201632 184715 Apostila Calculo II

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Cálculo II
Estudo da Integral
CAPÍTULO 1
FUNÇÕES
Definição:
	Considere dois conjuntos: o conjunto A com elementos x e o conjunto B com elementos y. Diz-se que temos uma função de A em B (f: A ( B) quando existe uma relação entre os elementos desses dois conjuntos tais que para cada elemento de A há um, e apenas um, correspondente em B.
Seja f: A ( B, y = f(x) uma função. Nesse esquema, A é o conjunto domínio da função, ou seja, o conjunto que contém todos os elementos x para os quais a função é definida; B é o contra-domínio da função, ou seja, o conjunto que contém os elementos y que podem estar relacionados aos elementos x; e y = f(x) é a lei da função, ou seja, a regra que associa os elementos x e y.
	Considere os conjuntos A = {1, 2, 3} e B = {0, 1, 2, 3, 4} e a função f: A ( B, y = x + 1. Essa função pode ser representada como no esquema abaixo:
	Nesse caso, D(f) = {1, 2, 3}, Im(f) = {2, 3, 4} e CD(f) = {0, 1, 2, 3, 4}.
	É comum expressarmos uma função somente por sua lei, como por exemplo, 
. Num caso assim, subentende-se que o domínio de f é o maior conjunto possível. Para essa função temos D(f) = [1, +∞).
Classificação de funções:
	Uma função pode ser classificada em injetora (injetiva), sobrejetora (sobrejetiva) ou bijetora (bijetiva).
Função injetora (ou injetiva)
	É a função na qual dois elementos diferentes no domínio correspondem sempre a elementos diferentes no contra-domínio.
Função sobrejetora (ou sobrejetiva)
	É a função na qual o contra-domínio é igual à imagem, ou seja, cada elemento do contra-domínio é correspondido por ao menos um elemento do domínio.
Função bijetora (ou bijetiva)
	É a função injetora e sobrejetora ao mesmo tempo, ou seja, cada elemento do domínio corresponde a um único elemento do contra-domínio e vice versa. Esse tipo de função é conhecida como função um a um.
	Observe os diagramas abaixo que simbolizam funções de A em B.
 Função injetora e não-sobrejetora Função sobrejetora e não-injetora	 Função bijetora
	Graficamente é fácil de perceber quando uma função f é ou não injetora, através do teste da reta horizontal. Se for traçada uma reta horizontal e esta interceptar o gráfico de f mais de uma vez, então a função não é injetora (e, portanto, também não é bijetora).
Exemplo de uma função não-injetora:
Função inversa
	Seja f uma função de A em B injetora. Isto significa que a cada y pertencente a imagem de f, existe em correspondência um único elemento x de A tal que 
. A função que faz essa correspondência chama-se função inversa de f e é designada por 
. Temos então que se 
, então 
. Valem, portanto, as igualdades:
, para todo y no domínio de 
 e 
, para todo x no domínio de 
 
Em outras palavras, 
 desfaz o que f faz, pois f leva x até y, enquanto que 
 leva y até x. Quando estas duas funções forem compostas em qualquer ordem, uma cancela o efeito da outra.
Obs.:
Se f é crescente (ou decrescente) em todo o seu domínio, então essa função é injetora.
O domínio de 
 é a imagem de f e a imagem de 
 é o domínio de f.
As representações gráficas de f e 
 são simétricas à reta y = x.
A notação 
 tem significado diferente de 
.
Exemplos:
Determine a função inversa 
 da função 
 e faça a representação gráfica de ambas. Em seguida faça o gráfico da reta y = x e verifique a simetria de f e 
.
Considere a função 
. Determine uma restrição para o domínio da função f para que exista a função inversa 
 e determine sua lei. Em seguida faça o gráfico de ambas as funções.
Encontre uma fórmula para a inversa de 
 e dê o domínio de 
.
Funções trigonométricas inversas
	Observe o gráfico da função 
. Perceba que essa função não é injetora e, portanto, não tem inversa. Assim, para definir funções trigonométricas inversas, primeiro temos que restringir os domínios para torná-las injetoras.
	Assim, a função 
, cujo gráfico é mostrado abaixo, admite inversa.
	A função inversa do seno, denotada por 
 ou 
, define-se como 
 se, e somente se, 
 para 
 e 
. O gráfico da função 
 é mostrado abaixo.
	Como sen(x) e arcsen(x) são funções inversas, valem as seguintes propriedades:
sen (arcsen x) = x se 
arcsen (sen x)= x se 
A função inversa do cosseno, denotada por arccos x, define-se como 
 se, e somente se, 
 para 
 e 
. Abaixo o gráfico da função cosseno (com sua restrição de domínio) e em seguida o gráfico de y = arccos (x).
	Como cos (x) e arccos (x) são funções inversas, valem as seguintes propriedades:
cos (arccos x) = x se 
arccos (cos x)= x se 
A função inversa da tangente, denotada por arctg x, define-se como 
 se e somente se 
 para todo x e 
. Abaixo o gráfico da função tangente (com sua restrição de domínio) e em seguida o gráfico de y = arctg (x).
	Tal como as funções arcsen (x) e arccos (x), temos:
tg (arctg x) = x para todo x
arctg (tg x) = x se 
Derivadas das funções trigonométricas inversas
�
�
Exemplos:
Ache 
 se 
.
Se 
, determine 
 Se 
, determine 
.
Ache 
 se 
.
Ache 
 se 
.
Se 
, determine 
.
EXERCÍCIOS:
Lista 1: Funções inversas
Verifique se os pares de funções abaixo são uma a inversa da outra.
 e 
 e 
 e 
 
