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DINAˆMICA DOS FLUIDOS - NOTAS DE AULA TAYGOARA FELAMINGO DE OLIVEIRA LUCIANO GONC¸ALVES NOLETO UNIVERSIDADE DE BRASI´LIA FACULDADE UnB GAMA SUMA´RIO 1 INTRODUC¸A˜O 1 1.1 Conceito de Fluido . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 1.2 A Hipo´tese de Meio Cont´ınuo - Nu´mero de Knudsen . . . . . . . . . . . 2 1.3 Fluido, Escoamento e Escalas de Tempo: O Nu´mero de Deborah . . . . 5 1.4 Notac¸a˜o Indicial . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7 1.4.1 O Delta de Kronecker . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8 1.4.2 O Permutador de Levi-Civita . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11 1.5 Exerc´ıcios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14 2 CINEMA´TICA DE FLUIDOS 16 2.1 Referencial Lagrangeano . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17 2.2 Referencial Euleriano . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17 2.3 Derivada Material . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 2.4 Linhas de Trajeto´ria . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 2.5 Linhas de Corrente . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 2.6 Linhas de Emissa˜o . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 2.7 Exerc´ıcios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 3 FORMULAC¸O˜ES INTEGRAL E DIFERENCIAL 29 3.1 Teorema Transporte de Reynolds . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 3.2 Vaza˜o . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 3.3 Equac¸a˜o da Continuidade: Princ´ıpio da Conservac¸a˜o da Massa . . . . . 33 3.4 Tensa˜o em um fluido: O postulado de Cauchy . . . . . . . . . . . . . . 35 3.5 Equac¸a˜o de Cauchy . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37 3.6 Escoamentos inv´ıscidos - Equac¸a˜o de Euler . . . . . . . . . . . . . . . . 39 3.7 Func¸a˜o de corrente . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40 3.8 Vorticidade . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41 3.9 Teorema da circulac¸a˜o de Kelvin . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43 3.10 Escoamento potencial . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45 3.10.1 Princ´ıpio da superposic¸a˜o: O me´todo dos paine´is . . . . . . . . 48 i 3.11 Exerc´ıcios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49 4 ESCOAMENTOS VISCOSOS - EQUAC¸A˜O DE NAVIER-STOKES 55 4.1 Tensor de tenso˜es para um fluido Newtoniano . . . . . . . . . . . . . . 55 4.2 Equac¸a˜o de Navier-Stokes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 57 4.2.1 Adimensionalizac¸a˜o da equac¸a˜o de Navier-Stokes . . . . . . . . 60 4.3 Algumas Soluc¸o˜es da Equac¸a˜o de Navier-Stokes . . . . . . . . . . . . . 63 4.3.1 Escoamento laminar plenamente desenvolvido em dutos de sec¸a˜o circular . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 63 4.3.2 Primeiro Problema de Stokes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 69 4.4 Equac¸a˜o da vorticidade . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 76 4.5 Exerc´ıcios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 78 5 CAMADA LIMITE 84 5.1 Histo´rico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 84 5.2 Conceito . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 86 5.3 Ana´lise de escala . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 86 5.4 Problema de Camada Limite: Equac¸o˜es de Prandtl . . . . . . . . . . . 87 5.5 Soluc¸a˜o do Problema de Camada Limite: Ana´lise de Escala . . . . . . . 92 5.6 Soluc¸a˜o do Problema de Camada Limite: Ana´lise Integral . . . . . . . . 93 5.6.1 Preparac¸a˜o das equac¸o˜es . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 93 5.6.2 Definic¸a˜o de um perfil de velocidade gene´rico . . . . . . . . . . . 96 5.6.3 Me´todo da Similaridade . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 99 5.7 Soluc¸a˜o do Problema de Camada Limite: Ana´lise Diferencial . . . . . . 102 5.8 Espessura de deslocamento e espessura de quantidade de movimento . . 106 5.9 Exerc´ıcios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 108 6 NOC¸O˜ES DE TURBULEˆNCIA EM FLUIDOS 112 6.1 Definic¸o˜es? . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 112 6.2 Cascata de Energia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 119 6.3 Escalas de Kolmogorov . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 122 6.4 Decomposic¸a˜o de Reynolds . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 122 6.4.1 Simulac¸a˜o Nume´rica Direta . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 123 6.4.2 Equac¸o˜es Me´dias de Reynolds . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 124 6.4.3 Problema de Fechamento . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 126 6.4.4 Hipo´tese de Boussinesq . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 127 ii 7 INTRODUC¸A˜O AO ESCOAMENTO COMPRESSI´VEL 130 7.1 Regimes de escoamento . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 131 7.1.1 Leis e Processos termodinaˆmicos . . . . . . . . . . . . . . . . . . 131 7.1.2 Relac¸o˜es termodinaˆmicas para gases perfeitos . . . . . . . . . . 132 7.1.3 Relac¸o˜es para processos politro´picos . . . . . . . . . . . . . . . . 134 7.2 Relac¸o˜es para escoamento unidimensional . . . . . . . . . . . . . . . . . 134 7.3 Velocidade do som e nu´mero de Mach . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 136 7.4 Paraˆmetros caracter´ısticos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 139 7.5 Onda de choque normal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 140 7.6 Equac¸a˜o de Hugoniot . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 142 7.7 Escoamento unidimensional com adic¸a˜o de calor . . . . . . . . . . . . . 145 7.8 Escoamento unidimensional com atrito . . . . . . . . . . . . . . . . . . 147 7.9 Exerc´ıcios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 149 iii 1 INTRODUC¸A˜O 1.1 Conceito de Fluido O que e´ fluido? Sob um conceito molecular, l´ıquidos e gases sa˜o fluidos e so´lidos na˜o o sa˜o. A mate´ria arranja-se de diversas formas quanto a` vinculac¸a˜o e disponibilidade de movi- mentac¸a˜o relativa entre as mole´culas. No estado so´lido, o movimento relativo entre as mole´culas (sempre presente) e´ tal que o arranjo topolo´gico na˜o varia. Ou seja, sua vizi- nhanc¸a e´ invariante. Certamente esse conceito na˜o preveˆ fenoˆmenos tais como fratura ou fusa˜o do material. Nos l´ıquidos, as mole´culas do material esta˜o livres para se movimentar umas em relac¸a˜o a outras, mesmo que a relac¸a˜o entre vizinhanc¸as seja alterada. Nesse tipo de material as forc¸as de cara´ter eletromagne´tico de atrac¸a˜o prevalecem sobre as forc¸as relativas ao estado material de agitac¸a˜o te´rmica (browniano) das mole´culas constituintes do l´ıquido em questa˜o. Em geral, os l´ıquidos comportam-se mecanicamente de forma tal que seu volume, sob determinadas condic¸o˜es, sera´ relativamente invariante no sentido que na˜o ocupam completamente o volume do recipiente que conte´m o material, desde que este recipiente seja maior do que o volume do l´ıquido. Em outras palavras, o volume e´ uma propriedade do sistema de part´ıculas do fluido. Para os gases ou vapores, a agitac¸a˜o te´rmica e´ capaz de vencer a ac¸a˜o coesiva das forc¸as eletromagne´ticas e as mole´culas esta˜o livres para se movimentar, descrevendo uma trajeto´ria browniana ilimitada (caso na˜o haja fronteiras) ou limitada apenas pelas paredes do recipiente que conte´m o fluido. Nesse sentido, o volume que um ga´s ocupa e´ igual ao volume do recipiente que abriga o material, seja ga´s ou vapor. Do ponto de vista macrosco´p´ıco, diversas diferenc¸as entre gases e l´ıquidos podem serapontadas: 1. Gases sa˜o muito mais compress´ıveis do que os l´ıquidos; 1 2. L´ıquidos apresentam, em geral, massa espec´ıfica muito maior (uma ordem de magnitude) do que a dos gases; 3. L´ıquidos podem na˜o se misturar (l´ıquido imisc´ıvel), gases na˜o; 4. Como consequeˆncia do item 3, superf´ıcies envolvendo interfaces do tipo l´ıquido- l´ıquido ou l´ıquido-ga´s apresentam tensa˜o superficial. Na˜o ha´ interface do tipo ga´s- ga´s, logo neste tipo de “mistura”na˜o ha´ possibilidade de haver tensa˜o superficial. Ale´m do enfoque molecular (F´ısico ou f´ısico-qu´ımico), outras abordagens mais gerais e abrangentes podem ser usadas para definir o que pode ser considerado um material fluido. Nessas abordagens devem ser considerados fatores como escalas de tempo en- volvidas e a relac¸a˜o entre tamanho das part´ıculas constituintes do sistema e as escalas de comprimento t´ıpicas do escoamento. 