Equacoes separaveis B

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Centro Universitário Univates 
Disciplina: Cálculo III Semestre: 2011/A 
Professoras: Adriana Belmonte Bergmann 
Marli Teresinha Quartieri 
 
Soluções de Equações Diferenciais 
Solução Geral de uma Equação Diferencial 
Já vimos que uma equação diferencial é uma equação que envolve 
uma função diferenciável e uma ou mais de suas derivadas. Por 
exemplo: 
 𝑦′ + 2𝑦 = 0 Equação Diferencial 
Da mesma forma, sabemos que uma função 𝑦 = 𝑓(𝑥) é solução de uma 
equação diferencial se a equação é satisfeita quando 𝑦 e suas derivadas 
são substituídas por 𝑓(𝑥) e suas derivadas. Por exemplo, 
 𝑦 = 𝑒−2𝑥 Solução de uma equação diferencial 
é uma solução da equação diferencial dada acima. Da mesma forma, 
podemos facilmente mostrar que 𝑦 = 2𝑒−2𝑥 , 𝑦 = −3𝑒−2𝑥 e 𝑦 =
1
2
𝑒−2𝑥 
são também soluções da equação diferencial. Na verdade, qualquer 
função da forma 
 𝑦 = 𝐶𝑒−2𝑥 Solução geral 
onde 𝐶 é um número real, é uma solução da equação. Esta família de 
soluções é chamada solução geral da equação diferencial. 
 
 
 
Soluções Particulares e Condições Iniciais 
Uma solução particular de uma equação diferencial é qualquer solução 
obtida pela atribuição de valores específicos às constantes na solução 
geral (ressalta-se que algumas equações diferenciais admitem soluções 
que não as dadas por sua solução geral; são as chamadas soluções 
singulares, que não serão abordadas). 
Geometricamente, a solução geral de uma equação diferencial é uma 
família de gráficos chamados curvas-solução. Por exemplo, a solução 
geral da equação diferencial 𝑥𝑦′ − 2𝑦 = 0 é 
 𝑦 = 𝐶𝑥2 . Solução geral 
A Figura1 mostra várias curvas-solução desta equação diferencial. 
 
Figura 1 
 
As soluções particulares de uma equação diferencial se obtêm a partir 
de condições iniciais impostas à função incógnita e às suas derivadas. 
Assim é que, na Fig (1), queríamos achar a solução particular cujo 
gráfico passa pelo ponto (1,3). Esta condição inicial pode ser escrita 
como: 
 𝑦 = 3 quando 𝑥 = 1 Condição inicial 
Levando estes valores na solução geral, obtemos 
3 = 𝐶(1)2 , o que implica em 𝐶 = 3. 
Assim, a solução particular é 
 𝑦 = 3𝑥2 Solução particular 
 
Exemplo 1 – Determinação de uma Solução Particular 
Verifique que 
 𝑦 = 𝐶𝑥3 Solução geral 
é uma solução da equação diferencial 𝑥𝑦′ − 3𝑦 = 0 para qualquer valor 
de 𝐶. Ache então a solução particular determinada pela condição inicial 
 𝑦 = 2 quando 𝑥 = −3 Condição inicial 
Solução 
A derivada de 𝑦 = 𝐶𝑥3 é 𝑦′ = 3𝐶𝑥2 . Fazendo a substituição na 
equação diferencial, obtemos 
𝑥𝑦′ − 3𝑦 = 𝑥 3𝐶𝑥2 − 3 𝐶𝑥3 = 0. 
Assim, 𝑦 = 𝐶𝑥3 é solução para qualquer valor de 𝐶. Para achar a 
solução particular, façamos 𝑥 = −3 e 𝑦 = 2 na solução geral; vem 
2 = 𝐶(−3)3 ou 𝐶 = −
2
27
 . Isto implica que a solução particular é 
 𝑦 = −
2
27
𝑥3 Solução Particular 
 
 
Exemplo 2 - Determinação de uma Solução Particular 
Uma pessoa está trabalhando no departamento de marketing de uma 
empresa que está lançando um novo produto em âmbito nacional e 
consegue determinar que a venda máxima do produto é de 10 milhões 
de unidades por ano. Faz também a hipótese de que a taxa de 
crescimento das vendas 𝑥 (em milhões de unidades) é proporcional à 
diferença entre a venda máxima e as vendas atuais. Esta hipótese pode 
ser formulada na equação diferencial 
 