 e 
Determine quais das funções abaixo são injetoras.
Verifique se a função 
 definida pela tabela é injetora.
a)
	x
	1
	2
	3
	4
	5
	6
	f(x)
	-2
	-1
	0
	1
	2
	3
b)
	x
	1
	2
	3
	4
	5
	6
	f(x)
	4
	-7
	6
	-3
	1
	4
(a) A figura abaixo mostra o gráfico de uma função 
 sobre seu domínio 
. Explique por que 
 tem uma inversa e use seu gráfico para encontrar 
, 
 e 
.
(b) Encontre o domínio e a imagem de 
.
(c) Esboce o gráfico de 
.
Encontre uma fórmula para 
 em cada função abaixo:
, para 
Encontre uma fórmula para 
 e dê o domínio de 
.
, para 
, para 
, para 
Encontre 
.
RESPOSTAS:
1.a) SIM
	b) NÃO
	c) SIM
	d) SIM
2.a) SIM
	b) SIM
	c) NÃO
	d) SIM
	e) NÃO
	f) NÃO
3.a) SIM
	b) NÃO
4.a) O gráfico tem inversa porque a função é injetora e 
, 
 e 
.
	b) 
 e 
	c) 
	
5.a) 
	b) 
	c) 
	d) 
6.a) 
, para 
	b) 
, para 
	c) 
, para 
	d) 
, para 
7.a) 
	b) 
	c) 
	d) 
	e) 
	f) 
CAPÍTULO 2
FUNÇÕES EXPONENCIAL
Revisão de potência
�
23 =
(-4)2 =
-32 =
71 =
�
Propriedades
Multiplicação de potências de mesma base:
53 . 57 =
34 . 35 =
Propriedade: Na multiplicação de potências de mesma base, __________________________
_______________________________________________________________________
Divisão de potências de mesma base:
57 ( 53 =
610 ( 65 =
Propriedade: Na divisão de potências de mesma base, _______________________________
_______________________________________________________________________
Potência da potência:
(23)2 =
(32)4 =
Propriedade: Quando ocorrer potência de potência, ________________________________
_______________________________________________________________________
Potências com expoentes inteiros e racionais
�
30 =
4-2 =
3-3 =
(-2)-4 =
=
 =
=
�
Função exponencial
Considere o seguinte problema:
Uma colônia inicialmente com cerca de 1200 bactérias é cultivada e apontamentos indicam que sua população dobra a cada hora. Sendo assim, complete a tabela abaixo com o número de bactérias previsto levando em conta que haverá espaço e alimento suficientes.
	tempo (em horas)
	0
	1
	2
	3
	4
	...
	10
	t
	População (P)Funções com esse tipo de característica são classificadas como exponencial. Sendo mais rigoroso, uma função f: ( �, tal que 
, em que b > 0 e b ≠ 1 é denominada função exponencial de base b.
	São exemplos de funções desse tipo 
, 
 e 
.
Gráfico de uma função exponencial
Exemplo:
Construa o gráfico das funções 
 e 
.
A função exponencial natural
A função exponencial mais importante para a modelagem de fenômenos naturais, físicos e econômicos é a função exponencial natural, cuja base é o número especial e (número de Euler). Esse número é irracional e seu valor é de aproximadamente 2,718281828 para nove casas decimais.
	As funções exponenciais do tipo 
, onde k é uma constante diferente de zero, são frequentemente usadas como modelos de crescimento ou decaimento exponencial. Além disso, a função 
 tem uma particularidade interessante: qualquer reta tangente tem sempre a inclinação da ordenada (y) do ponto de tangência.
Número de Euler
	Usando sua calculadora, verifique que 
.
Complete a tabela abaixo:
	
