3..222
/1093,5106,10
22








       jtxxxxtxB ktxxxxtxE 1452 1456 1078,11093,5cos105,0, 1078,11093,5cos105,1,   
As ondas eletromagnéticas também podem se propagar na matéria. Podemos estendernossa analise para ondas eletromagnéticas se propagando em materiais não condutores, ou seja,em dielétricos. Em um dielétrico, a velocidade de propagação da onda v não é a mesmavelocidade que no vácuo. As equações são substituídas por
vEBvBE  e 
com ε = Kε0 a permissividade do dielétrico e K a constante dielétrica, e μ = Km μ0 apermeabilidade do dielétrico e Km sua permeabilidade relativa. Encontramos para a velocidadeda onda v a expressão
mm kk
c
kkv  00
111 
Para quase todos os dielétricos, exceto para materiais ferromagnéticos isolantes, a permeabilidade relativa Km e aproximadamente igual a 1. Assim,
k
c
kv  00
11 
Como K é sempre maior do que 1, a velocidade v da onda é sempre menor do que avelocidade no vácuo c. A razão entre a velocidade no vácuo e a velocidade em um material e oíndice de refração n do material. Quando Km ≈ 1,
kkknv
c
m 
Exemplo: 2
(a) Ao visitar uma joalheria certa noite, você segura um diamante contra a iluminação de umposte de rua. O vapor de sódio aquecido do poste emite uma luz amarela com frequência de5,09.1014 Hz. Determine o comprimento de onda no vácuo, a velocidade da propagação da ondano diamante e o comprimento de onda no diamante. Nessa frequência, o diamante possuipropriedades K = 5,84 e Km = 1,0.
(b) Uma onda de radio com frequência de 90,0 MHz (na faixa de FM) passa do vácuo para umaferrita isolante (um material ferromagnético usado em cabos de computador para suprimir ainterferência do rádio). Calcule o comprimento de onda no vácuo, a velocidade da propagaçãoda onda na ferrita e o comprimento de onda na ferrita. Nessa frequência, a ferrita possuipropriedades K = 10,0 e Km = 1000.
a)f = 5,09x1014 Hzk = 5,84km = 1,0
b)f = 90,0M Hzk = 10,0km = 1000
nmx
x
f
v
smxxxkk
cv
nmmxx
x
f
c
m
2441009,5
1024,1
/1024,14166,2
103
1.84,5
103
diamente No
590109,51009,5
103
 vácuoNo
14
8
888
714
8
0


 


a)
mx
x
f
v
smxxxkk
cv
mxf
c
m
03,01090
103
/103100
103
1000.10
103
ferrita Na
33,310.90
103
 vácuoNo
6
6
688
6
8
0





b)
2. Energia e momento linear em ondas eletromagnéticas
Como qualquer onda, uma onda eletromagnética transporta energia. A densidade deenergia total u em uma região do espaço vazio ondeexistem os campos E e B é dada por
2
0
20 2
1
2
1 BEu  
Para a onda eletromagnética no vácuo, os módulos de E e B são relacionados por
Ec
EB 00
Combinando as duas equações anteriores, podemos expressar a densidade de energiau em uma onda eletromagnética simples no vácuo por
  2000020 2121 EEEu  
Isso mostra que, no vácuo, a densidade de energia associada ao campo E na ondasimples e igual a densidade de energia associada ao campo B. A densidade de energia u de umaonda eletromagnética senoidal também é uma função do tempo e da posição.
Podemos definir uma grandeza vetorial que descreve o modulo, a direção e osentido do fluxo de energia, denominado vetor de Poynting S:
BES 
0
1
O vetor S aponta sempre no sentido positivo de x, o sentido de propagação da onda. O valor médio da função cos2(kx – ωt) e igual a ½ . Assim, o valor médio do vetor de Poynting em um ciclo completo é dado por Sméd = I, em que
02 máxmáxméd
BES 
que é a metade do valor máximo de S. Usando as relações Emáx = cBmáx e ε0μ0 = 1/c2, podemosexpressar a intensidade de uma onda senoidal no vácuo:
2
2020
0
0
2
0
2.
2
1
2
1
22
RSP
cEEc
EBESI
méd
máxmáxmáxmáxmáxméd




Exemplo: 3
Uma estação de radio na superfície terrestre emite ondas senoidais com uma potênciamédia total igual a 50 kW. Supondo que a emissora irradie uniformemente em todas as direçõesacima do solo, determine as amplitudes Emáx e Bmx detectadas por um satélite a uma distância de100 km da antena.
P = 50 kWd = 100 Km
 
mVE
xE
xx
xE
cR
PE
cES
RSP
máx
máx
máx
máx
máxméd
méd
/48,24
85,83
1050
103.1085,8100
1050
2
1
2.
3
8122
3
02
2
20
2