𝑑𝑥
𝑑𝑡
= 𝑘(10 − 𝑥) , 0 ≤ 𝑥 ≤ 10 
A solução geral desta equação diferencial é 
 𝑥 = 10 − 𝐶𝑒−𝑘𝑡 , 
onde 𝑡 é o tempo em anos. Após 1 ano, foram vendidas 250.000 
unidades. Faça o esboço do gráfico da função de venda por um período 
de 10 anos. 
 Solução 
 Como o produto é novo, podemos admitir que 𝑥 = 0 quando 
𝑡 = 0. Temos, assim, duas condições iniciais: 
 𝑥 = 0 quando 𝑡 = 0 Primeira condição inicial 
 𝑥 = 0,25 quando 𝑡 = 1 Segunda condição inicial 
Levando a primeira condição inicial na solução geral, obtemos 
 0 = 10 − 𝐶𝑒−𝑘(0), 
o que implica 𝐶 = 10. Levando a segunda condição inicial na solução 
geral, vem 
 0,25 = 10 − 10𝑒−𝑘(1), 
o que implica 𝑘 = 𝑙𝑛
40
39
≈ 0,0253. Assim, a solução particular é 
 𝑥 = 10 − 10𝑒−0,0253𝑡 , Solução particular 
 Gráfico 
 
Figura 2 
A tabela T(1) dá as vendas anuais durante os primeiros 10 anos, cujo 
gráfico da solução foi apresentado na Figura 2. 
t 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 
x 0,25 0,49 0,73 0,96 1,19 1,41 1,62 1,83 2,04 2,24 
 
Exercícios: 
1. Verifique que a solução geral satisfaz a equação diferencial. Ache 
em seguida a solução particular que verifica a condição inicial. 
a) Solução geral: 𝑦 = 𝐶𝑒−2𝑥 
Equação diferencial: 𝑦′ + 2𝑦 = 0 
Condição inicial: 𝑦 = 3 quando 𝑥 = 0 
 
b) Solução geral: 2𝑥2 + 3𝑦2 = 𝐶 
Equação diferencial: 2𝑥 + 3𝑦𝑦′ = 0 
Condição inicial: 𝑦 = 2 quando 𝑥 = 1 
 
c) Solução geral: 𝑦 = 𝐶1𝑒
4𝑥 + 𝐶2𝑒
−3𝑥 
Equação diferencial: 𝑦′′ − 𝑦′ − 12𝑦 = 0 
Condição inicial: 𝑦 = 5 e 𝑦′ = 6 quando 𝑥 = 0 
 
 
1. Equações Diferenciais – Variáveis Separáveis 
Nota ao estudante: Na resolução para uma equação diferencial, você terá 
frequentemente que utilizar, digamos, integração por partes, frações parciais ou 
possivelmente uma substituição. Será proveitoso gastar alguns minutos de seu tempo 
na revisão de algumas técnicas de integração. 
 
Começamos nosso estudo na metodologia de resolução de 
equações de primeira ordem com a mais simples de todas as equações. 
 Se 𝑔(𝑥) é uma função contínua dada, então a equação de 
primeira ordem 
 
𝑑𝑦
𝑑𝑥
= 𝑔(𝑥) (1) 
Pode ser resolvida por integração. A solução para (1) é 
𝑦 = 𝑔 𝑥 𝑑𝑥 + 𝐶 
 
Exemplo 1 
Resolva (a) 
𝑑𝑦
𝑑𝑥
= 1 + 𝑒2𝑥 e (b) 
𝑑𝑦
𝑑𝑥
= 𝑠𝑒𝑛(𝑥) 
Solução 
Como ilustrado acima, ambas as equações podem ser resolvidas 
por integração: 
(a) 𝑑𝑦 = 1 + 𝑒2𝑥 𝑑𝑥 → 𝑦 = 𝑥 +
1
2
𝑒2𝑥 + 𝐶 
(b) 𝑑𝑦 = 𝑠𝑒𝑛(𝑥) 𝑑𝑥 → 𝑦 = − cos 𝑥 + 𝐶 
A equação (1), bem como seu método de resolução, é apenas um caso 
especial do seguinte: 
 