	
	
	1
	
	
	10
	
	
	100
	
	
	1000
	
	
	10.000
	
	
	100.000
	
	
	1.000.000
	
	
Portanto, o número de Euler, representado pela letra e, é dado por 
. Esse limite é equivalente a 
.
Logaritmos
	Dado um número a, positivo e diferente de 1, e um número b, positivo, se a x = b, dizemos que o expoente x é o logaritmo de a na base b. Indicamos por loga b e lemos logaritmo de a na base b.
	Se x = logb a , dizemos que:
		b é a base do logaritmo (b > 0 e b ( 1)
		a é o logaritmando ou antilogaritmo (a > 0)
		x é o logaritmo
Exemplos:
Determine os logaritmos pedidos:
a) 
b) 
c) 
Sistemas de logaritmos
	Chamamos de sistemas de logaritmos de base b o conjunto formado pelos logaritmos, nesta base, de todos os números reais positivos. Dois sistemas são mais usados:
Sistemas de logaritmos decimais:
	É o sistema de logaritmos de base 10. Estes logaritmos também são chamados logaritmos comuns, ou de Briggs (Henry Briggs, 1561-1630, matemático inglês). O logaritmo decimal de um número é indicado por log x (ficando implícito que a base é 10).
Exemplo:
Utilize a calculadora e determine os logaritmos pedidos abaixo:
 log 10 =
 log 2 =
 log 5 =
Sistemas de logaritmos naturais:
	É o sistema de logaritmos cuja base é o número de Euler (Leonhard Euler, 1707-1783), visto anteriormente, representado por e. Indica-se um logaritmo desse sistema por n x.
Exemplo:
Utilize a calculadora e determine os logaritmos pedidos abaixo:
 ln 10 =
 ln 2 =
 ln e =
Propriedades operatórias
�
Logaritmo do produto
 
Logaritmo da divisão
Logaritmo da potência
Mudança de base
�
Função inversa
Teorema: Se b > 0 e b ≠ 1, então 
 e 
 são funções inversas.
Prova: Se 
, para determinarmos a inversa fazemos 
. Ora, 
 é equivalente a 
. Portanto, 
 é inversa de 
.
Gráfico da função logarítmica
	O padrão de crescimento de 
 e 
 são bem distintos. Ambas as funções crescem sem cota, mas 
 cresce muito rápido enquanto o crescimento de
 é muito lento. Para ter uma ideia, para 
, 
 supera 22000 enquanto 
 não atinge nem 7. Abaixo o gráfico da função 
.
	
	Use a malha abaixo e construa o gráfico de 
 e 
.
Derivadas de funções logarítmicas
	Lembremos como obtemos a derivada de uma função pela definição:
	Para calcular a derivada de 
, fazemos então:
 EMBED Equation.3 ��
 EMBED Equation.3 ��
 EMBED Equation.3 ��
 EMBED Equation.3 ��
 EMBED Equation.3 ��
 EMBED Equation.3 ��
	Além disso, para logaritmo em outra base temos:
 EMBED Equation.3 ��
	Se u é uma função diferenciável de x e se 
, então:
Exemplos:
Se 
, determine 
Se 
, determine 
.
Determine 
.
Se 
, determine 
.
Teorema: Diferenciabilidade da função inversa
	Suponha que o domínio de uma função f seja um intervalo aberto I e que f seja diferenciável e injetora nesse intervalo. Então 
 é diferenciável em qualquer ponto da imagem de f no qual 
 e sua derivada é:
Exemplo:
Encontre a derivada da inversa de f(x) = x2.
Derivadas das Funções Exponenciais
	As funções 
 e 
 são funções inversas. Além disso, 
. Pela fórmula da derivada da inversa, tomando 
 e 
, temos:
	
