Geometria Analítica e Álgebra Linear Lista 1

Prévia do material em texto

Geometria Analítica e Álgebra Linear 
Lista de Exercícios 1 
1) Determine x para que se tenha DCBA rr = , sendo A(x,1), B(4,x+3), C(x,x+2) e D(2x,x+6). 
 RESP: x=2 
 
2) Dados A(–1,–1) e B(3,5), determinar C, tal que 
 a) AB
2
1AC = b) BA
3
2CA
rr
= . RESP: a) x = 1 e y = 2 b) 
3
5
x =
 e y =3 
3) Dados os vetores ar =( 2,–1 ) e br =( 1,3) , determinar um vetor xr , tal que: 
 a) [ ]
2
xab)ax(2
2
1
x
3
2
rr
r
rrr +
=−++
 b) 
2
axb
3
1
x2a4
rr
r
rr +
−=−
 
RESP: a) xr = 

−
7
12
,
7
3
 b) 

 −=
9
33
,
9
52
x
r
 
 
4) Dadas as coordenadas, x=4, y=–12, de um vetor vv do ℜ3, calcular sua terceira coordenada z, 
de maneira que  vv = 13. RESP: z=± 3 
 
5) Sejam k2-ji2b e k3j2ia rrrrrrrr +=−+= . Determine um versor dos vetores abaixo: 
 a)ar + br B) 2ar –3br c) 5ar +4br 
 RESP: a) 
43
1
u =
r (3,3,–5) b) )0,1,4(
17
1
u −=
r
 c) 
894
1
u =
r (13,14,–23) 
6) Determine um vetor da mesma direção de vv = 2 ir – jr +2kr e que: 
a) tenha norma (módulo) igual a 9; 
b) seja o versor de vv ; 
c) tenha módulo igual a metade de vv . 
RESP: a) wr =(6,–3,6) b)
3
1
u =
r (2,–1,2) c)
2
1p =r (2,-1,2) 
7) Sendo ur = ( 2,3,1) e vr = ( 1,4, 5) . Calcular: 
 a) ur •vr b) (ur – vr ) c)(ur + vr )2 d) (3ur – 2 vr )2 e) (2ur -3 vr )•(ur +2 vr ) 
 RESP: a) 19 b)18 c)94 d)66 e) –205 f)–28 
8)Sendo ar =(2,–1,1), br =(1,–2,–2) e cr =(1,1,–1). Calcular um vetor vr =(x,y,z), tal que vr •ar = 4, vr • 
b
r
= –9 e v
r • cr = 5. RESP: vr =(3,4,2) 
9) Os vetores ur e vr formam um ângulo de 600. Sabe-se que ur =8 e vr =5, calcule: 
 a)ur + vr  RESP: a) 129 
10) Determinar o valor de x para que os vetores 1v
r
= x i
r
–2 jr+3kr e 2v
r
=2 i
r
– jr+2kr , sejam ortogonais. 
RESP: x = –4 
11) Dados dois vetores ar =(3,–1,5) e b
r
=(1,2,–3), achar um vetor xr , sabendo-se que ele é perpendicular 
ao eixo OZ , e que verifica as seguintes relações: x
r •ar =9, e xr •br =– 4. 
 RESP: x
r
=(2, –3,0) 
12) O vetor ( )2,1,1v −−−= forma um ângulo de 600 com o vetor BA r , onde A (0,3,4) e B(m, −1,2). 
Calcular o valor de m. RESP: m=–34 ou m=2 
13) Dados ur =(2,–3,–6) e vr =3 ir –4 jr–4kr , determine: 
 a) a projeção algébrica de vr sobre ur ( norma do vetor projeção de vr sobre ur ); 
 b) 0 vetor projeção de vr sobre ur . RESP: a)6 b) ( )6,3,2
7
6
−− 
14) Dados os vetores ur =( –1,3,2), vr =(1,5,–2) e wr =(-7,3,1). Calcule as coordenadas dos vetores: 
 a) ur ×vr b) vr ×wr c) vr ×(ur ×wr ) 
 d) ( vr ×ur )×wr e)(ur + vr )×(ur + wr ) f) (ur – wr )×wr 
 RESP: a)(–16,0,8) b)(11,13,38) c)(64,–12,2) d)(−24,−72,48) e)(24,0,64) 
 f)(–3,–13,18) 
15) Determinar o vetor xr , paralelo ao vetor ao vetor wr =(2,–3,0) e tal que xr ×ur = v , onde ur =(1,–
1,0) e v =(0,0,2). RESP: xv =(4.–6,0) 
16) Determinar o vetor vr , sabendo que ele é ortogonal ao vetor
 
a
 =(2,−3,1) e ao vetor b=(1,−2,3) 
e que satisfaz a seguinte condição; 10)k7j2i(v =−+• . RESP: ( )1,5,7v = 
17)Determinar v , tal que v seja ortogonal ao eixo dos y e que wvu ×= ,sendo )1,1,1(u −= e 
)1,1,2(w −= . RESP: v=(1,0,1) 
18) Determine um vetor unitário ortogonal aos vetores 1v
r
=(–1,–1,0) e 2v
r
=(0,–1–1). 
 RESP: ( )1,1,1
3
1 −±
 
19) Dados os vetores ur =(1,−1,1) e vr =(2,−3,4), calcular: 
 a) A área do paralelogramo de determinado por ur e vr ; 
RESP: a)A= .a.u6 
20) Dados os vetores ur =(2,1,−1) e vr =(1,−1,α), calcular o valor de α para que a área do 
paralelogramo determinado por ur e vr seja igual a 62 u.a.(unidades de área). 
RESP: α=3 
21) Qual é o valor de x para que os vetores ar =(3,–x,–2), br =(3,2,x) e cr =(1,–3,1) sejam coplanares. 
RESP: x=14 ou x=–2 
22) Determinar o valor de k para que os pontos A(0,0,3),B(1,2,0), C(5,–1,–1) e D(2,2,k) sejam 
vértices de uma mesma face de um poliedro. RESP: k=– 1 
23) Determinar o valor de x de modo que o volume do paralelepípedo gerado pelos vetores ur = 2 ir
– jr+kr e vr = ir – jr e wr =x ir + jr–3kr , seja unitário. RESP: x=–5 ou x= –3