Álgebra I - Isomorfismos e Corpos

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MTM5261 - A´lgebra I - Turma 03222 - 2013/01
Prof. Gilles Gonc¸alves de Castro
Lista de exerc´ıcios 8
1) Para as func¸o˜es da questa˜o 3 da lista 6 que sa˜o homomorfismos, quais
sa˜o isomorfismos?
2) Suponha que um corpo K e´ isomorfo a um anel A. E´ verdade que A e´
corpo?
3) Suponha que um domı´nio D e´ isomorfo a um anel A. E´ verdade que A
e´ domı´nio?
4) Porque Z5 e Z7 na˜o sa˜o isomorfos?
5) Mostre que os ane´is Z8, Z4 × Z2 e Z2 × Z2 × Z2 na˜o sa˜o dois a dois
isomorfos mesmo que tenha o mesmo nu´mero de elementos.
6) Prove que Z[i]/ 〈1 + i〉 e´ isomorfo a Z2 utilizando o primeiro teorema
do isomorfismo.
7) Prove que Z2 × Z3 e´ isomorfo a Z6 considerando o item (l) da questa˜o
3 da lista 6. Descreva o isomorfismo dizendo quem e´ levado em quem.
8) Mostre que Q na˜o e´ isomorfo a R. Fac¸a o mesmo entre Q e C, e entre
R e C.
9) Suponha que os ane´is comutativos A e B sa˜o isomorfos com isormor-
fismo f : A→ B. Mostre, usando o primeiro teorema do isomorfismo,
que A/ 〈a〉 e´ isomorfo a B/ 〈f(a)〉.
10) Generalizando o exerc´ıcio 9, suponha que f : A→ B e´ um isomorfismo.
Dado I ideal de A, sabemos do exerc´ıcio 9 da lista 6 que f(I) e´ um
ideal de B. Mostre que A/I e´ isomorfo a B/f(I).
11) Para A = Z, I = 12Z e J = 8Z. Descreva quem e´ (I + J)/J , I/(I ∩ J)
e quem e´ o isomorfismo dado pelo segundo teorema do isomorfismo.
12) Seja D um domı´nio, mostre que o corpo de frac¸o˜es Fr(D) e´ u´nico a
menos de isomorfismo. Isto e´, se L e´ um corpo no qual existe um
homomorfismo unital injetor ι : D → L e sempre que f : D → K
e´ um homomorfismo unital injetor existe um u´nico f̂ : L → K que
homomorfismo de corpo com f̂ ◦ι = f (ou seja, L satisfaz a propriedade
universal do corpo de frac¸o˜es), enta˜o L e´ isomorfo a Fr(D).
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13) Se D e´ um domı´nio mostre que o corpo de frac¸o˜es Fr(D) e´ o menor
corpo a menos de isomorfismo que conte´m um subanel isomorfo a D.
Isto e´ se K e´ corpo e ι : D → K e´ um homomorfismo unital injetor
enta˜o existe um subcorpo de K isomorfo a Fr(D).
14) Mostre que se K e´ corpo enta˜o Fr(K) ∼= K.
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