CRITÉRIO DE ESTABILIDADE DE ROUTH

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ENGENHARIA ELETRÔNICA – DAELN – UTFPR 
Prof. Paulo R. Brero de Campos 
CRITÉRIO DE ESTABILIDADE DE ROUTH 
 
Um sistema será estável quando todos os polos estiverem no semiplano 
esquerdo do plano S. 
Exemplo: 
 
 
O denominador da função de transferência é chamado equação característica 
(polinômio característico). 
Exemplo: 
 
 
Exemplo: 
 
 
 
Note que muitas vezes não necessitamos saber os valores dos polos, apenas 
necessitamos saber se eles estão no semiplano direito, isto é, se existe algum polo 
no semiplano direito. Se isto acontecer o sistema já será instável. 
É possível obter algumas informações sobre a estabilidade do sistema sem 
resolver a equação característica. 
G(s) = 1 
 s3 + 3,8s2 + 0,21s +4,04 
 
Note que todos os coeficientes são positivos 
(mas o sistema é instável) 
 -4 
0,1 - j 
 0,1 + j 
G(s) = 1 = 1 
 (s+a)(s-b) s2 + s(b+a) - ab 
 
Note que há coeficientes negativos -a b 
G(s) = 1 = 1 
 (s+a)(s+b) s2 + s(b+a) + ab 
 
Note que os coeficientes são todos positivos -b -a 
Uma condição necessária para a estabilidade do sistema é que todas as 
raízes do polinômio característico tenham parte real negativa, que por seu turno 
requer que todos os coeficientes da equação característica sejam positivos. 
Uma condição necessária (mas não suficiente) para a estabilidade é que 
todos os coeficientes do polinômio característico sejam positivos. 
Se um dos coeficientes for zero ou negativo, então o sistema terá polos 
localizados fora do semiplano esquerdo. 
O critério de Routh mostra que uma condição necessária e suficiente para 
estabilidade é que todos os elementos na primeira coluna da tabela de Routh sejam 
positivos. 
Dado o polinômio característico: 
Q(s)= bns
n + bn-1s
n-1+ bn-2s
n-2 + ... + b1s + b0 
Obtido da Função de transferência F(s)=1/Q(s) 
Os coeficientes do polinômio característico serão inicialmente dispostos em 
duas linhas, separados em coeficientes pares ou ímpares. 
 
sn bn bn-2 bn-4 
sn-1 bn-2 bn-3 bn-5 
sn-2 c1 c2 c3 
sn-3 d1 d2 
... 
s1 j1 
s0 k1 
 
Em seguida a tabela é preenchida por coeficientes calculados a partir das 
duas linhas: 
 
Repete-se este procedimento até que os demais elementos c sejam todos 
nulos. 
Forma-se então a linha d. 
c1= bn-1 x bn-2 – bn x bn-3 = 
 bn-1 
 - det bn bn-2 
 bn-1 bn-1 bn-3 
c2= bn-1 x bn-4 – bn x bn-5 = 
 bn-1 
 - det bn bn-4 
 bn-1 bn-1 bn-5 
 
 
Continua-se o processo até chegar as linhas s1 e s0. Eles possuem um único 
elemento cada uma deles. 
Terminada a tabela, o critério de Routh estabelece que o número de raízes 
da equação característica com parte real positiva é igual ao número de mudanças de 
sinal dos coeficientes dos elementos da primeira coluna. 
O sistema será estável se todos os termos da primeira coluna possuírem o 
mesmo sinal. 
Exemplo: verifique a estabilidade do sistema MF=1/Q(s). 
Q(s)= s5+s4+10s3+72s2+152s+240 
 
s5 1 10 152 
s4 1 72 240 
s3 -62 -88 
s2 70,6 240 
s1 122,6 
s0 240 
 
Na primeira coluna há duas mudanças de sinal: de 1 para -62 e de -62 para 
70,6. Portanto Q(s) possui duas raízes no semiplano direito em s. 
Teorema 1: Divisão de uma linha. Os coeficientes de qualquer linha podem ser 
multiplicados ou divididos por um número positivo sem que haja troca de sinais na 
primeira coluna. 
Teorema 2: Existência de um coeficiente nulo na primeira coluna. Quando o primeiro 
termo de uma linha é igual a zero e os demais não são todos nulos, os seguintes 
métodos podem ser utilizados: 
1) Fazer na equação original s=1/x e resolver para x. 
O número de raízes x com parte real positiva será o mesmo que o de s com parte 
real positiva. 
2) Multiplicar o polinômio original pelo fator (s+1) 
Exemplo: Q(s)= s4+s3+2s2+2s+5 
 
