Baixe o app para aproveitar ainda mais
Prévia do material em texto
Isostática - 1º/2013 Universidade Nilton Lins 1 Prof. Winston Zumaeta 16/01/2013 1000 kgf/m A B 4,2 m 1,8 m Vão = 6,0 m resultante 2,8 m 1,4 m V = 1120 kgfA V = 980 kgfB 2100 x (1,4 + 1,8) 6,0 2100 x 2,8 6,0 1120 kgf= 980 kgf= (4,2 x 1000)/2 = 2100 kgfx1 x2 1. Exercício 31 1.1 Reações de apoio Isostática - 1º/2013 Universidade Nilton Lins 2 Prof. Winston Zumaeta 16/01/2013 1.2 Diagrama de Esforço cortante - DEC Legenda: ��,� → ��� � � �� ��í��� �� ���ℎ� � ��,� → ��� � � �� ��� �� ���ℎ� � Convenção: ���� �� ��� ��� ℎ��á���, ��� � � ���� ���. ���� �� ��� ��� � � − ℎ��á���, ��� � � ��� ���. 1.2.1 Trecho 1 ��,� = ! (Positivo, pois gira no sentido horário para “dentro da viga”) "#,$ = $$%& '() ��,� = ��,� − *��+, -./012 � = 1120 − 1000 ∙ 4,22 "),$ = − 89& '() 1.2.2 Trecho 2 ��,: = ��,� (Pois não há força concentrada no início do trecho 2) "#,% = − 89& '() Isostática - 1º/2013 Universidade Nilton Lins 3 Prof. Winston Zumaeta 16/01/2013 ��,: = ��,: (Pois não há carregamento distribuído no trecho 2) "),% = − 89& '() 1.2.3 Posição onde o cortante é nulo (d) O gráfico de esforço cortante tem o valor nulo (zero) exatamente onde ele corta o eixo da viga, e isso ocorre no trecho 1, porque ��,� = 1120 ;�� e ��,� = − 980 ;��, ou seja, como o cortante inicial do trecho é positivo e o final é negativo, indica que o gráfico corta o eixo da viga, passando pela posição onde ele é zero. Em resumo, quando o cortante inicial de um trecho for positivo e o final negativo, quer dizer, que é nesse trecho que o gráfico do cortante passa pela posição onde é zero. E é a equação desse trecho que devemos utilizar para encontrar o valor de >?. Sabendo disso, basta utilizarmos a equação de cortante do trecho 1 e igualarmos a zero, com isso encontraremos a posição onde ele é nulo a partir do trecho 1, posição @>?A. A equação do trecho 1 é: ��@>�A = ��,� − � ����B�CD ��@>�A = 1120 − 1000 >� : 2 ∙ 4,2 0 = 1120 − 1000 >? : 2 ∙ 4,2 1000 >? : 2 ∙ 4,2 = 1120 >?: 2 ∙ 4,2 = 1120 1000 Isostática - 1º/2013 Universidade Nilton Lins 4 Prof. Winston Zumaeta 16/01/2013 >?: = 11201000 ∙ 2 ∙ 4,2 >?: = 9408 >? = √9408 >? = 3,067 � Neste exemplo o valor de @�A, é o mesmo valor de >?, pois o diagrama de esforço cortante se anulou no trecho 1, e o trecho 1 é o início da viga, dessa maneira o valor de @�A será: � = >? I = J, &KL M Isostática - 1º/2013 Universidade Nilton Lins 5 Prof. Winston Zumaeta 16/01/2013 x1 x2 1000 kgf/m A B 4,2 m 1,8 m Vão = 6,0 m = 12 cm (no papel milimetrado) DEC [kgf] Horiz. d = 3,067 m 1120 = 4,48 cm Escala horizontal (eixo da viga): 1 cm = 0,5 m (Dica: Com esta escala escolhida, todo comprimento de viga deverá ser divido por 0,5 para ser transformado para cm na "escala do papel