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Apostila Dinâmica dos Fluidos

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DINAˆMICA DOS FLUIDOS - NOTAS DE AULA
TAYGOARA FELAMINGO DE OLIVEIRA
LUCIANO GONC¸ALVES NOLETO
UNIVERSIDADE DE BRASI´LIA
FACULDADE UnB GAMA
SUMA´RIO
1 INTRODUC¸A˜O 1
1.1 Conceito de Fluido . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1
1.2 A Hipo´tese de Meio Cont´ınuo - Nu´mero de Knudsen . . . . . . . . . . . 2
1.3 Fluido, Escoamento e Escalas de Tempo: O Nu´mero de Deborah . . . . 5
1.4 Notac¸a˜o Indicial . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7
1.4.1 O Delta de Kronecker . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8
1.4.2 O Permutador de Levi-Civita . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11
1.5 Exerc´ıcios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14
2 CINEMA´TICA DE FLUIDOS 16
2.1 Referencial Lagrangeano . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17
2.2 Referencial Euleriano . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17
2.3 Derivada Material . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
2.4 Linhas de Trajeto´ria . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
2.5 Linhas de Corrente . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
2.6 Linhas de Emissa˜o . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
2.7 Exerc´ıcios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26
3 FORMULAC¸O˜ES INTEGRAL E DIFERENCIAL 29
3.1 Teorema Transporte de Reynolds . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29
3.2 Vaza˜o . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32
3.3 Equac¸a˜o da Continuidade: Princ´ıpio da Conservac¸a˜o da Massa . . . . . 33
3.4 Tensa˜o em um fluido: O postulado de Cauchy . . . . . . . . . . . . . . 35
3.5 Equac¸a˜o de Cauchy . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37
3.6 Escoamentos inv´ıscidos - Equac¸a˜o de Euler . . . . . . . . . . . . . . . . 39
3.7 Func¸a˜o de corrente . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40
3.8 Vorticidade . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41
3.9 Teorema da circulac¸a˜o de Kelvin . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43
3.10 Escoamento potencial . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45
3.10.1 Princ´ıpio da superposic¸a˜o: O me´todo dos paine´is . . . . . . . . 48
i
3.11 Exerc´ıcios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49
4 ESCOAMENTOS VISCOSOS - EQUAC¸A˜O DE NAVIER-STOKES 55
4.1 Tensor de tenso˜es para um fluido Newtoniano . . . . . . . . . . . . . . 55
4.2 Equac¸a˜o de Navier-Stokes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 57
4.2.1 Adimensionalizac¸a˜o da equac¸a˜o de Navier-Stokes . . . . . . . . 60
4.3 Algumas Soluc¸o˜es da Equac¸a˜o de Navier-Stokes . . . . . . . . . . . . . 63
4.3.1 Escoamento laminar plenamente desenvolvido em dutos de sec¸a˜o
circular . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 63
4.3.2 Primeiro Problema de Stokes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 69
4.4 Equac¸a˜o da vorticidade . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 76
4.5 Exerc´ıcios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 78
5 CAMADA LIMITE 84
5.1 Histo´rico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 84
5.2 Conceito . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 86
5.3 Ana´lise de escala . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 86
5.4 Problema de Camada Limite: Equac¸o˜es de Prandtl . . . . . . . . . . . 87
5.5 Soluc¸a˜o do Problema de Camada Limite: Ana´lise de Escala . . . . . . . 92
5.6 Soluc¸a˜o do Problema de Camada Limite: Ana´lise Integral . . . . . . . . 93
5.6.1 Preparac¸a˜o das equac¸o˜es . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 93
5.6.2 Definic¸a˜o de um perfil de velocidade gene´rico . . . . . . . . . . . 96
5.6.3 Me´todo da Similaridade . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 99
5.7 Soluc¸a˜o do Problema de Camada Limite: Ana´lise Diferencial . . . . . . 102
5.8 Espessura de deslocamento e espessura de quantidade de movimento . . 106
5.9 Exerc´ıcios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 108
6 NOC¸O˜ES DE TURBULEˆNCIA EM FLUIDOS 112
6.1 Definic¸o˜es? . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 112
6.2 Cascata de Energia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 119
6.3 Escalas de Kolmogorov . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 122
6.4 Decomposic¸a˜o de Reynolds . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 122
6.4.1 Simulac¸a˜o Nume´rica Direta . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 123
6.4.2 Equac¸o˜es Me´dias de Reynolds . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 124
6.4.3 Problema de Fechamento . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 126
6.4.4 Hipo´tese de Boussinesq . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 127
ii
7 INTRODUC¸A˜O AO ESCOAMENTO COMPRESSI´VEL 130
7.1 Regimes de escoamento . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 131
7.1.1 Leis e Processos termodinaˆmicos . . . . . . . . . . . . . . . . . . 131
7.1.2 Relac¸o˜es termodinaˆmicas para gases perfeitos . . . . . . . . . . 132
7.1.3 Relac¸o˜es para processos politro´picos . . . . . . . . . . . . . . . . 134
7.2 Relac¸o˜es para escoamento unidimensional . . . . . . . . . . . . . . . . . 134
7.3 Velocidade do som e nu´mero de Mach . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 136
7.4 Paraˆmetros caracter´ısticos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 139
7.5 Onda de choque normal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 140
7.6 Equac¸a˜o de Hugoniot . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 142
7.7 Escoamento unidimensional com adic¸a˜o de calor . . . . . . . . . . . . . 145
7.8 Escoamento unidimensional com atrito . . . . . . . . . . . . . . . . . . 147
7.9 Exerc´ıcios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 149
iii
1 INTRODUC¸A˜O
1.1 Conceito de Fluido
O que e´ fluido?
Sob um conceito molecular, l´ıquidos e gases sa˜o fluidos e so´lidos na˜o o sa˜o.
A mate´ria arranja-se de diversas formas quanto a` vinculac¸a˜o e disponibilidade de movi-
mentac¸a˜o relativa entre as mole´culas. No estado so´lido, o movimento relativo entre as
mole´culas (sempre presente) e´ tal que o arranjo topolo´gico na˜o varia. Ou seja, sua vizi-
nhanc¸a e´ invariante. Certamente esse conceito na˜o preveˆ fenoˆmenos tais como fratura
ou fusa˜o do material.
Nos l´ıquidos, as mole´culas do material esta˜o livres para se movimentar umas em relac¸a˜o
a outras, mesmo que a relac¸a˜o entre vizinhanc¸as seja alterada. Nesse tipo de material
as forc¸as de cara´ter eletromagne´tico de atrac¸a˜o prevalecem sobre as forc¸as relativas ao
estado material de agitac¸a˜o te´rmica (browniano) das mole´culas constituintes do l´ıquido
em questa˜o. Em geral, os l´ıquidos comportam-se mecanicamente de forma tal que seu
volume, sob determinadas condic¸o˜es, sera´ relativamente invariante no sentido que na˜o
ocupam completamente o volume do recipiente que conte´m o material, desde que este
recipiente seja maior do que o volume do l´ıquido. Em outras palavras, o volume e´ uma
propriedade do sistema de part´ıculas do fluido.
Para os gases ou vapores, a agitac¸a˜o te´rmica e´ capaz de vencer a ac¸a˜o coesiva das
forc¸as eletromagne´ticas e as mole´culas esta˜o livres para se movimentar, descrevendo
uma trajeto´ria browniana ilimitada (caso na˜o haja fronteiras) ou limitada apenas pelas
paredes do recipiente que conte´m o fluido. Nesse sentido, o volume que um ga´s ocupa
e´ igual ao volume do recipiente que abriga o material, seja ga´s ou vapor.
Do ponto de vista macrosco´p´ıco, diversas diferenc¸as entre gases e l´ıquidos podem serapontadas:
1. Gases sa˜o muito mais compress´ıveis do que os l´ıquidos;
1
2. L´ıquidos apresentam, em geral, massa espec´ıfica muito maior (uma ordem de
magnitude) do que a dos gases;
3. L´ıquidos podem na˜o se misturar (l´ıquido imisc´ıvel), gases na˜o;
4. Como consequeˆncia do item 3, superf´ıcies envolvendo interfaces do tipo l´ıquido-
l´ıquido ou l´ıquido-ga´s apresentam tensa˜o superficial. Na˜o ha´ interface do tipo ga´s-
ga´s, logo neste tipo de “mistura”na˜o ha´ possibilidade de haver tensa˜o superficial.
Ale´m do enfoque molecular (F´ısico ou f´ısico-qu´ımico), outras abordagens mais gerais
e abrangentes podem ser usadas para definir o que pode ser considerado um material
fluido. Nessas abordagens devem ser considerados fatores como escalas de tempo en-
volvidas e a relac¸a˜o entre tamanho das part´ıculas constituintes do sistema e as escalas
de comprimento t´ıpicas do escoamento.
