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Isostática - 1º/2013 Universidade Nilton Lins 1 
 
 Prof. Winston Zumaeta 16/01/2013 
1000 kgf/m
A B
4,2 m 1,8 m
Vão = 6,0 m
resultante
2,8 m 1,4 m
V = 1120 kgfA V = 980 kgfB
2100 x (1,4 + 1,8)
6,0
2100 x 2,8
6,0
1120 kgf= 980 kgf=
(4,2 x 1000)/2 =
 2100 kgfx1 x2
1. Exercício 31 
1.1 Reações de apoio 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 Isostática - 1º/2013 Universidade Nilton Lins 2 
 
 Prof. Winston Zumaeta 16/01/2013 
1.2 Diagrama de Esforço cortante - DEC 
Legenda: 
��,� → ���	
�	� �� ��í��� �� 	���ℎ� � 
��,� → ���	
�	� �� ��� �� 	���ℎ� � 
Convenção: 
���� �� ���	��� ℎ��á���, ���	
�	� ����	���. 
���� �� ���	��� 
�	� − ℎ��á���, ���	
�	� ���
	���. 
 
1.2.1 Trecho 1 
��,� = ! (Positivo, pois gira no sentido horário para “dentro da viga”) 
"#,$ = $$%& '() 
��,� = ��,� − *��+,	-./012 � = 1120 − 1000 ∙ 4,22 
"),$ = − 89& '() 
 
1.2.2 Trecho 2 
��,: = ��,� (Pois não há força concentrada no início do trecho 2) 
"#,% = − 89& '() 
 Isostática - 1º/2013 Universidade Nilton Lins 3 
 
 Prof. Winston Zumaeta 16/01/2013 
��,: = ��,: (Pois não há carregamento distribuído no trecho 2) 
"),% = − 89& '() 
 
1.2.3 Posição onde o cortante é nulo (d) 
O gráfico de esforço cortante tem o valor nulo (zero) exatamente onde ele corta o eixo da viga, e isso ocorre no trecho 1, porque 
��,� = 1120 ;�� e ��,� = − 980 ;��, ou seja, como o cortante inicial do trecho é positivo e o final é negativo, indica que o gráfico corta o 
eixo da viga, passando pela posição onde ele é zero. Em resumo, quando o cortante inicial de um trecho for positivo e o final negativo, 
quer dizer, que é nesse trecho que o gráfico do cortante passa pela posição onde é zero. E é a equação desse trecho que devemos 
utilizar para encontrar o valor de >?. 
Sabendo disso, basta utilizarmos a equação de cortante do trecho 1 e igualarmos a zero, com isso encontraremos a posição 
onde ele é nulo a partir do trecho 1, posição @>?A. A equação do trecho 1 é: 
��@>�A = ��,� − �
����B�CD 
��@>�A = 1120 − 1000 >�
:
2 ∙ 4,2 
0 = 1120 − 1000 >?
:
2 ∙ 4,2 
1000 >?
:
2 ∙ 4,2 = 1120 
>?:
2 ∙ 4,2 =
1120
1000 
 Isostática - 1º/2013 Universidade Nilton Lins 4 
 
 Prof. Winston Zumaeta 16/01/2013 
>?: = 11201000 ∙ 2 ∙ 4,2 
>?: = 9408 
>? = √9408 
>? = 3,067 � 
Neste exemplo o valor de @�A, é o mesmo valor de >?, pois o diagrama de esforço cortante se anulou no trecho 1, 
e o trecho 1 é o início da viga, dessa maneira o valor de @�A será: 
� = >? 
I = J, &KL M 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 Isostática - 1º/2013 Universidade Nilton Lins 5 
 
 Prof. Winston Zumaeta 16/01/2013 
x1 x2
1000 kgf/m
A B
4,2 m 1,8 m
Vão = 6,0 m = 12 cm (no papel milimetrado)
DEC [kgf]
Horiz.
d = 3,067 m
 1120
= 4,48 cm
Escala horizontal (eixo da viga):
1 cm = 0,5 m
(Dica: Com esta escala escolhida, todo
comprimento de viga deverá ser divido
por 0,5 para ser transformado para cm
na "escala do papel milimetrado")
Escala vertical (esforço cortante):
1 cm = 250 kgf
(Dica: Com esta escala escolhida, todo
esforço cortante deverá ser dividido por
250 para ser transformado para cm na
"escala do papel milimetrado")
980 = 3,92 cm
3
,
9
2
 
c
m
4
,
4
8
 
c
m
N
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m
a
 
c
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t
a
 
d
í
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á
t
i
c
a
.
Parábola do 2º Grau
q.L
8 =
1000 x 4,2
8 = 525 kgf
= 2,10 cm
1.2.4 Traçado do diagrama de esforço cortante - DEC 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 Isostática - 1º/2013 Universidade Nilton Lins 6 
 