1.2 A Hipo´tese de Meio Cont´ınuo - Nu´mero de Knudsen O conceito de cont´ınuo (ou continuum) e´ meramente uma idealizac¸a˜o. Como ressal- tamos anteriormente a mate´ria e´ composta por mole´culas, e, portanto, e´ um sistema discreto em sua escala elementar. Pore´m, para grande parte das aplicac¸o˜es pra´ticas, e sobretudo para o campo de interesse da mecaˆnica dos fluidos, os l´ıquidos e gases podem ser considerados como materiais cont´ınuos, ou seja, infinitamente divis´ıveis, de forma que na˜o ha´ vazios no material. Nesse sentido, a mecaˆnica dos fluidos interessa-se pelo comportamento me´dio de um conjunto muito (mas muito mesmo!) grande de part´ıculas elementares. Exemplo: Um cent´ımetro cu´bico de ar em condic¸o˜es atmosfe´ricas padra˜o conte´m cerca de 3× 1016 part´ıculas. Estamos, portanto, interessados no reflexo me´dio, de significado estat´ıstico bem de- finido, de um conjunto de part´ıculas (no sentido duplo da palavra) do material, que permita a definic¸a˜o de propriedades mecaˆnicas e termodinaˆmicas do fluido: 2 Em geral definimos massa espec´ıfica me´dia como: ρ = m v (1.1) Onde m e´ a massa total do sistema e v e´ o volume total do sistema. Deseja-se definir a massa espec´ıfica como propriedade local. Seria natural lanc¸ar ma˜o do conceito de derivada, de forma que: ρ(x) = lim ∆v→0 ∆m ∆v (1.2) Em que ∆v e´ um volume arbitra´rio que conte´m a coordenada x e ∆m a massa de fluido contida nesse volume. Aqui nos deparamos com um problema: Se o volume for ta˜o pequeno que o traˆnsito material de mole´culas atrave´s de suas fronteiras se fizer percept´ıvel ao processo de me´dia estat´ıstica, enta˜o na˜o faz mais sentido definir massa espec´ıfica. 3 Em nosso processo de fazer ∆v → 0, em geral, sera´ poss´ıvel detectar um tamanho de volume cu´bico ∆v tal que se ∆v > ∆v′, enta˜o as variac¸o˜es afins ao movimento molecular na˜o afetam o valor da raza˜o ∆m/∆v. Se essa escala for, por outro lado, muito menor do que a menor escala relevante do problema, i.e., ∆v << V de maneira que seja poss´ıvel considerar ∆v′ como “arbitrariamente pequeno”, enta˜o podemos admitir que o material em estudo e´ um meio cont´ınuo. Em outras palavras se a raza˜o entre uma escala t´ıpica de movimento microsco´pico (Para l´ıquidos ou gases, o livre caminho me´dio) e uma escala t´ıpica do problema que desejamos abordar for muito pequeno, enta˜o uma abordagem cont´ınua pode ser empregada. A` esta raza˜o da´-se o nome de Nu´mero de Knudsen, tal que: Kn = λ L (1.3) Se Kn << 1 −→ meio cont´ınuo. Exemplo: Escoamento de ar atrave´s de um rotor de ventilador dome´stico: 4 • L = Diaˆmetro do rotor, cerca de 30 cm. • λ = Livre caminho me´dio. Para um ga´s perfeito, temos da teoria cine´tica dos gases que: λ = KBT√ 2piσ2P , onde : (1.4) • KB: Constante de Boltzmann: 1, 38× 10−23 J/K • σ: Diaˆmetro da Part´ıcula: (N2 ∼ 3, 7Aˆ, O2 ∼ 3, 0Aˆ onde 1Aˆ= 10−10m) • P : Pressa˜o Absoluta; λ ∼ 1, 4× 10 −23 · 300 1, 14× 3, 14× 9× 10−20 · 105 ∼ 10 −7 (1.5) Suponhamos L = 30 cm (0, 3 m): Kn = 10−7 0, 3 ∼ 3× 10−7 << 1 (1.6) De forma que uma abordagem cont´ınua e´ perfeitamente via´vel. 1.3 Fluido, Escoamento e Escalas de Tempo: O Nu´mero de Deborah A definic¸a˜o de escoamento esta´ ligada intrinsecamente a`s escalas de tempo envolvidas. Do ponto de vista mecaˆnico, consideramos que um fluido newtoniano e´ um material que oferece resisteˆncia a` taxa de deformac¸a˜o, diferentemente de um so´lido, que oferece resisteˆncia a` deformac¸a˜o. Em geral estamos habituados a classificar de maneira muito objetiva materiais que escoam e que na˜o escoam (fluidos e na˜o-fluidos). No entanto, e´ preciso estar atento a`s escalas de tempo associadas a` deformac¸a˜o do material, e as alterac¸o˜es das condic¸o˜es dinaˆmicas a que se sujeita o material. Outra forma de descrever este conceito seria a seguinte: Quando se aplica uma tensa˜o cisalhante em um so´lido, este se deforma em uma quantidade fixa, e quando a aplicac¸a˜o da tensa˜o 5 e´ interrompida, o so´lido interrompe sua deformac¸a˜o. Aplicando a mesma tensa˜o em um fluido, este se deforma a uma taxa, e quando a aplicac¸a˜o da tensa˜o e´ interrompida, o fluido continua a se deformar segundo esta taxa de deformac¸a˜o, caracterizando um escoamento. Quando uma porc¸a˜o de a´gua e´ servida em um copo, e´ preciso cerca de 10−13 segundos para que as mole´culas do material organizem-se e se acomodem a` nova vinculac¸a˜o geome´trica. Esse tempo, associado exclusivamente a`s caracter´ısticas do material, e´ chamado de tempo de relaxac¸a˜o do fluido. Quando a a´gua escoa para o copo, o tempo associado do escoamento1 da a´gua e´ da ordem de milissegundos (10−3 segundos) ou mais. A relac¸a˜o entre esses dois tempos caracter´ısticos e´ tal que o “fluido”, ou material, tem muito tempo para se acomodar a`s novas condic¸o˜es de contorno. Dessa forma, podemos dizer que a raza˜o entre o tempo caracter´ıstico de relaxac¸a˜o do material trelax e o tempo caracter´ıstico de variac¸a˜o das condic¸o˜es de contorno tesc para a a´gua sendo servida em um copo e´ muito pequena. Define-se assim o nu´mero de Deborah como: De = trelax tesc (1.7) A origem do nu´mero de Deborah, dada pelo professor Markus Reiner, remete a` passa- gem b´ıblica cantada pela profetisa De´bora no livro dos Ju´ızes. Esta passagem encontra- se no cap´ıtulo 5, vers´ıculo 5: “Os montes escoaram diante do Senhor, e ate´ Sinai, diante do Senhor Deus de Israel.” Podemos fazer algumas observac¸o˜es sobre a relac¸a˜o entre o nu´mero de Deborah e o comportamento do material: • De −→ 0: O material comporta-se como um fluido e, muito provavelmente, como um fluido linear (newtoniano ou newtoniano generalizado); • De << 1: O material comporta-se como um fluido; 1Na verdade estamos nos referindo a um tempo relacionado a` mudanc¸a das condic¸o˜es de contorno que envolvem o material (No caso, o movimento da jarra que conte´m a a´gua). 6 • De ∼ 1: O material escoa, mas efeitos na˜o-lineares comec¸am a ser importantes, ou ja´ o sa˜o! Estes efeitos sa˜o associados principalmente a efeitos ela´sticos no fluido. Ou seja, o material na˜o e´ puramente fluido ou so´lido; • De −→ ∞: O material pode se comportar como um fluido. De toda forma, o material fica indiferente a`s mudanc¸as nas condic¸o˜es de contorno. 1.4 Notac¸a˜o Indicial A notac¸a˜o indicial ou notac¸a˜o de Einstein e´ um me´todo muito u´til para a representac¸a˜o de grandezas vetoriais. Um dado vetor no R3 e´ representado na seguinte forma: v = (v1, v2, v3) = v1ê1 + v2ê2 + v3ê3 (1.8) Onde os vetores base sa˜o: ê1 = (1, 0, 0) ê2 = (0, 1, 0) (1.9) ê3 = (0, 0, 1) As propriedades fundamentais dos vetores de base sa˜o descritas como: I - Ortogonalidade Mu´tua: ê1 · ê2 = ê2 · ê3 = ê3 · ê1 = 0, onde “·”representa o produtoescalar (Que entre vetores, e´ comutativo); II - Base Normal: ‖ê1‖ = (ê1 · ê1)0.5 = 1, valendo o mesmo para ê2 e ê3; III - Base destro´gira: Segue a regra da ma˜o direita: ê1 × ê2 = ê3 ê2 × ê3 = ê1 (1.10) ê3 × ê1 = ê2 7 Segundo a notac¸a˜o indicial, o vetor v pode ser representado como: v = viêi = 3∑ i=1 viêi (1.11) Escreve-se agora as seguintes convenc¸o˜es: Convenc¸a˜o I: Todos os sufixos variam em uma mesma faixa, de 1 a n. No R3, n = 3; Convenc¸a˜o II: “Convenc¸a˜o Soma”: I´ndices repetidos ou mudos indicam um somato´rio; Exemplos: 1. Representac¸a˜o de um vetor: v = v1ê1 + v2ê2 + v3ê3 = viêi ou vpêp (1.12) 2. Representac¸a˜o de um sistema linear: a11x1 + a12x2 + a13x3 = b1 a21x1 + a22x2 + a23x3 = b2 a31x1 + a32x2 + a33x3 = b3 −→ aijxj = bi Onde: • i e´ o ı´ndice livre, que representa a direc¸a˜o (ou equac¸a˜o para este caso); • j e´ o ı´ndice mudo ou repetido, que representa a soma; • Regra Ba´sica: Em um mesmo termo de uma expressa˜o, um ı´ndice na˜o pode aparecer mais do que duas vezes. • Exemplo: aijbjcj na˜o representa uma expressa˜o em notac¸a˜o indicial. 1.4.1 O Delta de Kronecker δij = { 1, se i = j 0, se i 6= j (1.13) 8 Seu conceito remete a Leopold Kronecker (1823-1891). Duas formas nota´veis do delta de Kronecker sa˜o dadas por: • Como os vetores de base ê1, ê2 e ê3 sa˜o ortonormais, o produto escalar entre eles resultara´ no pro´prio delta: êi · êj = δij (1.14) • Considerando que as direc¸o˜es ordenadas x1, x2 e x3 sa˜o independentes, tem-se: ∂xi ∂xj = δij (1.15) Uma propriedade importante do delta de Kronecker e´ a de contrac¸a˜o de ı´ndices. Con- siderando 1.13, temos que: aijδ1j = ai1δ11 + ai2δ12 + ai3δ13 = ai1 (1.16) Observe que o ı´ndice j e´ mudo, pois se repete e denota uma soma. Se este ı´ndice se repete com o delta, este sumira´ da expressa˜o, e todo ı´ndice j e´ substitu´ıdo por 1. Desta forma, pode-se escrever de forma ana´loga: aijδjp = aip δimδmj = δij (1.17) δimδmjδjp = δip Com estes resultados, podemos escrever o produto escalar entre vetores: a · b = aiêi · bj êj = aibj êi · êj︸ ︷︷ ︸ δij = aibjδij = aibi = a1b1 + a2b2 + a3b3 (1.18) Aconselha-se a utilizac¸a˜o de letras diferentes na inclusa˜o de novos termos. O delta fara´ todo o resto ao contrair os ı´ndices convenientes. 