1.2 A Hipo´tese de Meio Cont´ınuo - Nu´mero de Knudsen
O conceito de cont´ınuo (ou continuum) e´ meramente uma idealizac¸a˜o. Como ressal-
tamos anteriormente a mate´ria e´ composta por mole´culas, e, portanto, e´ um sistema
discreto em sua escala elementar. Pore´m, para grande parte das aplicac¸o˜es pra´ticas,
e sobretudo para o campo de interesse da mecaˆnica dos fluidos, os l´ıquidos e gases
podem ser considerados como materiais cont´ınuos, ou seja, infinitamente divis´ıveis, de
forma que na˜o ha´ vazios no material. Nesse sentido, a mecaˆnica dos fluidos interessa-se
pelo comportamento me´dio de um conjunto muito (mas muito mesmo!) grande de
part´ıculas elementares.
Exemplo: Um cent´ımetro cu´bico de ar em condic¸o˜es atmosfe´ricas padra˜o conte´m cerca
de 3× 1016 part´ıculas.
Estamos, portanto, interessados no reflexo me´dio, de significado estat´ıstico bem de-
finido, de um conjunto de part´ıculas (no sentido duplo da palavra) do material, que
permita a definic¸a˜o de propriedades mecaˆnicas e termodinaˆmicas do fluido:
2
Em geral definimos massa espec´ıfica me´dia como:
ρ =
m
v
(1.1)
Onde m e´ a massa total do sistema e v e´ o volume total do sistema. Deseja-se definir
a massa espec´ıfica como propriedade local. Seria natural lanc¸ar ma˜o do conceito de
derivada, de forma que:
ρ(x) = lim
∆v→0
∆m
∆v
(1.2)
Em que ∆v e´ um volume arbitra´rio que conte´m a coordenada x e ∆m a massa de
fluido contida nesse volume. Aqui nos deparamos com um problema: Se o volume for
ta˜o pequeno que o traˆnsito material de mole´culas atrave´s de suas fronteiras se fizer
percept´ıvel ao processo de me´dia estat´ıstica, enta˜o na˜o faz mais sentido definir massa
espec´ıfica.
3
Em nosso processo de fazer ∆v → 0, em geral, sera´ poss´ıvel detectar um tamanho
de volume cu´bico ∆v tal que se ∆v > ∆v′, enta˜o as variac¸o˜es afins ao movimento
molecular na˜o afetam o valor da raza˜o ∆m/∆v. Se essa escala for, por outro lado, muito
menor do que a menor escala relevante do problema, i.e., ∆v << V de maneira que
seja poss´ıvel considerar ∆v′ como “arbitrariamente pequeno”, enta˜o podemos admitir
que o material em estudo e´ um meio cont´ınuo. Em outras palavras se a raza˜o entre
uma escala t´ıpica de movimento microsco´pico (Para l´ıquidos ou gases, o livre caminho
me´dio) e uma escala t´ıpica do problema que desejamos abordar for muito pequeno,
enta˜o uma abordagem cont´ınua pode ser empregada. A` esta raza˜o da´-se o nome de
Nu´mero de Knudsen, tal que:
Kn =
λ
L
(1.3)
Se Kn << 1 −→ meio cont´ınuo.
Exemplo: Escoamento de ar atrave´s de um rotor de ventilador dome´stico:
4
• L = Diaˆmetro do rotor, cerca de 30 cm.
• λ = Livre caminho me´dio. Para um ga´s perfeito, temos da teoria cine´tica dos
gases que:
λ =
KBT√
2piσ2P
, onde : (1.4)
• KB: Constante de Boltzmann: 1, 38× 10−23 J/K
• σ: Diaˆmetro da Part´ıcula: (N2 ∼ 3, 7Aˆ, O2 ∼ 3, 0Aˆ onde 1Aˆ= 10−10m)
• P : Pressa˜o Absoluta;
λ ∼ 1, 4× 10
−23 · 300
1, 14× 3, 14× 9× 10−20 · 105 ∼ 10
−7 (1.5)
Suponhamos L = 30 cm (0, 3 m):
Kn =
10−7
0, 3
∼ 3× 10−7 << 1 (1.6)
De forma que uma abordagem cont´ınua e´ perfeitamente via´vel.
1.3 Fluido, Escoamento e Escalas de Tempo: O Nu´mero de Deborah
A definic¸a˜o de escoamento esta´ ligada intrinsecamente a`s escalas de tempo envolvidas.
Do ponto de vista mecaˆnico, consideramos que um fluido newtoniano e´ um material
que oferece resisteˆncia a` taxa de deformac¸a˜o, diferentemente de um so´lido, que oferece
resisteˆncia a` deformac¸a˜o. Em geral estamos habituados a classificar de maneira muito
objetiva materiais que escoam e que na˜o escoam (fluidos e na˜o-fluidos). No entanto,
e´ preciso estar atento a`s escalas de tempo associadas a` deformac¸a˜o do material, e
as alterac¸o˜es das condic¸o˜es dinaˆmicas a que se sujeita o material. Outra forma de
descrever este conceito seria a seguinte: Quando se aplica uma tensa˜o cisalhante em
um so´lido, este se deforma em uma quantidade fixa, e quando a aplicac¸a˜o da tensa˜o
5
e´ interrompida, o so´lido interrompe sua deformac¸a˜o. Aplicando a mesma tensa˜o em
um fluido, este se deforma a uma taxa, e quando a aplicac¸a˜o da tensa˜o e´ interrompida,
o fluido continua a se deformar segundo esta taxa de deformac¸a˜o, caracterizando um
escoamento.
Quando uma porc¸a˜o de a´gua e´ servida em um copo, e´ preciso cerca de 10−13 segundos
para que as mole´culas do material organizem-se e se acomodem a` nova vinculac¸a˜o
geome´trica. Esse tempo, associado exclusivamente a`s caracter´ısticas do material, e´
chamado de tempo de relaxac¸a˜o do fluido. Quando a a´gua escoa para o copo, o tempo
associado do escoamento1 da a´gua e´ da ordem de milissegundos (10−3 segundos) ou
mais.
A relac¸a˜o entre esses dois tempos caracter´ısticos e´ tal que o “fluido”, ou material, tem
muito tempo para se acomodar a`s novas condic¸o˜es de contorno. Dessa forma, podemos
dizer que a raza˜o entre o tempo caracter´ıstico de relaxac¸a˜o do material trelax e o tempo
caracter´ıstico de variac¸a˜o das condic¸o˜es de contorno tesc para a a´gua sendo servida em
um copo e´ muito pequena. Define-se assim o nu´mero de Deborah como:
De =
trelax
tesc
(1.7)
A origem do nu´mero de Deborah, dada pelo professor Markus Reiner, remete a` passa-
gem b´ıblica cantada pela profetisa De´bora no livro dos Ju´ızes. Esta passagem encontra-
se no cap´ıtulo 5, vers´ıculo 5:
“Os montes escoaram diante do Senhor, e ate´ Sinai, diante do Senhor Deus de Israel.”
Podemos fazer algumas observac¸o˜es sobre a relac¸a˜o entre o nu´mero de Deborah e o
comportamento do material:
• De −→ 0: O material comporta-se como um fluido e, muito provavelmente, como
um fluido linear (newtoniano ou newtoniano generalizado);
• De << 1: O material comporta-se como um fluido;
1Na verdade estamos nos referindo a um tempo relacionado a` mudanc¸a das condic¸o˜es de contorno
que envolvem o material (No caso, o movimento da jarra que conte´m a a´gua).
6
• De ∼ 1: O material escoa, mas efeitos na˜o-lineares comec¸am a ser importantes,
ou ja´ o sa˜o! Estes efeitos sa˜o associados principalmente a efeitos ela´sticos no
fluido. Ou seja, o material na˜o e´ puramente fluido ou so´lido;
• De −→ ∞: O material pode se comportar como um fluido. De toda forma, o
material fica indiferente a`s mudanc¸as nas condic¸o˜es de contorno.
1.4 Notac¸a˜o Indicial
A notac¸a˜o indicial ou notac¸a˜o de Einstein e´ um me´todo muito u´til para a representac¸a˜o
de grandezas vetoriais.