 Prof. Winston Zumaeta16/01/2013 
1.3 Diagrama de Momento fletor - DMF 
Legenda: 
N�,� → N����	� �� ��í��� �� 	���ℎ� � 
N�,� → N����	� �� ��� �� 	���ℎ� � 
Convenção, percorrendo a viga da esquerda para a direita: 
���� �� ���	��� ℎ��á���,�����	� ����	���. 
���� �� ���	��� 
�	� − ℎ��á���,�����	� ���
	���. 
 
1.3.1 Trecho 1 
1.3.1.1 Momento no início do trecho 1 
N�,� = 0 (pois não existe engaste e nem momento aplicado) 
 
1.3.1.2 Momento no fim do trecho 1 
 
N�,� = ! ∙ 4,2 − 1000 ∙ 4,22 ∙
4,2
3 
N�,� = 1120 ∙ 4,2 − 2100 ∙ 1,4 
N�,� = 1764 �. ;�� 
 Isostática - 1º/2013 Universidade Nilton Lins 7 
 
 Prof. Winston Zumaeta 16/01/2013 
1.3.2 Trecho 2 
1.3.2.1 Momento no início do trecho 2 
N�,: = N�,� (pois não existe momento aplicado) 
N�,: = 1764 �. ;�� 
 
1.3.2.2 Momento no fim do trecho 2 
 
N�,: = ! ∙ @4,2 + 1,8A − 1000 ∙ 4,22 ∙ P
4,2
3 + 1,8Q 
N�,: = 1120 ∙ 6 − 2100 ∙ 3,2 
N�,: = 0 (deveria ser zero mesmo, pois no fim do trecho 2 não existe momento aplicado e é um apoio do 1º gênero) 
 
1.3.3 Cálculo do momento máximo 
Para o caso de carregamento triangular, primeiramente deve-se calcular o valor da carga distribuída na posição do ponto de 
esforço cortante nulo, ou seja, na posição a 3,067 m do apoio A. 
RB
3,067 =
1000
4,2 
RB = 10004,2 ∙ 3,067 
SI = LJ&, %J9 '()/M 
 Isostática - 1º/2013 Universidade Nilton Lins 8 
 
 Prof. Winston Zumaeta 16/01/2013 
A
d = 3,067 m
S
q = 730,238 kgf/md
V = 1120 kgfA
(3,067 x 730,238)/2 =
 1119,820 kgf
resultante
3,067
3
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
O cálculo do momento máximo, nada mais é que a soma dos momentos em relação ao ponto S, onde o cortante é nulo, portanto 
tem-se: 
 
 
NUáV = ! ∙ � − 3,067 ∙ 730,2382 ∙
3,067
3 
NUáV = 1120 ∙ 3,067 − 1119,820 ∙ 3,0673 
NUáV = 3435,04 − 1144,829 
XMáY = %%8&, %$$ M. '() ≅ %%8&, % M.'() 
 Isostática - 1º/2013 Universidade Nilton Lins 9 
 
 Prof. Winston Zumaeta 16/01/2013 
Escala horizontal (eixo da viga):
1 cm = 0,5 m
(Dica: Com esta escala escolhida, todo
comprimento de viga deverá ser divido
por 0,5 para ser transformado para cm
na "escala do papel milimetrado")
DMF [m.kgf]
Está tangente contém o ponto
de momento máximo e é paralela
ao eixo da viga.
Parábola do 3º Grau
M
m
á
x
d = 3,067 m
M
 
 
 
 
 
=
 
2
2
9
0
,
2
 
 
 
 
 
 
 
