Dimensionamento de Engrenagens

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Engrenagens
Sistema Mecânicos 
Elementos de máquina
1 – Introdução
Segundo MELCONIAN (2008), as engrenagens são usadas para transmitir 
torque e velocidade angular em diversas aplicações. Existem várias opções de 
engrenagens de acordo com o uso a qual ela se destina.
A maneira mais fácil de se transmitir rotação motora de um eixo a outro é através 
de dois cilindros. Eles podem se tocar tanto internamente como externamente. Se 
existir atrito suficiente entre os dois cilindros o mecanismo vai funcionar bem. Mas 
a partir do momento que o torque transferido for maior que o atrito ocorrerá 
deslizamento. 
Com o objetivo de se aumentar o atrito entre os cilindros, fez-se necessária 
a utilização de dentes que possibilitam uma transmissão mais eficiente e com 
maior torque. Nasce assim a engrenagem.
Todo estudo da engrenagem estará concentrado no estudo de seus dentes, iguais 
em uma mesma engrenagem, relativo à sua geometria e resistência.
1.1 - Tipos de engrenagens
As engrenagens como elementos de transmissão de potência se 
apresentam nos seguintes tipos básicos:
• Engrenagens Cilíndricas de Dentes Retos;
• Engrenagens Cilíndricas de Dentes Helicoidais;
• Engrenagens Cônicas com Dentes Retos
2.0 - Engrenagens Cilíndricas de Dentes Retos
Engrenagens de dentes retos, como mostrada na figura1, tem dentes 
paralelos ao eixo de rotação e é usada para transmitir movimento de um eixo a 
outro. É a engrenagem mais simples.
Figura 01 – 
Engrenagens-
Cilíndricas de 
Dentes Retos
2.1 – Características Geométricas das Engrenagens 
Cilíndricas de Dentes Retos.
Figura 02 – Características Geométricas das Engrenagens Cilíndricas de Dentes 
Retos. Fonte: Melconian (2008)
Figura 03 – Características Geométricas das Engrenagens Cilíndricas de Dentes 
Retos. Fonte: Melconian (2008)
Onde: 
do = diâmetro primitivo;
dG = diâmetro da base;
df = diâmetro interno ou diâmetro do pe do dente;
dK = diâmetro externo ou diâmetro de cabeça do dente;
to = Passo;
hk = altura da cabeça do dente;
hf = altura do pé do dente;
hz = altura total do dente;
h = altura comum do dente;
So = espessura do dente no primitivo;
Sk = folga da cabeça;
Io = vão entre os dentes no promitivo;
b = largura do dente;
Α = ângulo de pressão.
2.2 – Ângulo de Pressão
O ângulo de pressão (α), num engrenamento é definido como o ângulo 
entre a linha de ação e a direção da velocidade angular, de modo que a linha de 
ação está rotacionada a α graus da direção de rotação da engrenagem movida. 
As engrenagens são fabricadas atualmente com ângulos de pressão 
padronizados para diminuir o custo no processo de fabricação. Os ângulos de 
pressão são 14.5°, 20° e 25°, sendo o mais usado 20°. 
Figura 04 – Ângulo de Pressão. Fonte: Melconian (2008)
2.3 – Curvas Envolvente
Segundo MELCONIAN (2008), a maioria das engrenagens utilizadas nas 
construções mecânicas e constituída de dentadura com perfil envolvente.
