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Lista - 2 - F´ısica Mecaˆnica-A - Introduc¸a˜o ao Movimento Unidimensional
Prof. Dr. Vilarbo Kerschner da Silva Ju´nior
(1) Um mo´vel percorre uma distancia de 1200 m em 4 min. Qual a sua velocidade escalar
me´dia em m/s?
(2) Uma part´ıcula percorre 30 m com velocidade escalar me´dia de 36 km/h. Em quanto
tempo faz este percurso?
(3) Um percurso de 310 km deve ser feito por um oˆnibus em 5 h. O primeiro trecho de
100 km e´ percorrido com velocidade constante de 50 km/h, e o segundo trecho de 90 km,
com velocidade constante de 60 km/h. Que velocidade escalar media deve ter o oˆnibus no
trecho restante para que a viagem se efetue no tempo previsto?
(4) A velocidade escalar me´dia de um automo´vel e´ de 80 km/h no primeiro trecho de seu
percurso e 60 km/h no trecho restante. Os trechos sa˜o percorridos no mesmo intervalo de
tempo. Qual e´ a velocidade escalar me´dia durante todo o percurso? Ela e´ a me´dia aritme´tica
das velocidades escalares medias em cada trecho do percurso?
(5) Um trem com comprimento 200 m gasta 20 s para atravessar um tu´nel de comprimento
400 m. Determine a velocidade escalar media do trem.
(6) A velocidade escalar me´dia de um mo´vel de um automo´vel ate´ a metade de seu
percurso e´ 90 km/h e na outra metade restante e´ 60 km/h. Determine a velocidade escalar
me´dia no percurso total. Ela e´ a me´dia aritme´tica das velocidades escalares me´dias em cada
trecho do percurso?
(7) A figura abaixo representa o gra´fico da posic¸a˜o x(t) de uma part´ıcula como func¸a˜o do
tempo t. Responda com base no gra´fico:
a) Qual a posic¸a˜o inicial desta part´ıcula? E no instante de tempo t=9s?
b) Qual a velocidade me´dia e escalar me´dia entre t=0s e t=5s?
c) Qual a velocidade me´dia e escalar me´dia entre t=2s e t=5s?
d) Qual e´ o deslocamento e a distaˆncia percorrida pela part´ıcula entre t=0 e t=7s?
e) A part´ıcula permaneceu em repouso em algum intervalo de tempo? Qual e´ este inter-
valo? Justifique sua resposta.
f) Qual a velocidade me´dia e escalar me´dia entre t=7s e t=13s?
g) Qual a velocidade me´dia e escalar me´dia em todo o percurso (t=0 ate´ t=13s)?
(8) Um mo´vel parte do repouso e, apo´s 5 s de movimento, atinge a velocidade de 20 m/s.
Qual foi a acelerac¸a˜o me´dia deste mo´vel?
(9) Um ve´ıculo que se encontra em repouso, passa a sofrer a ac¸a˜o de uma acelerac¸a˜o
me´dia de 4 m/s2. Qual sera´ sua velocidade apo´s 3,5 s?
(10) Um objeto ao cair em que livre (que no va´cuo), fica sujeito a´ uma acelerac¸a˜o (acel-
erac¸a˜o da gravidade) igual a 9,8 m/s2. Se esse objeto gasta 3 s durante a queda, com que
velocidade o mesmo atinge o solo?
(11) Um carro que se encontra com velocidade de 90 km/h, sofre uma desacelerac¸a˜o me´dia
de 10 m/s2. Quanto tempo ele leva para parar?
(12) Quando um objeto passa a ser acelerado durante 5 s, com uma acelerac¸a˜o me´dia de
3 m/s2, sua velocidade atinge o valor de 24 m/s. Qual era sua velocidade inicial?
(13) Se as posic¸o˜es de uma determinada part´ıcula em queda livre sa˜o dadas em func¸a˜o
do tempo por y(t) = 10− 2t− 5t2, determine:
(a) O gra´fico y(t)× t para t ∈ [0, 1.23s].
(b) Sua velocidade instantaˆnea v(t).
(c) Sua acelerac¸a˜o instantaˆnea a(t).
(14) As posic¸o˜es de um ele´tron que se move ao longo do eixo x sa˜o dadas em func¸a˜o do
tempo por x(t) = 16t e−t (em m e t em s).
(a) Obtenha a velocidade instantaˆnea v(t).
(b) Quanto tempo levara´ o ele´trom para parar momentaneamente?
