PC 2017 2 EP01 Polinomios GABARITO

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EP 01 – 2017-2 –Gabarito – Polinômios Pré-Cálculo 
1 de 9 
CEDERJ 
Gabarito – EP 01 
Pré-Cálculo 
 
Exercício 1: O livro "Al-Jabr Wa’l mugãbalah" escrito pelo matemático árabe al-Khwarizmi, que 
morreu antes de 850, tem grande importância na história da Matemática. O nome deste autor 
originou a palavra algarismo e a primeira palavra do título do livro, cujo significado, não se sabe ao 
certo, originou o termo álgebra, pois foi por esse livro que mais tarde a Europa aprendeu o ramo 
da Matemática que hoje tem esse nome. Um dos vários problemas que ilustram tal livro pede que 
se divida o número 10 em duas partes de modo que "a soma dos produtos obtidos, multiplicando 
cada parte por si mesma, seja igual a 𝟓𝟖 ". Resolva-o. 
Resolução: 
Sejam 𝑥 e 𝑧, tais que 
10 zx
 e 
5822  zx
. 
Mas, 
xzzx  1010
. 
Substituindo 
xz  10
 em 
5822  zx
, obtemos: 
58)10( 22  xx
. 
Mas, 
 042202582010058)10( 22222 xxxxxxx
 









2
1610
12
8410010
12
2114)10(10
02110
2
2 xxx
37
2
410


xoux
. 
Então, dividimos 
10
em duas partes, tal que: 
3710 
 e 
5894937 22 
. 
________________________________________________________________________ 
Exercício 2: Uma fatia com 3 cm de espessura é cortada paralelamente a uma das faces de um 
cubo, deixando um volume de 
3cm196
. Encontre o comprimento do lado do cubo original. 
Resolução: 
Seja 𝑥 ∈ ℝ, tal que o lado do cubo mede 𝑥 cm. Se uma fatia de 3 cm de espessura é cortada 
paralelamente a uma das faces desse cubo, o novo paralelepípedo tem a seguinte forma: base 
quadrada de lado medindo 𝑥 cm. Altura medindo 𝑥 − 3 cm. 
O volume desse paralelepípedo é 
32 cm196)3()3(  xxxxx
. 
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Resolvendo a equação 
196)3(2  xx
: 
01963196)3( 232  xxxx
 
Como 𝑥 é medida, 𝑥 é positivo. Os divisores positivos do termo independente são 1, 2, 4, 7, 14,
28, 49, 98, 196. Testando se são raízes: 
13 − 3 ∙ 12 − 196 = −194 ≠ 0. Logo, 𝑥 = 1 não é solução da equação dada.. 
0200196232 23 
. Logo, 
2x
 não é solução da equação dada. 
43 − 3 ∙ 42 − 196 = −180 ≠ 0. Logo, 𝑥 = 4 não é solução da equação dada.. 
0196737 23 
. Logo, 
7x
 é solução da equação dada. 
Dividindo 
1963 23  xx
 por 
7x
obtemos 
2842  xx
. Mas, para esse trinômio do segundo 
grau, 
2842  xx
, temos 
011216281444 22  cab
. Portanto, 
2842  xx
não tem 
raízes reais. Assim, a única solução real da equação 
01963 23  xx
 é 𝑥 = 7 . 
Logo, o comprimento do lado do cubo original é 𝑥 = 7 cm. 
________________________________________________________________________ 
Exercício 3: Diga quais das expressões abaixo são polinômios: 
a) 
2
2
1
2)( 35  xxxxp
 b) 
5)( xt
 c) 
53)( 2
1
3
1
 xxxq
 