Um dado vetor no R3 e´ representado na seguinte forma:
v = (v1, v2, v3) = v1ê1 + v2ê2 + v3ê3 (1.8)
Onde os vetores base sa˜o:
ê1 = (1, 0, 0)
ê2 = (0, 1, 0) (1.9)
ê3 = (0, 0, 1)
As propriedades fundamentais dos vetores de base sa˜o descritas como:
I - Ortogonalidade Mu´tua: ê1 · ê2 = ê2 · ê3 = ê3 · ê1 = 0, onde “·”representa o
produtoescalar (Que entre vetores, e´ comutativo);
II - Base Normal: ‖ê1‖ = (ê1 · ê1)0.5 = 1, valendo o mesmo para ê2 e ê3;
III - Base destro´gira: Segue a regra da ma˜o direita:
ê1 × ê2 = ê3
ê2 × ê3 = ê1 (1.10)
ê3 × ê1 = ê2
7
Segundo a notac¸a˜o indicial, o vetor v pode ser representado como:
v = viêi =
3∑
i=1
viêi (1.11)
Escreve-se agora as seguintes convenc¸o˜es:
Convenc¸a˜o I: Todos os sufixos variam em uma mesma faixa, de 1 a n. No R3, n = 3;
Convenc¸a˜o II: “Convenc¸a˜o Soma”: I´ndices repetidos ou mudos indicam um somato´rio;
Exemplos:
1. Representac¸a˜o de um vetor:
v = v1ê1 + v2ê2 + v3ê3 = viêi ou vpêp (1.12)
2. Representac¸a˜o de um sistema linear:
a11x1 + a12x2 + a13x3 = b1
a21x1 + a22x2 + a23x3 = b2
a31x1 + a32x2 + a33x3 = b3
−→ aijxj = bi
Onde:
• i e´ o ı´ndice livre, que representa a direc¸a˜o (ou equac¸a˜o para este caso);
• j e´ o ı´ndice mudo ou repetido, que representa a soma;
• Regra Ba´sica: Em um mesmo termo de uma expressa˜o, um ı´ndice na˜o
pode aparecer mais do que duas vezes.
• Exemplo: aijbjcj na˜o representa uma expressa˜o em notac¸a˜o indicial.
1.4.1 O Delta de Kronecker
δij =
{
1, se i = j
0, se i 6= j (1.13)
8
Seu conceito remete a Leopold Kronecker (1823-1891). Duas formas nota´veis do delta
de Kronecker sa˜o dadas por:
• Como os vetores de base ê1, ê2 e ê3 sa˜o ortonormais, o produto escalar entre eles
resultara´ no pro´prio delta:
êi · êj = δij (1.14)
• Considerando que as direc¸o˜es ordenadas x1, x2 e x3 sa˜o independentes, tem-se:
∂xi
∂xj
= δij (1.15)
Uma propriedade importante do delta de Kronecker e´ a de contrac¸a˜o de ı´ndices. Con-
siderando 1.13, temos que:
aijδ1j = ai1δ11 + ai2δ12 + ai3δ13 = ai1 (1.16)
Observe que o ı´ndice j e´ mudo, pois se repete e denota uma soma. Se este ı´ndice se
repete com o delta, este sumira´ da expressa˜o, e todo ı´ndice j e´ substitu´ıdo por 1. Desta
forma, pode-se escrever de forma ana´loga:
aijδjp = aip
δimδmj = δij (1.17)
δimδmjδjp = δip
Com estes resultados, podemos escrever o produto escalar entre vetores:
a · b = aiêi · bj êj = aibj êi · êj︸ ︷︷ ︸
δij
= aibjδij = aibi = a1b1 + a2b2 + a3b3 (1.18)
Aconselha-se a utilizac¸a˜o de letras diferentes na inclusa˜o de novos termos. O delta fara´
todo o resto ao contrair os ı´ndices convenientes.
9
As componentes de um vetor podem ser escritas atrave´s do produto escalar com os
vetores de base. Logo, seja u um vetor. Este pode ser escrito como:
u = u · ê1 = uiêi · ê1 = uiδi1 = u1 (1.19)
Utilizando os conceitos apresentados ate´ aqui, podemos representar um sistema linear
na forma matricial como:
A · x = b −→ Aijxj = bi (1.20)
Onde x e b sa˜o vetores. Mas podemos afirmar que A e´ um tensor? Para responder
esta pergunta, representaremos a quantidade A na forma Apqêpêq. Note que na˜o ha´
um produto entre êp e êq:
êpêq −→ ê1ê1 =

1 0 0
0 0 0
0 0 0

ê1ê2 =

0 1 0
0 0 0
0 0 0
 (1.21)
ê2ê3 =

0 0 0
0 0 1
0 0 0
 ...
Nesse sentido, observe os ı´ndices que representam soma em Apqêpêq. Logo:
Apqêpêq = A11ê1ê1 + A12ê1ê2 + A13ê1ê3 + A21ê2ê1 + ... =

A11 A12 A13
A21 A22 A23
A31 A32 A33
 (1.22)
10
De fato, êpêq representa uma poss´ıvel base de um espac¸o de matrizes de segunda or-
dem. Para que A = Apqêpêq seja um tensor de fato e´ preciso que uma certa regra de
transformac¸a˜o ortogonal seja obedecida. Esta regra na˜o sera´ abordada neste texto. No
entanto, para nossos propo´sitos podemos utilizar as regras estabelecidas anteriormente
para qualquer quantidade Aij êiêj, sendo ela tensorial ou na˜o! Por exemplo, o tensor
identidade pode ser escrito como I = δij êiêj. Retornando ao sistema linear (equac¸a˜o
1.20), temos:
Apqêpêq︸ ︷︷ ︸
A
· xiêi︸︷︷︸
x
= bj êj︸︷︷︸
b
(1.23)
Apqxiêp êq · êi︸ ︷︷ ︸
δqi
= bj êj
Apqxiδqiêp = bj êj
Apq xiδqi︸︷︷︸
xq
êp = bj êj
Apqxqêp = bj êj (1.24)
Para recuperarmos as equac¸o˜es do sistema original, basta tomar as componentes da
equac¸a˜o 1.20 em uma direc¸a˜o unita´ria êi, ou seja:
Apqxqêp · êi = bj êj · êi
Apqxqδpi = bjδji (1.25)
Aiqxq = bi
1.4.2 O Permutador de Levi-Civita
εijk =

1, para ε123, ε231, ε312
−1, para ε132, ε321, ε213
0, para os demais
(1.26)
11
O permutador de Levi-Civita representa as componentes de um tensor de terceira or-
dem. Seu conceito remete a Tulio Levi-Civita (1873-1948). Um mecanismo muito
pra´tico para a determinac¸a˜o do sinal de ε e´ descrito abaixo, onde definimos uma con-
venc¸a˜o para o sentido de permutac¸a˜o:
1
+
��
2
+
// 3
+
^^
Logo:
• No sentido positivo: εijk = 1;
• No sentido negativo: εijk = −1;
• Para ı´ndices repetidos: εijk = 0;
Outra forma:
εijk =
1
2
(i− j)(j − k)(k − i) (1.27)
Utilizando o permutador, podemos escrever o produto vetorial como:
u× v =
∣∣∣∣∣∣∣∣
ê1 ê2 ê3
u1 u2 u3
v1 v2 v3
∣∣∣∣∣∣∣∣ = uiêi × vj êj = uivj êi × êj︸ ︷︷ ︸εijk êk = uivjεijkêk (1.28)
Propriedades:
1. u× v = w;
w e´ perpendicular a u e v simultaneamente; -
6
�
�	u
v
w
12
2. u× v = −v × u
Prova:
u× v = uiêi × vj êj = uivjεijkêk = vjuiεijkêk =︸︷︷︸
εijk=−εjik
−vjui εjikêk︸ ︷︷ ︸
êj×êi
= −v × u
3. u× u = 0
Prova: Do item 2, temos que:
u× u︸ ︷︷ ︸
a
= −u× u︸ ︷︷ ︸
a
⇐⇒ a = 0 (1.29)
Com os conceitos apresentados, podemos definir o operador nabla (∇) em notac¸a˜o
indicial:
∇ =
(
∂
∂x1
,
∂
∂x2
,
∂
∂x3
)
=
∂
∂xi
êi (1.30)
Assim sendo, definem-se:
• Gradiente de um escalar:
∇φ = ∂
∂xi
êi(φ) =
∂φ
∂xi
êi
• Gradiente de um vetor:
∇v = ∂
∂xi
êi(v) =
∂
∂xi
êi(vj êj) =
∂vj
∂xi
êiêj
• Divergente de um vetor:
∇ · v = ∂
∂xi
êi · (vj êj) = ∂vj
∂xi
êi · êj = ∂vj
∂xi
δij =
∂vi
∂xi
=
∂v1
∂x1
+
∂v2
∂x2
+
∂v3
∂x3
• Rotacional de um vetor:
∇× v = ∂
∂xi
êi × (vj êj) = ∂vj
∂xi
êi × êj = ∂vj
∂xi
εijkêk
• Laplaciano de um vetor:
∇2v = ∇·(∇v) = ∂
∂xi
êi
[
∂
∂xj
êj(vkêk)
]
=
∂vk
∂xi∂xj
(êi·êj)êk = ∂
2vk
∂x2i
êk =
(
∂2v1
∂x21
,
∂2v2
∂x22
,
∂2v3
∂x23
)
13
1.5 Exerc´ıcios
1- Dados os vetores:
a = 2eˆ1 + 4eˆ2 + 6eˆ3 (1.31)
b = 1eˆ1 + 3eˆ2 + 5eˆ3 (1.32)
c = 4eˆ1 + 5eˆ2 + 1eˆ3 (1.33)
Calcule:
• a · b
• a× b
• a · b× c
• (a× b)× c
• a× (b× c)
2- Usando notac¸a˜o indicial, prove as identidades vetoriais abaixo (f e g sa˜o escalares,
u, v e w sa˜o vetores e I e´ o tensor identidade):
∇(fg) = f∇g + g∇f (1.34)
∇(f + g) = ∇f +∇g (1.35)
∇ · (u + v) = ∇ · u +∇ · v (1.36)
∇ · (fu) = ∇f · u + f(∇ · u) (1.37)
∇ · (vw) = v · ∇w + w(∇ · v) (1.38)
∇ · fI = ∇f · I + f(∇ · I) (1.39)
∇(v ·w) = (∇v) ·w + (∇w) · v (1.40)
∇2(∇ · u) = ∇ · ∇2u (1.41)
∇ · (fI) = ∇f (1.42)
∇ · (∇u)T = ∇(∇ · u) (1.43)
14
3- Deduza a relac¸a˜o �− δ:
�ijk�irs = δjrδks − δjsδkr (1.44)
4- Mostre que aiixi na˜o faz sentido.
