ELMG P7BN B GAB AC 20091

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AVALIAÇÃO CONCEITUAL
Curso: ENGENHARIA ELÉTRICA
Disciplina: ELETROMAGNETISMO
Professor: Data: 16/06/2009
Turma: B Série: P7 Período: NOTURNO
Aluno: RESULTADO:
Matrícula: Assinatura:
Com consulta a uma folha A3 de formulários e lembretes (Original e manuscrito) 
Duração: 150 minutos Permitido o uso da calculadora
RESOLVER APENAS TRÊS QUESTÕES
QUESTÃO 1: (3,0 PONTOS)
Escreva o campo vetorial θθθ asenaF r
 .2..3cos.2 += em coordenadas cartesianas e 
calcule no ponto P(ρ = 10; φ = 53,13º; z = -3)
RESOLUÇÃO:
θθθ asenaF r
 .2..3cos.2 += e P(ρ = 10; φ = 53,13º; z = -3)
zzyyxx aFaFaFF
 ... ++=
φθθφθθ cos.cos.2cos..3cos.2. sensenaFF xx +== 

φθθφθθ sensensensenaFF yy .cos.2..3cos.2. +== 

θθθθ sensenaFF zxz .2cos.3cos.2. −==

θθθθθθθθθθθ cos..2cos).1cos.2(.2cos.2cos)2cos(3cos 22 sensensen −−=−=+=
r
z
r
yx
r
z
r
zsen ..2.2cos..2coscos.23cos 2
22
3
3
23 +
−−=−−= θθθθθ
r
z
r
yx
sensen ..2cos..22
22 +
== θθθ
Passando as componentes para as coordenadas cartesianas, obtemos:
22
22
3
22
3
2
3
3
....2.)..(2..2.2
yx
x
r
z
r
z
r
yx
r
x
r
zyx
r
rz
r
zFx
+
+
+

 +
−−=
3
2
3
222223 ..2...2..2).(.2.2
r
zx
r
x
r
zyzxzyxzzFx +

 −−++−
=



+
−−
=+

 −−
= zx
r
yxxzx
r
z
r
zx
r
x
r
zyzxzFx .
..3.3..2..2...3..3.2
232
33
2
3
223
( ) ( ) 



+
++
−−
++
= zx
zyx
yxxzx
zyx
zFx .
..3.3...2
2
1222
232
2
3222
22
22
3
22
3
2
3
3
....2.)..(2..2.2
yx
y
r
z
r
z
r
yx
r
y
r
zyx
r
rz
r
zFy
+
+
+

 +
−−=
3
2
3
222223 ..2...2..2).(.2.2
r
zy
r
y
r
zyzxzyxzzFy +

 −−++−
=



+
−−
=+

 −−
= zy
r
yyxzy
r
z
r
zy
r
y
r
zyzxzFy .
.3..3..2..2...3..3.2
322
33
2
3
223
( ) ( ) 



+
++
−−
++
= zy
zyx
yyxzy
zyx
zFy .
.3..3...2
2
1222
322
2
3222
r
yx
r
z
r
yx
r
z
r
zyzxrzzFz
2222
3
2223
...2...2..2..2.2
++
−

 −−−
=
3
22
3
222223 ).(.2...2..2).(.2.2
r
yxz
r
z
r
zyzxzyxzzFz
+
−

 −−++−
=
3
22
3
223 ).(.2...3..3.2
r
yxz
r
z
r
zyzxzFz
+
−

 −−
=
( ) ( ) 