TxB
xB
c
EB
cBE
máx
máx
máxmáx
máxmáx
8
8
1016,8
103
48,24




Além de energia, as ondas eletromagnéticas transportam momento linear p, com umacorrespondente densidade de momento linear dada pelo módulo
220 c
S
c
EB
dV
dp  
Esse momento linear e uma propriedade do campo, ele não e associado com a massade uma partícula se movendo no mesmo sentido.O volume dV ocupado por uma onda eletromagnética que passou com velocidade catravés de uma área A no tempo dt e dado por dV = Acdt. A taxa de do fluxo do momento linearpor unidade de área e dado portanto
c
EB
c
S
dt
dP
A 0
1 
A taxa media dessa transferência de momento linear por unidade de área e então Sméd/c = I/c.
Esse momento linear e responsável pelo fenômeno chamado de pressão de radiação.Quando uma onda eletromagnética e absorvida por uma superfície, o momento linear da ondatambém e transferido para essa superfície. Consideramos uma superfície perpendicular adireção de propagação. A taxa dp/dt com a qual o momento linear é transferido para a superfícieabsorvedora e a forca realizada sobre essa superfície. A forca média por unidade de áreaproduzida pela onda, ou pressão da radiação Prad, é igual ao valor médio de dp/dt dividido pelaárea A da superfície absorvedora. Quando a onda e totalmente absorvida, temos
c
I
c
SP médrad 
Quando a onda e totalmente refletida, a variação do momento linear e duas vezesmaior e a pressão de radiação e dada por
c
I
c
SP médrad 22 
Exemplo: 4
Um satélite em orbita em torno da Terra possui um painel coletor de energia solarcom área total igual a 4,0 m2. Sabendo que a luz solar, de intensidade I = 1,4.103 W/m2, éperpendicular a superfície do painel e é totalmente absorvida, calcule a potência solar médiaabsorvida e a força média exercida pela pressão de radiação.
A = 4 m2I = 1,4x103 w/m2
kWP
WxP
xP
AIP
6,5
106,5
4.104,1
.
3
3




Nxx
xF
c
PF
Ac
IF
APF rad
58
3 109,1103
106,5
.
.




3. Ondas eletromagnéticas estacionárias
As ondas eletromagnéticas podem ser refletidas pela superfície de um condutor (umalamina metálica polida) ou de um dielétrico (uma placa de vidro). A superposição de uma ondaincidente com uma onda refletida forma uma onda estacionaria.O principio de superposição afirma que o campo E resultante em qualquer ponto édado pela soma vetorial do campo E da onda incidente com o campo elétrico da onda refletida,e analogamente para o campo magnético B resultante. Portanto, as funções de onda para asuperposição das duas ondas são dadas por
            wtkxwtkxBtxB wtkxwtkxEtxE máxz máxy   coscos, coscos,
Usando as identidades cos(a ± b) = cos a cos b ± sen a sen b obtemos:
          wtkxBtxB wtsenkxsenEtxE máxz máxy coscos2,
2,


Vemos que para x = 0, o campo elétrico Ey(x = 0,t) é sempre igual a zero, devido anatureza do condutor perfeito. Além disso, Ey(x,t) e igual a zero em qualquer instante em todosos pontos sobre os planos perpendiculares ao eixo Ox, para os quais sen kx = 0, ou seja, kx = 0,π, 2π, … Essas posições são dadas por
,.....2
3,,2,0
x
Esses planos são denominados planos nodais do campo E. Entre dois planos nodaissucessivos, existem planos para os quais o modulo Ey(x,t) atinge duas vezes por ciclo o valormáximo possível de 2Emáx. Cada um desses planos constitui um plano antinodal do campo E.O campo magnético total e igual a zero para todos os instantes dos planosdeterminados pela condição cos kx = 0. Isso ocorre para os planos
,.....4
5,4
3,4
x
Consideramos agora um segundo plano condutor paralelo ao primeiro e situado sobreo eixo + Ox a uma distância L desse plano. Os dois planos condutores devem ser planos nodaispara o campo E; uma onda estacionaria só poderá se formar quando o segundo plano estiversituado sobre um ponto para o qual E = 0. Para que exista uma onda estacionaria, L deve serum múltiplo inteiro de λ/2. Os comprimentos de onda que satisfazem essa condição são dadospor tanto
(Planos antinodais)
(Planos antinodais)
 3,..... 2, 1,n 2  nLn
As frequências correspondentes são
 3,.... 2, 1,n 2  Lcncf nn 
Existe um conjunto de modos normais, cada um dos quais com uma frequência característica,uma dada forma de onda e uma configuração dos planos nodais.
Exemplos: 5
1) Calcule a intensidade da onda estacionaria discutida nesta seção.2) Ondas eletromagnéticas estacionarias são produzidas em uma cavidade com duas paredesfortemente condutoras e separadas por uma distância de 1,50 cm. (a) Calcule o comprimento deonda mais longo e a menor frequência das ondas estacionarias entre as paredes. (b) Para a ondaestacionaria com o comprimento de onda mais longo, em que pontos da cavidade E possui seumodulo máximo? Em que pontos E é igual a zero? Em que pontos B possui seu modulomáximo? Em que pontos B e igual a zero?
 