5- Se:
εijkεpqr = det

δip δiq δir
δjp δjq δjr
δkp δkq δkr
 (1.45)
Onde ε e´ o permutador de Levi-Civita e δ e´ o delta de Kronecker, use notac¸a˜o indicial
para provar que:
εijkεpqk = δipδjq − δiqδjp (1.46)
6- Se a e b sa˜o vetores e C e´ um tensor, enta˜o mostre, usando notac¸a˜o indicial, que:
C · (ab) = (C · a)b (1.47)
7- Dada a seguinte expressa˜o (x e y sa˜o vetores):
∇(y · x) (1.48)
Usando notac¸a˜o indicial, responda: Se x e´ o vetor posic¸a˜o, o que precisa acontecer com
o vetor y para que a expressa˜o tenha como resultado apenas ele mesmo?
8- Usando a relac¸a˜o �− δ, prove a seguinte relac¸a˜o (f e g sa˜o vetores):
∇× (f × g) = (∇ · g)f + g · (∇f)− (∇ · f)g − f · (∇g)(1.49)
15
2 CINEMA´TICA DE FLUIDOS
A cinema´tica de fluidos e´ definida como o estudo ou descric¸a˜o do movimento dos fluidos.
Mas o que e´ escoamento?
A ideia ba´sica sobre o que e´ escoamento esta´ associada ao movimento de part´ıculas
fluidas1.
Nesse sentido, podemos definir um escoamento como uma sequeˆncia cont´ınua de trans-
formac¸o˜es de ponto, ou simplesmente como um mapeamento no qual na˜o ha´ criac¸a˜o
ou destruic¸a˜o de part´ıculas materiais. Em outras palavras, estamos dizendo que essa
transformac¸a˜o sera´ sempre invers´ıvel (Transformac¸a˜o topolo´gica). O escoamento pode
ser descrito a partir de dois referenciais diferentes, a saber.
1Onde entenderemos part´ıcula fluida ou material como um ponto material, definido de forma a
respeitar a hipo´tese de meio cont´ınuo
16
2.1 Referencial Lagrangeano
Neste referencial, durante um processo de observac¸a˜o experimental, o observador trans-
lada com a part´ıcula. Dessa forma descrevemos o campo de escoamento rastreando cada
part´ıcula material do escoamento. Identificando cada part´ıcula do escoamento como
X, podemos descrever o escoamento como uma func¸a˜o do tipo:
x = x(X, t) (2.1)
Em que x e´ o vetor posic¸a˜o em relac¸a˜o a um sistema de coordenadas fixo ao laborato´rio.
Convenciona-se que o ro´tulo de cada part´ıcula e´ a posic¸a˜o que ela ocupa no instante
inicial do escoamento. Nesse sentido, X = x(t = 0). Vale observar que o ro´tulo da
part´ıcula nunca muda.
Quando escrevemos uma relac¸a˜o do tipo x = x(X, t), estamos mapeando a posic¸a˜o
x que cada part´ıcula X ocupa em cada instante t. Observe que, desde que X =
x(t = 0), x = x(X, t) significa que a posic¸a˜o de uma part´ıcula no escoamento pode
ser determinada conhecendo-se a sua posic¸a˜o inicial e o tempo2.
2.2 Referencial Euleriano
Desta vez, para o mesmo processo de observac¸a˜o experimental, o observador esta´ fixo
ao um referencial preso ao laborato´rio. Neste caso, o observador veˆ part´ıculas diferentes
(com propriedades possivelmente diferentes) passarem por posic¸o˜es fixas no referencial
mencionado anteriormente. Neste caso, temos:
X = X(x, t) (2.2)
Quando escrevemos uma relac¸a˜o do tipo x = x(X, t), afirma-se que a part´ıcula X
ocupa a posic¸a˜o x no instante t. Em geral, as medidas que realizamos na mecaˆnica dos
fluidos (velocidade, pressa˜o, temperatura,...) sa˜o feitas em posic¸o˜es fixas ao laborato´rio,
2Note que esta e´ a t´ıpica soluc¸a˜o de um problema de valor inicial
17
ou seja, normalmente medimos as propriedades em um referencial Euleriano. Um
sensor de velocidade fixo ao laborato´rio medira´ a velocidade da part´ıcula que ocupa
aquela posic¸a˜o naquele instante. Ja´ um sensor de velocidade fixo a` part´ıcula medira´ a
velocidade da part´ıcula a` medida que o tempo passa (figura 2.2)
A imposic¸a˜o inerente a` hipo´tese de meio cont´ınuo de que o mapeamento deve ser isotopolo´gico
implica em que:
x = x(X, t) ouX = X(x, t) (2.3)
E´ sempre invers´ıvel! Em outras palavras:
J =
∂x1, x2, x3
∂X1, X2, X3
6= 0 (2.4)
Aqui, J e´ uma transformac¸a˜o na˜o-topolo´gica, no sentido de sempre preservar a topo-
logia do escoamento:
Se J 6= 0⇒ x = x(X, t)⇐⇒X = X(x, t) (2.5)
Introduzindo o vetor velocidade u, definido por:
18
u =
dx
dt
(2.6)
Podemos fornecer campos de escoamento pela descric¸a˜o do vetor velocidade.
2.3 Derivada Material
Considere agora uma propriedade qualquer G do escoamento. G pode ser escalar,
vetorial ou tensorial. Quando escrevemos:
1. G = G(x, t) = G(x = x(X, t), t), fixamos uma posic¸a˜o x no espac¸o. Portanto
estamos nos referindo a` propriedade G da part´ıcula que ocupa aquela posic¸a˜o x,
naquele instante, i.e., uma descric¸a˜o Euleriana.
2. G = G(X, t) = G(X = X(x, t), t), fixamos uma part´ıcula no espac¸o. Agora nos
referimos a` propriedade G da part´ıcula Xnaquele instante, i.e., uma descric¸a˜o
Lagrangeana.