 
=
 
4
,
5
8
 
c
m
m
á
x
 
 
1
7
6
4
=
 
3
,
5
3
 
c
m
Escala vertical (momento fletor):
1 cm = 500 m.kgf
(Dica: Com esta escala escolhida, todo
momento fletor deverá ser dividido por
500 para ser transformado para cm na
"escala do papel milimetrado")
Detalhes da parábola do trecho 1
q.L
2
12 =
1000 x 4,2
2
12 = 1470 m.kgf
= 2,94 cm
q.L
2
12 =
1000 x 4,2
2
12 = 1470 m.kgf
= 2,94 cm
~
Este primeiro ponto nunca estará
contido na parábola e sempre se
liga a extremidade onde o
carregamento triangular é zero.
Este segundo ponto também nunca
estará contido na parábola e
sempre se liga a extremidade onde
o carregamento triangular é
máximo, neste caso, 1000 kgf/m.
x1 x2
=
~
Legenda:
Aproximadamente
1.3.4 Traçado do diagrama de momento fletor - DMF 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 Isostática - 1º/2013 Universidade Nilton Lins 10 
 
 Prof. Winston Zumaeta 16/01/2013 
A B
1600
m.kgf
700
kgf
1500 kgf/m
800 kgf/m
2,0 m 2,0 m 3,0 m 3,0 m
Vão = 10,0 m
2,5 m 2,5 m 1,5 m 1,5 m
5,0 x 1500 =
 7500 kgf
resultante
3,0 x 800 =
 2400 kgf
resultante
1600
10,0
700 x (3,0 + 3,0)
10,0
700 x (2,0 + 2,0)
10,0
2400 x 1,5
10,0
2400 x (1,5 + 3,0 + 2,0+2,0)
10,0
V = 5065 kgfA V = 5535 kgfB
160 kgf=
420 kgf=
360 kgf=
280 kgf=
2040 kgf=
7500 x (2,5 + 3,0)
10,0
7500 x (2,5 + 2,0)
10,0
4125 kgf= 3375 kgf=
1600
10,0 160 kgf=
x1 x2 x3 x4
2. Exercício 43 
2.1 Reações de apoio 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 Isostática - 1º/2013 Universidade Nilton Lins 11 
 
 Prof. Winston Zumaeta 16/01/2013 
2.2 Diagrama de Esforço cortante - DEC 
Legenda: 
��,� → ���	
�	� �� ��í��� �� 	���ℎ� � 
��,� → ���	
�	� �� ��� �� 	���ℎ� � 
Convenção: 
���� �� ���	��� ℎ��á���, ���	
�	� ����	���. 
���� �� ���	��� 
�	� − ℎ��á���, ���	
�	� ���
	���. 
 
2.2.1 Trecho 1 
��,� = ! = 5065 ;�� (Positivo, pois gira no sentido horário para “dentro da viga”) 
��,� = ��,� = 5065 ;�� (Pois não há carregamento distribuído no trecho 1) 
 
2.2.2 Trecho 2 
��,: = ��,� = 5065 ;�� (Pois não há força concentrada no início do trecho 2) 
��,: = ��,: − *��+,	-./012 : = 5065 − @1500 ∙ 2A = 2065 ;�� 
 
 
 Isostática - 1º/2013 Universidade Nilton Lins12 
 
 Prof. Winston Zumaeta 16/01/2013 
2.2.3 Trecho 3 
��,[ = ��,: − 700 = 2065 − 700 = 1365 ;�� 
��,[ = ��,[ − *��+,	-./012 [ = 1365 − @1500 ∙ 3A = − 3135 ;�� 
 
2.2.4 Trecho 4 
��,\ = ��,[ = − 3135 ;�� (Pois não há força concentrada no início do trecho 4) 
��,\ = ��,\ − *��+,	-./012 \ = − 3135 − @800 ∙ 3A = − 5535 ;�� 
 
2.2.5 Posição onde o cortante é nulo (d) 
O gráfico de esforço cortante tem o valor nulo (zero) exatamente onde ele corta o eixo da viga, e isso ocorre no trecho 3, porque 
��,[ = 1365 ;�� e ��,[ = − 3135 ;��, ou seja, como o cortante inicial do trecho é positivo e o final é negativo, indica que o gráfico corta 
o eixo da viga, passando pela posição onde ele é zero. Em resumo, quando o cortante inicial de um trecho for positivo e o final negativo, 
quer dizer, que é nesse trecho que o gráfico do cortante passa pela posição onde é zero. E é a equação desse trecho que devemos 
utilizar para encontrar o valor de >?. 
Sabendo disso, basta utilizarmos a equação de cortante do trecho 3 e igualarmos a zero, com isso encontraremos a posição 
onde ele é nulo a partir do trecho 3, posição @>?A. A equação do trecho 3 é: 
�[@>[A = ��,[ − �
����B�CD 
�[@>[A = 1365 − 1500>[ 
0 = 1365 − 1500>? 
 Isostática - 1º/2013 Universidade Nilton Lins 13 
 