 
 
 
 
 
Observe que uma equação separável pode ser escrita como 
 𝑕 𝑦 
𝑑𝑦
𝑑𝑥
= 𝑔 𝑥 (2) 
É imediato que (2) se reduz a (1) quando 𝑕 𝑦 = 1. 
Agora, se 𝑦 = 𝑓(𝑥) denota uma solução para (2), temos 
𝑕 𝑓 𝑥 𝑓 ′ 𝑥 = 𝑔(𝑥) , 
logo, 
 𝑕 𝑓 𝑥 𝑓 ′ 𝑥 𝑑𝑥 = 𝑔 𝑥 𝑑𝑥 + 𝐶 . (3) 
Mas 𝑑𝑦 = 𝑓 ′ 𝑥 𝑑𝑥 , assim (3) é o mesmo que 
 𝑕 𝑦 𝑑𝑦 = 𝑔 𝑥 𝑑𝑥 + 𝐶 . (4) 
 
 
Método de Solução 
A equação (4) indica o procedimento na resolução para equações 
diferenciais separáveis. Uma família a um parâmetro de soluções, em 
geral parada implicitamente, é obtida integrando ambos os lados de 
𝑕 𝑦 𝑑𝑦 = 𝑔 𝑥 𝑑𝑥. 
Nota: Não há necessidade de usar duas constantes na integração de 
uma equação separável, pois,𝑕 𝑦 𝑑𝑦 + 𝐶1 = 𝑔 𝑥 𝑑𝑥 + 𝐶2 
 𝑕 𝑦 𝑑𝑦 = 𝑔 𝑥 𝑑𝑥 + 𝐶2− 𝐶1 = 𝑔 𝑥 𝑑𝑥 + 𝐶 
em que 𝐶 é completamente arbitrária. Em várias instâncias, no do 
trabalho, não hesitaremos em indexar constantes de uma maneira que 
possa ser mais conveniente para uma dada equação. Por exemplo, 
múltiplos de constantes ou combinações de constantes podem ser 
trocados por uma única constante. 
 
Exemplo 2 
Resolva 1 + 𝑥 𝑑𝑦 − 𝑦𝑑𝑥 = 0 . 
 Solução 
Dividindo por 1 + 𝑥 𝑦 , podemos escrever, 
𝑑𝑦
𝑦
=
𝑑𝑥
(1+𝑥)
 , da qual 
se segue que 
 
𝑑𝑦
𝑦
= 
𝑑𝑥
(1 + 𝑥)
 
ln 𝑦 = ln 1 + 𝑥 + 𝐶1 
𝑑𝑦
𝑑𝑥
=
𝑔(𝑥)
𝑕(𝑦)
 
Definição 1.1 - Equação Separável 
Uma equação diferencial da forma 
é chamada Separável ou tem Variáveis 
Separáveis. 
 
𝑦 = 𝑒ln 1+𝑥 +𝐶1 
𝑦 = 𝑒ln 1+𝑥 . 𝑒𝐶1 
= 1 + 𝑥 𝑒𝐶1 
 = ± 𝑒𝐶1 1 + 𝑥 , pois 
|1 + 𝑥| = 1 + 𝑥, 𝑥 ≥ −1
|1 + 𝑥| = −(1 + 𝑥), 𝑥 ≤ −1
 
Trocando ±𝑒𝐶1 por 𝐶, temos, 𝑦 = 𝐶 1 + 𝑥 . 
 Solução Alternativa: Como cada integral resulta em um 
logaritmo, uma escolha conveniente para a constante de integração 
seria ln 𝐶 em vez de 𝐶: 
ln 𝑦 = ln 1 + 𝑥 + ln 𝐶 
ou ln 𝑦 = ln 𝐶 1 + 𝑥 
assim 𝑦 = 𝐶(1 + 𝑥) 
 Mesmo que as integrais indefinidas não sejam todas 
logarítmicas, ainda pode ser vantajoso usar ln 𝐶 . Porém, nenhuma 
regra pode ser dada. 
 