	Em particular, 
Se u é uma função diferenciável de x, então:
			2) 
Exemplos:
Se 
, determine 
.
Se 
 determine 
.
Determine 
.
Quando se dá um fármaco a um paciente, a droga entra na corrente sanguínea. Ao passar pelo fígado e rins, é metabolizada e eliminada a uma taxa que depende da droga. Uma dose típica de Ampicilina é de 250mg. Seja 
 a quantidade de Ampicilina, em mg, na corrente sanguínea, t horas desde que a droga foi dada. A partir disso, pede-se:
Após 4 horas, qual é a quantidade de Ampicilina no organismo ?
Após 4 horas, com que velocidade o remédio está sendo eliminado do organismo?
A expressão que modela o decaimento do antibiótico Axetil Cefuroxina no organismo é 
, em que C é a quantidade do medicamento, em mg, e t representa o tempo após a ingestão, em horas.
Após 1 hora, com que rapidez o antibiótico está sendo eliminado do organismo?
Após quanto tempo a quantidade de antibiótico no organismo estará em 20% da quantidade inicialmente ingerida?
O modelo Count é uma fórmula empírica usada para predizer a altura de uma criança em idade pré-escolar. Se A(t) denota a altura (em centímetros) na idade t (em anos) para 
, então A(t) pode ser aproximada por A(t) = 70,228 + 5,104t + 9,222 ln t.
Qual a altura esperada para uma criança de 2 anos, segundo essa lei?
Com que rapidez uma criança de 3 anos está crescendo, segundo essa lei?
EXERCÍCIOS:
Lista 2: Funções exponenciais e logarítmicas
Encontre 
.
Encontre 
.
A função 
 indica o número de bactérias existentes em um recipiente, em que t é o número de horas decorridas. 
Depois de quantas horas haverá 5000 bactérias na colônia?
Após 2h, com que rapidez a cultura estará crescendo?
Uma substância que se desintegra ao longo do tempo tem sua quantidade, após t anos, dada por 
, onde M0 representa a quantidade inicial. Qual é a meia-vida dessa substância?
Obs.: Meia-vida é o tempo necessário para a massa da substância se reduzir pela metade.
Um biólogo constatou que o crescimento da população de drosófilas com um suprimento limitado de alimentos poderia ser aproximado pelo modelo exponencial
	onde t denota o número de dias transcorridos desde o começo do experimento. Após quanto tempo a população será de 100 drosófilas? 
A expressão que modela o comprimento (em cm) de um peixe típico do Pacífico com t anos de idade é de aproximadamente 
.
Após quanto tempo esse peixe atinge 180cm?
Após 5 anos, com que rapidez esse peixe está crescendo?
Resolva as equações abaixo:
Respostas:
1.(a) 
(b) 
(c) 
(d) 
(e) 
(f) 
(g) 
(h) 
(i) 
(j) 
(k) 
(l) 
(m) 
(n) 
(o) 
2.	(a) 
(b) 
(c) 
(d) 
(e) 
(f) 
(g) 
3. 	(a) 11h 36min