d) 
32)( 134   xxxxs
 e) 
5
34
)(
3
25



x
xx
xr
. 
Resolução: 
a) É um polinômio de grau 5 com coeficientes reais. 
b) É um polinômio constante, grau zero. 
c) Não é um polinômio pois os expoentes da variável 𝑥 são números racionais, não inteiros. 
d) Não é um polinômio, pois os expoentes da variável 𝑥 são números inteiros negativos. 
e) Não é um polinômio, mas sim um quociente de polinômios. 
________________________________________________________________________ 
Exercício 4: Determine os valores de 𝑎 , 𝑏 , 𝑐 , números reais, que tornam os polinômios 𝑝(𝑥) e 
 𝑞(𝑥) iguais: 
𝑝(𝑥) = 𝑎𝑥(𝑥 + 1) + 𝑏𝑥(𝑥 − 1) + 𝑐(𝑥 − 1)(𝑥 + 1) e 𝑞(𝑥) = 3𝑥2 − 5 . 
Resolução: 
Os polinômios 𝑝(𝑥) e 𝑞(𝑥) são iguais se os seus coeficientes 𝑎𝑖 da i-ésima potência 
𝑥𝑖 , 𝑖 = 0 , 1 , 2, são iguais. 
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Como, 
𝑝(𝑥) = 𝑎𝑥(𝑥 + 1) + 𝑏𝑥(𝑥 − 1) + 𝑐(𝑥 − 1)(𝑥 + 1) = 𝑎𝑥2 + 𝑎𝑥 + 𝑏𝑥2 − 𝑏𝑥 + 𝑐(𝑥2 − 1) 
𝑝(𝑥) = (𝑎 + 𝑏 + 𝑐)𝑥2 + (𝑎 − 𝑏)𝑥 − 𝑐 . 
Então, para que os polinômios 𝑝(𝑥) e 𝑞(𝑥) sejam iguais, é preciso que: 








5
0
3
c
ba
cba









5
352
c
ba
a
 51  ceba
 
________________________________________________________________________ 
Exercício 5: Faça as operações indicadas para identificar os coeficientes do polinômio na variável 𝑥 
e diga quais são os seus coeficientes. Para realizar as operações indicadas, use produtos notáveis 
que são casos particulares do Binômio de Newton. 
a) −(4𝑥 + 1)3 − 2(4𝑥 + 1)2 b) (𝑥 + ℎ)4 − 𝑥4 
Resolução: 
a) 
 )1816(2)11431)4(3)4(()14(2)14( 2322323 xxxxxxx
 
3288064216321124864 23223  xxxxxxxx
. 
Acima foram usados os produtos notáveis: 
(𝑎 + 𝑏)2 = 𝑎2 + 2𝑎𝑏 + 𝑏2 e (𝑎 + 𝑏)3 = 𝑎3 + 3𝑎2𝑏 + 3𝑎𝑏2 + 𝑏3. 
A seguir, apresentamos outra maneira de fazer, usando apenas o produto notável 
(𝑎 + 𝑏)2 = 𝑎2 + 2𝑎𝑏 + 𝑏2. 
Para iniciar, podemos colocar o fator comum (4𝑥 + 1)2 em evidência, 
−(4𝑥 + 1)3 − 2(4𝑥 + 1)2 = (4𝑥 + 1)2(−(4𝑥 + 1) − 2)) = (16𝑥2 + 8𝑥 + 1) (−4𝑥 − 3) = 
= −64𝑥3 − 48𝑥2 − 32𝑥2 − 24𝑥 − 4𝑥 − 3 = −64𝑥3 − 80𝑥2 − 28𝑥 − 3. 
Coeficientes: grau 3 é −64; grau 2 é −80; grau 1 é −28; grau 0 é −3. 
------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- 
b) 
43223443223444 464464)( hhxhxhxxhhxhxhxxxhx 
. 
Acima foi usado o produto notável (𝑎 + 𝑏)4 = 𝑎4 + 4𝑎3𝑏 + 6𝑎2𝑏2 + 4𝑎𝑏3 + 𝑏4 
A seguir, apresentamos outra maneira de fazer, usando apenas a propriedade distributiva e o 
produto notável (𝑎 + 𝑏)2 = 𝑎2 + 2𝑎𝑏 + 𝑏2. 
(𝑥 + ℎ)4 − 𝑥4 = (𝑥 + ℎ)2(𝑥 + ℎ)2 − 𝑥4 = (𝑥2 + 2ℎ𝑥 + ℎ2)(𝑥2 + 2ℎ𝑥 + ℎ2) − 𝑥4 = 
= 𝑥4 + 2ℎ𝑥3⏟ 
(1)
+ ℎ2𝑥2⏟
(2)
+ 2ℎ𝑥3⏟ 
(1)
+ 4ℎ2𝑥2⏟ 
(2)
+ 2ℎ3𝑥⏟ 
(3)
+ ℎ2𝑥2⏟
(2)
+ 2ℎ3𝑥⏟ 
(3)
+ ℎ4 − 𝑥4 = 
= 4ℎ𝑥3 + 6ℎ2𝑥2 + 4ℎ3𝑥 + ℎ4 
Coeficientes: grau 3 é 4ℎ ; grau 2 é 6ℎ2; grau 1 é 4ℎ3; grau 0 é ℎ4. 
________________________________________________________________________ 
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Exercício 6: Determine o quociente e o resto da divisão dos polinômios 𝑝(𝑥) e
)( xs
nos seguintes 
casos: 
a) 
3423)( 345  xxxxxp
 
