Aula 01 - Conjuntos

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Prezado aluno:
Trago as boas-vindas para voceˆ que inicia o estudo de Me´-
todos Determinı´sticos e os votos de uma feliz e produtiva cami-
nhada.
Esta disciplina tem a finalidade de colocar a Matema´tica
como uma ferramenta de apoio ao curso de Administrac¸a˜o.
Neste mo´dulo, o foco principal e´ uma revisa˜o de conteu´dos
ba´sicos que fazem parte do currı´culo do Ensino Me´dio, mas que
aqui sa˜o introduzidos numa linguagem adequada aos propo´sitos
da disciplina.
Revelo duas estrate´gias, entre as principais, que norteiam a
proposta da disciplina: a visualizac¸a˜o geome´trica e a busca de
motivac¸a˜o em exemplos pra´ticos.
A visualizac¸a˜o geome´trica e´ muito importante para a fixac¸a˜o
de conceitos e, ale´m do fato de incorporar a visa˜o intuitiva do
espac¸o, muito auxilia no aprendizado das te´cnicas do ca´lculo
e na resoluc¸a˜o de problemas. Por outro lado, a motivac¸a˜o em
exemplos pra´ticos, dentro do universo de interesse do curso de
Administrac¸a˜o, tambe´m e´ relevante para a contextualizac¸a˜o da
disciplina.
Desejo a voceˆ um bom estudo e uma feliz caminhada nesta
disciplina e no curso que se inicia.
Celso Costa
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Me´todos Determinı´sticos I | Conjuntos
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Aula
CONJUNTOS
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O b j e t i v o s
Ao final desta aula, voceˆ devera´ ser capaz de:
1 entender o conceito de conjunto;
2 realizar operac¸o˜es com conjuntos.
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Me´todos Determinı´sticos I | Conjuntos
Definic¸a˜o 1.1
Conjunto e´ um conceito fundamental que esta´ na base de
construc¸a˜o da Matema´tica. Como se trata de um conceito
primitivo, conjunto e´ uma noc¸a˜o que na˜o pode ser definida a
partir de outros conceitos da Matema´tica. Conjunto expressa
a ide´ia intuitiva de reunia˜o de elementos (pessoas, objetos,
nu´meros, etc.) que podem ser agrupados por possuı´rem ca-
racterı´sticas comuns. Sa˜o exemplos de conjuntos: o conjunto
de todas as letras do alfabeto ou o conjunto de todas as mu-
lheres brasileiras.
Para representar conjuntos, usamos as letras maiu´sculas A,
B, C, · · · e para representar elementos do conjunto, usamos letras
minu´sculas a, b, c, · · · . Existem va´rias maneiras de representar
um conjunto, sendo a mais usual escrever os elementos um a um,
separados por vı´rgulas, ou representar entre chaves um elemento
gene´rico do conjunto atrave´s de suas propriedades. Veja alguns
exemplos.
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�Exemplo 1.1
O conjunto A das letras de todas as vogais do alfabeto pode
ser representado como
A = {a,e, i,o,u} ou A = {x | x e´ vogal do alfabeto portugueˆs} .
Vamos aproveitar este exemplo para estabelecer a relac¸a˜o en-
tre um elemento e o conjunto que e´ a relac¸a˜o de pertineˆncia, a
qual e´ representada pelos sı´mbolos ∈ e 6∈. Assim, para represen-
tar que u esta´ no conjunto A e que um elemento d na˜o esta´ no
conjunto A, escrevemos:
u ∈ A “u pertence a A” e d 6∈ A “d na˜o pertence a A” .
No estudo de conjuntos, e´ imprescindı´vel introduzir o con-
ceito de conjunto vazio. Denomina-se conjunto vazio aquele
que na˜o possui nenhum elemento. Para representa´-lo, usamos o
sı´mbolo /0. Assim, por exemplo, se
B = {x | x e´ um dia da semana cuja primeira letra e´ f} enta˜o B = /0 .
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SUBCONJUNTOS
Considere dois conjuntos A e B. Se todo elemento do con-
junto B tambe´m for um elemento do conjunto A, diremos que B
e´ um subconjunto do conjunto A. Por outro lado, se existir um
u´nico elemento do conjunto B que na˜o pertence ao conjunto A,
enta˜o B na˜o e´ subconjunto de A. Veja atrave´s de um exemplo.
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�Exemplo 1.2
Sejam os conjuntos,
A = {a,b,c,d,e, f};
B = {a,e};
C = {a,e, i}.
Enta˜o B e´ um subconjunto de A, uma vez que todo elemento de
B e´ tambe´m um elemento do conjunto A. No entanto, C na˜o e´
um subconjunto de A, ja´ que o elemento i pertence ao conjunto
C, mas na˜o pertence ao conjunto A.
