Álgebra I - Exercícios

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MTM5261 - A´lgebra I - Turma 03222 - 2013/01
Prof. Gilles Gonc¸alves de Castro
Lista de exerc´ıcios 13
1) Escreve os nu´meros a seguir como soma de dois quadrados, se poss´ıvel:
(a) 452
(b) 453
(c) 454
2) Seja p nu´mero primo positivo tal que p ≡ 1 mod 4. De quantas formas
podemos escrever p como soma de dois quadrados? E para pα se α > 1?
E para um n ∈ N no qual e´ poss´ıvel escrever como soma de quadrados?
3) Fatore em Z[i].
(a) 35
(b) 10− 20i
(c) 11− 44i
4) Mostre que se um inteiro e´ escrito como soma de quadrados de dois
nu´meros racionais enta˜o ele pode ser escrito como a soma de quadrados
de dois nu´meros inteiros.
5) Mostre que se q e´ um nu´mero primo tal que q ≡ 3 mod 4 enta˜o Z[i]/ 〈q〉
e´ um corpo de ordem q2.
6) Seja p nu´mero primo tal que p ≡ 1 mod 4. Seja α, β ∈ Z[i] irredut´ıveis
tais que p = αβ. Verifique que podemos utilizar as hipo´teses do teorema
chineˆs do resto para ane´is e concluir que
Z[i]/ 〈p〉 ∼= Z[i]/ 〈α〉 × Z[i]/ 〈β〉 .
Mostre que Z[i]/ 〈p〉 tem ordem p2 e conclua que Z[i]/ 〈α〉 e Z[i]/ 〈β〉
sa˜o corpos de ordem p.
7) Sejam A e B ane´is comtutativos. Mostre que todos ideais de A × B
sa˜o da forma I × J onde I e´ ideal de A e J e´ ideal de B.
8) Utilize o exerc´ıcio anterior e o teorema chineˆs do resto para encontrar
os ideais de Z12 e Z10.
9) Resolva os seguintes sistemas de congrueˆncias, se poss´ıvel:
1
(a) 
x ≡ 1 mod 4
x ≡ 5 mod 7
x ≡ 3 mod 9
(b) 
x ≡ 1 mod 2
x ≡ 6 mod 7
x ≡ 2 mod 27
(c) {
x ≡ 1 mod 14
x ≡ 2 mod 15
(d) {
x ≡ 1 mod 14
x ≡ 5 mod 12
(d) {
x ≡ 1 mod 14
x ≡ 4 mod 12
10) Encontre a, b ∈ Z de forma que o seguinte sistema de congrueˆncias na˜o
tem soluc¸a˜o: {
x ≡ a mod 4
x ≡ b mod 6
11) Mostre que Z9 na˜o e´ isomorfo a Z3 × Z3. Por que isso na˜o contradiz o
teorema chineˆs do resto?
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