ELMG P7BN B GAB AD2 20091

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2ª AVALIAÇÃO DIVERSIFICADA
Curso: ENGENHARIA ELÉTRICA
Disciplina: ELETROMAGNETISMO
Professor: Mitsuo Data: 02/06/2009
Turma: B Série: P7 Período: NOTURNO
Alunos: GABARITO
Matrícula: Assinatura:
RESULTADO:
Com consulta a uma folha A3 de formulários e lembretes (Original e manuscrito) 
Duração: 150 minutos Permitido o uso da calculadora
RESOLVER APENAS QUATRO QUESTÕES
QUESTÃO 1: (2,5 PONTOS)
No plano z = 0 de permissividade relativa εr = 5 existe uma circunferência de raio 25 
cm centrada na origem do sistema. Nesta circunferência foi inscrito um hexágono 
regular (figura plana de seis lados iguais) onde foram colocados nos vértices seis 
cargas iguais a 50 nC. Determinar o vetor campo elétrico no ponto (0; 0; -0,50) m.
RESOLUÇÃO:
0.5 εε = Q = 50 nC
3125,025,05,0 2222 =+=+= hr ρ e º565,265,0
25,0
=== arctg
h
arctg ρθ
Devido a simetria, as componentes no plano z = -0,50 se anulam, restando apenas o 
campo elétrico na direção z.
Para uma carga.
)/(595,257565,26cos.
3125,0.5
50.9565,26cos.
3125,0.5
10.50.10.9cos.
..5..4
99
2
0
mV
r
QE z ====
−
θ
εpi
Para seis cargas → )/(57,1545.6 mVEE zTotal ==
Portanto: )/(.57,1545 mVaE z

−=
QUESTÃO 2: (2,5 PONTOS)
Dado o vetor deslocamento zyx ayxaxyaD
 ...8..2.3 32++= (C/m2), (a) determine a 
densidade volumétrica de carga no ponto P(1, 1, 1)m. Encontre o fluxo total através 
da superfície de um cubo com 0 ≤ x ≤ 2m; 0 ≤ y ≤ 2m e 0 ≤ z ≤ 2m pelo cálculo (b) do 
lado esquerdo do teorema da divergência e (c) do lado direito do teorema da 
divergência.
 RESOLUÇÃO:
zyx ayxaxyaD
 ...8..2.3 32++= (C/m2) e ponto P(1, 1, 1)m
x
z
DD
x
D
D z
y
yx
v .2. =∂
∂
+
∂
∂
+
∂
∂
=∇=

ρ e no ponto P ⇒ ρv(P) = 2.1 = 2 (C/m3)
∫∫ ∇=
vS
dvDSdD ...

 e 0 ≤ x, y, z ≤ 2m
∫ ∫ ∫ ∫ ∫ ∫∫
= = = = = =
+++++=
0 2 0 2 0 2
.
x x y y z zS
SdD

Como Dx não depende da variável x, as duas primeiras integrais se anulam.
Para y = 0, Dy = 0, portanto a terceira integral é nula.
Como Dz não depende de z, as duas últimas integrais se anulam.
Logo resta apenas a quarta integral.
y = 2 ⇒ yadzdxSd
 ..= e yaxD
 ..4= então dzdxxSdD ...4. =

)(162.
2
4.4.
2
.4...4 2
0
2
0
22
0
2
0
4 Cz
xdzdxx ====Ψ ∫ ∫
)(162.2.2..
2
.2...2.. 2
0
2
0
2
0
22
0
2
0
2
0
CzyxdzdydxxdvD z
v
====∇=Ψ ∫ ∫ ∫∫ 
QUESTÃO 3: (2,5 PONTOS)
Um plano definido por 2x + 2y + z = 6 separa dois dielétricos. O primeiro dielétrico, 
no lado do plano que contém a origem tem permissividade relativa εr1 = 4,0 e vetor 
campo elétrico zyx aaaE
 .4.2.0,41 +−= (V/m). O outro dielétrico tem permissividade 
relativa εr2 = 2,0. Encontre: (a) o vetor campo elétrico no meio 2: 2E