(c) A que distaˆncia da origem estara´ o ele´trom ao quando parar momentaneamente?
(15) Um dos famosos problemas em f´ısica cla´ssica e´ a descric¸a˜o do movimento de um
oscilador harmoˆnico simples (MHS), por exemplo um bloco sobre uma superf´ıcie horizontal
sem atrito oscilando devido a forc¸a restauradora exercida por uma mola. E´ muito comum
que suas posic¸o˜es ao longo do tempo sejam dadas por uma func¸a˜o do tipo
x(t) = A cos (ω t),
onde A e ω sa˜o constante (Amplitude e frequeˆncia angular respectivamente). Mostre que
esta func¸a˜o satisfaz a Equac¸a˜o Fundamental do MHS
a(t) = −ω2x(t),
onde a(t) e´ a acelerac¸a˜o instantaˆnea deste sistema mecaˆnico.
(16) Uma determinada espe´cie de pa´ssaro, na procura por alimento, sobrevoa uma regia˜o
ate´ que avista sua presa. Para captura-la o mesmo parte da origem de um sistema de
coordenadas e se dirige ao leste durante um tempo de 20s. Logo apo´s se direciona para o
norte num voˆo que dura mais 10s. Sabendo que suas posic¸o˜es ao leste sa˜o dadas pela func¸a˜o
do tempo x(t) = 2t+ 40(SI) e ao norte por y(t) = 1
4
t2 + t+ 25 (SI). Determine:
a) O afastamento ao leste e ao norte apo´s os referidos intervalos de tempo (Note que isto
define um par ordenado (x, y)!). Qual a distaˆncia percorrida pelo pa´ssaro?
b) Represente a problema´tica numa figura (plano xy) mostrando claramente os vetores
deslocamento de cada trecho (um horizontal outro vertical!).
c) Qual e´ o aˆngulo entre os vetores do item (b)? Apresente, utilizando a Regra do
Paralelograma, o vetor soma entre os vetores do item (b) (na figura) e calcule seu mo´dulo
(deslocamento efetivo do pa´ssaro).
d) Como voceˆ definiria a velocidade me´dia e velocidade escalar me´dia neste problema
(responda com palavras). Calcule-as seguindo sua definic¸a˜o.
(17) Um predador, na procura por sua presa, parte da origem de um sistema de coorde-
nadas e se dirige ao leste durante um tempo de 20s. Logo apo´s se direciona para o norte num
voˆo que dura mais 10s. Sabendo que suas posic¸o˜es ao leste sa˜o dadas pela func¸a˜o do tempo
x(t) = 2t+ 40(SI) e ao norte por y(t) = t
4
e−t
2
+ 25 (SI). Determine:
a) Deˆ a diferenc¸a entre os conceitos de deslocamento e distaˆncia percorrida.
b) O afastamento ao leste e ao norte apo´s os referidos intervalos de tempo (Note que isto
define um par ordenado (x, y)!). Qual a distaˆncia percorrida pelo predador?
c) Represente a problema´tica numa figura (plano xy) mostrando claramente os vetores
deslocamento de cada trecho (um horizontal outro vertical!).
d) Qual e´ o aˆngulo entre os vetores do item (b)? Apresente, utilizando a Regra do
Paralelograma, o vetor soma entre os vetores do item (b) (na figura) e calcule seu mo´dulo
(deslocamento efetivo do predador). [Dica: s2 = u2 + v2 + 2uv cos (θ)].
e) Como voceˆ definiria a velocidade me´dia e velocidade escalar me´dia neste problema
(responda com palavras). Calcule-as seguindo sua definic¸a˜o.
f) Mostre que a func¸a˜o velocidade do predador, nas respectivas direc¸o˜es x e y, sa˜o dadas
por:
vx(t) = 2, vy(t) =
e−t
2
4
(1− 2t2).
[Dica: v(t) = dx(t)
dt
:. d
dt
[eat] = aeat:. d
dt
[tn] = ntn−1:. d
dt
[u(t)v(t)] = u(t) d
dt
v(t) + v(t) d
dt
u(t)].
g) Supondo que o predador se desloque apenas ao longo da direc¸a˜o norte, em qual instante
de tempo o predador atingiu sua velocidade ma´xima? Quanto vale esta velocidade?
[Dica: Em vmax temos dv(t)/dt = 0 e d
2v(t)/dt2 < 0. Utilize tabelas fornecidas nas dicas
do item (f)].
h) Sob as hipo´teses do item (g). Mostre que
lim
t→∞ vy(t) = 0,
Interprete este limite.
i) Construa um esboc¸o do gra´fico de vy(t) para t ∈ [0,∞).