milimetrado") Escala vertical (esforço cortante): 1 cm = 250 kgf (Dica: Com esta escala escolhida, todo esforço cortante deverá ser dividido por 250 para ser transformado para cm na "escala do papel milimetrado") 980 = 3,92 cm 3 , 9 2 c m 4 , 4 8 c m N ã o é n e c e s s á r i o c o l o c a r e s t a c o t a n o d i a g r a m a d e e s f o r ç o c o r t a n t e , e l a é a p e n a s u m a c o t a d í d á t i c a . N ã o é n e c e s s á r i o c o l o c a r e s t a c o t a n o d i a g r a m a d e e s f o r ç o c o r t a n t e , e l a é a p e n a s u m a c o t a d í d á t i c a . Parábola do 2º Grau q.L 8 = 1000 x 4,2 8 = 525 kgf = 2,10 cm 1.2.4 Traçado do diagrama de esforço cortante - DEC Isostática - 1º/2013 Universidade Nilton Lins 6 Prof. Winston Zumaeta16/01/2013 1.3 Diagrama de Momento fletor - DMF Legenda: N�,� → N���� � �� ��í��� �� ���ℎ� � N�,� → N���� � �� ��� �� ���ℎ� � Convenção, percorrendo a viga da esquerda para a direita: ���� �� ��� ��� ℎ��á���,����� � ���� ���. ���� �� ��� ��� � � − ℎ��á���,����� � ��� ���. 1.3.1 Trecho 1 1.3.1.1 Momento no início do trecho 1 N�,� = 0 (pois não existe engaste e nem momento aplicado) 1.3.1.2 Momento no fim do trecho 1 N�,� = ! ∙ 4,2 − 1000 ∙ 4,22 ∙ 4,2 3 N�,� = 1120 ∙ 4,2 − 2100 ∙ 1,4 N�,� = 1764 �. ;�� Isostática - 1º/2013 Universidade Nilton Lins 7 Prof. Winston Zumaeta 16/01/2013 1.3.2 Trecho 2 1.3.2.1 Momento no início do trecho 2 N�,: = N�,� (pois não existe momento aplicado) N�,: = 1764 �. ;�� 1.3.2.2 Momento no fim do trecho 2 N�,: = ! ∙ @4,2 + 1,8A − 1000 ∙ 4,22 ∙ P 4,2 3 + 1,8Q N�,: = 1120 ∙ 6 − 2100 ∙ 3,2 N�,: = 0 (deveria ser zero mesmo, pois no fim do trecho 2 não existe momento aplicado e é um apoio do 1º gênero) 1.3.3 Cálculo do momento máximo Para o caso de carregamento triangular, primeiramente deve-se calcular o valor da carga distribuída na posição do ponto de esforço cortante nulo, ou seja, na posição a 3,067 m do apoio A. RB 3,067 = 1000 4,2 RB = 10004,2 ∙ 3,067 SI = LJ&, %J9 '()/M Isostática - 1º/2013 Universidade Nilton Lins 8 Prof. Winston Zumaeta 16/01/2013 A d = 3,067 m S q = 730,238 kgf/md V = 1120 kgfA (3,067 x 730,238)/2 = 1119,820 kgf resultante 3,067 3 O cálculo do momento máximo, nada mais é que a soma dos momentos em relação ao ponto S, onde o cortante é nulo, portanto tem-se: NUáV = ! ∙ � − 3,067 ∙ 730,2382 ∙ 3,067 3 NUáV = 1120 ∙ 3,067 − 1119,820 ∙ 3,0673 NUáV = 3435,04 − 1144,829 XMáY = %%8&, %$$ M. '() ≅ %%8&, % M.'