Estamos interessados em medir as variac¸o˜es temporais de G nos dois referenciais. Em
relac¸a˜o ao referencial Euleriano (Ou seja, para x fixo):
∂G
∂t
]
x fixo
=
∂G
∂t
(2.7)
Em relac¸a˜o ao referencial Lagrangeano (Ou seja, para X fixo):
∂G
∂t
]
X fixo
=
DG
Dt
⇒ Derivada Material ou Lagrangeana (2.8)
19
DG
Dt
=
∂
∂t
G(X, t)
]
X fixo
=
∂
∂t
G(x = x(X, t), t)
=
∂G
∂x︸︷︷︸
Gradiente de G
· ∂x
∂t︸︷︷︸
Velocidade da part´ıcula
+
∂G
∂t
= u · ∇G+ ∂G
∂t
(2.9)
De outra forma:
G = G(x1, x2, x3︸ ︷︷ ︸
x
, t) (2.10)
dG =
∂G
∂x1
dx1 +
∂G
∂x2
dx2 +
∂G
∂x3
dx3 +
∂G
∂t
dt
=
(
∂G
∂x1
,
∂G
∂x2
,
∂G
∂x3
)
·
(
dx1
dt
,
dx2
dt
,
dx3
dt
)
+
∂G
∂t
= u · ∇G+ ∂G
∂t
(2.11)
Ou ainda:
G(x+ ∆x, t+ ∆t) = G(x+ u∆t, t+ ∆t)
= G(x, t) + u∆t · ∇G+ ∂G
∂t
∆t+O(∆t2) (2.12)
Tomando o limite:
lim
∆t→0
G(x+ ∆x, t+ ∆t)−G(x, t)
∆t
= lim
∆t→0
u · ∇G+ ∂G
∂t
+O(∆t2)
= u · ∇G+ ∂G
∂t
(2.13)
20
O resultado de cada demonstrac¸a˜o representa a conexa˜o entre a derivada material3 e a
derivada euleriana convencional. Recuperando o resultado de cada demonstrac¸a˜o em
2.14:
Du
Dt
=
∂u
∂t
+ u · ∇u
D
Dt
=
∂
∂t
+ u · ∇() (2.14)
Nas passagens anteriores nos referimos a u como vetor velocidade, querendo dizer a
velocidade da part´ıcula (medida segundo um referencial lagrangeano). Neste sentido,
definimos u como:
u =
dx
dt
⇒ x = x(X, t) (2.15)
Note que:
Dx
Dt
=
∂x
∂t︸︷︷︸
=0
+u · ∇x︸︷︷︸
I
= u (2.16)
2.4 Linhas de Trajeto´ria
Seja o campo de velocidade u = (ax2,−ax1, 0)

dx1
dt
= ax2
dx2
dt
= −ax1
dx3
dt
= 0
(2.17)
Para determinar a trajeto´ria, ou seja, o caminho real descrito por uma part´ıcula, de
cada ponto material, devemos resolver o sistema acima. Para isto, deriva-se inicial-
mente a componente x1 no tempo:
3No ca´lculo, esta derivada e´ chamada de derivada total. A literatura tambe´m traz o termo derivada
total ou derivada substantiva
21
d
dt
(
dx1
dt
)
=
d
dt
(ax2)⇒ d
2x1
dt2
= a
dx2
dt
(2.18)
Substituindo a componente x2 do campo de velocidade:
d2x1
dt2
= a(−ax1) = −a2x1 ⇒ d
2x1
dt2
+ a2x1 = 0 (2.19)
Soluc¸a˜o geral: x1 = A sin(at) +B cos(at) (2.20)
dx2
dt
= −aA sin(at)− aB cos(at)⇒ x2 = A cos(at)−B sin(at) (2.21)
Condic¸a˜o inicial: X = x(t = 0), logo B = X1 e A = X2

x1 = X2 sin(at) +X1 cos(at)
x2 = X2 cos(at)−X1 sin(at)
x3 = X3
(2.22)
Observe que o sistema 2.22 fornece uma expressa˜o do tipo x = x(X, t), a qual cha-
maremos simplesmente de “trajeto´ria”. Podemos, nesse caso, eliminar t para obter a
forma das trajeto´rias:
x21 = X
2
2 sin
2(at) +X21 cos
2(at) + 2X1X2 sin(at) cos(at)
x22 = X
2
2 cos
2(at) +X21 sin
2(at)− 2X1X2 sin(at) cos(at) (2.23)
x21 + x
2
2 = X
2
1 +X
2
2︸ ︷︷ ︸
Constante
(2.24)
As linhas de trajeto´ria sa˜o c´ırculos em planos paralelos ao plano x1x2 de centro no eixo
x3, conceˆntricos em cada plano, de raio igual a (X
2
1 +X
2
2 )
0,5
.
22
2.5 Linhas de Corrente
Podemos definir linha de corrente como uma curva paralela ao vetor velocidade em cada
instante t. Nesse sentido, as linhas de corrente sa˜o “trajeto´rias virtuais”no sentido de
que representam o caminho que as part´ıculas “percorreriam”em cada escoamento se
congela´ssemos o tempo. Em outras palavras, o tempo esta´ fixo quando procuramos
linhas de corrente:
u =
dx
ds
(2.25)
Onde s e´ um paraˆmetro independente do tempo. Alternativamente, podemos definir
linhas tais que:
dx
ds
× u = 0 (2.26)
Exemplo:
u =
(
x1
t+ 1
,
x2
2t+ 1
, 0
)
(2.27)
Derivando de acordo com 2.26:
dx1
ds
=
x1
t+ 1
⇒ dx1
x1
=
ds
t+1
⇒ ln x′1]x1x1o =
s′
t+ 1
]s
s=0
⇒ ln
(
x1
x1o
)
=
s
t+ 1
⇒ x1 = x1oe st+1 (2.28)
dx2
ds
=
x1
2t+ 1
⇒ x2 = x2oe s2t+1 (2.29)
23
Eliminando s:
ln
(
x1
x1o
)
=
s
t+ 1
⇒ s = (t+ 1) ln
(
x1
x1o
)
ln
(
x2
x2o
)
=
s
2t+ 1
⇒ s = (2t+ 1) ln
(
x2
x2o
)
∴ (t+ 1) ln
(
x1
x1o
)
= (2t+ 1) ln
(
x2
x2o
)
(
x1
x1o
)t+1
=
(
x2
x2o
)2t+1
x2 = x2o
(
x1
x1o
) t+1
2t+1
(2.30)
2.6 Linhas de Emissa˜o
As linhas de emissa˜o sa˜o curvas formadas pelas part´ıculas que passaram por um mesmo
ponto do escoamento. Elas podem ser identificadas por:
• Linhas de fumac¸a ou tinta no escoamento;
• Visualizac¸a˜o em tu´nel de vento;
Seja x1 = X1(t + 1) e x2 = X2(2t + 1)
0,5. As part´ıculas que ocuparam a posic¸a˜o fixa
(x′1, x
′
2) para qualquer τ�[0, t) sa˜o:
X1 =
x′1
1 + τ
X2 =
x′2
(1 + 2τ)0,5
(2.31)
Portanto:
24
x1 = x
′
1
(
1 + t
1 + τ
)
x2 = x
′
2
(
1 + 2t
1 + 2τ
)0,5
(2.32)
Aqui o paraˆmetro e´ τ e t e´ fixo.
Exemplo: Determinar a variac¸a˜o de T da part´ıcula X = (1, 1) se:
T = αx1 + βx2
u = (ax2,−ax1) (2.33)
⇒ DT
Dt
= u · ∇T
∇T = ∂
∂xi
êi = αê1 + βê2 = (α, β)
u · ∇T = (ax2,−ax1) · (α, β) = αax2 − βax1 (2.34)
Sabemos ainda que:
x1 = X2 sin(at) +X1 cos(at) (2.35)
x2 = X2 cos(at)−X1 sin(at) (2.36)
Logo:
DT
Dt
∣∣∣∣
(1,1)
= αa(cos(at)− sin(at))− βa(sin(at) + cos(at))
DT
Dt
∣∣∣∣
(1,1)
= (α− β)a cos(at)− (α− β)a sin(at) (2.37)
25
2.7 Exerc´ıcios
1- O escoamento em um bocal convergente (Diaˆmetro de entrada maior que o diaˆmetro
de sa´ıda) pode ser aproximado para uma formulac¸a˜o unidimensional u = u1(x1).
Considera-se um bocal de comprimento L onde a velocidade varia linearmente de u = v0
na entrada para u = 3v0. Usando o conceito de derivada material:
• Calcule a acelerac¸a˜o deste escoamento como func¸a˜o de x;
• Avalie a acelerac¸a˜o na entrada e na sa´ıda para v0 = 2m/s e L = 0, 25m
2- Um escoamento bidimensional e´ dado por u = (x21 − 2x22 + 2x1)eˆ1 + (3x1x2 + x2)eˆ2.
Em (x1, x2) = (2, 2), calcule as acelerac¸o˜es em x1 e x2 utilizando o conceito de derivada
material.
3- Para o campo de velocidade u = 5x1eˆ1 + (15x2)eˆ2, determine as linhas de trajeto´ria
de uma part´ıcula (X1, X2) deste escoamento.
4- Um campo de velocidade transiente e´ dado por:
u1 = x1(1 + 3t) (2.38)
u2 = x2 (2.39)
Usando o tempo t como paraˆmetro, determine a famı´lia de linhas de corrente deste
escoamento por um ponto qualquer (x1o, x2o).
5- Para o campo de velocidade transiente:
u = (4x1x
2
2t,−2x2x1t, 0) (2.40)
26
• Encontre a trajeto´ria da part´ıcula (3,2);
• Sua respectiva acelerac¸a˜o com o conceito de derivada material;
• A acelerac¸a˜o Euleriana do escoamento;
6- Dadas as seguintes equac¸o˜es de trajeto´ria para uma part´ıcula X = (X1, X2, X3):
x1 = (k +X1)t+X1 (2.41)
x2 = X2 (2.42)
x3 = X3 (2.43)
Onde k e´ uma constante. Encontre o campo de velocidade transiente.