Exemplo 3 
Resolva o problema de valor inicial 
𝑑𝑦
𝑑𝑥
= −
𝑥
𝑦
 , 𝑦 4 = 3 . 
 Solução 
De 𝑦𝑑𝑦 = −𝑥𝑑𝑥, obtemos 
 𝑦𝑑𝑦 = − 𝑥𝑑𝑥 → 
𝑦2
2
= −
𝑥2
2
+ 𝐶1 
Essa solução pode ser escrita como 𝑥2 + 𝑦2 = 𝐶2 , trocando a 
constante 2𝐶1 por 𝐶
2 . A solução representa uma família de círculos 
concêntricos. 
Agora, quando 𝑥 = 4 , 𝑦 = 3 temos 16 + 9 = 25 = 𝐶2 . Logo, o 
problema de valor inicial determina 𝑥2 + 𝑦2 = 25 . 
 
Dinâmica Populacional 
Uma das primeiras tentativas de modelagem do crescimento 
populacional humano por meio de matemática foi feita pelo 
economista inglês Thomas Malthus, em 1798. Basicamente, a idéia por 
trás do modelo malthusiano é a hipótese de que a taxa segundo a qual a 
população de um país cresce em um determinado instante é 
proporcional à população total do país naquele instante. Em outras 
palavras, quanto mais pessoas houver em um instante 𝑡, mais pessoas 
existirão no futuro. Em termos matemáticos, se 𝑃(𝑡) for a população 
total no instante 𝑡, então esta hipótese pode ser expressa por 
 
𝑑𝑃
𝑑𝑡
∝ 𝑃 𝑜𝑢 
𝑑𝑃
𝑑𝑡
= 𝑘𝑃 (5) 
Onde 𝑘 é uma constante de proporcionalidade. Esse modelo simples, 
embora não leve em conta muitos fatores que podem influenciar a 
população humana tanto em seu crescimento quanto em seu declínio 
(imigração e emigração, por exemplo), não obstante resulta ser 
razoavelmente preciso na previsão da população dos Estados Unidos 
entre os anos de 1790 e 1860. As população que crescem à taxa descrita 
por (5) são raras; entretanto, (5) é ainda usada para modelar o 
crescimento de pequenas populações em um curto intervalo de tempo 
(crescimento de bactérias em uma placa de Petri, por exemplo). 
 
 
Decaimento Radioativo 
O núcleo de um átomo consiste em combinações de prótons e nêutrons. 
Muitas dessas combinações são instáveis, isto é, os átomos decaem ou 
transmutam em átomos de outra substância. Esses núcleos são 
chamados de radioativos. Por exemplo, ao longo do tempo, o altamente 
radioativo elemento rádio, Ra-226, transmuta-se no gás radônio 
radioativo, Rn-222. Para modelar o fenômeno de decaimento radioativo, 
supõe-se que a taxa de 
𝑑𝐴
𝑑𝑡
 segundo a qual o núcleo de uma substância 
decai é proporcional à quantidade (mais precisamente, ao número de 
núcleos) 𝐴(𝑡) de substância remanescente no instante 𝑡: 
 
𝑑𝐴
𝑑𝑡
∝ 𝐴 𝑜𝑢 
𝑑𝐴
𝑑𝑡
= 𝑘𝐴 (6) 
Naturalmente as equações (5) e (6) são exatamente iguais; a diferença 
reside apenas na interpretação dos símbolos e nas constantes de 
proporcionalidade. Para o crescimento, conforme esperamos em (5), 
𝑘 > 0, e para o decaimento, como em (6), 𝑘 < 0. 
O modelo (5) para o crescimento também pode ser visto como a 
equação 
𝑑𝑆
𝑑𝑡
= 𝑟𝑆 , a qual descreve o crescimento do capital S quando 
uma taxa anual de juros 𝑟 é composta continuamente. O modelo (6) 
para o decaimento também ocorre em aplicações biológicas, como a 
determinação da meia vida de uma droga – o tempo necessário para 
que 50% de uma droga seja eliminada de um corpo por excreção ou 
metabolismo. Em química, o modelo de decaimento (6) aparece na 
descrição matemática de uma reação química de primeira ordem. A 
questão é que: 
 Uma única equação diferencial pode servir como um modelo 
matemático para vários fenômenos diferentes. 
 Modelos matemáticos são frequentemente acompanhados por 
determinadas condições laterais. Por exemplo, em (5) e (6), 
esperaríamos conhecer, por sua vez, a população inicial 𝑃0 e a 
quantidade inicial de substância radioativa 𝐴0. Se considerarmos 𝑡 = 0 
como instante inicial, saberemos que 𝑃 0 = 𝑃0 e 𝐴 0 = 𝐴0 . Em 
outras palavras, um modelo matemático pode consistir ou em um 
problema de valor inicial ou, como veremos posteriormente, em um 
problema de contorno. 
 