9 As componentes de um vetor podem ser escritas atrave´s do produto escalar com os vetores de base. Logo, seja u um vetor. Este pode ser escrito como: u = u · ê1 = uiêi · ê1 = uiδi1 = u1 (1.19) Utilizando os conceitos apresentados ate´ aqui, podemos representar um sistema linear na forma matricial como: A · x = b −→ Aijxj = bi (1.20) Onde x e b sa˜o vetores. Mas podemos afirmar que A e´ um tensor? Para responder esta pergunta, representaremos a quantidade A na forma Apqêpêq. Note que na˜o ha´ um produto entre êp e êq: êpêq −→ ê1ê1 = 1 0 0 0 0 0 0 0 0 ê1ê2 = 0 1 0 0 0 0 0 0 0 (1.21) ê2ê3 = 0 0 0 0 0 1 0 0 0 ... Nesse sentido, observe os ı´ndices que representam soma em Apqêpêq. Logo: Apqêpêq = A11ê1ê1 + A12ê1ê2 + A13ê1ê3 + A21ê2ê1 + ... = A11 A12 A13 A21 A22 A23 A31 A32 A33 (1.22) 10 De fato, êpêq representa uma poss´ıvel base de um espac¸o de matrizes de segunda or- dem. Para que A = Apqêpêq seja um tensor de fato e´ preciso que uma certa regra de transformac¸a˜o ortogonal seja obedecida. Esta regra na˜o sera´ abordada neste texto. No entanto, para nossos propo´sitos podemos utilizar as regras estabelecidas anteriormente para qualquer quantidade Aij êiêj, sendo ela tensorial ou na˜o! Por exemplo, o tensor identidade pode ser escrito como I = δij êiêj. Retornando ao sistema linear (equac¸a˜o 1.20), temos: Apqêpêq︸ ︷︷ ︸ A · xiêi︸︷︷︸ x = bj êj︸︷︷︸ b (1.23) Apqxiêp êq · êi︸ ︷︷ ︸ δqi = bj êj Apqxiδqiêp = bj êj Apq xiδqi︸︷︷︸ xq êp = bj êj Apqxqêp = bj êj (1.24) Para recuperarmos as equac¸o˜es do sistema original, basta tomar as componentes da equac¸a˜o 1.20 em uma direc¸a˜o unita´ria êi, ou seja: Apqxqêp · êi = bj êj · êi Apqxqδpi = bjδji (1.25) Aiqxq = bi 1.4.2 O Permutador de Levi-Civita εijk = 1, para ε123, ε231, ε312 −1, para ε132, ε321, ε213 0, para os demais (1.26) 11 O permutador de Levi-Civita representa as componentes de um tensor de terceira or- dem. Seu conceito remete a Tulio Levi-Civita (1873-1948). Um mecanismo muito pra´tico para a determinac¸a˜o do sinal de ε e´ descrito abaixo, onde definimos uma con- venc¸a˜o para o sentido de permutac¸a˜o: 1 + �� 2 + // 3 + ^^ Logo: • No sentido positivo: εijk = 1; • No sentido negativo: εijk = −1; • Para ı´ndices repetidos: εijk = 0; Outra forma: εijk = 1 2 (i− j)(j − k)(k − i) (1.27) Utilizando o permutador, podemos escrever o produto vetorial como: u× v = ∣∣∣∣∣∣∣∣ ê1 ê2 ê3 u1 u2 u3 v1 v2 v3 ∣∣∣∣∣∣∣∣ = uiêi × vj êj = uivj êi × êj︸ ︷︷ ︸εijk êk = uivjεijkêk (1.28) Propriedades: 1. u× v = w; w e´ perpendicular a u e v simultaneamente; - 6 � � u v w 12 2. u× v = −v × u Prova: u× v = uiêi × vj êj = uivjεijkêk = vjuiεijkêk =︸︷︷︸ εijk=−εjik −vjui εjikêk︸ ︷︷ ︸ êj×êi = −v × u 3. u× u = 0 Prova: Do item 2, temos que: u× u︸ ︷︷ ︸ a = −u× u︸ ︷︷ ︸ a ⇐⇒ a = 0 (1.29) Com os conceitos apresentados, podemos definir o operador nabla (∇) em notac¸a˜o indicial: ∇ = ( ∂ ∂x1 , ∂ ∂x2 , ∂ ∂x3 ) = ∂ ∂xi êi (1.30) Assim sendo, definem-se: • Gradiente de um escalar: ∇φ = ∂ ∂xi êi(φ) = ∂φ ∂xi êi • Gradiente de um vetor: ∇v = ∂ ∂xi êi(v) = ∂ ∂xi êi(vj êj) = ∂vj ∂xi êiêj • Divergente de um vetor: ∇ · v = ∂ ∂xi êi · (vj êj) = ∂vj ∂xi êi · êj = ∂vj ∂xi δij = ∂vi ∂xi = ∂v1 ∂x1 + ∂v2 ∂x2 + ∂v3 ∂x3 • Rotacional de um vetor: ∇× v = ∂ ∂xi êi × (vj êj) = ∂vj ∂xi êi × êj = ∂vj ∂xi εijkêk • Laplaciano de um vetor: ∇2v = ∇·(∇v) = ∂ ∂xi êi [ ∂ ∂xj êj(vkêk) ] = ∂vk ∂xi∂xj (êi·êj)êk = ∂ 2vk ∂x2i êk = ( ∂2v1 ∂x21 , ∂2v2 ∂x22 , ∂2v3 ∂x23 ) 13 1.5 Exerc´ıcios 1- Dados os vetores: a = 2eˆ1 + 4eˆ2 + 6eˆ3 (1.31) b = 1eˆ1 + 3eˆ2 + 5eˆ3 (1.32) c = 4eˆ1 + 5eˆ2 + 1eˆ3 (1.33) Calcule: • a · b • a× b • a · b× c • (a× b)× c • a× (b× c) 2- Usando notac¸a˜o indicial, prove as identidades vetoriais abaixo (f e g sa˜o escalares, u, v e w sa˜o vetores e I e´ o tensor identidade): ∇(fg) = f∇g + g∇f (1.34) ∇(f + g) = ∇f +∇g (1.35) ∇ · (u + v) = ∇ · u +∇ · v (1.36) ∇ · (fu) = ∇f · u + f(∇ · u) (1.37) ∇ · (vw) = v · ∇w + w(∇ · v) (1.38) ∇ · fI = ∇f · I + f(∇ · I) (1.39) ∇(v ·w) = (∇v) ·w + (∇w) · v (1.40) ∇2(∇ · u) = ∇ · ∇2u (1.41) ∇ · (fI) = ∇f (1.42) ∇ · (∇u)T = ∇(∇ · u) (1.43) 14 3- Deduza a relac¸a˜o �− δ: �ijk�irs = δjrδks − δjsδkr (1.44) 4- Mostre que aiixi na˜o faz sentido. 5- Se: εijkεpqr = det δip δiq δir δjp δjq δjr δkp δkq δkr (1.45) Onde ε e´ o permutador de Levi-Civita e δ e´ o delta de Kronecker, use notac¸a˜o indicial para provar que: εijkεpqk = δipδjq − δiqδjp (1.46) 6- Se a e b sa˜o vetores e C e´ um tensor, enta˜o mostre, usando notac¸a˜o indicial, que: C · (ab) = (C · a)b (1.47) 7- Dada a seguinte expressa˜o (x e y sa˜o vetores): ∇(y · x) (1.48) Usando notac¸a˜o indicial, responda: Se x e´ o vetor posic¸a˜o, o que precisa acontecer com o vetor y para que a expressa˜o tenha como resultado apenas ele mesmo? 8- Usando a relac¸a˜o �− δ, prove a seguinte relac¸a˜o (f e g sa˜o vetores): ∇× (f × g) = (∇ · g)f + g · (∇f)− (∇ · f)g − f · (∇g)(1.49) 15 2 CINEMA´TICA DE FLUIDOS A cinema´tica de fluidos e´ definida como o estudo ou descric¸a˜o do movimento dos fluidos. Mas o que e´ escoamento? A ideia ba´sica sobre o que e´ escoamento esta´ associada ao movimento de part´ıculas fluidas1. Nesse sentido, podemos definir um escoamento como uma sequeˆncia cont´ınua de trans- formac¸o˜es de ponto, ou simplesmente como um mapeamento no qual na˜o ha´ criac¸a˜o ou destruic¸a˜o de part´ıculas materiais. Em outras palavras, estamos dizendo que essa transformac¸a˜o sera´ sempre invers´ıvel (Transformac¸a˜o topolo´gica). O escoamento pode ser descrito a partir de dois referenciais diferentes, a saber. 1Onde entenderemos part´ıcula fluida ou material como um ponto material, definido de forma a respeitar a hipo´tese de meio cont´ınuo 16 2.1 Referencial Lagrangeano Neste referencial, durante um processo de observac¸a˜o experimental, o observador trans- lada com a part´ıcula. Dessa forma descrevemos o campo de escoamento rastreando cada part´ıcula material do escoamento. Identificando cada part´ıcula do escoamento como X, podemos descrever o escoamento como uma func¸a˜o do tipo: x = x(X, t) (2.1) Em que x e´ o vetor posic¸a˜o em relac¸a˜o a um sistema de coordenadas fixo ao laborato´rio. Convenciona-se que o ro´tulo de cada part´ıcula e´ a posic¸a˜o que ela ocupa no instante inicial do escoamento. Nesse sentido, X = x(t = 0). Vale observar que o ro´tulo da part´ıcula nunca muda. Quando escrevemos uma relac¸a˜o do tipo x = x(X, t), estamos mapeando a posic¸a˜o x que cada part´ıcula X ocupa em cada instante t. Observe que, desde que X = x(t = 0), x = x(X, t) significa que a posic¸a˜o de uma part´ıcula no escoamento pode ser determinada conhecendo-se a sua posic¸a˜o inicial e o tempo2. 2.2 Referencial Euleriano Desta vez, para o mesmo processo de observac¸a˜o experimental, o observador esta´ fixo ao um referencial preso ao laborato´rio. Neste caso, o observador veˆ part´ıculas diferentes (com propriedades possivelmente diferentes) passarem por posic¸o˜es fixas no referencial mencionado anteriormente. Neste caso, temos: X = X(x, t) (2.2) Quando escrevemos uma relac¸a˜o do tipo x = x(X, t), afirma-se que a part´ıcula X ocupa a posic¸a˜o x no instante t. Em geral, as medidas que realizamos na mecaˆnica dos fluidos (velocidade, pressa˜o, temperatura,...) sa˜o feitas em posic¸o˜es fixas ao laborato´rio, 2Note que esta e´ a t´ıpica soluc¸a˜o de um problema de valor inicial 17 ou seja, normalmente medimos as propriedades em um referencial Euleriano. Um sensor de velocidade fixo ao laborato´rio medira´ a velocidade da part´ıcula que ocupa aquela posic¸a˜o naquele instante. Ja´ um sensor de velocidade fixo a` part´ıcula medira´ a velocidade da part´ıcula a` medida que o tempo passa (figura 2.2) A imposic¸a˜o inerente a` hipo´tese de meio cont´ınuo de que o mapeamento deve ser isotopolo´gico implica em que: x = x(X, t) ouX = X(x, t) (2.3) E´ sempre invers´ıvel! Em outras palavras: J = ∂x1, x2, x3 ∂X1, X2, X3 6= 0 (2.4) Aqui, J e´ uma transformac¸a˜o na˜o-topolo´gica, no sentido de sempre preservar a topo- logia do escoamento: Se J 6= 0⇒ x = x(X, t)⇐⇒X = X(x, t) (2.5) Introduzindo o vetor velocidade u, definido por: 18 u = dx dt (2.6) Podemos fornecer campos de escoamento pela descric¸a˜o do vetor velocidade. 2.3 Derivada Material Considere agora uma propriedade qualquer G do escoamento. G pode ser escalar, vetorial ou tensorial. Quando escrevemos: 1. G = G(x, t) = G(x = x(X, t), t), fixamos uma posic¸a˜o x no espac¸o. Portanto estamos nos referindo a` propriedade G da part´ıcula que ocupa aquela posic¸a˜o x, naquele instante, i.e., uma descric¸a˜o Euleriana. 