7- O problema da braquisto´crona consiste em determinar qual e´ a trajeto´ria de uma
part´ıcula que, sujeita a um campo gravitacional constante, sem atrito e com velocidade
inicial nula, se deslocara´ entre dois pontos no menor intervalo de tempo, conforme a
figura:
Uma experimentac¸a˜o que visa observar o problema da braquisto´crona para escoamentos
fluidos foi feita, e as seguintes equac¸o˜es de trajeto´ria foram obtidas (k e´ uma constante):
• Trajeto´ria reta:
x1 = X1
x2 = X2
• Trajeto´ria ciclo´ide:
x1 =
X1
2
k2(1− sin θ)
x2 =
X2
2
k2(1− cos θ)
27
Calcule o campo de velocidade transiente para cada trajeto´ria para um valor arbitra´rio
de θ.
8- Para o seguinte campo de velocidade bidimensional:
u = (ax22, 2abx
4
1) (2.44)
• Determine a equac¸a˜o de trajeto´ria;
• Sem executar nenhum ca´lculo, diga qual sera´ a equac¸a˜o da linha de corrente que
passara´ por um ponto qualquer p;
28
3 FORMULAC¸O˜ES INTEGRAL E DIFERENCIAL
3.1 Teorema Transporte de Reynolds
Neste texto, sera´ considerado que o escoamento esta´ associado ao movimento de part´ıculas
fluidas1.
Queremos avaliar a taxa de variac¸a˜o das propriedades de um certo volume de part´ıculas
de um escoamento. Por exemplo, sabemos que, na auseˆncia de reac¸o˜es atoˆmicas, a
massa de um volume fixo de part´ıculas na˜o varia. Isto e´:
Dm
Dt
= 0 (3.1)
Mas:
1Onde se define part´ıcula fluida ou material como um ponto material, de modo a respeitar a
hipo´tese de meio cont´ınuo
29
m =
˚
V (t)
ρdV ∴ D
Dt
˚
V (t)
ρdV = 0 (3.2)
A equac¸a˜o 3.2 expressa uma lei f´ısica, va´lida para um volume material2. Desejamos
agora transpor essa lei para um referencial Euleriano. Nesse sentido, consideremos a
definic¸a˜o de derivada:
D
Dt
˚
V (t)
G(x, t)dV = lim
δt→0
[(˚
V (t+δt)
G(x+ δx, t+ δt)dV −
˚
V (t)
G(x, t)dV
)]
= lim
δt→0
[
1
δt
(˚
V (t+δt)
G(x+ δx, t+ δt)dV −
˚
V (t)
G(x+ δx, t+ δt)dV
+
˚
V (t)
G(x+ δx, t+ δt)dV −
˚
V (t)
G(x, t)dV
)]
(3.3)
Temos enta˜o, dois limites distintos:
lim
δt→0
˚
V (t)
G(x+ δx, t+ δt)−G(x, t)
δt
dV =
˚
V (t)
∂G(x, t)
∂t
dV (3.4)
lim
δt→0
1
δt
˚
V (t+δt)−V (t)
G(x+ δx, t+ δt)dV (3.5)
O volume de integrac¸a˜o, nesse caso, e´ a interface entre V (t+ δt) e V (t).
2Ou seja, que e´ sempre formado pelo mesmo conjunto de part´ıculas.
30
⇒ lim
δt→0
1
δt
˚
V (t+δt)−V (t)
G(x+ δx, t+ δt)dV = lim
δt→0
1
δt
‹
A(t)
G(x+ δx, t+ δt)u · n̂δtdA
=
‹
A(t)
G(x, t)u · n̂dA (3.6)
Portanto:
D
Dt
˚
V (t)
G(x, t)dV =
˚
V (t)
∂G
∂t
dV +
‹
A(t)
Gu · n̂dA (3.7)
Analisando cada termo da equac¸a˜o 3.7:
• ˝
V (t)
∂G
∂t
dV : Integral da taxa de variac¸a˜o de G em pontos fixos do escoamento.
Este termo e´ associado apenas a variac¸o˜es transientes;
• ‚
A(t)
Gu · n̂dA: Integral de fluxo l´ıquido da quantidade G pela superf´ıcie do
volume de controle.
Portanto, as leis ba´sicas mostradas anteriormente podem ser reescritas com o Teorema
Transporte de Reynolds:
• Equac¸a˜o da Continuidade (Conservac¸a˜o da massa):
Dm
Dt
=
˚
V (t)
∂
∂t
ρdV +
‹
A(t)
ρu · n̂dA = 0 (3.8)
• Equac¸a˜o da Conservac¸a˜o da Quantidade de Movimento:∑
F =
˚
V (t)
∂
∂t
uρdV +
‹
A(t)
u(ρu · n̂)dA (3.9)
• Equac¸a˜o da Conservac¸a˜o do Momento da Quantidade de Movimento:∑
M =
˚
V (t)
∂
∂t
(r × u)ρdV +
‹
A(t)
(r × u)(ρu · n̂)dA (3.10)
• Equac¸a˜o da Conservac¸a˜o da Energia Te´rmica:
Q˙− W˙ =
˚
V (t)
∂
∂t
eρdV +
‹
A(t)
e(ρu · n̂)dA, e = h+ 1
2
u2 + gz (3.11)
31
Outras grandezas podem ser descritas pelo teorema transporte de Reynolds. De outra
forma, usando o teorema da divergeˆncia:
D
Dt
˚
V (t)
G(x, t)dV =
˚
V (t)
∂G
∂t
dV +
˚
V (t)
∇ · (Gu)dV
D
Dt
˚
V (t)
G(x, t)dV =
˚
V (t)
(
∂G
∂t
+∇ · (Gu)
)
(3.12)
3.2 Vaza˜o
Considera-se uma superf´ıcie de a´rea A onde o fluido atravessa sem resisteˆncia, conforme
figura 3.1:
Figura 3.1: Superf´ıcie A
Deseja-se saber a quantidade volume´trica de fluido que atravessa a superf´ıcie por uni-
dade de tempo:
Q˙ =
‹
A
(u · n̂)dA =
‹
A
un̂ cos θdA = uA (3.13)
Adota-se a mesma convenc¸a˜o do teorema transporte de Reynolds. Quando o vetor
velocidade e o vetor normal unita´rio tem mesma direc¸a˜o:
32
• Fluxo entrando: Sinal negativo (Sentidos opostos);
• Fluxo saindo: Sinal positivo (Mesmo sentido);
Portanto Q˙ e´ chamado de vaza˜o volume´trica. A vaza˜o ma´ssica e´ definida como a
quantidade de massa de fluido que atravessa a mesma a´rea A por unidade de tempo:
m˙ = ρuA(3.14)
3.3 Equac¸a˜o da Continuidade: Princ´ıpio da Conservac¸a˜o da Massa
Sabemos que a massa de um volume material na˜o varia com o passar do tempo. Dessa
forma, escreve-se a equac¸a˜o da conservac¸a˜o da massa na forma integral:
Dm
Dt
=
D
Dt
˚
V (t)
ρdV = 0 (3.15)
Do Teorema Transporte de Reynolds e do teorema da divergeˆncia:
D
Dt
˚
V (t)
G(x, t)dV =
˚
V (t)
∂G
∂t
dV +
‹
A(t)
Gu · n̂dA︸ ︷︷ ︸
D
Dt
˚
V (t)
G(x, t)dV =
˚
V (t)
∂G
∂t
dV +
˚
V (t)
∇ · (Gu)dV
D
Dt
˚
V (t)
G(x, t)dV =
˚
V (t)
(
∂G
∂t
+∇ · (Gu)
)
(3.16)
Logo a equac¸a˜o 3.15 se torna:
D
Dt
˚
V (t)
ρdV =
˚
V (t)
(
∂ρ
∂t
+∇ · (ρu)
)
= 0 (3.17)
Como a escolha do volume de integrac¸a˜o V e´ arbitra´ria, segue que, do teorema da
localizac¸a˜o:
33
∂ρ
∂t
+∇ · (ρu) = 0 (3.18)
Corola´rio: Seja φ um campo ou escalar ou vetorial cont´ınuo e definido em um domı´nio
Ω. O teorema da localizac¸a˜o afirma que, para dV arbitra´rio:˚
Ω
φdV = 0 =⇒ φ = 0, ∃Ω ⊂ Ω (3.19)
A equac¸a˜o 3.18 e´ a equac¸a˜o da continuidade na forma diferencial, e representa o
princ´ıpio de conservac¸a˜o da massa em um escoamento. Note que ela e´ va´lida para
todo ponto do escoamento! Desenvolvendo 3.18, temos:
∂ρ
∂t
+ u · ∇ρ+ ρ∇ · u = 0
Sendo
Dρ
Dt
=
∂ρ
∂t
+ u · ∇ρ
⇒ Dρ
Dt
+ ρ∇ · u = 0 (3.20)
Sendo o volume espec´ıfico v = 1/ρ:
D
Dt
(
1
v
)
+
1
v
∇ · u = 0
− 1
v2
Dv
Dt
= −1
v
∇ · u
∴ ∇ · u = 1
v
Dv
Dt
(3.21)
A equac¸a˜o 3.21 permite interpretar o divergente de u como sendo a “taxa de variac¸a˜o
volume´trica, por unidade de volume”do escoamento. Definiremos escoamento incom-
press´ıvel como aquele em que na˜o ha´ taxa de variac¸a˜o de volume. Logo, em escoamentos
incompress´ıveis temos que a equac¸a˜o da continuidade fica, simplesmente:
∇ · u = 0 (3.22)
Corola´rios:
34
1. Se ρ = cte:
Dρ
Dt
= 0 ⇒ ρ∇ · u = 0
Como ρ 6= 0 ⇒ ∇ · u = 0
Se ρ = cte ⇒ ∇ · u = 0
2. Se ∇ · u = 0 (Escoamento Incompress´ıvel)
∂ρ
∂t
+ u · ∇ρ = 0
Notamos, portanto, que se o escoamento e´ incompress´ıvel, enta˜o ρ na˜o e´ necessari-
amente constante. Pode haver variac¸a˜o de ρ associada a` mudanc¸as transientes da
propriedade. Mesmo em escoamentos em regime permanente (∂ρ
∂t
= 0), resta ainda a
possibilidade de ρ variar de forma que u · ∇ρ = 0, ou seja, se o escoamento e´ perpen-
dicular ao gradiente de massa espec´ıfica.