Figura 05 –Curvas Envolventes. Fonte: Melconian (2008
2.4-Formulário Para dimensionamento das engrenagens 
Cilíndricas de Dentes Retos
Tabela 01 – Características Geométricas. Fonte: Melconian (2008)
Numero de dentes(Z)
Z=
m
do
Módulo (m)
M =
pi
ot
Passo (to)
to = m.π
Espessura do dente no primitivo (So)
So = 2
ot
Altura comum do dente (h)
h = 2.m
Altura da cabeça do dente (hk)
hk = m
Altura total do dente (hz)
hz = 2,2.m
Altura dope do dente (hf)
Hf = 1,2.m
Vão entre os dentes no primitivo (io)
Io = 
2
ot
Ângulo de pressão (α)
Α = 20º
Folga da cabeça (Sk)
Sk = 0,2.m
Relação de transmissão (i)
i = 
2
1
1
2
1
2
η
η
==
o
o
d
d
Z
Z
Largura do dente (b)
A ser dimensionado ou adotado
Distância entre centros (C)
C =
2
21 oo dd +
OBS: Módulo - em toda engrenagem existe uma relação constante relacionando 
o número de dentes (Z) e o diâmetro primitivo (do). No sistema métrico esta 
relação é chamada de módulo m (em milímetro) e no sistema inglês de passo 
diametral (número de dentes por polegada). 
2.5 – Diâmetros Principais
Segundo Melconian (2008), os diâmetros principais são:
 - Diâmetro primitivo = do = m.Z
 - Diâmetro de base = dG = d0.cosα
 - Diâmetro interno ou diâmetro de pé do dente = df = d0-2.hf 
 - Diâmetro externo ou diâmetro da cabeça do dente = dk = d0+2.hk 
2.6 – Dimensionamento
2.7-Critério de Desgaste
A expressão seguinte deve ser utilizada no dimensionamento de pinhões 
com ângulo de pressão α = 20º e número de dentes de 18 a 40, MELCONIAN 
(2008).
b1.do1 = 5.72.105. ϕρ
.
14,0
1.2 ±
±
i
iMT
adm
Figura 06 – Engrenamentos Externos e Engrenamentos Internos. Fonte: Melconian (2008)
Onde:
b1 = largura do dente do pinhão (mm);
d01 = diâmetro primitivo do pinhão (mm);
MT = momento torçor no pinhão (N/mm2);
Ρadm = pressão admissível (N/mm2);
i= relação de transmissão;
φ = fator de serviço ( consultar tabela).
2.8-Pressão Admissível (Padm)
Segundo MELCONIAN (2008),a pressão admissível será calculada pela 
seguinte expressão:
Ρadm = 
6
1
.487.0
W
HB
Onde;
Ρadm = Pressão admissível;
HB = dureza Brinell (N/mm2)
2.9-Fator de Durabilidade
Segundo MELCONIAN (2008),o fator de durabilidade será calculado pela 
seguinte expressão:
W = 610
..60 hpη
Onde:
ηp =rotação do pinhão (rpm);
h = duração do par (horas);
HB = dureza Brinell (N/mm2)
Tabela 02 – Dureza Brinell. Fonte: Melconian (2008)
 
2.10-Relação entre a largura da engrenagem e o diâmetro 
Primitivo (b/do)
Segundo MELCONIAN (2008), para que uma engrenagem esteja bem 
dimensionada, é necessário que sejam obedecidas as relações seguintes:
• Engrenagem bi apoiada b/do ≤ 1,2;
Figura 07 – Engrenagem Biapoiada. Fonte: Melconian (2008)
• Engrenagem em balanço b/do ≤ 0,75
Figura 08 – Engrenagem em Balanço. Fonte: Melconian (2008)
2.11-Módulo Normalizados DIN 780
Tabela 03 – Módulos Normalizados. Fonte: Melconian (2008)
Módulo (mm) Incremento (mm)
0,3 a 1,0
1,0 a 4,0
4,0 a 7,0
7,0 a 16,0
16,0 a 24,0
24,0 a 45,0
45,0 a 75,0
0,10
0,25
0,50
1,00
2,00
3,00
5,00
OBS: sempre utilizar um incremento de 0,25 em 0,25.
2.12-Resistência à Flexão no Pé do Dente
Segundo MELCONIAN (2008), uma engrenagem estará dimensionada 
quando for verificada a resistência a flexão no pé do dente.Quando a tensão 
atuante no pé do dente for menor ou igual á tensão admissível do material 
indicado.