2. G = G(X, t) = G(X = X(x, t), t), fixamos uma part´ıcula no espac¸o. Agora nos referimos a` propriedade G da part´ıcula Xnaquele instante, i.e., uma descric¸a˜o Lagrangeana. Estamos interessados em medir as variac¸o˜es temporais de G nos dois referenciais. Em relac¸a˜o ao referencial Euleriano (Ou seja, para x fixo): ∂G ∂t ] x fixo = ∂G ∂t (2.7) Em relac¸a˜o ao referencial Lagrangeano (Ou seja, para X fixo): ∂G ∂t ] X fixo = DG Dt ⇒ Derivada Material ou Lagrangeana (2.8) 19 DG Dt = ∂ ∂t G(X, t) ] X fixo = ∂ ∂t G(x = x(X, t), t) = ∂G ∂x︸︷︷︸ Gradiente de G · ∂x ∂t︸︷︷︸ Velocidade da part´ıcula + ∂G ∂t = u · ∇G+ ∂G ∂t (2.9) De outra forma: G = G(x1, x2, x3︸ ︷︷ ︸ x , t) (2.10) dG = ∂G ∂x1 dx1 + ∂G ∂x2 dx2 + ∂G ∂x3 dx3 + ∂G ∂t dt = ( ∂G ∂x1 , ∂G ∂x2 , ∂G ∂x3 ) · ( dx1 dt , dx2 dt , dx3 dt ) + ∂G ∂t = u · ∇G+ ∂G ∂t (2.11) Ou ainda: G(x+ ∆x, t+ ∆t) = G(x+ u∆t, t+ ∆t) = G(x, t) + u∆t · ∇G+ ∂G ∂t ∆t+O(∆t2) (2.12) Tomando o limite: lim ∆t→0 G(x+ ∆x, t+ ∆t)−G(x, t) ∆t = lim ∆t→0 u · ∇G+ ∂G ∂t +O(∆t2) = u · ∇G+ ∂G ∂t (2.13) 20 O resultado de cada demonstrac¸a˜o representa a conexa˜o entre a derivada material3 e a derivada euleriana convencional. Recuperando o resultado de cada demonstrac¸a˜o em 2.14: Du Dt = ∂u ∂t + u · ∇u D Dt = ∂ ∂t + u · ∇() (2.14) Nas passagens anteriores nos referimos a u como vetor velocidade, querendo dizer a velocidade da part´ıcula (medida segundo um referencial lagrangeano). Neste sentido, definimos u como: u = dx dt ⇒ x = x(X, t) (2.15) Note que: Dx Dt = ∂x ∂t︸︷︷︸ =0 +u · ∇x︸︷︷︸ I = u (2.16) 2.4 Linhas de Trajeto´ria Seja o campo de velocidade u = (ax2,−ax1, 0) dx1 dt = ax2 dx2 dt = −ax1 dx3 dt = 0 (2.17) Para determinar a trajeto´ria, ou seja, o caminho real descrito por uma part´ıcula, de cada ponto material, devemos resolver o sistema acima. Para isto, deriva-se inicial- mente a componente x1 no tempo: 3No ca´lculo, esta derivada e´ chamada de derivada total. A literatura tambe´m traz o termo derivada total ou derivada substantiva 21 d dt ( dx1 dt ) = d dt (ax2)⇒ d 2x1 dt2 = a dx2 dt (2.18) Substituindo a componente x2 do campo de velocidade: d2x1 dt2 = a(−ax1) = −a2x1 ⇒ d 2x1 dt2 + a2x1 = 0 (2.19) Soluc¸a˜o geral: x1 = A sin(at) +B cos(at) (2.20) dx2 dt = −aA sin(at)− aB cos(at)⇒ x2 = A cos(at)−B sin(at) (2.21) Condic¸a˜o inicial: X = x(t = 0), logo B = X1 e A = X2 x1 = X2 sin(at) +X1 cos(at) x2 = X2 cos(at)−X1 sin(at) x3 = X3 (2.22) Observe que o sistema 2.22 fornece uma expressa˜o do tipo x = x(X, t), a qual cha- maremos simplesmente de “trajeto´ria”. Podemos, nesse caso, eliminar t para obter a forma das trajeto´rias: x21 = X 2 2 sin 2(at) +X21 cos 2(at) + 2X1X2 sin(at) cos(at) x22 = X 2 2 cos 2(at) +X21 sin 2(at)− 2X1X2 sin(at) cos(at) (2.23) x21 + x 2 2 = X 2 1 +X 2 2︸ ︷︷ ︸ Constante (2.24) As linhas de trajeto´ria sa˜o c´ırculos em planos paralelos ao plano x1x2 de centro no eixo x3, conceˆntricos em cada plano, de raio igual a (X 2 1 +X 2 2 ) 0,5 . 22 2.5 Linhas de Corrente Podemos definir linha de corrente como uma curva paralela ao vetor velocidade em cada instante t. Nesse sentido, as linhas de corrente sa˜o “trajeto´rias virtuais”no sentido de que representam o caminho que as part´ıculas “percorreriam”em cada escoamento se congela´ssemos o tempo. Em outras palavras, o tempo esta´ fixo quando procuramos linhas de corrente: u = dx ds (2.25) Onde s e´ um paraˆmetro independente do tempo. Alternativamente, podemos definir linhas tais que: dx ds × u = 0 (2.26) Exemplo: u = ( x1 t+ 1 , x2 2t+ 1 , 0 ) (2.27) Derivando de acordo com 2.26: dx1 ds = x1 t+ 1 ⇒ dx1 x1 = ds t+1 ⇒ ln x′1]x1x1o = s′ t+ 1 ]s s=0 ⇒ ln ( x1 x1o ) = s t+ 1 ⇒ x1 = x1oe st+1 (2.28) dx2 ds = x1 2t+ 1 ⇒ x2 = x2oe s2t+1 (2.29) 23 Eliminando s: ln ( x1 x1o ) = s t+ 1 ⇒ s = (t+ 1) ln ( x1 x1o ) ln ( x2 x2o ) = s 2t+ 1 ⇒ s = (2t+ 1) ln ( x2 x2o ) ∴ (t+ 1) ln ( x1 x1o ) = (2t+ 1) ln ( x2 x2o ) ( x1 x1o )t+1 = ( x2 x2o )2t+1 x2 = x2o ( x1 x1o ) t+1 2t+1 (2.30) 2.6 Linhas de Emissa˜o As linhas de emissa˜o sa˜o curvas formadas pelas part´ıculas que passaram por um mesmo ponto do escoamento. Elas podem ser identificadas por: • Linhas de fumac¸a ou tinta no escoamento; • Visualizac¸a˜o em tu´nel de vento; Seja x1 = X1(t + 1) e x2 = X2(2t + 1) 0,5. As part´ıculas que ocuparam a posic¸a˜o fixa (x′1, x ′ 2) para qualquer τ�[0, t) sa˜o: X1 = x′1 1 + τ X2 = x′2 (1 + 2τ)0,5 (2.31) Portanto: 24 x1 = x ′ 1 ( 1 + t 1 + τ ) x2 = x ′ 2 ( 1 + 2t 1 + 2τ )0,5 (2.32) Aqui o paraˆmetro e´ τ e t e´ fixo. Exemplo: Determinar a variac¸a˜o de T da part´ıcula X = (1, 1) se: T = αx1 + βx2 u = (ax2,−ax1) (2.33) ⇒ DT Dt = u · ∇T ∇T = ∂ ∂xi êi = αê1 + βê2 = (α, β) u · ∇T = (ax2,−ax1) · (α, β) = αax2 − βax1 (2.34) Sabemos ainda que: x1 = X2 sin(at) +X1 cos(at) (2.35) x2 = X2 cos(at)−X1 sin(at) (2.36) Logo: DT Dt ∣∣∣∣ (1,1) = αa(cos(at)− sin(at))− βa(sin(at) + cos(at)) DT Dt ∣∣∣∣ (1,1) = (α− β)a cos(at)− (α− β)a sin(at) (2.37) 25 2.7 Exerc´ıcios 1- O escoamento em um bocal convergente (Diaˆmetro de entrada maior que o diaˆmetro de sa´ıda) pode ser aproximado para uma formulac¸a˜o unidimensional u = u1(x1). Considera-se um bocal de comprimento L onde a velocidade varia linearmente de u = v0 na entrada para u = 3v0. Usando o conceito de derivada material: • Calcule a acelerac¸a˜o deste escoamento como func¸a˜o de x; • Avalie a acelerac¸a˜o na entrada e na sa´ıda para v0 = 2m/s e L = 0, 25m 2- Um escoamento bidimensional e´ dado por u = (x21 − 2x22 + 2x1)eˆ1 + (3x1x2 + x2)eˆ2. Em (x1, x2) = (2, 2), calcule as acelerac¸o˜es em x1 e x2 utilizando o conceito de derivada material. 3- Para o campo de velocidade u = 5x1eˆ1 + (15x2)eˆ2, determine as linhas de trajeto´ria de uma part´ıcula (X1, X2) deste escoamento. 4- Um campo de velocidade transiente e´ dado por: u1 = x1(1 + 3t) (2.38) u2 = x2 (2.39) Usando o tempo t como paraˆmetro, determine a famı´lia de linhas de corrente deste escoamento por um ponto qualquer (x1o, x2o). 5- Para o campo de velocidade transiente: u = (4x1x 2 2t,−2x2x1t, 0) (2.40) 26 • Encontre a trajeto´ria da part´ıcula (3,2); • Sua respectiva acelerac¸a˜o com o conceito de derivada material; • A acelerac¸a˜o Euleriana do escoamento; 6- Dadas as seguintes equac¸o˜es de trajeto´ria para uma part´ıcula X = (X1, X2, X3): x1 = (k +X1)t+X1 (2.41) x2 = X2 (2.42) x3 = X3 (2.43) Onde k e´ uma constante. Encontre o campo de velocidade transiente. 7- O problema da braquisto´crona consiste em determinar qual e´ a trajeto´ria de uma part´ıcula que, sujeita a um campo gravitacional constante, sem atrito e com velocidade inicial nula, se deslocara´ entre dois pontos no menor intervalo de tempo, conforme a figura: Uma experimentac¸a˜o que visa observar o problema da braquisto´crona para escoamentos fluidos foi feita, e as seguintes equac¸o˜es de trajeto´ria foram obtidas (k e´ uma constante): • Trajeto´ria reta: x1 = X1 x2 = X2 • Trajeto´ria ciclo´ide: x1 = X1 2 k2(1− sin θ) x2 = X2 2 k2(1− cos θ) 27 Calcule o campo de velocidade transiente para cada trajeto´ria para um valor arbitra´rio de θ. 8- Para o seguinte campo de velocidade bidimensional: u = (ax22, 2abx 4 1) (2.44) • Determine a equac¸a˜o de trajeto´ria; • Sem executar nenhum ca´lculo, diga qual sera´ a equac¸a˜o da linha de corrente que passara´ por um ponto qualquer p; 28 3 FORMULAC¸O˜ES INTEGRAL E DIFERENCIAL 3.1 Teorema Transporte de Reynolds Neste texto, sera´ considerado que o escoamento esta´ associado ao movimento de part´ıculas fluidas1. Queremos avaliar a taxa de variac¸a˜o das propriedades de um certo volume de part´ıculas de um escoamento. Por exemplo, sabemos que, na auseˆncia de reac¸o˜es atoˆmicas, a massa de um volume fixo de part´ıculas na˜o varia. Isto e´: Dm Dt = 0 (3.1) Mas: 1Onde se define part´ıcula fluida ou material como um ponto material, de modo a respeitar a hipo´tese de meio cont´ınuo 29 m = ˚ V (t) ρdV ∴ D Dt ˚ V (t) ρdV = 0 (3.2) A equac¸a˜o 3.2 expressa uma lei f´ısica, va´lida para um volume material2. Desejamos agora transpor essa lei para um referencial Euleriano. Nesse sentido, consideremos a definic¸a˜o de derivada: D Dt ˚ V (t) G(x, t)dV = lim δt→0 [(˚ V (t+δt) G(x+ δx, t+ δt)dV − ˚ V (t) G(x, t)dV )] = lim δt→0 [ 1 δt (˚ V (t+δt) G(x+ δx, t+ δt)dV − ˚ V (t) G(x+ δx, t+ δt)dV + ˚ V (t) G(x+ δx, t+ δt)dV − ˚ V (t) G(x, t)dV )] (3.3) Temos enta˜o, dois limites distintos: lim δt→0 ˚ V (t) G(x+ δx, t+ δt)−G(x, t) δt dV = ˚ V (t) ∂G(x, t) ∂t dV (3.4) lim δt→0 1 δt ˚ V (t+δt)−V (t) G(x+ δx, t+ δt)dV (3.5) O volume de integrac¸a˜o, nesse caso, e´ a interface entre V (t+ δt) e V (t). 2Ou seja, que e´ sempre formado pelo mesmo conjunto de part´ıculas. 30 ⇒ lim δt→0 1 δt ˚ V (t+δt)−V (t) G(x+ δx, t+ δt)dV = lim δt→0 1 δt ‹ A(t) G(x+ δx, t+ δt)u · n̂δtdA = ‹ A(t) G(x, t)u · n̂dA (3.6) Portanto: D Dt ˚ V (t) G(x, t)dV = ˚ V (t) ∂G ∂t dV + ‹ A(t) Gu · n̂dA (3.7) Analisando cada termo da equac¸a˜o 3.7: • ˝ V (t) ∂G ∂t dV : Integral da taxa de variac¸a˜o de G em pontos fixos do escoamento. Este termo e´ associado apenas a variac¸o˜es transientes; • ‚ A(t) Gu · n̂dA: Integral de fluxo l´ıquido da quantidade G pela superf´ıcie do volume de controle. Portanto, as leis ba´sicas mostradas anteriormente podem ser reescritas com o Teorema Transporte de Reynolds: • Equac¸a˜o da Continuidade (Conservac¸a˜o da massa): Dm Dt = ˚ V (t) ∂ ∂t ρdV + ‹ A(t) ρu · n̂dA = 0 (3.8) • Equac¸a˜o da Conservac¸a˜o da Quantidade de Movimento:∑ F = ˚ V (t) ∂ ∂t uρdV + ‹ A(t) u(ρu · n̂)dA (3.9) • Equac¸a˜o da Conservac¸a˜o do Momento da Quantidade de Movimento:∑ M = ˚ V (t) ∂ ∂t (r × u)ρdV + ‹ A(t) (r × u)(ρu · n̂)dA (3.10) • Equac¸a˜o da Conservac¸a˜o da Energia Te´rmica: Q˙− W˙ = ˚ V (t) ∂ ∂t eρdV + ‹ A(t) e(ρu · n̂)dA, e = h+ 1 2 u2 + gz (3.11) 31 Outras grandezas podem ser descritas pelo teorema transporte de Reynolds. De outra forma, usando o teorema da divergeˆncia: D Dt ˚ V (t) G(x, t)dV = ˚ V (t) ∂G ∂t dV + ˚ V (t) ∇ · (Gu)dV D Dt ˚ V (t) G(x, t)dV = ˚ V (t) ( ∂G ∂t +∇ · (Gu) ) (3.12) 3.2 Vaza˜o Considera-se uma superf´ıcie de a´rea A onde o fluido atravessa sem resisteˆncia, conforme figura 3.1: Figura 3.1: Superf´ıcie A Deseja-se saber a quantidade volume´trica de fluido que atravessa a superf´ıcie por uni- dade de tempo: Q˙ = ‹ A (u · n̂)dA = ‹ A un̂ cos θdA = uA (3.13) Adota-se a mesma convenc¸a˜o do teorema transporte de Reynolds. Quando o vetor velocidade e o vetor normal unita´rio tem mesma direc¸a˜o: 32 • Fluxo