Figura 3.2: Velocidade e Gradiente de Massa Espec´ıfica
3.4 Tensa˜o em um fluido: O postulado de Cauchy
Considera-se todas as forc¸as atuando instantaneamente sobre o fluido no interior de
volume δV na forma de um tetraedro:
35
Figura 3.3: Volume Tetrae´drico
Onde t e´ o vetor de tenso˜es. Fazendo um balanc¸o de forc¸as sobre o volume:
t(n̂)δAABC + t(−ê1)δAOCB + t(−ê2)δAOAC + t(−ê3)δAOAB + FδV = ρδV a (3.23)
Onde a e´ a acelerac¸a˜o. Mas:
δAOCB = −δAn̂ · ê1 = −δAê1 · n̂ (3.24)
δAOAC = −δAn̂ · ê2 = −δAê2 · n̂ (3.25)
δAOAB = −δAn̂ · ê3 = −δAê3 · n̂ (3.26)
Logo:
t(n̂)δA− t(−ê1)δAn̂ · ê1 − t(−ê2)δAn̂ · ê2 − t(−ê3)δAn̂ · ê3 + FδV = ρδV a, Dividindo por δA
t(n̂) = t(−ê1)ê1 · n̂+ t(−ê2)ê2 · n̂+ t(−ê3)ê3 · n̂ − F δV
δA
+ ρ
δV
δA
a
Fazendo o tetraedro tender ao ponto (limδV/δA → 0):
t(n̂) = t(−êi)êi · n̂ (3.27)
36
O termo t(−êi)êi na˜o e´ ortogonal a`s faces. Se t e´ um vetor, enta˜o ele pode ser escrito
como a transformac¸a˜o entre um tensor e os vetores de base, tal que:
t(−êi) = σij êj (3.28)
Onde σij e´ a componente j da tensa˜o t(−êi). Logo:
t(n̂) = σij êj êi · n̂ = σ · n̂ (3.29)
Observa-se que quando a u´nica forc¸a externa presente no escoamento for a gravidade, o
balanc¸o de momento angular ira´ provar que o tensor de tenso˜es e´ sime´trico (σij = σji),
ou seja, na˜o ha´ gerac¸a˜o de torque no interior do fluido.
3.5 Equac¸a˜o de Cauchy
A equac¸a˜o de Cauchy representa o princ´ıpio da conservac¸a˜o do momento linear3. Toma-
se um material fluido cont´ınuo qualquer em movimento:
Figura 3.4: Material Fluido Cont´ınuo
Faz-se um balanc¸o de forc¸as neste material:
TAXA DE VARIAC¸A˜O
DE QUANTIDADE DE = FORC¸AS DE + FORC¸AS DE
MOVIMENTO SUPERFI´CIE CAMPO
3Tambe´m pode ser chamado de princ´ıpio da conservac¸a˜o da quantidade de movimento
37
Como o momento linear se conserva, a equac¸a˜o da conservac¸a˜o da quantidade de mo-
vimento na forma integral pode ser escrita como:
D
Dt
˚
V (t)
ρudV =
‹
A(t)
tdA+
˚
V (t)
gρdV (3.30)
A primeira integral a` esquerda pode ser escrita como:
D
Dt
˚
V (t)
ρudV =
˚
V (t)
ρ
Du
Dt
dV (3.31)
Do postulado de Cauchy, o vetor de tenso˜es pode ser substitu´ıdo pelo tensor de tenso˜es:˚
V (t)
ρ
Du
Dt
dV =
‹
A(t)
σ · n̂dA+
˚
V (t)
gρdV (3.32)
Aplicando o teorema da divergeˆncia na segunda integral:˚
V (t)
ρ
Du
Dt
dV =
˚
V (t)
∇ · σdV +
˚
V (t)
gρdV (3.33)
Organizando cada termo em uma u´nica integral:
˚
V (t)
[
ρ
Du
Dt
−∇ · σ − gρ
]
dV = 0 (3.34)
Aplicando o teorema da localizac¸a˜o, tem-se a equac¸a˜o de Cauchy:
ρ
Du
Dt
= ∇ · σ + ρg (3.35)
A equac¸a˜o de Cauchy representa a segunda lei de Newton para qualquer material
cont´ınuo.
Considerac¸o˜es:
• Forc¸as de campo: Sa˜o basicamente descritas pela definic¸a˜o de um campo conser-
vativo, ou seja, forc¸as oriundas destes campos realizam trabalho nulo em qual-
quer caminho fechado. Alguns exemplos sa˜o as forc¸as gravitacionais, de Coriolis,
38
Centr´ıpeta, Ele´trica e Magne´tica. Forc¸as de campo sa˜o percebidas em cada ponto
material, e dependera˜o do tipo de interac¸a˜o entre o ponto em questa˜o e o campo
de forc¸a.
• Forc¸as de superf´ıcie: Dependem da interac¸a˜o do material com ele mesmo. Sa˜o
percept´ıveis na ocorreˆncia de interac¸o˜es locais. O tensor de tenso˜es e´ onde estas
interac¸o˜es sa˜o percebidas. Logo este tensor fara´ a distinc¸a˜o entre materiais. Logo
a pergunta e´: Qual e´ a forma mais adequada para o tensor de tenso˜es?
3.6 Escoamentos inv´ıscidos - Equac¸a˜o de Euler
E´ todo escoamento onde a ac¸a˜o do tensor de tenso˜es se dara´ apenas pela pressa˜o.
Desconsidera-se qualquer efeito viscoso no escoamento. Fluidos que escoam desta forma
sa˜o chamados ideais.