Exemplo 1 
Em uma cultura há inicialmente 𝑁0 bactérias. Uma hora depois, 𝑡 = 1, o 
número de bactérias passa a ser 
3
2
𝑁0. Se a taxa de crescimento é 
proporcional ao número de bactérias presentes, determine o tempo 
necessário para que o número de bactérias triplique. 
 Solução 
 Primeiro, resolvemos a equação diferencial 
 
𝑑𝑁
𝑑𝑡
= 𝑘𝑁, (7) 
sujeita a 𝑁 0 = 𝑁0 . Então, usamos a condição empírica 𝑁 1 =
3
2
𝑁0 
para determinar a constante de proporcionalidade k. 
Agora, (7) é separável e linear. Quando colocada na forma 
𝑑𝑁
𝑑𝑡
− 𝑘𝑁 = 0 , 
vemos, por inspeção, que o fator de integração é 𝑒−𝑘𝑡 . Multiplicando 
ambos os lados da equação por este termo, obtemos imediatamente 
𝑑
𝑑𝑡
(𝑒−𝑘𝑡𝑁) = 0 . 
 
Integrando ambos os lados desta última equação temos 
𝑒−𝑘𝑡𝑁 = 𝐶 ou 𝑁 𝑡 = 𝐶𝑒𝑘𝑡 . 
Em 𝑡 = 0, concluímos que 𝑁0 = 𝐶𝑒
0 = 𝐶; assim, 𝑁 𝑡 = 𝑁0 𝑒
𝑘𝑡 . 
Em 𝑡 = 1, temos 
3
2
𝑁0 = 𝑁0𝑒
𝑘 ou 𝑒𝑘 =
3
2
 , 
 Logo, 𝑘 = ln 
3
2
 = 0,4055 com quatro casas decimais. A 
expressão para 𝑁(𝑡) é, portanto 
𝑁 𝑡 = 𝑁0𝑒
0,4055𝑡 
Para encontrar o tempo necessário para que o número de bactérias 
triplique, resolvemos 
3𝑁0 = 𝑁0 𝑒
0,4055𝑡 
Segue-se dessa equação que 0,4055𝑡 = ln 3 e daí 
𝑡 =
ln 3 
0,4055
= 2,71 horas. 
Veja a Figura 3 
 
 
𝑁 𝑡 = 𝑁0(𝑒
𝑘)𝑡 = 𝑁0 
3
2
 
𝑡
 
pois 𝑒𝑘 =
3
2
 . Essa última solução proporciona um método conveniente 
de calcular 𝑁(𝑡) para valores pequenos inteiros de 𝑡 . Ela também 
mostra claramente a influência da observação experimental 
subseqüente em 𝑡 = 1 na solução durante todo o tempo. Notamos 
também que o número atual de bactérias presentes no instante 𝑡 = 0 
não afeta o tempo de triplicação. 
Como mostrado na Figura 4, a função exponencial 𝑒𝑘𝑡 cresce com o 
tempo quando 𝑘 > 0, e decresce quando 𝑘 < 0. Logo, problemas que 
descrevem crescimentos, como população, bactéria ou mesmo capital, 
são caracterizados por um valor positivo de 𝑘; por outro lado, 
problemas envolvendodecrescimento, como desintegração radioativa, 
conduzem a um valor negativo de 𝑘. 
 
