Exercícios de Homomorfismo de Anéis

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MTM5261 - A´lgebra I - Turma 03222 - 2013/01
Prof. Gilles Gonc¸alves de Castro
Lista de exerc´ıcios 6
1) Deˆ um exemplo de um homomorfismo de ane´is f : A→ B satisfazendo
cada uma das condic¸o˜es a seguir, ou explique porque na˜o existe:
(a) f e´ injetora mas na˜o sobrejetora.
(b) f e´ sobrejetora mas na˜o injetora.
(c) f e´ bijetora.
(d) f na˜o e´ injetora nem sobrejetora.
(e) A tem unidade e f(1) na˜o e´ unidade de B.
(f) f(0) na˜o e´ o elemento neutro da soma de B.
(g) a e´ divisor de zero em A, mas f(a) na˜o e´ divisor de zero em B.
(h) a e´ invers´ıvel em A, mas f(a) na˜o e´ invers´ıvel em B.
(i) a na˜o e´ um divisor de zero em A, mas f(a) e´ um divisor de zero
em B.
(j) a na˜o e´ invers´ıvel em A, mas f(a) e´ invers´ıvel em B.
2) Suponha que f : A→ B e´ um homomrfismo de ane´is sobrejetor.
(a) Se A e´ domı´nio, enta˜o B e´ domı´nio?
(b) Se A e´ comutativo, enta˜o B e´ comutativos?
3) Em cada item verifique se a func¸a˜o dada e´ homomorfismo de ane´is e se
e´ sobrejetora e/ou injetora.
(a) f : Z→ mZ definida por f(n) = mn.
(b) Para A e B ane´is, considere a anel A×B como no exerc´ıcio 7 da
lista 1. Defina pi1 : A × B → A por pi1(a, b) = a. Analogamente,
defina pi2 : A×B → B por pi2(a, b) = b.
(c) Seja A anel e defina f : A→ A× A por f(a) = (a, a).
(d) f : Z[
√
2]→ Z definida por f(a+ b√2) = a.
(e) f : Z[
√
2]→ Z[√2] definida por f(a+ b√2) = a− b√2.
(f) f : Z× Z→ Z definida por f(a, b) = a+ b.
(g) f : Z× Z→ Z definida por f(a, b) = ab.
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(h) f : Z× Z→ Z6 definida por f(a, b) = a+ b.
(i) f : Z× Z→ Z6 definida por f(a, b) = a− b.
(j) f : Z× Z→ Z6 definida por f(a, b) = 3a+ 4b.
(k) f : Z2×Z3 → Z6 definida por f(a, b) = 3a+ 2b. (Lembre que cada
elemento da forma x depende de qual Zn estamos trabalhando.)
(l) f : Z2 × Z3 → Z6 definida por f(a, b) = 3a+ 4b.
(m) f : Z6 → Z4 definida por f(a) = a.
(n) f : C→ R definida por f(a+ bi) = a.
4) Seja A anel comutativo e suponha que f : A→ A e´ um homomorfismo
de ane´is. Considere
B = {a ∈ A : f(a) = a}.
(a) Mostre que B e´ subanel de A.
(b) Deˆ um exemplo onde B na˜o e´ ideal de A.
5) Suponha que A e B sejam ane´is quaisquer e que f e´ um homomorfismo
sobrejetor. Mostre que f(Z(A)) ⊆ Z(B). (Lembre da definic¸a˜o do
centro dado no exerc´ıcio 8 da lista 2).
6) Suponha que A e B sejam ane´is comutativos e que f e´ um homo-
morfismo. Mostre que f(N(A)) ⊆ N(B). (Lembre da definic¸a˜o de
nilradical dado no exerc´ıcio 11 da lista 2).
7) Sejam A e B ane´is e f : A → B homomorfismo. Suponha que C e´
subanel de B. Seja
f−1(T ) = {a ∈ A : f(a) ∈ T}.
Mostre que f−1(T ) e´ subanel de A. Quando f−1(T ) e´ todo anel A?
8) Suponha que A e´ um anel com unidade (na˜o necessariamente comuta-
tivo). Seja u elemento invers´ıvel de A. Mostre que a func¸a˜o f : A→ A
definida por f(a) = uau−1 e´ um automorifsmo de A. Tal automorfismo
e´ chamado de automorfismo interno.
9) Sejam A e B ane´is comutativos e f : A→ B homomorfismo sobrejetor.
Se I e´ ideal de A, mostre que f(I) e´ ideal de B. Deˆ um exemplo que se
tirarmos a hipo´tese de sobrejetividade enta˜o f(I) na˜o precisa ser um
ideal.
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