2.13-Carga Tangencial (Ft)
Segundo MELCONIAN (2008), a carga tangencial (Ft) é responsável pelo 
movimento das engrenagens, sendo também a carga que origina momento fletor, 
tendendo romper por flexão no pé do dente.
Figura 09 – Forças que Atuam nas Engrenagens. Fonte: Melconian (2008)
Figura 10 – Forças que Atuam nas Engrenagens. Fonte: Melconian (2008)
A força tangencial, é determinada pela formula:
Ft = 
o
t
d
M.2
Onde:
Ft = força tangencial (N);
Mt = torque (N.mm);
do = diâmetro primitivo da engrenagem (mm)
 (número de dentes por polegada). Por outro lado o passo é definido como o 
comprimento do círculo dividido pelo número de dentes. Assim:
2.14-Carga Radial (Fr)
Segundo MELCONIAN (2008), atua na direção radial da engrenagem. È 
determinada por meio da tangente do ângulo α (ângulo de pressão).
Tgα = 
t
r
F
F
Onde:
Fr = força radial (N);
Ft = força tangencial (N);
α = ângulo de pressão (em graus)
2.15-Carga Resultante (Fn)
Segundo MELCONIAN (2008), a carga resultante é a resultante de F1 e F2, é 
pode ser calculada através da seguinte formula:
Fn = 22 rt FF +
Ou por intermédios das relações:
• Fn = 
αcos
tF
• Fn = 
αsen
Fr
Onde:
Fn = força resultante (N);
Fr = força radial (N);
Ft = força tangencial (N).
2.16-Tensão de Flexão no Pé do DenteSegundo MELCONIAN (2008), a tensão atuante no pé do dente deve ser 
menor ou igual á tensão admissível do material indicado.
σmáx = 
material
t
mb
qF
σ
ϕ
≤
.
..
Onde:
σmáx= tensão máxima atuante na base do dente;
Ft = força tangencial (N);
m = modulo normalizado (mm);
b = largura do dente do pinhão (mm);
φ = fator de serviço (tabela AGMA);
q = fator de forma;
σmaterial = tensão admissível do material;
2.17-Fator de Forma (q)
O fator de forma da engrenagem é obtido em função do numero de dentes.
Tabela 04 – Fator de Forma. Fonte: Melconian (2008)
2.18-Fator de Serviço (φ)
Tabela 05 – Fator de Serviço. Fonte: Melconian (2008)
Tabela 06 – Fator de Serviço. Fonte: Melconian (2008)
Tabela 07 – Fator de Serviço. Fonte: Melconian (2008)
Tabela 08 – Fator de Serviço. Fonte: Melconian (2008)
Tabela 09 – Fator de Serviço. Fonte: Melconian (2008)
2.19- Conversão do Fator de Serviço 
Tabela 10 – Conversão do Fator de Serviço. Fonte: Melconian (2008)
2.20 - Conversão de dureza 
Tabela 11 – Conversão de Dureza. Fonte: Melconian (2008)
Tabela 12 – Conversão de Dureza. Fonte: Melconian (2008)
2.21- Tensão Admissível (σ)
 
Tabela 13 – Conversão de Dureza. Fonte: Melconian (2008)
3.0 - Engrenagens Cilíndricas de Dentes Helicoidais
3.1 – Características Geométricas
Figura 11 – Características Geométricas. Fonte: Melconian (2008)
3.2-Formulário Para dimensionamento das engrenagens 
Cilíndricas de Dentes Helicoidais
Tabela 14 – Formulário para Dimensionamento. Fonte: Melconian (2008)
Denominação Formulário
Módulo Normal (normalizado)
mno = 
pi
ot
Modulo Frontal mso= mno.secβo
Passo Frontal tso=ms0.π
Passo Normal tno=mn0.π
Espessura do dente Frontal
Sso = 2
sot
Vão entre Dentes no Frontal
Lso =
2
sot
Espessura do Dente Normal
Sno= 2
not
Vão entre Dentes Normais
lno =
2
not
Altura da Cabeça do Dente hk =mno
Altura do Pé do Dente hf =1.2mno
Altura Total do Dente hz = 2.2mno
Folga da Cabeça Sk = 0.2mno
Ângulo d a Hélice βo Sec βo = )1.(.