12)( 3  xxxs
 
b) 
121143)( 2345  xxxxxxp
 
)54()( 22  xxxxs
. 
Resolução: 
a) 
3423 345  xxxx
 
123  xx
 
235 363 xxx 
 
83 2  xx
 
3438 234  xxxx
 
xxx  24 2
 
3558 23  xxx
 
8168 3  xx
 
11215 2  xx
 
Neste caso, o quociente é
83)( 2  xxxq
 e o resto é 
11215)( 2  xxxr
. 
--------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- 
b) 
121143 2345  xxxxx
 
234 54 xxx 
 
345 54 xxx 
 
1x
 
12119 234  xxxx
 
234 54 xxx 
 
121145 23  xxx
 
Neste caso, o quociente é 𝑞(𝑥) = 𝑥 − 1 e o resto é 
121145)( 23  xxxxr
. 
________________________________________________________________________ 
Exercício 7: Determine 𝑎 ∈ ℝ, de modo que o polinômio 
𝑝(𝑥) = 𝑎𝑥3 + (2𝑎 − 1)𝑥2 + (3𝑎 − 2)𝑥 + 4𝑎 seja divisível por 𝑠(𝑥) = 𝑥 − 1 e em seguida, 
obtenha o quociente da divisão. 
Resolução: 
O polinômio 𝑝(𝑥) = 𝑎𝑥3+ (2𝑎 − 1)𝑥2 + (3𝑎 − 2)𝑥 + 4𝑎 será divisível por 𝑠(𝑥) = 𝑥 − 1, se e 
somente, se 𝑝(1) = 0. 
Mas, 
0 = 𝑝(1) = 𝑎 ∙ 13 + (2𝑎 − 1) ∙ 12 + (3𝑎 − 2) ∙ 1 + 4𝑎 = 𝑎 + 2𝑎 − 1 + 3𝑎 − 2 + 4𝑎 = 10𝑎 − 3 
Donde, 𝑎 =
3
10
 , e, portanto, 
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𝑝(𝑥) =
3
10
𝑥3 −
4
10
𝑥2 −
11
10
𝑥 +
12
10
 
Vamos usar o dispositivo de Briot-Ruffini para dividir 𝑝(𝑥) por 𝑠(𝑥) = 𝑥 − 1. 
 