entrando: Sinal negativo (Sentidos opostos); • Fluxo saindo: Sinal positivo (Mesmo sentido); Portanto Q˙ e´ chamado de vaza˜o volume´trica. A vaza˜o ma´ssica e´ definida como a quantidade de massa de fluido que atravessa a mesma a´rea A por unidade de tempo: m˙ = ρuA(3.14) 3.3 Equac¸a˜o da Continuidade: Princ´ıpio da Conservac¸a˜o da Massa Sabemos que a massa de um volume material na˜o varia com o passar do tempo. Dessa forma, escreve-se a equac¸a˜o da conservac¸a˜o da massa na forma integral: Dm Dt = D Dt ˚ V (t) ρdV = 0 (3.15) Do Teorema Transporte de Reynolds e do teorema da divergeˆncia: D Dt ˚ V (t) G(x, t)dV = ˚ V (t) ∂G ∂t dV + ‹ A(t) Gu · n̂dA︸ ︷︷ ︸ D Dt ˚ V (t) G(x, t)dV = ˚ V (t) ∂G ∂t dV + ˚ V (t) ∇ · (Gu)dV D Dt ˚ V (t) G(x, t)dV = ˚ V (t) ( ∂G ∂t +∇ · (Gu) ) (3.16) Logo a equac¸a˜o 3.15 se torna: D Dt ˚ V (t) ρdV = ˚ V (t) ( ∂ρ ∂t +∇ · (ρu) ) = 0 (3.17) Como a escolha do volume de integrac¸a˜o V e´ arbitra´ria, segue que, do teorema da localizac¸a˜o: 33 ∂ρ ∂t +∇ · (ρu) = 0 (3.18) Corola´rio: Seja φ um campo ou escalar ou vetorial cont´ınuo e definido em um domı´nio Ω. O teorema da localizac¸a˜o afirma que, para dV arbitra´rio:˚ Ω φdV = 0 =⇒ φ = 0, ∃Ω ⊂ Ω (3.19) A equac¸a˜o 3.18 e´ a equac¸a˜o da continuidade na forma diferencial, e representa o princ´ıpio de conservac¸a˜o da massa em um escoamento. Note que ela e´ va´lida para todo ponto do escoamento! Desenvolvendo 3.18, temos: ∂ρ ∂t + u · ∇ρ+ ρ∇ · u = 0 Sendo Dρ Dt = ∂ρ ∂t + u · ∇ρ ⇒ Dρ Dt + ρ∇ · u = 0 (3.20) Sendo o volume espec´ıfico v = 1/ρ: D Dt ( 1 v ) + 1 v ∇ · u = 0 − 1 v2 Dv Dt = −1 v ∇ · u ∴ ∇ · u = 1 v Dv Dt (3.21) A equac¸a˜o 3.21 permite interpretar o divergente de u como sendo a “taxa de variac¸a˜o volume´trica, por unidade de volume”do escoamento. Definiremos escoamento incom- press´ıvel como aquele em que na˜o ha´ taxa de variac¸a˜o de volume. Logo, em escoamentos incompress´ıveis temos que a equac¸a˜o da continuidade fica, simplesmente: ∇ · u = 0 (3.22) Corola´rios: 34 1. Se ρ = cte: Dρ Dt = 0 ⇒ ρ∇ · u = 0 Como ρ 6= 0 ⇒ ∇ · u = 0 Se ρ = cte ⇒ ∇ · u = 0 2. Se ∇ · u = 0 (Escoamento Incompress´ıvel) ∂ρ ∂t + u · ∇ρ = 0 Notamos, portanto, que se o escoamento e´ incompress´ıvel, enta˜o ρ na˜o e´ necessari- amente constante. Pode haver variac¸a˜o de ρ associada a` mudanc¸as transientes da propriedade. Mesmo em escoamentos em regime permanente (∂ρ ∂t = 0), resta ainda a possibilidade de ρ variar de forma que u · ∇ρ = 0, ou seja, se o escoamento e´ perpen- dicular ao gradiente de massa espec´ıfica. Figura 3.2: Velocidade e Gradiente de Massa Espec´ıfica 3.4 Tensa˜o em um fluido: O postulado de Cauchy Considera-se todas as forc¸as atuando instantaneamente sobre o fluido no interior de volume δV na forma de um tetraedro: 35 Figura 3.3: Volume Tetrae´drico Onde t e´ o vetor de tenso˜es. Fazendo um balanc¸o de forc¸as sobre o volume: t(n̂)δAABC + t(−ê1)δAOCB + t(−ê2)δAOAC + t(−ê3)δAOAB + FδV = ρδV a (3.23) Onde a e´ a acelerac¸a˜o. Mas: δAOCB = −δAn̂ · ê1 = −δAê1 · n̂ (3.24) δAOAC = −δAn̂ · ê2 = −δAê2 · n̂ (3.25) δAOAB = −δAn̂ · ê3 = −δAê3 · n̂ (3.26) Logo: t(n̂)δA− t(−ê1)δAn̂ · ê1 − t(−ê2)δAn̂ · ê2 − t(−ê3)δAn̂ · ê3 + FδV = ρδV a, Dividindo por δA t(n̂) = t(−ê1)ê1 · n̂+ t(−ê2)ê2 · n̂+ t(−ê3)ê3 · n̂ − F δV δA + ρ δV δA a Fazendo o tetraedro tender ao ponto (limδV/δA → 0): t(n̂) = t(−êi)êi · n̂ (3.27) 36 O termo t(−êi)êi na˜o e´ ortogonal a`s faces. Se t e´ um vetor, enta˜o ele pode ser escrito como a transformac¸a˜o entre um tensor e os vetores de base, tal que: t(−êi) = σij êj (3.28) Onde σij e´ a componente j da tensa˜o t(−êi). Logo: t(n̂) = σij êj êi · n̂ = σ · n̂ (3.29) Observa-se que quando a u´nica forc¸a externa presente no escoamento for a gravidade, o balanc¸o de momento angular ira´ provar que o tensor de tenso˜es e´ sime´trico (σij = σji), ou seja, na˜o ha´ gerac¸a˜o de torque no interior do fluido. 3.5 Equac¸a˜o de Cauchy A equac¸a˜o de Cauchy representa o princ´ıpio da conservac¸a˜o do momento linear3. Toma- se um material fluido cont´ınuo qualquer em movimento: Figura 3.4: Material Fluido Cont´ınuo Faz-se um balanc¸o de forc¸as neste material: TAXA DE VARIAC¸A˜O DE QUANTIDADE DE = FORC¸AS DE + FORC¸AS DE MOVIMENTO SUPERFI´CIE CAMPO 3Tambe´m pode ser chamado de princ´ıpio da conservac¸a˜o da quantidade de movimento 37 Como o momento linear se conserva, a equac¸a˜o da conservac¸a˜o da quantidade de mo- vimento na forma integral pode ser escrita como: D Dt ˚ V (t) ρudV = ‹ A(t) tdA+ ˚ V (t) gρdV (3.30) A primeira integral a` esquerda pode ser escrita como: D Dt ˚ V (t) ρudV = ˚ V (t) ρ Du Dt dV (3.31) Do postulado de Cauchy, o vetor de tenso˜es pode ser substitu´ıdo pelo tensor de tenso˜es:˚ V (t) ρ Du Dt dV = ‹ A(t) σ · n̂dA+ ˚ V (t) gρdV (3.32) Aplicando o teorema da divergeˆncia na segunda integral:˚ V (t) ρ Du Dt dV = ˚ V (t) ∇ · σdV + ˚ V (t) gρdV (3.33) Organizando cada termo em uma u´nica integral: ˚ V (t) [ ρ Du Dt −∇ · σ − gρ ] dV = 0 (3.34) Aplicando o teorema da localizac¸a˜o, tem-se a equac¸a˜o de Cauchy: ρ Du Dt = ∇ · σ + ρg (3.35) A equac¸a˜o de Cauchy representa a segunda lei de Newton para qualquer material cont´ınuo. Considerac¸o˜es: • Forc¸as de campo: Sa˜o basicamente descritas pela definic¸a˜o de um campo conser- vativo, ou seja, forc¸as oriundas destes campos realizam trabalho nulo em qual- quer caminho fechado. Alguns exemplos sa˜o as forc¸as gravitacionais, de Coriolis, 38 Centr´ıpeta, Ele´trica e Magne´tica. Forc¸as de campo sa˜o percebidas em cada ponto material, e dependera˜o do tipo de interac¸a˜o entre o ponto em questa˜o e o campo de forc¸a. • Forc¸as de superf´ıcie: Dependem da interac¸a˜o do material com ele mesmo. Sa˜o percept´ıveis na ocorreˆncia de interac¸o˜es locais. O tensor de tenso˜es e´ onde estas interac¸o˜es sa˜o percebidas. Logo este tensor fara´ a distinc¸a˜o entre materiais. Logo a pergunta e´: Qual e´ a forma mais adequada para o tensor de tenso˜es? 3.6 Escoamentos inv´ıscidos - Equac¸a˜o de Euler E´ todo escoamento onde a ac¸a˜o do tensor de tenso˜es se dara´ apenas pela pressa˜o. Desconsidera-se qualquer efeito viscoso no escoamento. Fluidos que escoam desta forma sa˜o chamados ideais. Logo as forc¸as de superf´ıcie podem ser escritas como func¸a˜o da pressa˜o: ‹ A(t) −pn̂dA = − ˚ V (t) ∇pdV (3.36) Identidade importante: ∇ · (pI) = ∇p (3.37) Onde I e´ o tensor identidade. Da equac¸a˜o de Cauchy: ρ Du Dt = ∇ · σ + ρg (3.38) Para escoamentos inv´ıscidos, o tensor de tenso˜es e´ escrito como um tensor diagonal: σ = −pI (3.39) Este resultado mostra que as tenso˜es normais compo˜em a diagonal principal do tensor de tenso˜es, ao passo que as tenso˜es cisalhantes (Quando existirem) completara˜o o tensor: 39 σ = σ11 τ12 τ13 τ21 σ22 τ23 τ31 τ32 σ33 (3.40) Da equac¸a˜o 3.39, e´ poss´ıvel escrever o tensor de tenso˜es em notac¸a˜o indicial: σij = −pδij (3.41) O trac¸o de um tensor e´ definido como a soma dos termos da diagonal principal: σii = −pδii = −3p p = −1 3 σii p = −1 3 tr(σ) (3.42) Este resultado relaciona a pressa˜o mecaˆnica em um escoamento como func¸a˜o apenas do tensor de tenso˜es. A influeˆncia da pressa˜o no tensor de tenso˜es se da´ na diagonal principal. Logo, a partir desta premissa e do resultado mostrado na equac¸a˜o 3.39, a equac¸a˜o de Cauchy (Equac¸a˜o 3.38) se torna a equac¸a˜o de Euler: ρ Du Dt = −∇p+ ρg (3.43) 3.7 Func¸a˜o de corrente Seja um escoamento incompress´ıvel, tal que ∇ · u = 0. Se chamarmos u = ∇ × ψ pode-se dizer que (Propriedade do produto misto): ∇ · u = ∇ · (∇× ψ) = 0 (3.44) Toma-se agora um escoamentobidimensional. Para que os componentes do vetor ve- locidade u fiquem no plano, utiliza-se a propriedade do produto vetorial, impondo: ψ = ψê3 (3.45) Logo: 40 u = ∇× (ψê3) = ∣∣∣∣∣∣∣∣ ê1 ê2 ê3 ∂ ∂x1 ∂ ∂x2 ∂ ∂x3 0 0 ψ ∣∣∣∣∣∣∣∣ u = ∂ψ ∂x2 ê1 − ∂ψ ∂x1 ê2 = ( ∂ψ ∂x2 ,− ∂ψ ∂x1 ) (3.46) A func¸a˜o de corrente ψ e´ uma func¸a˜o escalar cont´ınua e diferencia´vel. Observa-se que as duas componentes u1 e u2 do vetor velocidade foram substitu´ıdas por uma func¸a˜o ψ. Portanto, ao se tomar linhas de corrente 2D, tem-se: u1 = dx1 dt ; u2 = dx2 dt dt = dx1 u1 = dx2 u2 , Se dt = 0 dx1 u1 = dx2 u2 ⇒ u2dx1 = u1dx2 − ∂ψ ∂x1 dx1 − ∂ψ ∂x2 dx2 = 0 ⇒ dψ = 0 (3.47) Este resultado mostra que a func¸a˜o de corrente e´ constante ao longo de uma linha de corrente. 