.2
1 +imZ
A
no
Ângulo de Pressão Normal αno αno = 20º.DIN867
Ângulo de Pressão Frontal αso
tg αso = 
o
notg
β
α
cos
Distância Centro a Centro 
Cc = ( )smZZ .2
21 +
Raio Imaginário no Plano Normal
rn = 
o
or
β2cos
Número Imaginário de Dentes
Z1 = ( ) 3cos o
Z
β
Avanço do Dente S =b.tgβo
Diâmetro Primitivo do = Z.ms
Diâmetro Externo dk = do+2.hk
Diâmetro do Pé do Dente df = do-2.h1
Diâmetro de Base dg = do =cosαso
3.3-Dimensionamento de Engrenagens Cilíndricas de 
Dentes Helicoidais
3.4-Critério de Desgaste
Figura 12– Engrenamento Externo e Engrenamento Interno. Fonte: Melconian (2008)
b1.do2 = 0.2.f2. i
iMT
padm
1.
.2
±
ϕρ
Onde:
b = largura do dente do pinhão (mm);
d0 = diâmetro primitivo do pinhão (mm);
MT = momento torçor no pinhão (N/mm2);
Ρadm = pressão admissível (N/mm2);
i= relação de transmissão;
φp = fator de correção de hélice ( pressão)
Segundo Melconian (2008), o fator de correão φp, utilizado para o critério 
de pressão, obtém-se por meio do ângulo de correção da hélice βo na tabela 
seguinte:
Tabela 15 – Fator de Correção da Hélice(φp). Fonte: Melconian (2008)
φp 1.00 1.11 1.22 1.31 1.40 1.47 1,54 1.60 1.66 1.71
βo 0º 5º 10º 15º 20º 25º 30º 35º 40º 45º
3.5-Critério da Resistência à Flexão
σmáx = 
material
rn
t
emb
qF
σ
ϕ
≤
...
.
Onde:
σmáx= tensão máxima atuante na base do dente;
Ft = força tangencial (N);
mn = modulo normal (mm);
b = largura do dente do pinhão (mm);
φr = faotor de correção de hélice;
q = fator de forma;
σmaterial = tensão admissível do material;
e = fator de carga 0.80 ≤ e≤ 1.50
OBS
Fator de Carga (serviço) “e”:
• e = 0.8 –serviço pesado;
• e = 1.0 –serviço normais;
• e = 1.5 –serviço leves
Pelo fator de serviço (φ), tabela do Agma (páginas 12/16), determina-se “e” 
por intermédio de :
e = ϕ
1
OBS
• Fator de correção de hélice (resistência)
Tabela 16 – Fator de Correção da Hélice(φR). Fonte: Melconian (2008)
φr 1.0 1.2 1.28 1.35 1.36
βo 0º 5º 10º 15º a 25º 25º a 45º
3.6-Fator de Característica Elástica (F)
Tabela 17 – Fator de Características Elásticas. Fonte: Melconian (2008)
Material E (GPa) Fator (f)
Pinhão de aço
Coroa de aço
E= 210
E= 210
1512
Pinhão de aço
Coroa de fofo
E= 210
E= 105
1234
Pinhão de fofo
Coroa de fofo
E= 105
E= 105
1069
3.7-Procedimento para Dimensionar Engrenagem 
Cilíndrica de Dentes Helicoidais 
Segundo Melconia (2008) para dimensionar uma engrenagem cilíndrica de 
dentes helicoidais deve-se seguir os seguintes passos:
1. Critério de pressão
1.1 – Fator de características elásticas ( f ), e obtido por meio da tabela 
(pagina 23).