 Prof. Winston Zumaeta 16/01/2013 
1500>? = 1365 
>? = 13651500 
>? = 0,910 � 
Para achar o valor de @�A, é preciso somar ao valor de >?, a distância até o apoio A, pois o valor de >? se inicia no 
trecho 3, dessa maneira o valor de @�A será: 
� = 2,0 � + 2,0 � + >? 
� = 2,0 � + 2,0 � + 0,910 � 
I = ], 8$& M 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 Isostática - 1º/2013 Universidade Nilton Lins 14 
 
 Prof. Winston Zumaeta 16/01/2013 
Escala horizontal (eixo da viga):
1 cm = 0,5 m
(Dica: Com esta escala escolhida, todo
comprimento de viga deverá ser divido
por 0,5 para ser transformado para cm
na "escala do papel milimetrado")
Escala vertical (esforço cortante):
1 cm = 1000 kgf
(Dica: Com esta escala escolhida, todo
esforço cortante deverá ser dividido por
1000 para ser transformado para cm na
"escala do papel milimetrado")
A B
1600
m.kgf
700
kgf
1500 kgf/m
800 kgf/m
2,0 m 2,0 m 3,0 m 3,0 m
Vão = 10,0 m = 20 cm (no papel milimetrado)
x1 x2 x3 x4
A B
5065 = 5,07 cm
DEC [kgf]
2065 = 2,07 cm
1365 = 1,37 cm
3135 = 3,14 cm
5535 = 5,54 cm
d = 4,910 m
5
,
0
7
 
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m
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a
 
c
o
t
a
 
d
í
d
á
t
i
c
a
.
~
~
~
~
=
~
Legenda:
Aproximadamente
2.2.6 Traçado do diagrama de esforço cortante - DEC 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 Isostática - 1º/2013 Universidade Nilton Lins 15 
 
 Prof. Winston Zumaeta 16/01/2013 
2.3 Diagrama de Momento fletor - DMF 
Legenda: 
N�,� → N����	� �� ��í��� �� 	���ℎ� � 
N�,� → N����	� �� ��� �� 	���ℎ� � 
Convenção, percorrendo a viga da esquerda para a direita: 
���� �� ���	��� ℎ��á���,�����	� ����	���. 
���� �� ���	��� 
�	� − ℎ��á���,�����	� ���
	���. 
 
2.3.1 Trecho 1 
2.3.1.1 Momento no início do trecho 1 
N�,� = 0 (pois não existe engaste e nem momento aplicado) 
 
2.3.1.2 Momento no fim do trecho 1 
 
N�,� = ! ∙ 2 
N�,� = 5065 ∙ 2 
N�,� = 10130 �. ;�� 
 Isostática - 1º/2013 Universidade Nilton Lins 16 
 
 Prof. Winston Zumaeta 16/01/2013 
2.3.2 Trecho 2 
2.3.2.1 Momento no início do trecho 2 
N�,: = N�,� − 1600 @���� 
�	� − ℎ��á���A 
N�,: = 10130 − 1600 
N�,: = 8530 �. ;�� 
 
2.3.2.2 Momento no fim do trecho 2 
 
N�,: = ! ∙ @2 + 2A − 1600 − @1500 ∙ 2A ∙ 22 
N�,: = 5065 ∙ 4,0 − 1600 − 3000 ∙ 1 
N�,: = 15660 �. ;�� 
 
2.3.3 Trecho 3 
2.3.3.1 Momento no início do trecho 3 
N�,[ = N�,: (pois não existe momento aplicado) 
N�,[ = 15660 �. ;�� 
 
 Isostática - 1º/2013 Universidade Nilton Lins 17 
 
 Prof. Winston Zumaeta16/01/2013 
2.3.3.2 Momento no fim do trecho 3 
 
N�,[ = ! ∙ @2 + 2 + 3A − 1600 − 700 ∙ 3 − @1500 ∙ 5A ∙ 52 
N�,[ = 5065 ∙ 7 − 1600 − 2100 − @7500A ∙ 2,5 
N�,[ = 13005 �. ;�� 
 