3.8 Vorticidade Define-se vorticidade como uma medida da rotac¸a˜o do escoamento. Para definir esta grandeza, tomam-se duas linhas materiais de fluido AB e BC, inicialmente perpen- diculares em um tempo inicial t. Estas linhas se movimentara˜o em um escoamento, conforme figura 3.5: 41 Figura 3.5: Linhas Materiais. Adaptado de: White, F. Fluid Mechanics, 4a Edition Decorrido um tempo ∆t, estas linhas materiais se movera˜o e se deformara˜o para uma configurac¸a˜o A’B’ e B’C’ (Figura 3.5) As parcelas ∂u1/∂x1dx1∆t e ∂u2/∂x2dx2∆t sa˜o responsa´veis pela deformac¸a˜o das linhas materiais, ja´ que promovera˜o elongamento das mesmas. A deformac¸a˜o relativa me´dia δl/l das duas linhas materiais e´ dada por: 1 2 [ ∂u1 ∂x1 dx1∆t dx1 + ∂u2 ∂x2 dx2∆t dx2 ] (3.48) Define-se agora uma taxa de deformac¸a˜o relativa como: D = 1 2 [ ∂u1 ∂x1 + ∂u2 ∂x2 ] (3.49) O termo entre pareˆnteses representa o trac¸o do tensor taxa de deformac¸a˜o, que se relaciona com o divergente do campo de velocidade. Se o escoamento e´ incompress´ıvel: ∇ · u = ∂u1 ∂x1 + ∂u2 ∂x2 = 0⇒ ∂u1 ∂x1 = −∂u2 ∂x2 (3.50) 42 Ja´ os termos ∂u1/∂x2dx2∆t e ∂u2/∂x1dx1∆t se relacionam a` velocidade angular me´dia tal que: ωx3 = 1 2 [ ∂u1 ∂x2 − ∂u2 ∂x1 ] (3.51) Nota-se que a equac¸a˜o 3.51 representa a componente x3 do vetor velocidade angular me´dio. O rotacional da velocidade no caso considerado pode ser escrito como: ∇× u = [ ∂u1 ∂x2 − ∂u2 ∂x1 ] ê3 (3.52) Comparando as equac¸o˜es 3.51 e 3.52: ω = 1 2 (∇× u) (3.53) Onde ω e´ o vetor velocidade angular. Logo, define-se a vorticidade Ω como um vetor duas vezes maior que ω: Ω = 2ω = ∇× u (3.54) Escoamentos rotacionais sa˜o tais que a velocidade angular local de uma part´ıcula e´ na˜o-nula. 3.9 Teorema da circulac¸a˜o de Kelvin A equac¸a˜o de Cauchy representa o princ´ıpio da conservac¸a˜o do momento linear. Toma- se um material fluido cont´ınuo qualquer em movimento: 43 Figura 3.6: Material Fluido Cont´ınuo Aqui, t e´ a posic¸a˜o tangencial ao redor do contorno de C. Considera-se que u · t representara´ a parcela da velocidade que na˜o contribuira´ na vaza˜o. Por definic¸a˜o a circulac¸a˜o e´ dada por: Γ = ˛ C u · tdl (3.55) Aplicando o teorema de Stokes: Γ = ˛ C u · tdl = ‹ S (∇× u) · n̂dS (3.56) Tomando a derivada material da circulac¸a˜o: DΓ Dt = D Dt ˛ C u · tdl = D Dt ˛ C u · dt, dt = tdl (3.57) Logo: ˛ C D Dt (u · dt) = ˛ C Du Dt · dt+ ˛ C u · D Dt (dt) (3.58) Da equac¸a˜o de Euler: Du Dt = −∇p+ ρg , g = −∇Φ, Campo gravitacional conservativo DΓ Dt = ˛ C [ −1 ρ ∇p−∇Φ ] dt+ ˛ C u · du (3.59) 44 Admitindo a condic¸a˜o de fluido barotro´pico (Fluido onde a massa espec´ıfica e´ func¸a˜o apenas da pressa˜o) e aplicando o teorema de Stokes na primeira integral: ˛ C [ −1 ρ ∇p−∇Φ ] dt = ‹ S ∇× −1 ρ ∇p− ∇Φ︸︷︷︸ ∇×(∇Φ)=0 · n̂dS = ‹ S ∇× [ −1 ρ ∇p ] · n̂dS = ‹ S 1 ρ2 [∇ρ×∇p]︸ ︷︷ ︸ =0 ·n̂dS = 0 (3.60) Para fluidos barotro´picos, ∇ρ e ∇p sa˜o paralelos, levando o termo destacado a ser igual a zero. Para a segunda integral:˛ C u · du = 1 2 ˛ C d(u2) = 0 (3.61) O resultado dado pela equac¸a˜o 3.61 se justifica pelo fato de que u e´ igual no in´ıcio e no fim do caminho fechado. Portanto, o teorema da circulac¸a˜o de Kelvin sera´ dado por: DΓ Dt = 0 (3.62) 3.10 Escoamento potencial Considerac¸o˜es: • O nu´mero de Reynolds tende ao infinito, tal que na˜o existira´ difusa˜o de vortici- dade; • Escoamento bidimensional; • Escoamento incompress´ıvel; • Escoamento irrotacional; Tomando um campo de velocidade com estas considerac¸o˜es, afirma-se que para um campo conservativo e irrotacional, existira´ um potencial φ tal que: u = ∇φ = u1ê1 + u2ê2 = ∂φ ∂x1︸︷︷︸ u1 ê1 + ∂φ ∂x2︸︷︷︸ u2 ê2 = ( ∂φ ∂x1 , ∂φ ∂x2 ) (3.63) 45 Nota sobre campos conservativos: Uma forc¸a conservativa F e´ definida como uma forc¸a cujo trabalho realizado em qualquer caminho fechado e´ sempre nulo. Em outras palavras: ˛ C F dx = 0 (3.64) Do teorema de Stokes, sabemos que: ˛ C F dx = ˆ S (∇× F ) · n̂dS (3.65) Este resultado e´ va´lido para qualquer superf´ıcie S do domı´nio fluido, ou seja, ∇×F = 0, ∀x ∈ V . Sabemos das identidades vetoriais estudadas que ∇ × ∇φ = 0. Logo, sempre e´ poss´ıvel escrever F na forma de gradiente de uma func¸a˜o escalar φ, ou seja F = −∇φ. O sinal negativo e´ uma convenc¸a˜o bastante utilizada, mas rigorosamente desnecessa´ria. Se u e´ um campo solenoidal: ∇ · u = ∇ · (∇φ)⇒ ∇2φ = 0 (3.66) A equac¸a˜o 3.66 e´ uma equac¸a˜o de Laplace, mostrando que o potencial de velocidade φ e´ uma func¸a˜o harmoˆnica. O mesmo pode ser dito para a func¸a˜o de corrente. Se o campo de velocidade e´ irrotacional, pode-se utilizar a equac¸a˜o 3.46 para escrever a velocidade em termos da func¸a˜o de corrente: ∇× u = ∇× (ψê3) = ∇× ( ∂ψ ∂x2 ,− ∂ψ ∂x1 ) = 0 −∂ 2ψ ∂x21 − ∂ 2ψ ∂x22 = 0 ⇒ −∇2ψ = 0 (3.67) Observa-se uma relac¸a˜o entre o potencial de velocidade φ e a func¸a˜o de corrente ψ: u = ( ∂φ ∂x1 , ∂φ ∂x2 ) = ( ∂ψ ∂x2 ,− ∂ψ ∂x1 ) (3.68) 46 Comparando estas duas grandezas, definem-se as relac¸o˜es de Cauchy-Riemann: u1 = ∂φ ∂x1 = ∂ψ ∂x2 (3.69) u2 = ∂φ ∂x2 = − ∂ψ ∂x1 (3.70) Uma linha equipotencial ou isopotencial sera´ uma linha onde φ = cte, tal que: dφ = ∂φ ∂x1 dx1 + ∂φ ∂x2 dx2 = 0 (3.71) = ( ∂φ ∂x1 , ∂φ ∂x2 ) · dx = 0 (3.72) = ∇φ · dx (3.73) Este resultado afirma que o gradiente do potencial de velocidade e´ perpendicular a`s isopotenciais. Da mesma forma, o gradiente da func¸a˜o de corrente e´ perpendicular a`s linhas de corrente. Tomando o produto escalar entre ambos os gradientes e aplicando as relac¸o˜es de Cauchy-Riemann: ∇φ · ∇ψ = ( ∂φ ∂x1 , ∂φ ∂x2 ) · ( ∂ψ ∂x1 , ∂ψ ∂x2 ) = ∂φ ∂x1 ∂ψ ∂x1 + ∂φ ∂x2 ∂ψ ∂x2 , Aplicando 3.69 = ∂ψ ∂x2 ( ∂ψ ∂x1 ) + ( − ∂ψ ∂x1 ) ∂ψ ∂x2 = 0 (3.74) Conclui-se com este resultado que as linhas de corrente e as linhas isopotenciais sera˜o sempre perpendiculares. Alguns exemplos de escoamentos potenciais4 sa˜o: 4Fonte das imagens da fonte, sorvedouro e dipolo: http://en.wikipedia.org/wiki/Two- dimensional flows 47 (a) Fonte (b) Sorvedouro (c) Escoamento Uniforme (d) Dipolo Figura 3.7: Escoamentos Potenciais 3.10.1 Princ´ıpio da superposic¸a˜o: O me´todo dos paine´is Consideram-se dois potenciais φ1 e φ2, que satisfazem a equac¸a˜o de Laplace: ∇2φ1 +∇2φ2 = 0⇒ ∇2(φ1 + φ2) = 0 (3.75) Este resultado permite concluir que φ = φ1 + φ2 tambe´m satisfaz a equac¸a˜o de La- place. Se dois potenciais de velocidadede escoamentos distintos atendem esta condic¸a˜o, enta˜o o somato´rio destes potenciais permite combinar estes escoamentos potenciais. 48 O me´todo dos paine´is consiste em calcular escoamentos potenciais oriundos de com- binac¸o˜es de outros escoamentos potenciais. A figura 3.8 mostra alguns exemplos5: (a) Escoamento Uniforme + Fonte = Ponto de Estagnac¸a˜o (b) Escoamento Uniforme + Fonte + Sorvedouro = Dipolo (c) Escoamento Uniforme + Vo´rtice = Escoamento em torno de um cilindro 2D Figura 3.8: Escoamentos Potenciais Superpostos 3.11 Exerc´ıcios 1- Uma sala qualquer possui concentrac¸a˜o de poeira C e a massa espec´ıfica da poeira ρd. Quando uma janela e´ aberta, uma rajada de vento entra na sala em condic¸o˜es ρ, A1 e u1, onde A e´ a a´rea e u e´ a velocidade. Nota-se que o ar que entra e´ livre de poeira. Uma rajada de ar sai por outra janela em condic¸o˜es ρ, A2 e u2. Sabendo que a concentrac¸a˜o de poeira e´ uma raza˜o da massa espec´ıfica da poeira e a massa espec´ıfica do ar, e a mesma pode ser considerada como conservativa, utilize o teorema do transporte de Reynolds para encontrar uma expressa˜o que denote a taxa de troca de massa de poeira na sala. 2- Um bocal de Laval, muito utilizado em propulsores de oˆnibus espaciais, consiste em uma sec¸a˜o convergente-divergente, ou seja, o diaˆmetro da entrada e´ menor que o diaˆmetro da sa´ıda. A intenc¸a˜o e´ que ocorra a expansa˜o do escoamento de ar em 5Imagens adaptadas de http://soliton.ae.gatech.edu/labs/windtunl/classes/lowspdaero/lospd4/lospd4.html 49 velocidade supersoˆnica. Na entrada ou garganta do bocal, o ar esta´ a uma pressa˜o de 284 KPa, temperatura de 665 K e velocidade de 517 m/s, e o diaˆmetro e´ de 0,01m. Na sa´ıda, o ar esta´ a uma pressa˜o de 8 KPa e temperatura de 240 K, com diaˆmetro de 0,025m. Considerando o escoamento como compress´ıvel e em regime permanente, calcule: • A vaza˜o ma´ssica; • A velocidade da sa´ıda; • O nu´mero de Mach na sa´ıda, considerando que a velocidade do som local e´ de 310 m/s; Para calcular a massa espec´ıfica, utilize a seguinte equac¸a˜o de estado (R = 0, 287KJ/KgK): p = ρRT (3.76) 3- Um peso de 700 N se encontra em um estado de equil´ıbrio devido a um jato de a´gua ascendente que o sustenta. Considerando que o diametro me´dio do jato de a´gua e´ de 5 cm calcule a velocidade necessa´ria do jato de a´gua para manter o peso equilibrado. 4- Uma ma´quina te´rmica operando em regime permanente admite ar na sec¸a˜o 1 e descarrega nas sec¸o˜es 2 e 3, distintas. As condic¸o˜es de operac¸a˜o sa˜o dadas pela tabela abaixo: Sec¸a˜o a´rea(m) vaza˜o (m3/s) Temperatura (oC) pressa˜o (kPa) 1 371,6 2,832 21 137,9 2 929 1,133 38 206,84 3 232,6 1,416 93 Fornece-se 150 W de poteˆncia para esta ma´quina. Admitindo que o ar se comporta como um ga´s perfeito e os fluxos de energia potencial e cine´tica sa˜o desprez´ıveis, calcule o calor transferido por esta ma´quina. Em seus ca´lculos use a seguinte equac¸a˜o de estado para a entalpia: h = cpT (3.77) 50 5- Em que condic¸o˜es o seguinte campo de velocidade sera´ incompress´ıvel? u(x1, x2, x3) = (a1x1 + b1x2 + c1x3)eˆ1 + (a2x1 + b2x2 + c2x3)eˆ2 + (a3x1 + b3x2 + c3x3)eˆ3 (3.78) 6- Um campo de velocidade incompress´ıvel e´ dado por u = a(x21 − x22)eˆ1 + u2eˆ2 + beˆ3. Aqui, b e´ uma constante. Calcule o valor de u2. 7- Mostre que qualquer campo de velocidade U que pode ser expresso como o gradiente de uma grandeza escalar φ deve ser um campo irrotacional. 