	(b) 182,9 bactérias/hora
4) 2060 anos
5) 16 dias
6. 	(a) 12,5 anos
	(b) 14 cm/ano
7.	(a) -0,797
	(b) 0,618
	(c) 5
CAPÍTULO 3
FORMAS INDETERMINADAS
	Quando calculamos limites por vezes chegamos a algumas situações que chamamos de indeterminação. Paraexemplificar, considere o limite abaixo:
	Perceba que quando quando x se aproxima de 1, tanto numerador como denominador se aproximam de zero, gerando uma indeterminação que chamamos do tipo 
. Nesse capítulo estudaremos essas indeterminações e técnicas para obter resultados a partir delas.
	São indeterminações matemáticas os seguintes resultados que aparecem no cálculo de limites:
 ; 
 ; 
 ; 
 ; 
 ; 
 ; 
Regra de L’Hôpital
TEOREMA:
Suponha que f e g sejam funções diferenciáveis em um intervalo aberto que contenha x = a exceto, possivelmente, em x = a, e que:
 e 
 e 
Se existe 
 ou se esse limite é 
, então:
Obs.: Válido também para 
, 
, 
 ou 
.
Exemplos:
Outras formas indeterminadas
	Discutimos até agora apenas as formas indeterminadas do tipo 
 e 
. Vamos analisar outras formas de indeterminação, como 
 ; 
 ; 
 ; 
 ; 
. É importante salientar que essas expressões são resultados de limites envolvendo duas funções. 
	Por exemplo, o limite 
 corresponde ao que chamamos de forma indeterminada 
, pois ao mesmo tempo que o primeiro fator influencia o resultado do limite para zero, o segundo fator “puxa” o resultado para -(.
	Para determinar o resultado desse limite, fazemos uso de algumas manipulações algébricas.
Vamos resolver dois exemplos:
1)
2) 
Exemplos de indeterminações do tipo 
3) 
4) 
5) 
EXERCÍCIOS:
Lista 3: Formas indeterminadas 
Encontre o limite:
�
�
Encontre o erro:
Respostas:
1.a) 1
	b) 1
	c) -1
	d) 0
	e) -(
	f) 0
	g) 2
	h) 0
	i) (
	j) 
	k) 
CAPÍTULO 4
ANTIDERIVADAS
	Uma função F(x) é chamada antiderivada (ou primitiva) da função f(x) se para todo x do domínio da função f, 
Exemplos:
Se f(x) = 2x, determine a primitiva da função f.
Se f(x) = x2, determine a primitiva da função f.
Se f(x) = cos x, determine a primitiva da função f.
Se f(x) = x7 + sen x, determine a primitiva da função f.
Estabeleça uma expressão para a primitiva de f(x) = xn.
Integral indefinida
	O processo de determinar antiderivadas é chamado de antiderivação (antidiferenciação) ou integração.
Notação:
	Se F(x) é tal que F’(x) = f(x), então 
, onde C é a constante de integração e dx nos indica a variável de integração.
	Por exemplo, 
 e, por consequência, 
.
	A expressão 
 é denominada integral indefinida.
	Através da fórmula da derivada temos condições de estabelecer a fórmula de integração. Veja alguns exemplos:
	