() Isostática - 1º/2013 Universidade Nilton Lins 9 Prof. Winston Zumaeta 16/01/2013 Escala horizontal (eixo da viga): 1 cm = 0,5 m (Dica: Com esta escala escolhida, todo comprimento de viga deverá ser divido por 0,5 para ser transformado para cm na "escala do papel milimetrado") DMF [m.kgf] Está tangente contém o ponto de momento máximo e é paralela ao eixo da viga. Parábola do 3º Grau M m á x d = 3,067 m M = 2 2 9 0 , 2 = 4 , 5 8 c m m á x 1 7 6 4 = 3 , 5 3 c m Escala vertical (momento fletor): 1 cm = 500 m.kgf (Dica: Com esta escala escolhida, todo momento fletor deverá ser dividido por 500 para ser transformado para cm na "escala do papel milimetrado") Detalhes da parábola do trecho 1 q.L 2 12 = 1000 x 4,2 2 12 = 1470 m.kgf = 2,94 cm q.L 2 12 = 1000 x 4,2 2 12 = 1470 m.kgf = 2,94 cm ~ Este primeiro ponto nunca estará contido na parábola e sempre se liga a extremidade onde o carregamento triangular é zero. Este segundo ponto também nunca estará contido na parábola e sempre se liga a extremidade onde o carregamento triangular é máximo, neste caso, 1000 kgf/m. x1 x2 = ~ Legenda: Aproximadamente 1.3.4 Traçado do diagrama de momento fletor - DMF Isostática - 1º/2013 Universidade Nilton Lins 10 Prof. Winston Zumaeta 16/01/2013 A B 1600 m.kgf 700 kgf 1500 kgf/m 800 kgf/m 2,0 m 2,0 m 3,0 m 3,0 m Vão = 10,0 m 2,5 m 2,5 m 1,5 m 1,5 m 5,0 x 1500 = 7500 kgf resultante 3,0 x 800 = 2400 kgf resultante 1600 10,0 700 x (3,0 + 3,0) 10,0 700 x (2,0 + 2,0) 10,0 2400 x 1,5 10,0 2400 x (1,5 + 3,0 + 2,0+2,0) 10,0 V = 5065 kgfA V = 5535 kgfB 160 kgf= 420 kgf= 360 kgf= 280 kgf= 2040 kgf= 7500 x (2,5 + 3,0) 10,0 7500 x (2,5 + 2,0) 10,0 4125 kgf= 3375 kgf= 1600 10,0 160 kgf= x1 x2 x3 x4 2. Exercício 43 2.1 Reações de apoio Isostática - 1º/2013 Universidade Nilton Lins 11 Prof. Winston Zumaeta 16/01/2013 2.2 Diagrama de Esforço cortante - DEC Legenda: ��,� → ��� � � �� ��í��� �� ���ℎ� � ��,� → ��� � � �� ��� �� ���ℎ� � Convenção: ���� �� ��� ��� ℎ��á���, ��� � � ���� ���. ���� �� ��� ��� � � − ℎ��á���, ��� � � ��� ���. 2.2.1 Trecho 1 ��,� = ! = 5065 ;�� (Positivo, pois gira no sentido horário para “dentro da viga”) ��,� = ��,� = 5065 ;�� (Pois não há carregamento distribuído no trecho 1) 2.2.2 Trecho 2 ��,: = ��,� = 5065 ;�� (Pois não há força concentrada no início do trecho 2) ��,: = ��,: − *��+, -./012 : = 5065 − @1500 ∙ 2A = 2065 ;�� Isostática - 1º/2013 Universidade Nilton Lins12 Prof. Winston Zumaeta 16/01/2013 2.2.3 Trecho 3 ��,[ = ��,: − 700 = 2065 − 700 = 1365 ;�� ��,[ = ��,[ − *��+, -./012 [ = 1365 − @1500 ∙ 3A = − 3135 ;�� 2.2.4 Trecho 4 ��,\ = ��,[ = − 3135 ;�� (Pois não há força concentrada no início do trecho 4) ��,\ = ��,\ − *��+, -./012 \ = − 3135 − @800 ∙ 3A = − 5535 ;�� 2.2.5 Posição onde o cortante é nulo (d) O gráfico de esforço cortante tem o valor nulo (zero) exatamente onde ele corta o eixo da viga, e isso ocorre no trecho 3, porque ��,[ = 1365 ;�� e ��,[ = − 3135 ;��, ou seja, como o cortante inicial do trecho é positivo e o final é negativo, indica que o gráfico corta o eixo da viga, passando pela posição onde ele é zero. Em resumo, quando