; (b) o vetor 
densidade de fluxo elétrico: 2D

; (c) o ângulo θ2 formado entre o vetor campo elétrico 
e a sua componente normal no meio 2.
RESOLUÇÃO:
Plano pi: { 2x + 2y + z = 6 ⇒ Vetor normal ao plano pi: zyx aaaN

++= .2.2
Vetor unitário do vetor normal: zyx aaaN
Nn 

 .
3
1.
3
2.
3
2
++==
No meio 1: ε1 = 4.ε0 e zyx aaaE
 .0,4.0,2.0,41 +−= (V/m)
Determinação das componentes normais e tangenciais no meio 1.
3
8
3
4
3
4
3
8.11 =+−== nEEn

 (V/m)
).
3
1.
3
2.
3
2(
3
8.11 zyxnn aaanEE

++== (V/m) = zyxnn aaanEE
 .
9
8.
9
16.
9
16.11 ++== (V/m)
zyxnt aaaEEE
 .
9
28.
9
34.
9
20
111 +−=−= (V/m)
zyxtt aaaEE
 .
9
28.
9
34.
9
20
21 +−== (V/m)



++==⇒=⇒= zyxnnnnnn aaaEEEEDD
 .
9
8.
9
16.
9
16.
.2
.4
...
0
0
1
2
1
2221121
ε
ε
ε
ε
εε
zyxn aaaE
 .
9
16.
9
32.
9
32
2 ++= (V/m)
zyxtn aaaEEE
 .
9
44.
9
2.
9
52
222 +−=+= (V/m)
zyx aaaEED
 ..
9
88..
9
4..
9
104..2. 00020222 εεεεε +−=== (C/m2) ou
zyx aaaD
 .45,86.93,3.17,1022 +−= (pC/m2)
º22,45
9
48
9
374,48
2
2
2 === arctg
E
E
arctg
t
n


θ
QUESTÃO 4: (2,5 PONTOS)
Tem-se o campo elétrico zx axzaxzE
 ).1(2.2 22 ++= (V/m). Encontre a equação da 
linha de força que passa pelo ponto (1, 3, -1).
RESOLUÇÃO:
zx axzazxE
 ).1(2..2 22 ++= e ( ) 1
.
1.2
..2
22
2
+
=
+
==
x
zx
xz
zx
E
E
dz
dx
z
x
kxxzkdx
x
xdzzdx
x
xdzz ++=⇒++=⇒+= ∫∫ ln22).1(..1.
222
No ponto P(1, 3, -1) 01ln
2
1
2
)1( 22
=⇒++=
−
⇒ kk
22222 lnln.2 xxzxxz +=⇒+=
QUESTÃO 5: (2,5 PONTOS)
Sabe-se que o potencial elétrico em região de permissividade relativa εr = 1 é dado 
como V = 80.ρ0,6 (V). Nesta condição deseja-se conhecer: (a) o campo elétrico E

 no 
ponto P(0,5m; 35º; 0,5m); (b) a densidade volumétrica de carga em ρ = 0,5 m; (c) a 
carga total presente dentro da superfície fechada ρ = 0,60 m e 0 < z < 1m.
RESOLUÇÃO:
ε = 1.ε0, o ponto P(ρ=0,5 m; φ=35º; z=0,5 m) e )(.80 6,0 VV ρ=
ρρρ ρρρ
aaaVVE 

..48..6,0.80. 4,04,0 −− −=−=


∂
∂
−=− ∇= (V/m)
No ponto P ⇒ ρρ aaPE
 .336,63.5,0.48)( 4,0 −=−= − (V/m)
( ) 4,104,0000 ..8,28.6,0).48.(1...1.... −− −=−=


∂
∂
=∇=∇= ρερ
ρ
ερ
ρρ
εερ ρEEDv

(C/m3)
00
4,1 .76.5,0.5,28)( εερ −=−= −Pv (nC/m3)
( )∫ ∫ ∫∫
= = =
−
−==
1
0
2
0
6,0
0
4,1
0 .....8,28.
zv
v dzdddvQ
pi
φ ρ
φρρρερ
0384,7.98,2211.2.
6,0
6,0..8,28..
6,0
..8,28 0
6,0
0
1
0
2
0
6,0
0
6,0
0 −=−=−=−= εpiεφρε pi zQ (nC).
BOA PROVA
	2ª AVALIAÇÃO DIVERSIFICADA