	(	
	
	(	
	(	
	(	
Observação:
Propriedades da integral indefinida
Exemplos:
Tabela de integrais
�
 
	
 
�
Exemplos:
Integral por substituição
	Vamos exemplificar a integração usando a técnica da substituição a partir do exemplo abaixo:
Mais exemplos:
Consequências do exemplo (12):
Exemplo:
Substituição trigonométrica
Exemplos:
EXERCÍCIOS:
Lista 4: Integrais indefinidas 
Determine as integrais pedidas:
�
�
Respostas:
a) 
b) 
c) 
d) 
e) 
f) 
g) 
h) 
i) 
j) 
k) 
l) 
m) 
Lista 5: Integral por substituição 
Determine as integrais pedidas:
�
a)
b) 
c) 
d) 
a) 
b) 
c) 
d) 
a) 
b) 
c) 
d) 
�
�
�
Respostas:
�
a) 
b) 
c) 
d) 
a)
b) 
c) 
d) 
a) 
b) 
c) 
d) 
�
�
�
CAPÍTULO 5
INTEGRAL DEFINIDA
Problema geral da área
	Muitos povos antigos sabiam como calcular a área de polígonos através de fórmulas ou pelo processo de decomposição. Contudo, os matemáticos tinham muitas dificuldades para determinar áreas em regiões com contornos curvos.
	Foi o grego Arquimedes que trouxe avanços na determinação dessas regiões, num procedimento que ficou conhecido como método da exaustão.
	As figuras abaixo dão uma idéia clara do processo. Com o objetivo de determinar a área do círculo, criaram-se polígonos regulares inscritos ao círculo com quantidade de lados cada vez maior. Pode-se visualizar que a área do círculo vai sendo exaurida à medida que aumentamos o número de lados. Para um número suficientemente grande lados, temos uma aproximação boa para a região interna do círculo.
	Sabe-se, hoje, que a área de um círculo é 
. A tabela abaixo, mostra a área de um polígono de n lados inscrito num círculo de raio 1. Observe que à medida que o número de lados aumenta, a área se aproxima cada vez mais do valor do ( (( = 3,14159265358979...)
	n
	A(n)
	100
	3,13952597
	200
	3,14107591
	300
	3,14136298
	500
	3,14150997
	1.000
	3,14157198
	10.000
	3,14159245
O problema da área
	Dada uma função f contínua e não negativa em um intervalo [a, b], encontre a área da região gerada entre o gráfico de f e o intervalo {a, b] no eixo x.
Método dos retângulos 
	Uma abordagem ao problema da área, utilizando a ideia da exasutão de Arquimides é a utilização de retângulos na determinação da região abaixo da função f. Considere as seguintes ações:
Divida o intervalo [a, b] em n subintervalos iguais e em cada um deles construir um retângulo que se estende desde o eixo x até algum ponto y = f(x) acima do subintervalo.
Para cada n, a área total dos retângulos pode ser vista como um aproximação da área exata sob a curva acima do intervalo [a, b]. É facilmente percebido que à medida qua n cresce as aproximações ficam cada vez melhores. Portanto, se A é a área exata sob a curva e An é a aproximação da área usando n retângulos, então:
Se subdividimos o intervalo [a, b] em n subintervalos iguais, então temos que a medida da base de cada retângulo será 
. Construindo os retângulos de tal modo que 
 seja a altura do retângulo no 1º subintervalo, 
 seja a altura do retângulo no 2º subintervalo, e assim por diante, até que 
 seja a altura do retângulo no n-ésimo subintervalo, então temos os retângulos com áreas equivalentes a 
, 
, 
, 
.
A união dos n retângulos forma uma região Rn que pode ser considerada como uma aproximação da área A da região R, ou seja:
	Tal notação pode ser representada mais adequadamente por um somatório, a saber:
	É possível que não seja seja conveniente subdividir a região abaixo da curva que desejamos calcular a área em retângulos de mesmo comprimento. Consideremos que, nesse caso, uma das partições seja maior ou igual a outra, como sugere a figura abaixo:
 A soma das áreas dos n retângulos, que representamos por Sn, é dada por:
An = f(c1)(x1 + f(c2)(x2 + ... + f(cn)(xn = 
		Esta soma é chamada soma de Riemann da função f(x).Podemos observar que a medida que n cresce muito e cada (xi , i = 1, 2, ..., n, torna-se muito pequeno, a soma das áreas retangulares aproxima-se do que intuitivamente entendemos como área de A.
		Portanto, se y = f(x) é uma função contínua, não-negativa em [a,b], a área sob a curva y = f(x), de a até b, é definida por
		onde para cada i = 1, 2, ..., n, ci é um ponto arbitrário do intervalo [xi –1, xi].
Integral Definida
		A integral definida está associada ao limite da definição acima. Ela nasceu com a formalização matemática dos problemas de áreas.
		Se f está definida em um intervalo fechado [a,b] e o limite de uma soma de Riemann de f existe, dizemos que f é integrável em [a,b] e denotamos o limite por
		O limite é a integral definida de f de a até b. O número a é o limite inferior de integração e b é o limite superior.
		É importante observar que integrais definidas e integrais indefinidas são coisas diferentes. Uma integral definida é um número, enquanto uma integral indefinida é uma função ou uma família de funções.
		Uma condição suficiente para que f seja integrável em [a,b] é dada no teorema abaixo.
Teorema:
Se uma função f é contínua em um intervalo fechado [a,b], então f é integrável em [a,b].
Propriedades da Integral Definida
Se f é integrável nos três intervalos determinados por a, b e c , então: 
Se f e g são integráveis em [a,b] e k é uma constante, então as seguintes propriedades são verdadeiras:
(a) 
 (b) 
Se f e g são contínuas no intervalo [a,b] e 
 para 
, então as seguintes propriedades são verdadeiras:
(a) 
 (b) 
Teorema Fundamental do Cálculo
		Seja f uma função contínua e não negativa em um intervalo [a, b]. Nesse caso, a área A sob o gráfico de f e acima do intervalo [a, b] é representada por:
Sabemos que:
	A área sob a curva de a até a é a área acima de um único ponto e, portanto, é zero.
	A área sob a curva de a até b é A.
		