o cortante inicial de um trecho for positivo e o final negativo, quer dizer, que é nesse trecho que o gráfico do cortante passa pela posição onde é zero. E é a equação desse trecho que devemos utilizar para encontrar o valor de >?. Sabendo disso, basta utilizarmos a equação de cortante do trecho 3 e igualarmos a zero, com isso encontraremos a posição onde ele é nulo a partir do trecho 3, posição @>?A. A equação do trecho 3 é: �[@>[A = ��,[ − � ����B�CD �[@>[A = 1365 − 1500>[ 0 = 1365 − 1500>? Isostática - 1º/2013 Universidade Nilton Lins 13 Prof. Winston Zumaeta 16/01/2013 1500>? = 1365 >? = 13651500 >? = 0,910 � Para achar o valor de @�A, é preciso somar ao valor de >?, a distância até o apoio A, pois o valor de >? se inicia no trecho 3, dessa maneira o valor de @�A será: � = 2,0 � + 2,0 � + >? � = 2,0 � + 2,0 � + 0,910 � I = ], 8$& M Isostática - 1º/2013 Universidade Nilton Lins 14 Prof. Winston Zumaeta 16/01/2013 Escala horizontal (eixo da viga): 1 cm = 0,5 m (Dica: Com esta escala escolhida, todo comprimento de viga deverá ser divido por 0,5 para ser transformado para cm na "escala do papel milimetrado") Escala vertical (esforço cortante): 1 cm = 1000 kgf (Dica: Com esta escala escolhida, todo esforço cortante deverá ser dividido por 1000 para ser transformado para cm na "escala do papel milimetrado") A B 1600 m.kgf 700 kgf 1500 kgf/m 800 kgf/m 2,0 m 2,0 m 3,0 m 3,0 m Vão = 10,0 m = 20 cm (no papel milimetrado) x1 x2 x3 x4 A B 5065 = 5,07 cm DEC [kgf] 2065 = 2,07 cm 1365 = 1,37 cm 3135 = 3,14 cm 5535 = 5,54 cm d = 4,910 m 5 , 0 7 c m N ã o é n e c e s s á r i o c o l o c a r e s t a c o t a n o d i a g r a m a d e e s f o r ç o c o r t a n t e , e l a é a p e n a s u m a c o t a d í d á t i c a . ~ 5 , 5 4 c m N ã o é n e c e s s á r i o c o l o c a r e s t a c o t a n o d i a g r a m a d e e s f o r ç o c o r t a n t e , e l a é a p e n a s u m a c o t a d í d á t i c a . ~ ~ ~ ~ = ~ Legenda: Aproximadamente 2.2.6 Traçado do diagrama de esforço cortante - DEC Isostática - 1º/2013 Universidade Nilton Lins 15 Prof. Winston Zumaeta 16/01/2013 2.3 Diagrama de Momento fletor - DMF Legenda: N�,� → N���� � �� ��í��� �� ���ℎ� � N�,� → N���� � �� ��� �� ���ℎ� � Convenção, percorrendo a viga da esquerda para a direita: ���� �� ��� ��� ℎ��á���,����� � ���� ���. ���� �� ��� ��� � � − ℎ��á���,����� � ��� ���. 2.3.1 Trecho 1 2.3.1.1 Momento no início do trecho 1 N�,� = 0 (pois não existe engaste e nem momento aplicado) 2.3.1.2 Momento no fim do trecho 1 N�,� = ! ∙ 2 N�,� = 5065 ∙ 2 N�,� = 10130 �. ;�� Isostática - 1º/2013 Universidade Nilton Lins 16 Prof. Winston Zumaeta 16/01/2013 2.3.2 Trecho 2 2.3.2.1 Momento no início do trecho 2 N�,: = N�,� − 1600 @���� � � − ℎ��á���A N�,: = 10130 − 1600 N�,: = 8530 �. ;�� 2.3.2.2 