Para representar a relac¸a˜o de inclusa˜o entre conjuntos, us-
amos os sı´mbolos ⊂ e 6⊂. Em relac¸a˜o ao exemplo anterior, es-
crevemos que B⊂ A “B esta´ contido em A”e C 6⊂ A “C na˜o esta´
contido em A.”
Exercı´cio 1.1
Dado o conjunto A = {x,y,z}, associar V (verdadeira) ou F
(falsa) a cada uma das sentenc¸as a seguir:
a) y 6∈ A b) A = {y,z,x} c) {x} ∈ {x,y,z}
d) x ∈ A e) {y,x} ⊂ A
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Me´todos Determinı´sticos I | Conjuntos
UNIA˜O, INTERSEC¸A˜O E PRODUTO CARTE-
SIANO DE CONJUNTOS
Dados dois conjuntos A e B, podemos formar quatro novos
conjuntos:
i) O conjunto unia˜o de A e B e´ o conjunto formado por
todos os elementos de A ou de B. Usamos o sı´mbolo ∪
para representar o novo conjunto unia˜o e escrevemos
A∪B = {x | x ∈ A ou x ∈ B} .
Veja, na Figura 1.1, a representac¸a˜o gra´fica da unia˜o de
dois conjuntos.
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A B
Figura 1.1: Unia˜o de conjuntos.
ii) O conjunto intersec¸a˜o de A e B e´ o conjunto formado
por todos os elementos que pertencem a ambos os conjun-
tos A e B. Usamos o sı´mbolo ∩ para representar o novo
conjunto intersec¸a˜o e escrevemos
A∩B = {x | x ∈ A e x ∈ B} .
Veja, na Figura 1.2, a representac¸a˜o gra´fica da intersec¸a˜o
de dois conjuntos.
A B
Figura 1.2: Intersec¸a˜o de conjuntos.
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iii) O conjunto produto cartesiano do conjunto A pelo con-
junto B, o qual e´ representado por A×B, e´ o conjunto
A×B = {(x,y) | x ∈ A e y ∈ B} .
iv) O conjunto diferenc¸a entre os conjuntos A e B e´ for-
mado pelos elementos que pertencem a A e na˜o pertencem
a B. Usamos a notac¸a˜o A−B para o conjunto diferenc¸a.
Portanto,
A−B = {x | x ∈ A e x 6∈ B}
Veja, na Figura 1.3, a representac¸a˜o gra´fica da diferenc¸a
A−B, entre os conjuntos A e B.
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A B
Figura 1.3: Diferenc¸a A−B entre conjuntos.
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�Exemplo 1.3
Sejam os conjuntos,
A = {a,b,c,d,e} ,
B = {a,e, i} ;
C = { f ,g} .
Enta˜o,
A∪B = {a,b,c,d,e, i} ;
A∩B = {a,e} ;
A−B = {b,c,d} ;
B×C = {(a, f ),(a,g),(e, f ),(e,g),(i, f ),(i,g)} .
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Me´todos Determinı´sticos I | Conjuntos
� Quando estamos estudando conjuntos, podemos nos referir
ao conjunto universo representado pela letra U . Numa si-
tuac¸a˜o especificada, U e´ o conjunto que conte´m como sub-
conjuntos os conjuntos estudados. Para um certo conjunto
A, escrevemos A⊂U , isto e´, o conjunto A esta´ contido no
conjunto universo U .
Nesta situac¸a˜o, denominamos conjunto complementar do
conjunto A ao conjunto formado pelos elementos do con-
junto universo U que na˜o pertencem a A. Enta˜o, na ver-
dade, este conjunto e´ representado pela diferenc¸a U −A.
Tambe´m e´ u´til a notac¸a˜o Ac para representar o conjunto
complementar de A. Assim,
Ac = {x | x ∈U e x 6∈ A} .
Veja, na Figura 1.4, a representac¸a˜o de Ac.
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A
U
Figura 1.4: Conjunto complementar de A.
Exercı´cio 1.2
No diagrama representado na Figura 1.5, assinale, entre as
alternativas a seguir, aquela que representa a parte hachurada.
a) (A∪C)−B b) (B∩C)−A c) (A∩B)−C
d) (A∩C)∪B e) A− (B−C)
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A B
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Figura 1.5: Operac¸a˜o entre conjuntos.
NU´MERO DE ELEMENTOS DE UM CON-
JUNTO
Um conjunto e´ dito finito quando possui um nu´mero finito n
de elementos. Em caso contra´rio, o conjunto e´ chamado infinito.
Dados os conjuntos finitos A e B, representamos por
n(A) o nu´mero de elementos de A;
n(B) o nu´mero de elementos de B;
n(A∪B) o nu´mero de elementos da unia˜o A∪B;
n(A∩B) o nu´mero de elementos da intersec¸a˜o A∩B.