 
 
 
 
Meia vida 
Em física, meia vida é uma medida de estabilidade de uma substância 
radioativa. A meia vida é simplesmente o tempo gasto para metade dos 
átomo de uma quantidade inicial 𝐴0 se desintegrar ou se transmutar em 
átomos de outro elemento. Quanto maior a meia vida de uma 
substância, mais estável ela é. Por exemplo, a meia vida do ultra 
radioativo rádio, Ra-226, é cerca de 1700 anos. Em 1700 anos, metade 
de uma dada quantidade de Ra-226 é transmutada em radônio, Rn-222. 
O isótopo de urânio mais comum, U-238, tem uma meia vida de 
aproximadamente 4.500.000.000 de anos. Nesse tempo, metade de uma 
quantidade de U-238 é transmutada em chumbo, Pb-206. 
 
Exemplo 2 
Um reator converte urânio 238 em isótopo de plutônio 239. Após 15 
anos, foi detectado que 0,043% da quantidade inicial 𝐴0 de plutônio se 
desintegrou. Encontre a meia vida desse isótopo, se a taxa de 
desintegração é proporcional à quantidade remanescente. 
 Solução 
 Denote por 𝐴(𝑡) a quantidade de plutônio remanescente no 
instante 𝑡. Como no exemplo 1, a solução para o problema de valor 
inicial 
𝑑𝐴
𝑑𝑡
= 𝑘𝐴 , 𝐴 0 = 𝐴0 , 
é 𝐴 𝑡 = 𝐴0𝑒
𝑘𝑡 . 
Se 0,043% dos átomos de 𝐴0 se desintegrou, então 99,957% da 
substância permaneceu. Para calcular 𝑘 , usamos 0,99957𝐴0 = 𝐴(15); 
isto é: 
0,99957𝐴0 = 𝐴0𝑒
15𝑘 . 
Resolvendo, 15𝑘 = ln 0,99957 , ou 
𝑘 =
ln 0,99957 
15
= −0,00002867 . 
Logo, 𝐴 𝑡 = 𝐴0𝑒
−0,00002867 𝑡 
Agora, a meia vida é o tempo t no qual 𝐴 𝑡 =
𝐴0
2
 . Calculando o valor de 
𝑡 nesta equação, temos 
𝐴0
2
= 𝐴0𝑒
−0,00002867 𝑡 𝑜𝑢 
1
2
= 𝑒−0,00002867 𝑡 
−0,00002867𝑡 = ln 
1
2
 = − ln 2 
𝑡 =
ln 2 
0,00002867
≈ 24,180 anos 
 
 
 
 
Exercícios 
Exercícios 
Resolver as seguintes equações diferenciais de primeira ordem: 
a) 𝑦′ − 2𝑥𝑦 = 𝑥 
b) 𝑦′ − 3𝑡2𝑦 = 𝑡2 , com 𝑦 5 = 0 
c) 3𝑦′ =
4𝑡
𝑦2
 
d) 𝑦′ =
1−𝑥
𝑦
 , com 𝑥 2 = 3 
e) 
𝑑𝑦
𝑑𝑡
=
𝑒 𝑡
𝑦
 , com 𝑦 0 = 1 
f ) 𝑦′ =
2cos ⁡(2𝑥)
3+2𝑦
 , com 𝑦 0 = −1 
g) 𝑦′ =
4𝑦
𝑥(𝑦−3)
 
h) 1 + 𝑦3 𝑑𝑦 = 𝑥2𝑦𝑑𝑥 , com 𝑥 1 = 2 
i ) 𝑥𝑒−𝑡
𝑑𝑥
𝑑𝑡
= 𝑡 , com 𝑥 0 = 1 
j ) 𝑥′ = 𝑥2(1 + 𝑦)2 
k) 𝑥2𝑒3𝑦𝑑𝑥 − 𝑦𝑥5𝑑𝑦 = 0 
l ) 
𝑑𝑦
𝑑𝑥
=
𝑥2
𝑦(1+𝑥3)
 , com 𝑦 1 = 4 
m) 𝑥𝑦𝑦′ = 𝑦 − 1 
n) 𝑒𝑥−𝑦𝑦′ = 3𝑥 , com 𝑦 1 = 1 
Resolver os seguintes problemas 
1) Sabe-se que uma cultura de bactérias cresce a uma taxa proporcional a 
quantidade presente. Após uma hora observa-se mil núcleos de bactérias na 
cultura e após 4horas, 3000 núcleos. Determine: 
a) uma expressão para o número de núcleos presentes na cultura no 
tempo arbitrário. 
b) o número de núcleos inicialmente existentes na cultura. 
 