Teorema: Se f for contínua em [a, b] e F for uma antiderivada de f em [a, b], então:
		Temos agora uma maneira de calcular a integral definida desde que possamos encontrar uma antiderivada de f. 
		Ao aplicar este teorema, a notação 
 é bastante útil.
		Finalmente, observamos que a constante de integração C pode ser retirada da antiderivada, já que
Exemplos:
Determine a área da região abaixo através do conceito de integral definida. Após, compare com o valor da área obtida através das fórmulas de geometria.
Calcule 
 e 
.
Determine 
Calcular a área da região limitada pelas curvas:
	
Calcule a área da região compreendida entre as curvas 
 e 
.
Calcule 
.
Determine a área total entre a curva 
 e o eixo x sobre o intervalo [0, 2].
EXERCÍCIOS:
Lista 6: Integral definida
Esboce a região cuja área com sinal é representada pela integral definida e calcule a integral usando uma fórmula apropriada de Geometria onde for necessário.
(a) 
					(b) 
	
(c) 
					(d) 
Em cada parte, calcule a integral, sabendo que 
.
Obtenha 
 se 
 e 
.
Determine:
Calcule as integrais definidas:
Encontre a área abaixo da curva 
 e acima do intervalo [0, 3]. Faça um esboço da região.
Encontre a área abaixo da curva 
 e acima do intervalo [0, 2(/3]. Faça um esboço da região.
Esboce a curva e encontre a área total entre a curva e o intervalo dado do eixo x.
	[0, 2]
	[-1, 1]
Respostas:
(a)
	(b)
	(c)
	(d)
(e)
2.	(a) 4
	(b) 6
	(c) 10
	(d) 18
3. 
 = -1
4.	(a) -4
	(b) 
5.	(a) 48
	(b) 3
	(c) 
	(d) 0
	(e) 
	(f) 
	(g) 
	(h) 
	(i) -12
	(j) 
6.
7.
8.	(a)
	(b)
CAPÍTULO 6
ÁREA ENTRE CURVAS
Vamos iniciar esse capítulo determinando novamente a área da região compreendida entre as curvas 
 e 
.
1ª Fórmula para área:
	Se f e g forem funções contínuas no intervalo [a, b] e se 
 para todo x em [a, b], então a área da região limitada acima por y = f(x), abaixo por y = g(x), à esquerda pela reta x = a e à direita por x = b é
Graficamente, temos:
Exemplo:
Encontre a área da região englobada por 
 e 
.
2ª Fórmula para área:
	Se w e v forem funções contínuas e 
 para todo y em [c, d], então a área da região limitada à esquerda por x = v(y), à direita por x = w(y), acima por y = d e abaixo por y = c é
Graficamente, temos:
Revertendo os papéis de x e y
	Em algums situações é possível evitar a divisão da região em partes integrando-se em relação a y ao invés de x. Observe o exemplo:
Encontre a área da região englobada por 
 e 
, integrando em relação a y.
Exemplos:
Encontre a área entre as curvas 
 e 
.
Encontre a área da região sombreada considerando as curvas 
 e 
.
EXERCÍCIOS:
Lista 7: Área entre curvas
Encontre a área da região sombreada:
Encontre a área da região englobada pelas curvas 
e 
 integrando (a) em relação ao eixo x e (b) em relação ao eixo y.
Esboce a região englobada pelas curvas e encontre a área:
 
, 
, 
, 
 
, 
, 
, 
, 
, 
, 
 
, 
, 
, 
, 
Respostas:
4,5
1
32/3
(a)							(b) 
	(c)							(d) 
		
(e) 
CAPÍTULO 7
VOLUME
1º caso: Discos
Vamos considerar a função f(x) abaixo. Consideremos agora o volume do sólido gerado pela rotação da região R em torno do eixo x.
	Podemos resolver esse problema por fatiamento. O volume do disco fatiado na figura é dado por 
. Portanto, o volume do sólido é dado por:
Exemplo:
Determine o volume do sólido obtido quando a região sob a curva 
 no intervalo [1, 4] é girada em torno do eixo x.
2º caso: Arruelas
		Nesse caso, o volume do sólido vazado é dado por:
Exemplo:
Encontre o volume do sólido gerado quando a região entre os gráficos de 
 e 
 que está acima do intervalo [0, 2] é girada em torno do eixo x.
	
Encontre o volume do sólido gerado quando a região limitada por 
, 
 e 
 é girada em torno de eixo y.
Encontre o volume do sólido gerado quando a região limitada por 
, 
 e 
 gira em torno do eixo x.
EXERCÍCIOS:
Lista 8: Volumes
Encontre o volume do sólido que resulta quando a região sombreada gira em torno do eixo x.
Encontre o volume do sólido que resulta quando a região sombreada gira em torno do eixo y.
Encontre o volume do sólido que resulta quando a região delimitada pelas curvas dadas gira em torno do eixo x.
, x = (/4, x = (/2, y = 0
, y = 3
, x = y/4
, y = 0, x = 0, x = ln 3
, x = –2, x = 2, y = 0
Encontre o volume do sólido que resulta quando a região delimitada pelas curvas dadas gira em torno do eixo y.
, x = 0, y = 3
, y = (/4, y = 3(/4, x = 0
, 
, x = 0, y = 0, y = 1
Encontre o volume do sólido gerado quando a região delimitada por 
, 
 e 
 gira em torno do eixo x.
Respostas:
(a) 
(b) 
	(d) 
(a) 
(b) 
(c) 
(d) 
CAPÍTULO 8
INTEGRAÇÃO POR PARTES
	O objetivo é resolver integrais do tipo 
, em que as funções não são a derivada uma da outra.
Temos:
	
Integrando em ambos os lados, temos:Segue que:
	
Exemplos:
Determine as integrais obtidas abaixo:
 
