Exercícios de Álgebra I - Fatoração e Ideais

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MTM5261 - A´lgebra I - Turma 03222 - 2013/01
Prof. Gilles Gonc¸alves de Castro
Lista de exerc´ıcios 10
1) As duas fatorac¸o˜es de 5, 5 =
√−5 · (−√−5) = 1 · 5, da˜o um exemplo
em que a fatorac¸a˜o em irredut´ıveis na˜o e´ u´nica em Z[
√−5]?
2) As duas fatorac¸o˜es de 6, 6 = (−2 + 2√2) · (3 + 3√2) = 3 · 2, da˜o um
exemplo em que a fatorac¸a˜o em irredut´ıveis na˜o e´ u´nica em Z[
√
2]?
3) Encontre duas fatorac¸o˜es de 8 em irredut´ıveis em Z[
√−7] que sa˜o es-
sencialmente distintas.
4) Encontre um elemento na˜o nulo e na˜o invers´ıvel a ∈ Z6 tal que an = a
para todo n ∈ N∗. Por que isso significa que na˜o existe fatorac¸a˜o u´nica
neste anel? Fac¸a o mesmo para Z× Z.
5) Suponha que n e´ um inteiro livre de quadrados, |n| ≥ 2 e n ≡ 1 mod 4.
Mostre que Z[
√
n] na˜o e´ um domı´nio de fatorac¸a˜o u´nica.
6) Quem e´ o ideal 〈35, 15〉 em Z? E o ideal 〈12, 20, 15〉?
7) Quem e´ o ideal 〈(1, 0), (0, 1)〉 em Z× Z? E o ideal 〈(1, 1)〉?
8) Mostre que o ideal I =
〈
3, 1−√−5〉 nao e´ um ideal principal em
Z[
√−5].
9) Em Z[
√
2], mostre que
〈
3 + 8
√
2, 7
〉
=
〈
3 +
√
2
〉
.
10) Por que todo corpo e´ domı´nio principal?
11) Mostre que se D e´ um domı´nio de fatorac¸a˜o u´nica no qual todo ideal
gerado por dois elementos e´ principal enta˜o D e´ um domı´nio principal.
(Dica: seja I ideal pro´prio de D e considere um elemento a que pode
ser escrito com uma quantidade mı´nima de irredut´ıveis. Mostre que
I = 〈a〉 supondo que exista b ∈ I \ 〈a〉 e chegando numa contradic¸a˜o a
partir de 〈a, b〉 = 〈d〉.)
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