(18) (i) Deˆ a diferenc¸a entre os conceitos de deslocamento e distaˆncia percorrida.
(ii) Um ciclista ao realizar uma fuga do pelota˜o principal segue para o leste (em relac¸a˜o
a origem do sistema de coordenadas cartesianas) e suas posic¸o˜es ao longo da estrada nesta
direc¸a˜o obedecem a func¸a˜o posic¸a˜o x(t) = −2e−t/2(2 + t) + 10 t + 4 (onde t esta´ em horas
e x(t) em quilometros) durante uma hora, logo apo´s segue em direc¸a˜o ao norte e da´ı suas
posic¸o˜es sa˜o dadas por y(t) = 10t por mais uma hora. Determine:
(a) O Afastamento do ciclista ao leste e ao norte apo´s os refereidos intervalos de tempo
(note que isto definie um par ordenado (x, y)). Qual a distaˆncia percorrida pelo ciclista em
todo o percurso?
(b) Represente a problema´tica em uma figura (plano xy) mostrando claramenteos vetores
deslocamento em cada trecho (um horizontal e outro vertical).
(c) Qual o aˆngulo entre os vetores do item (b)? Apresente, utilizando a regra do par-
alelograma, o vetor soma entre os vetores do item (b) (na figura) e calcule seu mo´dulo
(deslocamento efetivo do ciclista).
[Dica: s2 = u2 + v2 + 2uv cos (θ)].
(d) Como voceˆ definiria velocidade me´dia e velocidade escalar me´dia neste problema
(responda com palavras)? Calcule-as seguindo sua definic¸a˜o (em km/h).
(e) Mostre que a func¸a˜o velocidade do ciclista desgarrado, nas respectivas direc¸o˜es x e y,
sa˜o dadas por:
vx(t) = te
−t/2 + 10, vy(t) = 10.
[Dica: v(t) = dx(t)
dt
:. d
dt
[eat] = aeat:. d
dt
[tn] = ntn−1:. d
dt
[u(t)v(t)] = u(t) d
dt
v(t) + v(t) d
dt
u(t)].
f) Supondo que o ciclista se desloque apenas ao longo da direc¸a˜o leste, em qual instante
de tempo o ciclista atingiu sua velocidade ma´xima? Quanto vale esta velocidade?
[Dica: Em vmax temos dv(t)/dt = 0. Utilize tabelas fornecidas nas dicas do item (e)].
g) Sob as hipo´teses do item (f). Mostre que
lim
t→∞ vx(t) = 10,
Interprete este limite.
h) Construa um esboc¸o do gra´fico de vx(t) para t ∈ [0,∞).
Respostas:
(1) 5m/s; (2) 3s; (3) 80km/h; (4) 70km/h, neste caso sim; (5) 30m/s; (6) 72km/h, neste
caso na˜o; (7) (a) 5m, −10m; (b) v = 1m/s e |v| = 1m/s; (c) v = 0m/s e |v| = 0m/s; (d)
−5m e 15m; (e) sim, de t = 2s ate´ t = 5s; (f) v = 0m/s e |v| = 3, 33m/s; (g) v = −0, 38m/s
e |v| = 2, 7m/s; (8) 4m/s2; (9) 14m/s; (10) 29, 4m/s; (11) 2, 5s; (12) 9m/s; (13) (a) por
conta do aluno, (b) v(t) = −2− 10t, (c) a(t) = −10; (14) (a) v(t) = 16e−t[1− t], (b) t = 1s,
(c) x(1) = 5, 89m; (15) Dica, a(t) = v′(t) e v(t) = a′(t); (16) (a) (80m, 60m) e s = 140m,
(b) representac¸a˜o, (c) 90o, d = 100m, (d) v = d/ttot e |v| = s/ttot com |v| = 4, 67m/s e
v = 3, 33m/s; (17) (a) Vide exer. 16, (b) (80m, 25m), s = 105m, (c), (d) 90o, d = 83, 8m,
(e) vide 16, |v| = 3, 5m/s e v = 2, 8m/s; (f) ver dica; (g) t = 0s e v = 1/4m/s; (18) (i)
iden 17, (ii) (a) (14 − 6/√4km, 10km) e s = 20, 36km, (b), (c) iden, d = 14, 4km, (d) iden,
|v| = 10, 18km/h e v = 7, 2km/h; (f) t = 2h, v = 2/e+ 10km/h.