10
12
10
11
10
4
10
3

1
 
10
12
10
1
10
3

0
 
O quociente procurado é: 𝑞(𝑥) =
3
10
𝑥2 −
1
10
𝑥 −
12
10
 . 
________________________________________________________________________ 
Exercício 8: Fatore os seguintes polinômios: 
a) 𝑝(𝑥) = 2𝑥2 + 5𝑥 − 3 b) 𝑝(𝑥) = 2𝑥3 + 𝑥2 + 5𝑥 − 3 
c) 𝑝(𝑥) = 𝑥4 − 1 d) 𝑝(𝑥) = 2𝑥4 − 9𝑥3 + 6𝑥2 + 11𝑥 − 6. 
e) 𝑝(𝑥) = 𝑥4 − 8𝑥2 + 15 f) 𝑝(𝑥) = 2𝑥4 + 𝑥3 + 7𝑥2 + 4𝑥 − 4 
g) . 𝑝(𝑥) = 𝑥4 + 1 h) 𝑝(𝑥) = 𝑥4 − 2𝑥3 + 2𝑥 − 1 
Resolução: a resolução será feita com detalhes, para que se possa entender os resultados que 
foram usados. 
a) 𝑝(𝑥) = 2𝑥2 + 5𝑥 − 3 
Buscando as raízes do trinômio do 2º grau 2𝑥2 + 5𝑥 − 3 : 
𝑥 = 
−5±√(5)2−4.2.(−3)
2.2
 = 
−5±√25+24 
4
= 
−5±√49 
4
=
 −5±7 
4
 ⟹ 𝑥 = −3 ou 𝑥 =
1
 2 
. 
Portanto, a fatoração do polinômio 𝑝(𝑥) é: 𝑝(𝑥) = 2 (𝑥 −
1
 2 
) (𝑥 + 3) = (2𝑥 − 1)(𝑥 + 3) 
----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- 
b) 𝑝(𝑥) = 2𝑥3 + 𝑥2 + 5𝑥 − 3 
Como 𝑝(𝑥) é um polinômio de grau ímpar 3, possui pelo menos uma raiz real. 
As possíveis raízes inteiras desse polinômio são os divisores do termo independente −3, que são: 
−1 , +1 , −3 , +3. Calculando 𝑝(−1) , 𝑝(1) , 𝑝(−3) , 𝑝(3), vemos que não são zero. Logo esse 
polinômio não tem raízes inteiras. 
As possíveis raízes racionais, não inteiras, desse polinômio são os divisores do termo 
independente −3 , que são: −1 , +1 , −3 , +3, divididos pelos divisores, diferentes de −1 , +1 , do 
coeficiente do termo de maior grau, que são −2 , +2 . Calculando 𝑝 (
1
 2 
) , vemos que 𝑝 (
1
 2 
) = 0. 
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Dividindo 𝑝(𝑥) por 𝑥 −
1
 2 
 , obtemos: 
𝑝(𝑥) = 2𝑥3 + 𝑥2 + 5𝑥 − 3 = (𝑥 −
1
 2 
) (2𝑥2 + 2𝑥 + 6) = 2 (𝑥 −
1
 2 
) (𝑥2 + 𝑥 + 3). 
Como o discriminante do trinômio do segundo grau 𝑥2 + 𝑥 + 3 , ∆ = 12 − 4.1.3 < 0 então este 
trinômio do segundo grau é irredutível em ℝ . Portanto, a fatoração de 𝑝(𝑥) é: 
𝑝(𝑥) = 2𝑥3 + 𝑥2 + 5𝑥 − 3 = 2 (𝑥 −
1
 2 
) (𝑥2 + 𝑥 + 3). 
----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- 
c) 𝑝(𝑥) = 𝑥4 − 1 = (𝑥2)2 − 1 = ( 𝑥2 − 1)( 𝑥2 + 1) = (𝑥 − 1)(𝑥 + 1)( 𝑥2 + 1). 
Observe que estamos tratando o polinômio 𝑝(𝑥) = 𝑥4 − 1, como um trinômio do segundo grau 
na variável 𝑥2 e que −1 e + 1 são as raízes desse trinômio do segundo grau. O trinômio do 
segundo grau, 𝑥2 + 1 , não possui raízes reais, pois 𝑥2 + 1 ≥ 1 , nunca se anula e é, portanto, 
irredutível nos reais. 