	Existe uma outra estratégia útil para escolher u e dv, que pode ser aplicada quando o integrando é um produto de duas funções de categorias distintas.
L I A T E
Logarítmica – Inversa trigonométrica – Algébrica – Trigonométrica – Exponencial
Funções hiperbólicas
	Certas combinações de ex e e-x são denominadas de funções hiperbólicas. Tais funções têm muitas propriedades em comum com as funções trigonométricas.
Definição de funções hiperbólicas
Seno hiperbólico:		
Cosseno hiperbólico:		
Tangente hiperbólica:		
Cossecante hiperbólica:	
Secante hiperbólica:		
Cotangente hiperbólica:	
Exemplo:
Determine a derivada e a integral de seno, cosseno e tangente hiperbólicos.
EXERCÍCIOS:
Lista 9: Integral por partes
Calcule a integral:
�
�
(a) Encontre a área da região determinada por 
, a reta 
 e o eixo x.
(b) Encontre o volume do sólido gerado quando a região do item (a) gira em torno do eixo x.
Encontre o volume do sólido gerado quando a região entre 
 e 
 para 
 gira em torno do eixo y.
Respostas:
(a) 
(b) 
(c) 
(d) 
(e) 
(f) 
(g) 
(h) 
(i) 
(a) A = 1
(b) 
CAPÍTULO 9
INTEGRAÇÃO DE FUNÇÕES RACIONAIS POR FRAÇÕES PARCIAIS
Função racional
Em matemática, uma função racional é uma razão de polinômios. Para uma simples variável x, uma típica função racional é:
	Em alguns casos, a integração de uma função racional envolve manipulações nas funções que a compõem. Observe:
Portanto:
Como proceder:
Então:
1º caso: O denominador apresenta somente fatores de 1º grau e sem repetição.
Exemplo:
2º caso: O denominador apresenta somente fatores de 1º grau, mas há fatores que se repetem.
Exemplo:
3º caso: O denominador apresenta fatores de 2º grau sem possibilidades de decomposição e sem repetição.
Exemplo:
Função racional imprópria
		Uma função é dita imprópria se o grau do numerador for maior que o grau do denominador. Para poder ser utilizado o método das frações parciais nesse caso é preciso antes fazer a divisão e expressar a resposta como o quociente mais o resto sobre o divisor.
Exemplo:
	Em alguns casos uma manipulação algébrica simplifica o cálculo da integral. Veja:
Exemplos:
EXERCÍCIOS:
Lista 10: Frações parciais
1) Calcule a integral:
Respostas:
(a) 
(b) 
(c) 
(d) 
(e) 
(f) 
(g) 
(h) 
(i) 
CAPÍTULO 10
INTEGRAIS IMPRÓPRIAS
	Na definição de integral definida 
, supõe-se que o intervalo [a, b] seja finito. Além disso, o Teorema Fundamental do Cálculo, que usamos para calcular integrais definidas, é válido para funções contínuas em [a, b].
	Nosso objetivo principal nesse capítulo é ampliar o conceito de integral definida para permitir intervalos infinitos de integração e integrandos com assíntotas verticais (descontinuidades infinitas) dentro dos imites de integração. Essas integrais serão chamadas de integrais impróprias.
Exemplos:
Integrais impróprias com intervalos de integração infinitos
	 ou	
Integrais impróprias com descontinuidades infinitas no intervalo de integração
	 ou	
Integrais impróprias com limites de integração infinitos
Vamos calcular a integral abaixo e fazer algumas considerações:
	Tomando o limite quando 
, temos
Podemos interpretar essa integral como a área da região ilimitada entre o gráfico de 
 e o eixo x (à direita de x = 1).
Definição de integrais impróprias com limites de integração infinitos
Se f é contínua no intervalo [a, (), então 
Se f é contínua no intervalo (-(, b], então 
Se f é contínua no intervalo (-(,+(), então 
Em cada caso, se existir o limite dizemos que a integral imprópria converge, caso contrário dizemos que a integral imprópria diverge. No caso (3), se uma das integrais à direita diverge, então a integral da esquerda também diverge.
Exemplos:
Calcule as integrais impróprias:
O sólido formado pela rotação da região limitada entre o gráfico de 
 e o eixo dos x 
 é chamado de Trombeta de Gabriel. Determine o volume desse sólido.
EXERCÍCIOS:
Lista 11:Integrais impróprias
Calcule as integrais que convirjam.
Respostas:
0,5
ln 2
0,5
-0,25
1/3
Divergente
0
logb a = x ( b x = a 
Propriedade operatória dos logaritmos.
Fazendo h/x = v, temos h = vx. Além disso, se h tende a zero, v = h/x também tende a zero.
Como x é fixo nesse cálculo (não varia), podemos removê-lo através do limite.
Propriedade operatória dos logaritmos.
Como ln(x) é uma função contínua,podemos mover o limite através do símbolo da função.
� EMBED Equation.3 ���
� EMBED Equation.3 ���
�
�
 u dv
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