1.2 Torque no pinhão
MT1 = ηpi
P.30000
1.3 Relação de Transmissão
i = 
1
2
Z
Z
1.4 Pressão Admissível
a) Fator de Durabilidade
W = 610
..60 hpη
b) Intensidade da Pressão Admissível
Ρadm = 
6
1
.487.0
W
HB
A conversão de dureza Rockweel (c) em dureza Brinell (HB) é obtida por 
meio da tabela de conversão de dureza (página 17/18)
1.5 Fator de Correção de Hélice φp (pressão)
Obtém-se por meio do ângulo de inclinação de hélice (βo) na tabela (página 
22 ).
1.6 Volume mínimo do Pinhão
b1.do2 = 0.2.f2. i
iMT
padm
1.
.2
±
ϕρ
b1.do2 = X
1.7 Módulo do Engrenamento
b1.do2 = X (volume mínimo) (1)
b1 = y.do1 ( proporcionalidade pagina 08) (2)
substituindo (1) em (1), tem-se
y.do1.do12 = X
do13 = y
X
Como o diâmetro primitivo (do1) é definido por meio do produto entre o 
módulo frontal (ms) e o número de dentes da engrenagem, tem-se:
do1 = (ms).Z1
(a) Módulo Frontal ms)
(ms) = 
1
1
Z
d o
(b) Modulo Normal
Mn = (ms).cosβo
Normalizar o módulo obtido poe meio da DIN 780 (página 08/09)
(c) Recálculo do Módulo Frontal (mso)
mso = 
o
nom
βcos
1.8 Recálculo do diâmetro Primitivo (dor)
dor = Z1.mso
1.9 Largura da Engrenagem 
b1 = 2
ord
X
2.0 Resistência à Flexão no Pé do Dente
σmáx = 
material
rn
t
emb
qF
σ
ϕ
≤
...
.
2.1 Força Tangencial (Ft)
Ft = 
or
t
d
M.2
2.1 Raio Primitivo (ro1)
ro1 = 2
d 0r
2.1 Fator de Forma
Segundo Melconian (2008) , ara utilizar a tabela do fator de forma da 
ECDR, torna-se necessário determinar o número de dentes helicoidais 
correspondentes a dentes retos. Utiliza-se pata tal a relação seguinte:
Ze = ( ) 30
1
cos β
Z
Ze = número de dentes equivalentes
Por meio de Ze obtém-se o fator ‘q’ na tabela da página 11.
2.2 Fator de Serviço (e)
Obtido na tabela (AGMA) por meio da relação:
e = ϕ
1
2.3 Largura da Engrenagem 
b1 = 2
ord
X
2.4 Módulo Normalizado (mno)
b1.do2 = X (1)
b1 = y.do1 (2)
substituindo (2) em (1), tem-se:
do1 = (ms).Z1
2.5 Fator de Correção da Hélice (φr)
Obtido em f(βo) na tabela da página 23.
2.6 Tensão Máxima Atuante no Pé do Dente
σmáx = rn
t
emb
qF
ϕ...
.
2.7 Análise do Dimensionamento. A engrenagem estará apta para 
suportar a transmissão se:
σmáx ≤σmaterial
2.8 Força Atuante nas Engrenagens:
(a) Força Tangencial (Ft)
Ft = 
2
2.2.2
oor
t
d
M
d
M
=
(b) Força Radial (Fr)
Fr = Ft.tgαso
(c) Força Axial (Fa)
Fa = Ft.tgβo
4.0 - Engrenagens Cônicas Com Dentes Retos
 Segundo Melconian (2008), as engrenagens cônicas com dente retos 
possuem as seguintes características:
• São utilizadas em eixos reversos (figura)
• A relação de transmissão máxima que deve ser utilizada é 1:6
• Par as relações de transmissão acima de 1:1.2 são mais caras que as 
engrenagens cilíndricas.