s4 1 2 5 
s3 1 2 
s2 0 5 
d1= c1 x bn-3 – bn-1 x c2 = 
 c1 
 - det bn-1 bn-3 
 c1 c1 c2 
d2= c1 x bn-5 – bn-1 x c3 = 
 c1 
 - det bn-1 bn-5 
 c1 c1 c3 
A ocorrência do zero na primeira coluna impede o prosseguimento do cálculo. 
Uso do método 1: fazendo s=1/x 
Q(s)= (1/x)4 + (1/x)3+2(1/x)2 +2/x+5 
Q(s)= 1 + x + 2x2+2x3+5x4 
A nova tabela é: 
x4 5 2 1 
x3 2 1 
x2 -1 2 [original (-1/2 1)x2] 
x1 5 
x0 2 
 
Há duas trocas de sinal e com isso duas raizes no semiplano s direita. 
Obs: se Q(s) e Q(x) tiverem os mesmos coeficientes este método não funciona. 
Uso do método 2: Q(s)=s5 + 2s4+3s3+4s2+7s+5 
s5 1 3 7 
s4 2 4 5 
s3 2 9 [original (1 9/2) x2] 
s2 -5 5 
s1 11 
s0 5 
 
Outro método 
Substitui-se o termo nulo por um número positivo muito pequeno, infinitesimal (), e o 
resto da tabela pode ser calculado. 
Exemplo: s3+ 2s2+s+2=0 
s3 1 1 
s2 2 2 
s1 0= 
s0 2 
 
Exemplo: s4 + s3+ 2s2+2s+5=0 
s4 1 2 5 
s3 1 2 
s2 0= 5 
s1 (2-5)/ 
s0 5 
 
Se o sinal acima do zero () é o mesmo que o sinal do coeficiente abaixo, isto 
indica que há um par de raízes imaginárias. 
Se, entretanto, o sinal do coeficiente acima do zero () é oposto do coeficiente 
abaixo, isto indica que há uma mudança de sinal. 
Teorema 3: ocorrência de uma linha nula 
Quando todos os coeficientes de uma linha forem iguais a zero, faz-se o 
seguinte: 
1) Uma equação auxiliar pode ser formado a partir da linha que precede a linha nula. 
2) A tabela de Routh pode ser completada substituindo se os coeficientes nulos 
pelos da derivada da equação auxiliar. 
3) As raízes da equação auxiliar são também raízes da equação original. Elas 
ocorrem aos pares e são simétricas em relação à origem. Em consequência, estas 
raízes podem ser imaginárias (complexas conjugadas) ou reais (uma positiva e outra 
negativa) pertencem a conjuntos de quatro raizes (dois pares de raízes complexas 
conjugadas), etc. 
Exemplo: Q(s)= s4 + 2s3 + 11s2+ 18s+ 18 
s4 1 11 18 
s3 1 9 [original (2 18) ] 
s2 1 9 [original (2 18) ] 
s1 0 Linha nula indica a presença de raízes 
simétricas em relação à origem 
Formar equação auxiliar, a partir da linha anterior: 
s2+9=0 
Raízes são: s=+- j3 
Estas raízes também anulam a equação original. Para completar a tabela de 
Routh, deriva-se a equação auxiliar com relação a s: 
2s+0=0 
Os coeficientes desta equação são colocados na linha s1 e a tabela é 
concluída. 
 
s1 2 
s0 9 
 
Como não há troca de sinais na primeira coluna, não há raízes com parte real 
positiva. 
Obs: uma fila de zeros (linha nula) indica simetria com respeito à origem (dois 
polos imaginários puros ou dois polos reais um positivo outro negativo). 
 