Momento no fim do trecho 2 N�,: = ! ∙ @2 + 2A − 1600 − @1500 ∙ 2A ∙ 22 N�,: = 5065 ∙ 4,0 − 1600 − 3000 ∙ 1 N�,: = 15660 �. ;�� 2.3.3 Trecho 3 2.3.3.1 Momento no início do trecho 3 N�,[ = N�,: (pois não existe momento aplicado) N�,[ = 15660 �. ;�� Isostática - 1º/2013 Universidade Nilton Lins 17 Prof. Winston Zumaeta16/01/2013 2.3.3.2 Momento no fim do trecho 3 N�,[ = ! ∙ @2 + 2 + 3A − 1600 − 700 ∙ 3 − @1500 ∙ 5A ∙ 52 N�,[ = 5065 ∙ 7 − 1600 − 2100 − @7500A ∙ 2,5 N�,[ = 13005 �. ;�� 2.3.4 Trecho 4 2.3.4.1 Momento no início do trecho 4 N�,\ = N�,[ (pois não existe momento aplicado) N�,\ = 13005 �. ;�� 2.3.4.2 Momento no fim do trecho 4 N�,\ = ! ∙ @2 + 2 + 3 + 3A − 1600 − 700 ∙ @3 + 3A − @1500 ∙ 5A ∙ P52 + 3Q − @800 ∙ 3A ∙ 3 2 N�,\ = 5065 ∙ 10 − 1600 − 4200 − @7500A ∙ 5,5 − @2400A ∙ 1,5 N�,\ = 0 (deveria ser zero mesmo, pois no fim do trecho 4 não existe momento aplicado e é um apoio do 1º gênero) Isostática - 1º/2013 Universidade Nilton Lins 18 Prof. Winston Zumaeta 16/01/2013 A 1600 m.kgf 700 kgf 2,0 m 2,0 m (4,910 - 2,0) x 1500 = 4365 kgf resultante x1 x2 x3 d = 4,910 m S V = 5065 kgfA 2.3.5 Cálculo do momento máximo O cálculo do momento máximo, nada mais é que a soma dos momentos em relação ao ponto S, onde o cortante é nulo, portanto tem-se: NUáV = ! ∙ � − 1600 − 700 ∙ ^� − @2 + 2A_ − ^1500 ∙ @� − 2A_ ∙ @� − 2A 2 NUáV = 5065 ∙ 4,910 − 1600 − 700 ∙ ^4,910 − @2 + 2A_ − ^1500 ∙ @4,910 − 2A_ ∙ @4,910 − 2A 2 NUáV = 24869,15 − 1600 − 637 − 4365 ∙ 1,455 XMáY = $K%9$, &L` M.'() ≅ $K%9$ M.'() Isostática - 1º/2013 Universidade Nilton Lins 19 Prof. Winston Zumaeta 16/01/2013 Escala vertical (momento fletor): 1 cm = 2000 m.kgf (Dica: Com esta escala escolhida, todo momento fletor deverá ser dividido por 2000 para ser transformado para cm na "escala do papel milimetrado") Escala horizontal (eixo da viga): 1 cm = 0,5 m (Dica: Com esta escala escolhida, todo comprimento de viga deverá ser divido por 0,5 para ser transformado para cm na "escala do papel milimetrado") A B DMF [m.kgf] Parábola do 2º Grau 1 5 6 6 0 = 7 , 8 3 c m 1 0 1 3 0 = 5 , 0 7 c m 8 5 3 0 = 4 , 2 7 c m 1 3 0 0 5 = 6 , 5 0 c m M = 1 6 2 8 1 = 8 , 1 4 c m M m á x m á x Parábola do 2º Grau Ponto anguloso q.L 2 8 = 1500 x 2,0 2 8 = 750 m.kgf = 0,38 cm q.L 2 8 = 1500 x 2,0 2 8 = 750 m.kgf = 0,38 cm q.L 2 8 = 800 x 3,0 2 8 = 900 m.kgf = 0,45 cm q.L 2 8 = 800 x 3,0 2 8 = 900 m.kgf = 0,45 cm q.L 2 8 = 1500 x 3,0 2 8 = 1687,5 m.kgf = 0,84 cm q.L 2 8 = 1500 x 3,0 2 8 = 1687,5 m.kgf = 0,84 cm Tangentes paralelas x1 x2 x3 x4 d = 4,910 m Detalhes da parábola do trecho 2 Detalhes da parábola do trecho 3 Detalhes da parábola do trecho 4 ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ = ~ Legenda: Aproximadamente 2.3.6 Traçado do diagrama de momento fletor - DMF
Compartilhar