----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- 
d) 𝑝(𝑥) = 2𝑥4 − 9𝑥3 + 6𝑥2 + 11𝑥 − 6. 
As possíveis raízes inteiras desse polinômio são os divisores do termo independente −6 , que são: 
−1 , +1 , −2 , +2 , −3 , +3 , −6 , 6 . Calculando 𝑝(−1), vemos que 𝑝(−1) = 0 ,. 
Dividindo 𝑝(𝑥) por 𝑥 + 1 , obtemos, 
𝑝(𝑥) = 2𝑥4 − 9𝑥3 + 6𝑥2 + 11𝑥 − 6 = (𝑥 + 1)(2𝑥3 − 11𝑥2 + 17𝑥 − 6) 
Como 𝑝1(𝑥) = 2𝑥
3 − 11𝑥2 + 17𝑥 − 6 é um polinômio de grau ímpar, 3 , possui pelo menos uma 
raiz real. 
As possíveis raízes inteiras do polinômio 𝑝1(𝑥) = 2𝑥
3 − 11𝑥2 + 17𝑥 − 6 são os divisores do 
termo independente −6 , que são: −1 , +1 , −2 , +2 , −3 , +3 , −6 , +6. Calculando 𝑝1(2) , vemos 
que 𝑝1(2) = 0. 
Dividindo 𝑝1(2) por 𝑥 − 2, obtemos, 𝑝1(𝑥) = 2𝑥
3 − 11𝑥2 + 17𝑥 − 6 = (𝑥 − 2)(2𝑥2 − 7𝑥 + 3). 
Agora é só tentar fatorar o polinômio 𝑝2(𝑥) = 2𝑥
2 − 7𝑥 + 3. 
Buscando as raízes do trinômio do 2º grau 2𝑥2 − 7𝑥 + 3 : 
𝑥 = 
7±√(−7)2−4.2.3 
2.2
 = 
7±√49−24 
4
= 
7±√25 
4
=
 7±5 
4
 ⟹ 𝑥 = 3 ou 𝑥 =
1
 2 
. 
Portanto, a fatoração do polinômio 𝑝2(𝑥) é: 𝑝2(𝑥) = 2 (𝑥 −
1
 2 
) (𝑥 − 3) = (2𝑥 − 1)(𝑥 − 3) 
Portanto a fatoração do polinômio 𝑝(𝑥) é: 
𝑝(𝑥) = 2𝑥4 − 9𝑥3 + 6𝑥2 + 11𝑥 − 6 = (𝑥 + 1)(𝑥 − 2)(2𝑥 − 1)(𝑥 − 3) 
----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- 
e) 𝑝(𝑥) = 𝑥4 − 8𝑥2 + 15 = (𝑥2)2 − 8 𝑥2 + 15 = (𝑥2 − 3)(𝑥2 − 5) = 
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= (𝑥 + √3)(𝑥 − √3)(𝑥 + √5)(𝑥 − √5) . 
Observe que estamos tratando o polinômio 𝑝(𝑥) = 𝑥4 − 8𝑥2 + 15 , como um trinômio do 
segundo grau na variável 𝑥2 e que 3 e 5 são as raízes desse trinômio do segundo grau. 
----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- 
f) 𝑝(𝑥) = 2𝑥4 + 𝑥3 + 7𝑥2 + 4𝑥 − 4. 
As possíveis raízes inteiras desse polinômio são os divisores do termo independente −4 , que são: 
−1 , +1 , −2 , +2 , −4 , +4. Calculando 𝑝(−1) , vemos que 𝑝(−1) = 0. 
Dividindo 𝑝(𝑥) por 𝑥 + 1, obtemos, 
𝑝(𝑥) = 2𝑥4 + 𝑥3 + 7𝑥2 + 4𝑥 − 4 = (𝑥 + 1)(2𝑥3 − 𝑥2 + 8𝑥 − 4). 
Como 𝑝1(𝑥) = 2𝑥
3 − 𝑥2 + 8𝑥 − 4 é um polinômio de grau ímpar, 3 , possui pelo menos uma 
raiz real. 
As possíveis raízes racionais do polinômio 𝑝1(𝑥) = 2𝑥
3 − 𝑥2 + 8𝑥 − 4 são os divisores do termo 
independente −4 , que são: −1 , +1 , −2 , +2 , −4 , +4 , divididos pelos divisores do coeficiente 
do termo de maior grau, que são −1 , +1 , −2 , +2. Logo, as possíveis raízes racionais de 
 𝑝1(𝑥) são: −1 , +1 , −2 , +2 , −4 , +4 , −
1