−−
++
−−
++
=
22
2
1222
22
2
3222
..3..33..2 yx
zyx
zyzxz
zyx
zFz
P(x = 6; y = 8; z = -3)
zyx aaaPF
 .0864,0.3022,1.9767,0)( ++=
QUESTÃO 2: (3,5 PONTOS)
Uma carga pontual de 30 nC existe em P(0, 0, 3) m. Onde deve ser colocado uma 
carga de 15 nC para anular o campo elétrico total na origem?
RESOLUÇÃO:
A carga Q = 30 nC localizado no ponto P(0, 0, 3)m (z > 0) produz na origem do 
sistema um campo elétrico E

 na direção do eixo z. Para anular este campo elétrico, 
a carga Q’ = 15 nC deve ser colocada também no eixo z (z < 0), de forma que 
)'()( QEQE =
zr
Q
Qr
z
QQ
===⇒===⇒=
2
2.3
2
9
2
9
30
15.9'.9
...4
'
3...4
2
2
0
3
0 εpiεpi
Portanto a carga Q’ deve ser colocada em (0, 0, -
2
2.3 )
QUESTÃO 3: (3,0 PONTOS)
Dado θθθ aasenD r
 .cos.2..10 += (C/m2), calcule a densidade volumétrica de cargas 
no ponto P(r=pi m; θ=36,87º; φ=53,13º).
RESOLUÇÃO:
θθθ aasenD r
 .cos.2..10 += (C/m2) e ( ) ).(.
.
1..1. 2 θ
θθ
ρ θ senDsenr
Dr
rr
D rv ∂
∂
+
∂
∂
=∇=

( ) )/(2cos.
.
2.20).(cos.cos
.
2..2.10.1 32 mCsenrr
sensensen
senr
senr
rv
θ
θ
θθθθθ
θ
θρ +=−++=
)/(117,4º74,73cos.
º87,36.
2º87,36.20)( 3mC
sen
senPv =+=
pipi
ρ
QUESTÃO 4: (3,5 PONTOS)
Dois dielétricos perfeitos possuem permissividades relativas εr1 = 2 e εr2 = 8. A 
superfície plana entre eles é a superfície x +2y + 2z = 5. A origem situa-se na região 
1. Se o campo elétrico no meio 1 vale zyx aaaE
 .50.200.1001 −+−= (V/m), calcule 2E

.
RESOLUÇÃO:
εr1 = 2 e εr2 = 8 e zyxzyx aaaN
NnaaaN 

 .
3
2.
3
2.
3
1.2.2 ++==⇒++=
zyx aaaE
 .50.200.1001 −+−= (V/m)
)/(
3
200
3
100
3
400
3
100.11 mVnEEn =−+−==

)/(.
9
400.
9
400.
9
200.11 mVaaanEE zyxnn

++==
2111 )/(.9
850.
9
1400.
9
1100
tzyxnt EmVaaaEEE

=−+−=−=
11
0
0
1
2
1
2221121 .25,0..8
.2
... nnnnnnnn EEEEEEDD

===⇒=⇒=
ε
ε
ε
ε
εε
)/(.
9
100.
9
100.
9
50
2 mVaaaE zyxn

++=
)/(.
3
250.
3
500.
3
350)/(.
9
750.
9
1500.
9
1050
222 mVaaamVaaaEEE zyxzyxtn

−+−=−+−=+=
QUESTÃO 5: (3,5 PONTOS)
A interface entre dois meios diferentes é normal a um dos três eixos coordenados. 
Se ).0,24.5,43(01 zx aaB

+= µ (Wb/m2) e ).0,24.0,22(02 zx aaB

+= µ (Wb/m2), qual é a 
relação 
2
1
θ
θ
tg
tg
?
RESOLUÇÃO:
).0,24.5,43(01 zx aaB

+= µ (Wb/m2)
).0,24.0,22(02 zx aaB

+= µ (Wb/m2)
Como 20121 ..0,24 nznnn BaBBB

==⇒= µ
Logo )/(..0,22)/(..5,43 202
2
01 mWbaBemWbaB xtxt
 µµ ==
2
2
2
1
1
1
b
t
n
t
B
B
tge
B
B
tg == θθ e portanto: 977,1
0,22
5,43
.0,24
.0,22
.0,24
.5,43
0
0
0
0
2
1
===
µ
µ
µ
µ
θ
θ
tg
tg
BOA PROVA
	AVALIAÇÃO CONCEITUAL