4.1 – Características Geométricas
Figura 13 – Características Geométricas. Fonte: Melconian (2008
4.2-Formulário Para dimensionamentodas engrenagens 
Cônicas com Dentes Retos
Tabela 18 – Características Geométricas. Fonte: Melconian (2008)
Denominação Símbolo Fórmula
Número de Dentes Z1 Z1 = m
d o1
módulo m
M =
pi
ot
Módulo Médio mm Mm = 0,8.m
Passo to to = m.π
Espessura no primitivo So So = 2
ot
Vão entre os dentes no primitivo lo lo = 
2
ot
Diâmetro primitivo do1 do1 = m.Z1
Diâmetro primitivo médio dm1 dm1 = b.senδ1
dm2 = dm1.i
Altura comum do dente h h= 2.m
Altura da cabeça do dente hk hk = m
Altura do pé do dente hf hf = 1,1 a 1,3 .m
Altura total do dente hz hz = 2,1 a 2,3.m
Folga na cabeça Sk Sk =0,1 a 0,3.m
Diâmetro externo ou de cabeça dk1,2 dk1 = do1+2.mcosδ1
dk1 = m.(Z1+2.cosδ1)
dk2 = do2+2.mcosδ2
dk1 = m.(Z2+2.cosδ2)
Ângulo de pressão αo αo = 20º
Abertura angular entre eixos δ δ = δ1+ δ2
Conicidade de engrenagem relativa no 
primitivo
δ1,2
Tgδ2 =
2
1cos
Z
Z
sen
+δ
δ
 para δ = 90º
δ1 = δ-δ2
Conicidade de engrenagem relativa no 
diâmetro externo
δk1,2 δk1 = δ1 +k
em que tgk =
aR
m para δ = 90º
tgk = 2
2
2
1
4
ZZ +
Geratriz relativa no diâmetro primitivo Ra
Ra = m.
4
2
2
2
1 ZZ +
Ra = do1.
4
1 2i+
Geratriz relativa no diâmetro primitivo 
médio
Rm
Rm =dm1.
4
1 2i+ para α =90º
Largura do dente b b ≤ 1/3 Ra ≤ 8.m
Número de dentes equivalentes Ze1,2
Ze1 = 
1
1
cos δ
Z
 e Ze2 = 
2
2
cos δ
Z
 
Raio primitivo da engrenagem 
equivalente
re1,2
re1 = 
1
1
cos.2 δ
od
Relação de multiplicação i
i = 
1
2
1
2
1
2
δ
δ
sen
sen
d
d
Z
Z
o
o
==
para δ = 90º
i = tgδ2
4.3-Dimensionamento das engrenagens Cônicas com 
Dentes Retos
4.31-Critério de Pressão
b1.dm12 = 0.2.f2. 2
2
2
1 1.
.
cos.
i
iMT
adm
±
ρ
δ
4.32-Critério de Resistência a Flexão
σmáx = 
ADM
n
t
emb
qF
σ≤
..
.
Segundo Melconian (2008), para obter o fator q, devemos calcular o número 
de dentes equivalentes (cônica cilíndrica).
Ze = 
1
1
cos δ
Z
Onde :
b = largura do pinhão (mm);
dm = diâmetro pritivo médio (mm);
f = fator das características elásticas do par;
MT = momento torçor (N.mm);
ρadm = pressão admissível;
i = relaçãode transmissão;
σmax = tensão máxima atuante (N/mm2);
Ft = fator tangencial (N);
q = fator de forma;
mm = módulo médio;
e = fator de serviço e = 1.75 (serviços leves), e=1.50 (serviços normais) e 
e=1.25 (serviços pesados).
5.0-Referências Bibliográficas
• Melconian, S. Elementos de Máquinas.9ed. São Paulo: èrica, 2008. 376p.