0
20
20
20
2
2
42
1
22
1




máxmáx
máx
máx
máx
BEI
cEI
EcI
EcI



1)


cavidade da ocompriment o que maiores ão,....2
3,
 1.50cm ,0
,....2
3,2,0E de antinodais Planos
cavidade da ocompriment o que maiores São,....4
5,4
3
75,0
,....4
5,4
3,4B de antinodais Plano
)
10101103
103
32
1,2
)
11
111
11
111
102
8
11
1
S
x
x
cmx
x
b
GHzHzxx
xcf
cmL
nn
L
a
n















2)
Lista de exercícios: Questão do trabalho (1, 2, 3, 4, 5, 6 ,7, 8, 9 )
1. Uma onda eletromagnética senoidal com um campo magnético de amplitude 1,25 μT e um comprimentode onda de 432 nm se desloca no sentido +x através do vácuo. (a) Qual e a frequência dessa onda? (b) Quale a amplitude do campo elétrico associado? (c) Escreva as equações para os campos elétrico e magnéticoem função de x e de t.
2. Uma onda eletromagnética senoidal com frequência igual a 6,10.1014 Hz se desloca no vácuo no sentido+z. O campo magnético B é paralelo ao eixo Oy e possui amplitude de 5,80.10-4T. Escreva equaçõesvetoriais para E(z,t) e para B(z,t).
3. Uma certa estação de radio emite ondas com frequência de 830 kHz. Para uma dada distância dotransmissor, a amplitude do campo magnético da onda eletromagnética é igual a 4,82.10-11 T. Calcule (a) ocomprimento de onda; (b) o número de onda; (c) a frequência angular; (d) a amplitude do campo elétrico.
4. Uma onda eletromagnética com frequência 5,70.1014 Hz se propaga com uma velocidade de 2,17.108 m/sem um dado pedaço de vidro. Determine (a) o comprimento de onda da onda no vidro; (b) o comprimentode onda da onda com a mesma frequência que se propaga no vácuo; (c) o índice de refração n do vidro parauma onda eletromagnética com essa frequência; (d) a constante dielétrica do vidro nessa frequência,supondo que a permeabilidade relativa seja igual a 1.
5. Podemos modelar de forma razoável uma lâmpada incandescente de 75 W como uma esfera com 6,0 cmde diâmetro. Tipicamente, somente cerca de 5% da energia vai para a luz visível; o restante vai, em grandeparte, para a radiação infravermelha não visível. (a) Qual e a intensidade da luz visível (em W/m2) nasuperfície da lâmpada? (b) Quais são as amplitudes dos campos elétricos e magnéticos nessa superfície,para uma onda senoidal com essa intensidade?
6. Uma sonda espacial que esta a 2,0.1010 m de uma estrela mede que a intensidade total daradiação eletromagnética da estrela e de 5,0.103 W/m2. Se a estrela irradia uniformemente emtodas as direções, qual e a potência média total?
7. Uma fonte de luz monocromática possui potência total igual a 60,0 W e irradiauniformemente em todas as direções uma luz de comprimento de onda igual a 700 nm. CalculeEmáx e Bmáx para a luz de 700 nm a uma distância de 5,0 m da fonte.
8. Uma fonte de luz intensa irradia uniformemente em todas as direções. A uma distância de 5,0m da fonte, a pressão de radiação sobre uma superfície perfeitamente absorvedora e 9,0.10-6 Pa.Qual e a potência média total da fonte?
9. Uma onda eletromagnética estacionaria em certo material possui frequência igual a 2,20.1010Hz. A distância entre dois planos nodais consecutivos do campo B e igual a 3,55 mm. Calcule:(a) o comprimento de onda desse material; (b) a distância entre dois planos nodais adjacentes docampo E; (c) a velocidade de propagação da onda.
10. Uma onda eletromagnética estacionaria em certo material possui frequência de 1,20.1010 Hze velocidade de propagação de 2,10.108 m/s. (a) Qual é a distância entre um plano nodal docampo B e o plano antinodal mais próximo do campo B? (b) Qual é a distância entre um planoantinodal do campo E e o plano antinodal mais próximo do campo B? (c) Qual e a distânciaentre um plano nodal do campo E e o plano nodal mais próximo do campo B?
11. As micro-ondas de um forno de micro-ondas possuem um comprimento de onda de 12,2 cm.(a) Qual deve ser a largura desse forno para que possa conter cinco planos antinodais do campoelétrico ao longo da sua largura no padrão de onda estacionaria? (b) Qual e a frequência dessasmicro-ondas? (c) Suponha que, por um erro de fabricação, o forno tenha ficado 5,0 cm maiscomprido do que o especificado no item (a). Nesse caso, qual teria de ser a frequência dasmicro-ondas para ainda haver cinco planos antinodais do campo elétrico ao longo da largura doforno?