Na˜o e´ difı´cil verificar que a fo´rmula
n(A∪B) = n(A)+n(B)−n(A∩B) (1.1)
fornece o nu´mero de elementos do conjunto unia˜o em func¸a˜o
do nu´mero de elementos dos conjuntos A e B e do nu´mero de
elementos da intersec¸a˜o A∩B. Verifique como isto acontece.
Em primeiro lugar, contamos o conjunto A, obtendo n(A),
contamos o conjunto B, obtendo n(B). Agora vai uma pergunta:
em que circunstaˆncia e´ correto escrever:
n(A∪B) = n(A)+n(B)?
A igualdade acima so´ vale no caso em que A∩ B = /0, isto e´,
quando a intersec¸a˜o dos conjuntos A e B e´ o conjunto vazio.
No caso geral, quando A∩B 6= /0, para encontrar o valor n(A∪
B), devemos retirar da soma n(A)+n(B) o valor n(A∩B), para
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Me´todos Determinı´sticos I | Conjuntos
na˜o contar duas vezes a contribuic¸a˜o de A∩B no valor n(A∪
B). Com esta provideˆncia, podemos comprovar a validade da
fo´rmula (1.1).
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�Exemplo 1.4
Considere os conjuntos A = {a,b,c,d,e}, B = {a,e, i}. Va-
mos verificar a validade da fo´rmula (1.1), para este caso particu-
lar. Acompanhe pela Figura 1.6. Note que n(A) = 5, n(B) = 3,
n(A∪B)= 6 e n(A∩B)= 2. Esses dados levados a` fo´rmula (1.1)
confirmam a igualdade.
A B
a
b
c
d e
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Figura 1.6: Nu´mero de elementos do conjunto unia˜o.
Mudando levemente de rumo, vamos encontrar agora a fo´r-
mula que permite calcular n(A×B) que representa o nu´mero de
elementos do produto cartesiano A×B. Na˜o e´ difı´cil provar que
n(A×B) = n(A) ·n(B).
Acompanhe como verificar a validade da fo´rmula para con-
juntos A e B, respectivamente, com 4 e 5 elementos. Represen-
tando os conjuntos explicitamente, temos que
A = {a1,a2,a3,a4} e B = {b1,b2,b3,b4,b5},
enta˜o o conjunto A×B pode ser lido na tabela que aparece na
Figura 1.7, a seguir, onde na primeira linha aparecem todos os
pares do tipo (a1,b j), j variando de 1 ate´ 5; na segunda linha
aparecem todos os pares do tipo (a2,b j), j variando de 1 ate´ 5
e, assim, sucessivamente, ate´ a u´ltima linha. A tabela mostra
todos os pares (ai,b j), os quais representam todos os elementos
de A×B.
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(a1,b1) (a1,b2) (a1,b3) (a1,b4) (a1,b5)
(a2,b1) (a2,b2) (a2,b3) (a2,b4) (a2,b5)
(a3,b1) (a3,b2) (a3,b3) (a3,b4) (a4,b5)
(a4,b1) (a4,b2) (a1,b3) (a1,b4) (a1,b5)
Figura 1.7: Representac¸a˜o dos elementos de A×B.
A representac¸a˜o de A×B atrave´s de uma matriz retangular
permite o ca´lculo do nu´mero de elementos, simplesmente mul-
tiplicando o nu´mero de linhas pelo nu´mero de colunas. Veja que
no caso particular representado na Figura 1.7,
n(A×B) = n(A) ·n(B) = 4×5 = 20
.
De modo geral, como o nu´mero de linhas e´ n(A) e o nu´mero
de colunas e´ n(B), enta˜o vale
n(A×B) = n(A) ·n(B) .
� i. o sı´mbolo ∈ e´ usado para relacionar um elemento
e seu conjunto, enquanto o sı´mbolo ⊂ e´ usado para
relacionar dois conjuntos;
ii. o conjunto vazio e´ um subconjunto de qualquer con-
junto. Ou seja, /0 ⊂ A, qualquer que seja o conjunto
A;
iii. todo conjunto e´ um subconjunto de si pro´prio. Ou
seja, A⊂ A, qualquer que seja o conjunto A;
iv. se treˆs conjuntos A, B e C sa˜o tais que A⊂ B e B⊂C
enta˜o A⊂C.
Exercı´cio 1.3
1. Considere os conjuntos A ={−1,1, 23 , 133 } e B ={0,1, 23 ,4}.
Determine os conjuntos A−B e A× (A−B).
2. Considere os conjuntos A = {1,2,3} e B = {4,5}. Deter-
mine os conjuntos B× (B−A) e A× (A−B).
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Me´todos Determinı´sticos I | Conjuntos
3. Nos exercı´cios seguintes, assinale nos diagramas que apare-
cem na Figura 1.8, os conjuntos indicados:
a) (A∪C)−B
A B
C
Figura 1.8.a.
b) (B∩C)−A
A B
C
Figura 1.8.b.
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