 2 
 ,
1
 2 
 . Aqui estamos incluindo também as raízes 
inteiras, que também são racionais. Calculando: 
 𝑝1(−1) = 15 , 𝑝1(1) = 5 , 𝑝1(−2) = −40 , 𝑝1(2) = 24 , 𝑝1(−4) = −180 , 
 𝑝1(4) = 140 , 𝑝1 (−
1
 2 
) = −
17
 2 
 , 𝑝1 (
1
 2 
) = 0 , vemos que 𝑥 =
1
 2 
 é raiz de 𝑝1(𝑥) 
Dividindo 𝑝1(𝑥) por 𝑥 −
1
 2 
 , obtemos, 𝑝1(𝑥) = 2𝑥
3 − 𝑥2 + 8𝑥 − 4 = (𝑥 −
1
 2 
) (2𝑥2 + 8) . 
Como o trinômio do segundo grau, 2𝑥2 + 8 , não possui raízes reais, pois 2𝑥2 + 8 ≥ 8 e é, 
portanto, irredutível nos reais, nada mais temos a fatorar, logo, 
)82()
2
1
()1(4472)( 2234  xxxxxxxxp
. 
----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- 
g) 𝑝(𝑥) = 𝑥4 + 1 
Como esse polinômio tem coeficientes inteiros e é mônico (isso significa que o coeficiente do 
termo de maior grau é 1), se tiver raízes racionais, elas têm que ser inteiras e estar entre os 
divisores do termo independente +1 , que são: +1 , −1. 
Como 𝑝(−1) = 𝑝(1) = 2 ≠ 0 então esse polinômio não tem raízes racionais. Este polinômio 
poderá ter raízes irracionais ou não ter raízes reais. 
Por outro lado, 𝑥4 + 1 = 0 ⟺ 𝑥4 = −1, mas ∀𝑥 ∈ ℝ, 𝑥4 ≥ 0, logo essa equação não tem 
solução para 𝑥 ∈ ℝ e assim a fatoração de 𝑝(𝑥) = 𝑥4 + 1 só terá fatores quadráticos 
irredutíveis. 
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8 de 9Podemos tentar a seguinte fatoração, onde 𝑎 e 𝑏 são números reais: 
𝑝(𝑥) = 𝑥4 + 1 = (𝑥2 + 𝑎𝑥 + 1)(𝑥2 + 𝑏𝑥 + 1) = 𝑥4 + (𝑎 + 𝑏)𝑥3 + (𝑎𝑏 + 2)𝑥2 + (𝑎 + 𝑏)𝑥 + 1. 
Da igualdade de polinômios, segue que: 
{
𝑎 + 𝑏 = 0
𝑎𝑏 + 2 = 0
 ⟹ {
𝑏 = −𝑎
𝑎𝑏 + 2 = 0
 ⟹ −𝑎2 + 2 = 0 ⟹ 𝑎2 = 2 ⟹ 𝑎 = − √2 ou 𝑎 = √2 
Se 𝑎 = − √2 então 𝑏 = √2 e se 𝑎 = √2 então 𝑏 = −√2 
Portanto, a fatoração pedida é: 
𝑝(𝑥) = 𝑥4 + 1 = (𝑥2 + √2𝑥 + 1)(𝑥2 − √2𝑥 + 1). 
----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- 
h) 𝑝(𝑥) = 𝑥4 − 2𝑥3 + 2𝑥 − 1 
Como esse polinômio tem coeficientes inteiros e é mônico (o coeficiente do termo de maior grau é 
1), se tiver raízes racionais, elas têm que ser inteiras e estar entre os divisores do termo 
independente −1, que são: +1,−1. 
𝑝(1) = 1 − 2 + 2 − 1 = 0 , logo 1 é raiz de 𝑝(𝑥). 
𝑝(−1) = (−1)4 − 2(−1)3 + 2(−1) − 1 = 1 + 2 − 2 − 1 = 0 , logo −1 é raiz de 𝑝(𝑥). 
Assim, 𝑝(𝑥) = 𝑥4 − 2𝑥3 + 2𝑥 − 1 = (𝑥 − 1)(𝑥 + 1)𝑞(𝑥). Devemos determinar 𝑞(𝑥) que tem 
grau 2. Para isso, vamos usar o algoritmo de Briot-Ruffini duas vezes seguidas. 
 1 −2 0 2 −1 
1 1 −1 −1 1 0 
−1 1 −2 1 0 
 