8- Considere o escoamento bidimensional oriundo da superposic¸a˜o entre treˆs escoamen- tos: • Escoamento uniforme: u = u0eˆ1 • Fonte localizada em (−a, 0); • Sorvedouro localizado em (a, 0); Determine: • O potencial de velocidade e a func¸a˜o de corrente deste escoamento; • Onde estara˜o poss´ıveis pontos de estagnac¸a˜o? • Que escoamento e´ este? 9- Toma-se o seguinte campo de velocidade (a e´ uma constante): u = a(x21 − x22)eˆ1 − 2ax1x2eˆ2 (3.79) 51 • E´ poss´ıvel escrever um potencial de velocidade para este escoamento? Se sim, mostre o potencial e a func¸a˜o de corrente como func¸a˜o de a; • Este escoamento e´ irrotacional? Qual e´ o valor da vorticidade? 10- Um escoamento e´ descrito pela seguinte func¸a˜o de corrente: ψ = x21 − 2x2 (3.80) Determine as linhas de corrente para ψ = 0, 1, 2. Calcule a velocidade e a vorticidade deste escoamento. 11- Dado o campo de velocidade: u = 2x1eˆ1 + 4x2eˆ2 + 15eˆ3 (3.81) Calcule a vorticidade e avalie a circulac¸a˜o ao redor de um quadrado de lado a. 12- De modo a analisar o escoamento de o´leo na perfurac¸a˜o em a´guas profundas, um engenheiro decidiu efetuar um ca´lculo das linhas de corrente do escoamento. Observou- se um campo de velocidade via medic¸o˜es com anemoˆmetros, e aproximou-se este campo para a seguinte se´rie: u = ∞∑ n≥1 1 nx (3.82) Entretanto, esta aproximac¸a˜o so´ pode ser utilizada caso se garanta a convergeˆncia da se´rie. Utilizando o teste da raza˜o, discorra sobre a possibilidade da utilizac¸a˜o desta se´rie como aproximac¸a˜o para o campo de velocidade. Teste da Raza˜o: 52 Para uma se´rie: ∞∑ n≥1 xn (3.83) Onde xn 6= 0, para qualquer n ≥ 1, tem-se: L = lim n→∞ xn+1 xn (3.84) Caso: • L < 1, a se´rie converge; • L > 1, a se´rie diverge; • L = 1, na˜o e´ poss´ıvel afirmar se a se´rie converge ou diverge; 13- Para os seguintes potenciais de velocidade: φ1 = sin(x2) (3.85) φ2 = cos(x1) (3.86) • Determine o campo de velocidade oriundo da superposic¸a˜o dos escoamentos 1 e 2; • Calcule o gradiente de pressa˜o deste escoamento usando a equac¸a˜o de Euler. Considere auseˆncia de forc¸as de campo; 14- Para o seguinte campo de velocidade: u = 2x1ê1 + 4x2ê2 + 6x3ê3 (3.87) 53 • Existe um potencial de velocidade para este escoamento? • Este escoamento e´ rotacional? • Verifique se este escoamento atende o teorema da circulac¸a˜o de Kelvin; 15- Para um dado escoamento cujo campo de velocidade e´ dado por: u = (x1, x2) (3.88) • Calcule a circulac¸a˜o ao redor de um meio cont´ınuo arbitra´rio. Este escoamento atende ao teorema da circulac¸a˜o de Kelvin? • Em que condic¸o˜es existira´ um potencial de velocidade para este escoamento? 16- Considera-se um escoamento em torno de um canto vivo de aˆngulo coˆncavo. Sua func¸a˜o de corrente e´ dada por: ψ = rpi/α sin ( piθ α ) (3.89) Onde α ≥ 180 graus. Para este escoamento: • Calcule a componente r do campo de velocidade; • O que acontecera´ com o escoamento se α = pi? 54 4 ESCOAMENTOS VISCOSOS - EQUAC¸A˜O DE NAVIER-STOKES 4.1 Tensor de tenso˜es para um fluido Newtoniano Considera-se uma laˆmina de fluido depositada entre uma superf´ıcie fixa e uma placa livre. A placa comec¸a a se mover com velocidade constante U , oriundo da aplicac¸a˜o de uma forc¸a F . Gera-se um perfil linear de velocidade unidirecional no fluido, conforme figura 4.1: Figura 4.1: Experieˆncia de Newton Logo: F ∝ AU h ⇒ F A = µ U h ⇒ τ = µ du dx2 (4.1) A lei da viscosidade de Newton na forma generalizada e´ dada por: τ = µ∇u (4.2) O termo de gradiente de velocidade e´ um tensor. Como tal, ele pode ser escrito em uma parte sime´trica D e uma parte anti-sime´trica W , tal que: 55 ∇u = D +W ⇒ D = 1 2 (∇u+ (∇u)T ) (4.3) ⇒ W = 1 2 (∇u− (∇u)T ) (4.4) Fisicamente, W na˜o impo˜e rotac¸a˜o no fluido, permitindo escrever: τ = 2µD = µ(∇u+ (∇u)T ) (4.5) Em notac¸a˜o indicial: ∇u = ∂ ∂xi uj êiêj (4.6) D = 1 2 [ ∂ui ∂xj + ∂uj ∂xi ] êiêj (4.7) Tomando o trac¸o de D: tr(D) = 1 2 [ ∂ui ∂xi + ∂ui ∂xi ] = 1 2 [ 2 ∂ui ∂xi ] = ∂ui ∂xi = ∇ · u (4.8) Em escoamentos viscosos, nota-se a presenc¸a de tenso˜escisalhantes ale´m das tenso˜es normais. Logo o tensor de tenso˜es sera´ o somato´rio entre uma parte dita isotro´pica (Oriunda das tenso˜es normais e relacionada com a pressa˜o) e uma parte dita deviato´rica (Oriunda das tenso˜es cisalhantes e relacionada com a viscosidade), tal que: σ = −pI + τ (4.9) As tenso˜es cisalhantes para um fluido newtoniano sa˜o escritas na seguinte forma: τ = 2µD + λ(∇ · u)I (4.10) Onde: • µ - Viscosidade dinaˆmica do fluido; 56 • λ - Mo´dulo de expansa˜o do material; Substituindo estes resultados na equac¸a˜o 4.9, tem-se o tensor de tenso˜es para fluido newtoniano escoando com efeitos viscosos: σ = −pI + 2µD + λ(∇ · u)I (4.11) Fluidos na˜o-newtonianos necessitam de uma equac¸a˜o tensa˜o-taxa de deformac¸a˜o pro´pria. 4.2 Equac¸a˜o de Navier-Stokes Para a obtenc¸a˜o da equac¸a˜o de Navier-Stokes, sera´ usada a relac¸a˜o 4.11, inserindo-a na equac¸a˜o de Cauchy. Para tanto, e´ necessa´rio calcular o seu divergente (∇·σ). Este ca´lculo sera´ mostrado aqui parcela a parcela em notac¸a˜o indicial. Primeiro termo: ∇ · (−pI) = − ∂ ∂xm eˆm · pδij eˆieˆj = − ∂ ∂xm δij (eˆm · eˆi)︸ ︷︷ ︸ δmi eˆjp = − ∂ ∂xm δijδmi︸ ︷︷ ︸ δmj eˆjp = − ∂ ∂xm δmj eˆj︸ ︷︷ ︸ ˆem p = − ∂ ∂xm eˆmp = −∇p (4.12) Segundo termo: ∇ · (2µD) = 2µ(∇ ·D) (4.13) = 2µ [ 1 2 (∇u+ (∇u)T ) ] = µ∇ · (∇u) + µ∇ · (∇u)T = µ∇2u+ µ∇ · (∇u)T 57 Analisando ∇ · (∇u)T : ∇ · (∇u)T = ∂ ∂xi eˆi · ( ∂ ∂xj eˆjukeˆk )T = ∂ ∂xi eˆi · ∂ ∂xk eˆjuj eˆk = ∂ ∂xi ∂ ∂xk (eˆi · eˆj)︸ ︷︷ ︸ δij uj eˆk = ∂ ∂xi ∂ ∂xk δijuj︸︷︷︸ ui eˆk = ∂ ∂xk ∂ui ∂xi eˆk = ∇(∇ · u) Logo: ∇ · (2µD) = µ∇2u+ µ∇(∇ · u) (4.14) Para o u´ltimo termo, sera´ utilizada a hipo´tese de Stokes: λ = −2 3 µ (4.15) Portanto: λ(∇ · u)I = −2 3 µ(∇ · u)I Tomando o divergente ⇒ ∇ · [ −2 3 µ(∇ · u)I ] = −2 3 µ∇ · [(∇ · u)I] = −2 3 µ (∇ · u) (∇ · I)︸ ︷︷ ︸ =0 +I · ∇(∇ · u) = −2 3 µ [I · ∇(∇ · u)] Avaliando I · ∇(∇ · u): I · ∇(∇ · u) = δij eˆieˆj · ∂ ∂xk ∂ul ∂xl eˆk = ∂ ∂xk ∂ul ∂xl δij eˆi eˆj · eˆk︸ ︷︷ ︸ δjk = ∂ ∂xk ∂ul ∂xl δijδjk︸ ︷︷ ︸ δik eˆi = ∂ ∂xk ∂ul ∂xl δikeˆi︸︷︷︸ contraindo = ∂ ∂xk eˆk ∂ul ∂xl = ∇(∇ · u) 58 Logo: λ(∇ · u)I = −2 3 µ∇(∇ · u) (4.16) O divergente do tensor de tenso˜es agora pode ser escrito como: ∇ · σ = −∇p+ µ∇2u+ µ∇(∇ · u)− 2 3 µ∇(∇ · u) = −∇p+ µ∇2u+ 1 3 µ∇(∇ · u) (4.17) Inserindo na equac¸a˜o de Cauchy (Equac¸a˜o 3.35): ρ Du Dt = −∇p+ µ∇2u+ 1 3 µ∇(∇ · u) + ρg (4.18) Expandindo a derivada material, tem-se finalmente a equac¸a˜o de Navier-Stokes: ρ ∂u ∂t︸︷︷︸ 1 +u · ∇u︸ ︷︷ ︸ 2 = − ∇p︸︷︷︸ 3 +µ∇2u︸ ︷︷ ︸ 4 + 1 3 µ∇(∇ · u)︸ ︷︷ ︸ 5 + ρg︸︷︷︸ 6 (4.19) Onde: 1. Termo transiente 2. Termo convectivo 3. Termo de forc¸as de pressa˜o 4. Termo difusivo ou viscoso 5. Termo de compressibilidade 6. Termo de forc¸as de campo A equac¸a˜o de Navier-Stokes e´ uma equac¸a˜o diferencial parcial na˜o-linear e na˜o-homogeˆnea. A na˜o-linearidade esta´ no termo convectivo. A equac¸a˜o de Navier-Stokes pode ser ob- servada como uma interpretac¸a˜o da segunda lei de Newton, onde o lado esquerdo e´ 59 a variac¸a˜o da quantidade de movimento e o lado direito e´ o somato´rio das forc¸as re- sultantes. Esta equac¸a˜o descreve o movimento de qualquer fluido newtoniano. Seu entendimento teo´rico e´ incompleto, ou seja, para um escoamento tridimensional e com condic¸o˜es iniciais e contorno determinadas, na˜o se deduziu ainda uma soluc¸a˜o anal´ıtica u´nica. Este e´ um dos sete problemas do mileˆnio, posto na seguinte forma: Prove ou fornec¸a um contra-exemplo da seguinte afirmac¸a˜o: Em um dom´ınio tridimensional que varia no tempo, dado um campo inicial de velocidade, existira´ um vetor velocidade e um valor escalar de pressa˜o, ambos u´nicos e definidos, que resolvera˜o a equac¸a˜o de Navier- Stokes. O procedimento para se obter soluc¸o˜es da equac¸a˜o de Navier-Stokes consiste em simplifica- las analisando a ordem de magnitude de cada termo e desprezando termos de pequena ordem de magnitude. Para esta ana´lise, podem-se usar ana´lise de escala1 ou ana´lise f´ısica direta do fenoˆmeno. A literatura traz as formulac¸o˜es destas soluc¸o˜es. 4.2.1 Adimensionalizac¸a˜o da equac¸a˜o de Navier-Stokes A adimensionalizac¸a˜o de equac¸o˜es consiste em um procedimento usado na simulac¸a˜o nume´rica e em ensaios de laborato´rio. Considera-se que a especificac¸a˜o de condic¸o˜es iniciais e de contorno envolva grandezas caracter´ısticas de comprimento e velocidade. Logo os resultados obtidos podem ser comparados diretamente com estas grandezas. Neste sentido, qualquer processo de adimensionalizac¸a˜o comec¸a no estabelecimento destas grandezas. Em seguida, escrevem-se valores adimensionais de comprimento, velocidade, tempo e pressa˜o. Se: • L - Comprimento caracter´ıstico; • U - Velocidade caracter´ıstica; 1Sera´ mostrada no pro´ximo cap´ıtulo 60 Enta˜o os valores adimensionais sera˜o: u∗ = u U ⇒ u = u∗U (4.20) x∗ = x L ⇒ x = x∗L (4.21) t∗ = tU L ⇒ t = t∗ L U (4.22) p∗ = p ρU 2 ⇒ p = p∗ρU 2 (4.23) Inserindo em cada termo da equac¸a˜o de Navier-Stokes incompress´ıvel e sem forc¸as de campo: Termo Transiente: ∂u ∂t = ∂ ∂t (u∗U) = U ∂u∗ ∂t = U ∂u∗ ∂(t∗ LU ) = U U L ∂u∗ ∂t∗ = U 2 L ∂u∗ ∂t∗ (4.24) Termo convectivo (O operador ∇ adimensionalizado e´ definido usando o valor adimen- sional de comprimento x∗): u · ∇u = u∗U · ( 1 L ∇∗(u∗U) ) = U U L u∗ · ∇∗u∗ = U 2 L u∗ · ∇∗u∗ (4.25) Termo de pressa˜o: ∇p = 1 L ∇∗(p∗ρU 2) = U 2 L ρ∇∗p∗ (4.26) Termo difusivo: µ∇2u = µ 1 L2 ∇∗2(u∗U) = µ U L2 ∇∗2u∗ (4.27) 61 Substituindo: ρ ( U 2 L ∂u∗ ∂t∗ + U 2 L u∗ · ∇∗u∗ ) = −U 2 L ρ∇∗p∗ + µU L2 ∇∗2u∗ Dividindo por ρU 2/L: ∂u∗ ∂t∗ + u∗ · ∇∗u∗ = −∇∗p∗ + µU L2 L ρU 2 ∇∗2u∗ Simplificando o termo difusivo: ∂u∗ ∂t∗ + u∗ · ∇∗u∗ = −∇∗p∗ + µ ρUL︸ ︷︷ ︸ 1 Re ∇∗2u∗ ∂u∗ ∂t∗ + u∗ · ∇∗u∗ = −∇∗p∗ + 1 Re ∇∗2u∗ (4.28) Observa-se que o nu´mero de Reynolds e´, nestas condic¸o˜es, o u´nico adimensional que aparece de forma expl´ıcita. Baseado neste resultado e´ poss´ıvel dar uma nova inter- pretac¸a˜o para este adimensional. A viscosidade cinema´tica ν tem um papel de coefici- ente de difusa˜o viscosa no escoamento. Portanto: [ν] = m2 s = m s m (4.29) Logo, afirma-se que ν e´ da mesma ordem que o produto uL, ou seja: ν ∼ uL (4.30) Fazendo u = L/τD ν ∼ L τD L⇒ τD ∼ L 2 ν (4.31) Onde τD e´ um tempo de difusa˜o viscosa. Definindo agora um tempo de convecc¸a˜o τC como: τC ∼ L u (4.32) 62 Fazendo a raza˜o entre tempos: τD τC ∼ L 2 ν u L ∼ uL ν ∼ Re (4.33) Conclui-se deste resultado que o nu´mero de Reynolds expressara´ uma raza˜o entre tem- pos de transporte difusivo e convectivo. Dependendo da adimensionalizac¸a˜o adotada, outros adimensionais podem surgir de forma expl´ıcita. 