2.3.4 Trecho 4 
2.3.4.1 Momento no início do trecho 4 
N�,\ = N�,[ (pois não existe momento aplicado) 
N�,\ = 13005 �. ;�� 
 
2.3.4.2 Momento no fim do trecho 4 
 
N�,\ = ! ∙ @2 + 2 + 3 + 3A − 1600 − 700 ∙ @3 + 3A − @1500 ∙ 5A ∙ P52 + 3Q − @800 ∙ 3A ∙
3
2 
N�,\ = 5065 ∙ 10 − 1600 − 4200 − @7500A ∙ 5,5 − @2400A ∙ 1,5 
N�,\ = 0 (deveria ser zero mesmo, pois no fim do trecho 4 não existe momento aplicado e é um apoio do 1º gênero) 
 Isostática - 1º/2013 Universidade Nilton Lins 18 
 
 Prof. Winston Zumaeta 16/01/2013 
A
1600
m.kgf
700
kgf
2,0 m 2,0 m
(4,910 - 2,0) x 1500 =
 4365 kgf
resultante
x1 x2 x3
d = 4,910 m
S
V = 5065 kgfA
2.3.5 Cálculo do momento máximo 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
O cálculo do momento máximo, nada mais é que a soma dos momentos em relação ao ponto S, onde o cortante é nulo, portanto 
tem-se: 
 
 
NUáV = ! ∙ � − 1600 − 700 ∙ ^� − @2 + 2A_ − ^1500 ∙ @� − 2A_ ∙
@� − 2A
2 
NUáV = 5065 ∙ 4,910 − 1600 − 700 ∙ ^4,910 − @2 + 2A_ − ^1500 ∙ @4,910 − 2A_ ∙
@4,910 − 2A
2 
NUáV = 24869,15 − 1600 − 637 − 4365 ∙ 1,455 
XMáY = $K%9$, &L` M.'() ≅ $K%9$ M.'()
 Isostática - 1º/2013 Universidade Nilton Lins 19 
 
 Prof. Winston Zumaeta 16/01/2013 
Escala vertical (momento fletor):
1 cm = 2000 m.kgf
(Dica: Com esta escala escolhida, todo
momento fletor deverá ser dividido por
2000 para ser transformado para cm na
"escala do papel milimetrado")
Escala horizontal (eixo da viga):
1 cm = 0,5 m
(Dica: Com esta escala escolhida, todo
comprimento de viga deverá ser divido
por 0,5 para ser transformado para cm
na "escala do papel milimetrado")
A B
DMF [m.kgf]
Parábola do 2º Grau
 
 
1
5
6
6
0
=
 
7
,
8
3
 
c
m
 
 
1
0
1
3
0
=
 
5
,
0
7
 
c
m
 
 
 
8
5
3
0
=
 
4
,
2
7
 
 
c
m
 
 
1
3
0
0
5
=
 
6
,
5
0
 
c
m
M
 
 
 
 
 
=
 
1
6
2
8
1
 
 
 
 
 
 
 
 
=
 
8
,
1
4
 
c
m
M
m
á
x
m
á
x
Parábola do 2º Grau
Ponto anguloso
q.L
2
8 =
1500 x 2,0
2
8 = 750 m.kgf
= 0,38 cm
q.L
2
8 =
1500 x 2,0
2
8 = 750 m.kgf
= 0,38 cm
q.L
2
8 =
800 x 3,0
2
8 = 900 m.kgf
= 0,45 cm
q.L
2
8 =
800 x 3,0
2
8 = 900 m.kgf
= 0,45 cm
q.L
2
8 =
1500 x 3,0
2
8 = 1687,5 m.kgf
= 0,84 cm
q.L
2
8 =
1500 x 3,0
2
8 = 1687,5 m.kgf
= 0,84 cm
Tangentes
paralelas
x1 x2 x3 x4
d = 4,910 m
Detalhes da parábola do trecho 2 Detalhes da parábola do trecho 3
Detalhes da parábola do trecho 4
~
~
~
~
~
~
~
~
~
=
~
Legenda:
Aproximadamente
2.3.6 Traçado do diagrama de momento fletor - DMF

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