Critério de Routh – uma linha inteira zero 
Isto implica a presença de raízes espelhas relativas ao eixo imaginário ou em 
um ou mais pares de raízes imaginárias conjugadas (+- jw). Neste caso um 
polinômio auxiliar pa(s) pode ser definido diretamente pelos elementos da linha 
anterior. 
Os coeficientes da linha nula podem ser substituídos pelos coeficientes da derivada 
do polinômio auxiliar, e o procedimento continua. 
De forma alternativa, pa(s) pode ser fatorado de a(s) e o polinômio resultante pode 
ser testado pelo critério de Routh. 
Exemplo: a(s)= s6 + 2s5 -9 s4 - 12s3 + 43s2 + 50s -75 
Como existem coeficientes negativos e positivos é umpolinômio não estável. 
s6 1 -9 -43 -75 
s5 1 -6 25 0 [original (2 -12 50 0)/2] 
s4 -1 6 -25 0 [original (-3 18 -75 0)/2] 
s3 0 0 Linha nula p(s)=-s4+6s2-25 
s3 -1 3 [original (-4 12)/4] 
s2 3 25 
s1 -5.333 
s0 -25 
Existem três mudanças de sinal na primeira coluna, então três raízes estão no 
semiplano direito. 
As raízes de a(s) são: 
a(s)= (s+2 ± j) (s-2 ± j)(s-1)(s+3), onde pa(s)= (s+2 ± j) (s-2 ± j) 
Então as raízes de a(s) estão espelhadas no eixo imaginário como s=± 2+ j e s=± 2- 
j. 
 
 
 
OBs: se a(s) não tem raízes no semi-plano direito, isto implica que existe um ou mais 
pares de raízes imaginarias conjugadas (+-jw). 
1j 
 
-1j 
-2 2 
s=± 2+ j 
 
s=± 2- j 
Neste caso não houve mudança de sinal na primeira coluna. 
Este sistema é marginalmente estável. 
 
ESTABILIDADE VIA TABELA DE ROUTH COM LINHAS DE ZERO 
 
Uma linha completa de zeros aparecerá a tabela de Routh quando um 
polinômio estritamente par ou estritamente impar por um fator do polinômio original. 
Por exemplo, s4+3s2+7 é um polinômio par, possui somente potências pares 
de s. 
Os polinômios pares possuem somente raízes que são simétricas em relação 
à origem. Esta simetria pode ocorrer sob diversas situações quanto ao 
posicionamento das raízes. 
1) Raízes simétricas e reais 
2) Raízes simétricas e imaginárias 
3) Raízes quadrantais 
Cada um dos casos ou combinações destes casos vai gerar um polinômio 
par. 
 
 
B - raízes imaginárias e simétricas em relação à origem 
A - raízes reais e simétricas em relação à origem 
C - raízes quadrantis e simétricas em relação à origem 
 
OBS: o polinômio s5+ 5s3+7s é um exemplo de polinômio impar, possui 
unicamente potências ímpares de s. Os polinômios ímpares são o produto de um 
polinômio para por uma potência ímpar de s. 
 
 
 
 
 
B 
B 
A 

J
A 
C 
C 
C 
C 
Exercício: 
1) Determine para qual faixa de valores dos parâmetros K e KI o sistema abaixo é 
estável. 
 
 
Q(s)=s3 + 3s2 + 2s + sK + KI = s
3 + 3s2 + s(2+ K) + KI 
s3 1 2 + K 
s2 3 KI 
s1 c1 
s0 KI 
c1= (3(2+K) - KI)/3 
(2+K) > KI/3 
(2+K) > KI/3 
Resposta: 
K > KI/3 - 2 
e 
KI >0 
 
 
2) Calcule K para que os pólos da Função de Transferência Y/U sejam complexos 
conjugados e com parte real= - 6,5 
 
 
Resposta: K=3 
𝐾 + 
𝐾𝑖
𝑠
 
1
 𝑠 + 1 (𝑠 + 2)
 
𝑠 𝐾 + 𝐾𝑖
𝑠
1
 𝑠 + 1 (𝑠 + 2)
1 +
𝑠 𝐾 + 𝐾𝑖
𝑠 𝑠 + 1 (𝑠 + 20
=
𝑠 𝐾 + 𝐾𝑖
𝑠 𝑠 + 1 𝑠 + 𝐾𝑖 + 2 + 𝑠 𝐾 + 𝐾𝑖
 
1
0,2 𝑠 + 1
 
𝐾
0,5 𝑠 + 1
 
U(s) Y(s) 
 
 
3) Calcule o máximo valor que ainda mantém o sistema estável. 
 
Resposta: K < 6 
 
 
4) Questão do exame para Petrobrás: dada a função de transferência em malha 
fechada H(s), determine a faixa de K para garantir a estabilidade. 
𝐻 𝑠 =
𝑠3 − 4𝑠 − 11
𝑠5 + 𝑠4 + 4𝑠3 + 2𝑠2 + 3𝑠 + 𝑘 − 1
 
 
a) 0<K<2; b)1<K<2; c)K>-2; d) K>-1; e) K>0. 
Resposta: item b. 
 
𝐾 1
𝑠 𝑠 + 1 (𝑠 + 2)