2) Uma cultura de bactérias começa com 400 bactérias e cresce a uma taxa 
proporcional a seu tamanho. Depois de 3horas existem 6000 bactérias. 
a) Encontre uma expressão para o número de bactérias depois de t 
horas. 
b) Calcule o número de bactérias depois de 8horas. 
c) Quando essa população alcançará 25000? 
 
3) Uma cultura de bactérias começa com 500 bactérias e cresce a uma taxa 
proporcional a seu tamanho. Depois de 6 horas existem 800 bactérias. 
a) Encontre uma expressão para o número de bactérias depois de t 
horas. 
b) em quanto tempo o número de bactérias será o triplo da inicial? 
 
4) Sabe-se que a população de determinado estado cresce a uma taxa 
proporcional ao número de habitantes existentes. Se após 2 anos a população 
é o dobro da inicial e após 3 anos é de 20000, determine a população inicial. 
 
5) Certa substância radioativa decresce a uma taxa proporcional a quantidade 
presente. Observa-se que após uma hora houve uma redução de 10% da 
quantidade inicial da substância. Determine a meia-vida dessa substância. 
 
6) Muitos remédios comuns são eliminados da corrente sanguínea a uma taxa 
proporcional à quantidade y ainda presente. Se a meia-vida de um remédio na 
corrente sanguínea é de 2horas, em quanto tempo este remédio será 
totalmente eliminado da corrente sanguínea? 
 
7) Durante uma reação química, a substância A é convertida na substância B a 
uma taxa proporcional ao quadrado da quantidade A. Quando t = 0, estão 
presentes 60gramas de A; após 1hora, restam apenas 10gramas não 
convertidos de A . Qual a quantidade de A presente após 2horas? 
 
8) Na preservação de comida, o açúcar extraído da cana é transformado em 
dois açúcares mais simples: glicose e frutose. Em soluções diluídas, a taxa de 
transformação é proporcional à concentração y(t) de açúcar original. Se a 
concentração é quando e depois de 3horas, encontre a concentração de açúcar 
original depois de 6 e depois de 12 horas. 
 
9) Sabendo que o rádio se decompõe numa razão proporcional à quantidade 
existente e que a metade da porção original desaparece em 1600 anos, 
calcular a porcentagem perdida em 100 anos. 
10) Um ferro é colocado em um forno a 200ºC e aquece de acordo com a 
equação diferencial , onde k é positivo. 
a) Se o ferro está a 20ºC quando é colocado no forno, resolver a equação 
diferencial. 
b) Determinar k usando o fato de que após 30minutos a temperatura do 
ferro é 120ºC. 
 
11) Sabe-se que certa substância radioativa diminui a uma taxa proporcional à 
quantidade presente. Se, inicialmente, a quantidade de material é de 50 
miligramas, e se se observa que, após duas horas, perderam-se 10% da massa 
original, determine; 
a) a expressão para a massa de substância restante em um tempo 
arbitrário t; 
b) a massa restante após 4 horas; 
c) o tempo necessário para que a massa inicial fique reduzida à metade. 
 
12) A capacidade limite da região onde vive determinado rebanho selvagem é 
L. A taxa de crescimento dN/dt do rebanho é proporcional à oportunidade de 
crescimento não-utilizada, como descrito pela equação diferencial . Suponha 
que 100 animais são soltos em um pedaço de terra que pode sustentar 750 
desses animais. Depois de 2 anos, o rebanho tem 160 cabeças. Encontrar a 
função que dá a população em termos do tempo t medido em anos e a 
população do rebanho após 4 anos. 
13) O saldo A de um investimento P cresce a uma taxa proporcional a A em 
qualquer instante de tempo t. 
a) Encontrar A em função de t. 
b) Se o investimento inicial é de R$1000,00 e a taxa é de 11%, encontrar 
o saldo após 10 anos. 
c) Encontrar o tempo necessário para dobrar o investimento se a taxa é 
de 11% ao ano. 
 
14) Uma certa pessoa tem uma quantia que aumenta a uma taxa proporcional 
ao quadrado de seu capital atual. Se ela tinha mil reais há um ano atrás e tem 
dois mil reais atualmente, quanto ela terá daqui a seis meses?