4.3 Algumas Soluc¸o˜es da Equac¸a˜o de Navier-Stokes Nesta sec¸a˜o apresentaremos duas soluc¸o˜es da equac¸a˜o de Navier-Stokes. 4.3.1 Escoamento laminar plenamente desenvolvido em dutos de sec¸a˜o cir- cular Este escoamento tambe´m e´ chamado de escoamento de Hagen-Poiseville, que caracte- riza o escoamento interno em dutos de sec¸a˜o circular. Define-se escoamento interno como todo escoamento que e´ contido ou confinado por paredes. O exemplo mais direto deste escoamento e´ o escoamento em tubos e condutos. Este tipo de escoamento apre- senta efeitos viscososcrescentes devido ao confinamento. Estes efeitos sa˜o oriundos das camadas limite existentes nas paredes. Estas camadas limite aumentam de espessura ao longo do escoamento, causando desacelerac¸a˜o do escoamento axial na regia˜o da pa- rede e acelerac¸a˜o do escoamento axial na regia˜o central. Esta caracter´ıstica sustentara´ a incompressibilidade do escoamento. 63 Figura 4.2: Escoamento interno Todo escoamento interno apresentara´ perda de pressa˜o. A uma distaˆncia Le da entrada (Figura2 4.2), as camadas limite se unificam, e os perfis de velocidade se ajustara˜o ate´ este ponto. A partir deste ponto, a velocidade na˜o mais varia na direc¸a˜o axial, tornando-se apenas func¸a˜o da coordenada radial (No caso de tubos de sec¸a˜o circular). Esta condic¸a˜o e´ chamada de escoamento plenamente desenvolvido, onde o perfil de velocidade e´ constante na direc¸a˜o axial, bem como a tensa˜o cisalhante nas paredes do tubo. Outra caracter´ıstica e´ o decaimento linear da pressa˜o com a direc¸a˜o axial. Logo, chama-se Le de comprimento de desenvolvimento, ou seja, o comprimento necessa´rio para o escoamento atingir a condic¸a˜o de desenvolvimento pleno. A literatura traz correlac¸o˜es para Le como func¸a˜o do nu´mero de Reynolds baseado no diaˆmetro do tubo ReD: Le D ∼= 0, 06ReD, Escoamento Laminar (4.34) Le D ∼= 4, 4Re0,16D , Escoamento Turbulento (4.35) 2Adaptada de: White, F. Fluid Mechanics, 4a Edition 64 As premissas deste escoamento sa˜o (Em coordenadas cil´ındricas): • Escoamento unidimensional: u = u(r) (Condic¸a˜o de escoamento plenamente desenvolvido) • Escoamento unidirecional: u = u(r, θ, z)eˆr • Regime permanente Aplica-se a equac¸a˜o de Navier-Stokes em coordenadas cil´ındricas na direc¸a˜o axial do escoamento: ∂uz ∂t + ur ∂uz ∂r + uθ r ∂uz ∂θ + uz ∂uz ∂z = −1 ρ ∂P ∂z + ν [ 1 r ∂ ∂r ( ∂uz ∂r ) + 1 r2 ∂2uz ∂θ2 + ∂2uz ∂z2 ] + gz (4.36) Simplificando a equac¸a˜o atrave´s das premissas acima: −∂p ∂z + µ [ 1 r ∂ ∂r ( r ∂uz ∂r )] = 0 (4.37) Fazendo a seguinte aproximac¸a˜o: ∂p ∂z = −∆p L (4.38) Inserindo na equac¸a˜o 4.37: −∆pr µL = d dr ( r duz dr ) (4.39) Onde z e´ a coordenada axial do tubo. Integrando esta equac¸a˜o: −∆pr 2 2µL + C1 = r duz dr ⇒ duz dr = −∆pr 2µL + C1 r (4.40) Integrando novamente: uz(r) = −∆pr 2 4µL + C1 ln(r) + C2 (4.41) 65 Observa-se uma singularidade em r = 0. Se esta singularidade na˜o for eliminada, o resultado carecera´ de consisteˆncia f´ısica. Logo, sera´ considerado que C1 = 0, levando a: uz(r) = −∆pr 2 4µL + C2 (4.42) Aplicando a condic¸a˜o de na˜o escorregamento na parede:3 uz(r = R) = 0⇒ C2 = ∆pr 2 4µL (4.43) Resultando em: uz(r) = ∆pR2 4µL [ 1− ( r R )2] (4.44) Nota-se do resultado que o perfil de velocidade e´ parabo´lico. Portanto o valor ma´ximo da velocidade acontecera´ em r = 0, ou seja: umax = ∆pR2 4µL ⇒ uz(r) = umax [ 1− ( r R )2] (4.45) Ca´lculo da vaza˜o: Q˙ = ‹ S un̂ cos θdA = ˆ R 0 u(r)2pirdr = 2pi∆pR2 4µL ˆ R 0 [ 1− ( r R )2] rdr︸ ︷︷ ︸ R2 4 Q˙ = 2pi∆pR4 8µL (4.46) Ca´lculo da velocidade me´dia: u = Q A = 2pi∆pR4 8µL 1 piR2 = 2pi∆pR2 8µL = umax 2 (4.47) 3Esta condic¸a˜o estabelece que o fluido na˜o escorrega na parede, impondo sua velocidade na su- perf´ıcie da parede como nula 66 Ca´lculo da tensa˜o cisalhante na parede: τw(r = R) = µ du dr (4.48) du dr (r = R) = ∆pR2 2µL = 4u R (4.49) τw(r = R) = 4µu R (4.50) Ca´lculo da perda de carga: hf = 32µLu ρgD2 = 128µLQ˙ piρgD4 (4.51) Ca´lculo do fator de atrito: f = 8τw ρu2 = 8 ρu2 ( 8µu D ) = 64µ ρuD = 64 Re (4.52) Observa-se que neste escoamento o fator de atrito e´ inversamente proporcional ao nu´mero de Reynolds. Para este escoamento especificamente, a transic¸a˜o a` turbuleˆncia se da´ em torno de um valor do nu´mero de Reynolds igual a 2300. Para escoamen- tos turbulentos, na˜o existe soluc¸a˜o anal´ıtica, demandando assim experimentac¸a˜o em laborato´rio ou simulac¸a˜o nume´rica. A rugosidade de um tubo afeta os efeitos de atrito do escoamento. Para escoamentos laminares este efeito e´ desprez´ıvel. Para escoamentos turbulentos, este efeito torna- se significativo. E´ poss´ıvel encontrar na literatura estudos para observar este efeito em escoamentos turbulentos. Destes estudos, correlac¸o˜es que determinam o fator de atrito como func¸a˜o da rugosidade do tubo podem ser determinadas. Um exemplo e´ a correlac¸a˜o de Colebrook (1938): 1 f 0,5 = −2 log ( �/D 3, 7 + 2, 51 ReDf 0,5 ) (4.53) Baseado nesta correlac¸a˜o trac¸ou-se um gra´fico denominado diagrama de Moody (Figura 4.3): 67 Figura 4.3: Diagrama de Moody. Fonte: White, F. Fluid Mechanics, 4a Edition Em problemas de escoamentos em tubos, pode acontecer de na˜o se ter alguns dados, resultando em soluc¸o˜es iterativas. Este tipo de problema e´ caracterizado de quatro tipos diferentes: • Dados D, L, u ou Q˙, ρ, µ e g, calcular hf ; • Dados D, L, hf , ρ, µ e g, calcular u ou Q˙; • Dados Q˙, L, hf , ρ, µ e g, calcular D; • Dados Q˙, D, hf , ρ, µ e g, calcular L; As perdas distribu´ıdas sa˜o determinadas usando o fator de atrito, conforme formulac¸a˜o ja´ mostrada. Ja´ as perdas localizadas hl ocorrem devido a` presenc¸a de curvas, va´lvulas, registros ou qualquer dispositivo instalado na tubulac¸a˜o que afete o escoamento. Seu ca´lculo e´ feito atrave´s do somato´rio das perdas de cada dispositivo na tubulac¸a˜o. A perda de carga total e´ feita somando todas as perdas (locais e distribu´ıdas), conforme mostra a equac¸a˜o 4.54: ∆h = hf + ∑ hl (4.54) 68 Tanto a literatura quanto os fabricantes destes dispositivos fornecem fo´rmulas de ca´lculo para as perdas localizadas. 4.3.2 Primeiro Problema de Stokes Figura 4.4: Problema de Stokes O primeiro problema de Stokes consiste em estudar o escoamento na vizinhanc¸a de uma placa plana subitamente acelerada (Figura 4.4). Este e´ um problema transiente, onde em sua condic¸a˜o inicial, o fluido esta´ em repouso. A placa e´ subitamente acelerada ate´ uma velocidade U no tempo inicial do fenoˆmeno. Este movimento e´ gerado por movimento de contorno. A velocidade da placa pode ser fixa (Primeiro problema de Stokes) ou oscilato´ria (Segundo problema de Stokes). As premissas deste escoamento sa˜o: • Regime transiente; • Escoamento bidimensional: u = u(x1, x2, t); • Escoamento unidirecional: u = u(x1, x2, t)eˆ1; • Escoamento uniforme; 69 Ja´ suas condic¸o˜es inicial e de contorno sa˜o: • Condic¸a˜o inicial: Fluido inicialmente em repouso: u(x2 > 0, t = 0) = 0 • Condic¸a˜o de Contorno: In´ıcio repentino de movimento de contorno em x2 = 0: u(0) = { U, se t > 0 0, se t 6 0 (4.55) • Condic¸a˜o de Contorno: Fluido em repouso em x2 =∞⇒ u(∞) = 0; Aplicando-se as premissas descritas acima, a equac¸a˜o da continuidade (Equac¸a˜o 3.22) e´ reduzida a: ∂u2 ∂x2 = 0 (4.56) Desta equac¸a˜o e das premissas, pode-se depreender que: • A velocidade u2 e´ constante; • Em x2 = 0, u2 = 0; • Se o escoamento e´ uniforme, enta˜o a velocidade na˜o e´ func¸a˜o de x1; Ao se aplicar as premissas acima, a equac¸a˜o de Navier-Stokes (Equac¸a˜o 4.19) na direc¸a˜o x2 se reduz a: ∂p ∂x2 = 0 (4.57) A conclusa˜o principal da equac¸a˜o 4.57 e´ que a pressa˜o na˜o varia na direc¸a˜o x2. Ja´ a equac¸a˜o de Navier-Stokes na direc¸a˜o x1 se reduz a: ∂u1 ∂t = −1 ρ ∂p ∂x1 + ν ∂2u1 ∂x22 (4.58) Assumindo auseˆncia de gradientes externos de pressa˜o,
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