Exercícios de Álgebra I em Corpos Finitos

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MTM5261 - A´lgebra I - Turma 03222 - 2013/01
Prof. Gilles Gonc¸alves de Castro
Lista de exerc´ıcios 7
1) Para as func¸o˜es da questa˜o 3 da lista 6 que sa˜o homomorfismos, encon-
tre o nu´cleo.
2) Considere f : R → R dada por f(x) = x2. Encontre f−1(0) e f−1(4).
Conclua a partir da´ı que f na˜o e´ um homomorismo.
3) Seja A anel, K corpo e f : K → A homomorfismo de anel na˜o nulo. E´
verdade que f(K) e´ corpo?
4) Seja A anel comutativo com unidade e e ∈ A elemento idempotente,
isto e´, e2 = e. Defina f : A → A por f(a) = ea. Mostre que f e´ um
homomorfismo e encontre seu nu´cleo.
5) Seja A anel comutativo com unidade e considere b ∈ A. Suponha que
f : A → A dada por f(a) = ba e´ um homomorifsmo. Mostre que b e´
idempotente.
6) Suponha que K e´ um corpo finito de caracter´ıstica 2 (ver exerc´ıcio 7
da lista 3).
(a) Mostre que f : K → K definida por f(a) = a2 e´ um isomorfismo.
(b) Um exemplo de corpo de caracter´ıstica 2 e´ Z2. Quem e´ o isomor-
fismo neste caso?
(c) Outro exemplo e´ o corpo {0, 1, α, 1 + α} do exerc´ıcio 8 da lista 3.
Descreva o isomorfismo neste caso.
7) Vamos generalizar o exerc´ıcio 6. Suponha que K e´ um corpo finito de
caracter´ıstica p.
(a) Mostre que f : K → K definida por f(a) = ap e´ um isomorfismo.
Tal func¸a˜o e´ chamada de isomorfismo de Frobenius.
(b) Use o pequeno teorema de Fermat para mostrar que no caso K =
Zp, o isomorfismo de Frobenius e´ a identidade.
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