Assim, 𝑞(𝑥) = 𝑥2 − 2𝑥 + 1. Determinando as raízes de 𝑞(𝑥) : 
𝑥 =
2±√(−2)2−4.1.1
2.1
 
2±√4−4
2
=
2±0
2
= 1, donde 𝑥 = 1 é raiz dupla de 𝑞(𝑥) e 𝑞(𝑥) = (𝑥 − 1)2. 
Portanto, 𝑝(𝑥) = (𝑥 − 1)(𝑥 + 1)(𝑥 − 1)2 = (𝑥 − 1)3(𝑥 + 1). 
________________________________________________________________________ 
Exercício 9: Será 𝑥 + 3 um fator do polinômio 𝑝(𝑥) = 𝑥7 + 2187 ? Justifique sua resposta. 
Resolução: 
Se 𝑥 + 3 for um fator do polinômio 𝑝(𝑥) = 𝑥7 + 2187 , então 𝑝(𝑥) = (𝑥 + 3)𝑞(𝑥) , e assim, 
𝑥 = −3, será uma raiz do polinômio 𝑝(𝑥) = 𝑥7 + 2187 . Basta então verificar se 𝑝(−3) = 0. 
Calculando: 
𝑝(−3) = (−3)7 + 2187 = −2187 + 2187 = 0 . 
EP 01 – 2017-2 –Gabarito – Polinômios Pré-Cálculo 
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Portanto, 𝑥 + 3 é um fator do polinômio 𝑝(𝑥) = 𝑥7 + 2187 . 
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Exercício 10: Considerando o que você aprendeu sobre polinômios, responda: existe algum 
número racional que seja igual ao seu cubo mais um? 
Resolução: 
Consideremos 𝑥 um número racional. Se este número racional 𝑥 , é igual ao seu cubo mais um, 
então podemos escrever que 𝑥 = 𝑥3 + 1 . Mas, 𝑥 = 𝑥3 + 1 ⟺ 𝑥3 − 𝑥 + 1 = 0 . 
Considerando o polinômio 𝑝(𝑥) = 𝑥3 − 𝑥 + 1, sabemos que as possíveis raízes racionais desse 
polinômio são inteiras, pois é 𝑝(𝑥) é um polinômio mônico (o coeficiente do termo de maior grau 
é 1 ). Essas possíveis raízes inteiras estão entre os divisores do termo independente, 1, que são 
−1 e +1. 
Calculando 𝑝(−1) e 𝑝(1) : 
𝑝(−1) = (−1)3 − (−1) + 1 = −1 + 1 + 1 ≠ 0 e 
𝑝(1) = (1)3 − (1) + 1 = 1 − 1 + 1 ≠ 0 
Vemos, portanto, que esse polinômio não possui raízes racionais. 
Concluímos assim, que não existe número racional que seja igual ao seu cubo mais um.