Logo as forc¸as de superf´ıcie podem ser escritas como func¸a˜o da pressa˜o:
‹
A(t)
−pn̂dA = −
˚
V (t)
∇pdV (3.36)
Identidade importante:
∇ · (pI) = ∇p (3.37)
Onde I e´ o tensor identidade. Da equac¸a˜o de Cauchy:
ρ
Du
Dt
= ∇ · σ + ρg (3.38)
Para escoamentos inv´ıscidos, o tensor de tenso˜es e´ escrito como um tensor diagonal:
σ = −pI (3.39)
Este resultado mostra que as tenso˜es normais compo˜em a diagonal principal do tensor
de tenso˜es, ao passo que as tenso˜es cisalhantes (Quando existirem) completara˜o o
tensor:
39
σ =

σ11 τ12 τ13
τ21 σ22 τ23
τ31 τ32 σ33
 (3.40)
Da equac¸a˜o 3.39, e´ poss´ıvel escrever o tensor de tenso˜es em notac¸a˜o indicial:
σij = −pδij (3.41)
O trac¸o de um tensor e´ definido como a soma dos termos da diagonal principal:
σii = −pδii = −3p
p = −1
3
σii
p = −1
3
tr(σ) (3.42)
Este resultado relaciona a pressa˜o mecaˆnica em um escoamento como func¸a˜o apenas
do tensor de tenso˜es. A influeˆncia da pressa˜o no tensor de tenso˜es se da´ na diagonal
principal. Logo, a partir desta premissa e do resultado mostrado na equac¸a˜o 3.39, a
equac¸a˜o de Cauchy (Equac¸a˜o 3.38) se torna a equac¸a˜o de Euler:
ρ
Du
Dt
= −∇p+ ρg (3.43)
3.7 Func¸a˜o de corrente
Seja um escoamento incompress´ıvel, tal que ∇ · u = 0. Se chamarmos u = ∇ × ψ
pode-se dizer que (Propriedade do produto misto):
∇ · u = ∇ · (∇× ψ) = 0 (3.44)
Toma-se agora um escoamentobidimensional. Para que os componentes do vetor ve-
locidade u fiquem no plano, utiliza-se a propriedade do produto vetorial, impondo:
ψ = ψê3 (3.45)
Logo:
40
u = ∇× (ψê3)
=
∣∣∣∣∣∣∣∣
ê1 ê2 ê3
∂
∂x1
∂
∂x2
∂
∂x3
0 0 ψ
∣∣∣∣∣∣∣∣
u =
∂ψ
∂x2
ê1 − ∂ψ
∂x1
ê2 =
(
∂ψ
∂x2
,− ∂ψ
∂x1
)
(3.46)
A func¸a˜o de corrente ψ e´ uma func¸a˜o escalar cont´ınua e diferencia´vel. Observa-se que
as duas componentes u1 e u2 do vetor velocidade foram substitu´ıdas por uma func¸a˜o
ψ. Portanto, ao se tomar linhas de corrente 2D, tem-se:
u1 =
dx1
dt
; u2 =
dx2
dt
dt =
dx1
u1
=
dx2
u2
, Se dt = 0
dx1
u1
=
dx2
u2
⇒ u2dx1 = u1dx2
− ∂ψ
∂x1
dx1 − ∂ψ
∂x2
dx2 = 0 ⇒ dψ = 0 (3.47)
Este resultado mostra que a func¸a˜o de corrente e´ constante ao longo de uma linha de
corrente.
3.8 Vorticidade
Define-se vorticidade como uma medida da rotac¸a˜o do escoamento. Para definir esta
grandeza, tomam-se duas linhas materiais de fluido AB e BC, inicialmente perpen-
diculares em um tempo inicial t. Estas linhas se movimentara˜o em um escoamento,
conforme figura 3.5:
41
Figura 3.5: Linhas Materiais. Adaptado de: White, F. Fluid Mechanics, 4a Edition
Decorrido um tempo ∆t, estas linhas materiais se movera˜o e se deformara˜o para uma
configurac¸a˜o A’B’ e B’C’ (Figura 3.5)
As parcelas ∂u1/∂x1dx1∆t e ∂u2/∂x2dx2∆t sa˜o responsa´veis pela deformac¸a˜o das linhas
materiais, ja´ que promovera˜o elongamento das mesmas. A deformac¸a˜o relativa me´dia
δl/l das duas linhas materiais e´ dada por:
1
2
[
∂u1
∂x1
dx1∆t
dx1
+
∂u2
∂x2
dx2∆t
dx2
]
(3.48)
Define-se agora uma taxa de deformac¸a˜o relativa como:
D =
1
2
[
∂u1
∂x1
+
∂u2
∂x2
]
(3.49)
O termo entre pareˆnteses representa o trac¸o do tensor taxa de deformac¸a˜o, que se
relaciona com o divergente do campo de velocidade. Se o escoamento e´ incompress´ıvel:
∇ · u = ∂u1
∂x1
+
∂u2
∂x2
= 0⇒ ∂u1
∂x1
= −∂u2
∂x2
(3.50)
42
Ja´ os termos ∂u1/∂x2dx2∆t e ∂u2/∂x1dx1∆t se relacionam a` velocidade angular me´dia
tal que:
ωx3 =
1
2
[
∂u1
∂x2
− ∂u2
∂x1
]
(3.51)
Nota-se que a equac¸a˜o 3.51 representa a componente x3 do vetor velocidade angular
me´dio. O rotacional da velocidade no caso considerado pode ser escrito como:
∇× u =
[
∂u1
∂x2
− ∂u2
∂x1
]
ê3 (3.52)
Comparando as equac¸o˜es 3.51 e 3.52:
ω =
1
2
(∇× u) (3.53)
Onde ω e´ o vetor velocidade angular. Logo, define-se a vorticidade Ω como um vetor
duas vezes maior que ω:
Ω = 2ω = ∇× u (3.54)
Escoamentos rotacionais sa˜o tais que a velocidade angular local de uma part´ıcula e´
na˜o-nula.
3.9 Teorema da circulac¸a˜o de Kelvin
A equac¸a˜o de Cauchy representa o princ´ıpio da conservac¸a˜o do momento linear. Toma-
se um material fluido cont´ınuo qualquer em movimento:
43
Figura 3.6: Material Fluido Cont´ınuo
Aqui, t e´ a posic¸a˜o tangencial ao redor do contorno de C. Considera-se que u · t
representara´ a parcela da velocidade que na˜o contribuira´ na vaza˜o. Por definic¸a˜o a
circulac¸a˜o e´ dada por:
Γ =
˛
C
u · tdl (3.55)
Aplicando o teorema de Stokes:
Γ =
˛
C
u · tdl =
‹
S
(∇× u) · n̂dS (3.56)
Tomando a derivada material da circulac¸a˜o:
DΓ
Dt
=
D
Dt
˛
C
u · tdl = D
Dt
˛
C
u · dt, dt = tdl (3.57)
Logo: ˛
C
D
Dt
(u · dt) =
˛
C
Du
Dt
· dt+
˛
C
u · D
Dt
(dt) (3.58)
Da equac¸a˜o de Euler:
Du
Dt
= −∇p+ ρg , g = −∇Φ, Campo gravitacional conservativo
DΓ
Dt
=
˛
C
[
−1
ρ
∇p−∇Φ
]
dt+
˛
C
u · du (3.59)
44
Admitindo a condic¸a˜o de fluido barotro´pico (Fluido onde a massa espec´ıfica e´ func¸a˜o
apenas da pressa˜o) e aplicando o teorema de Stokes na primeira integral:
˛
C
[
−1
ρ
∇p−∇Φ
]
dt =
‹
S
∇×
−1
ρ
∇p− ∇Φ︸︷︷︸
∇×(∇Φ)=0
 · n̂dS
=
‹
S
∇×
[
−1
ρ
∇p
]
· n̂dS
=
‹
S
1
ρ2
[∇ρ×∇p]︸ ︷︷ ︸
=0
·n̂dS = 0 (3.60)
Para fluidos barotro´picos, ∇ρ e ∇p sa˜o paralelos, levando o termo destacado a ser igual
a zero. Para a segunda integral:˛
C
u · du = 1
2
˛
C
d(u2) = 0 (3.61)
O resultado dado pela equac¸a˜o 3.61 se justifica pelo fato de que u e´ igual no in´ıcio e no
fim do caminho fechado. Portanto, o teorema da circulac¸a˜o de Kelvin sera´ dado por:
DΓ
Dt
= 0 (3.62)
3.10 Escoamento potencial
Considerac¸o˜es:
• O nu´mero de Reynolds tende ao infinito, tal que na˜o existira´ difusa˜o de vortici-
dade;
• Escoamento bidimensional;
• Escoamento incompress´ıvel;
• Escoamento irrotacional;
Tomando um campo de velocidade com estas considerac¸o˜es, afirma-se que para um
campo conservativo e irrotacional, existira´ um potencial φ tal que:
u = ∇φ = u1ê1 + u2ê2 = ∂φ
∂x1︸︷︷︸
u1
ê1 +
∂φ
∂x2︸︷︷︸
u2
ê2 =
(
∂φ
∂x1
,
∂φ
∂x2
)
(3.63)
45
Nota sobre campos conservativos: Uma forc¸a conservativa F e´ definida como uma
forc¸a cujo trabalho realizado em qualquer caminho fechado e´ sempre nulo. Em outras
palavras:
˛
C
F dx = 0 (3.64)
Do teorema de Stokes, sabemos que:
˛
C
F dx =
ˆ
S
(∇× F ) · n̂dS (3.65)
Este resultado e´ va´lido para qualquer superf´ıcie S do domı´nio fluido, ou seja, ∇×F =
0, ∀x ∈ V . Sabemos das identidades vetoriais estudadas que ∇ × ∇φ = 0. Logo,
sempre e´ poss´ıvel escrever F na forma de gradiente de uma func¸a˜o escalar φ, ou seja
F = −∇φ. O sinal negativo e´ uma convenc¸a˜o bastante utilizada, mas rigorosamente
desnecessa´ria.
Se u e´ um campo solenoidal:
∇ · u = ∇ · (∇φ)⇒ ∇2φ = 0 (3.66)
A equac¸a˜o 3.66 e´ uma equac¸a˜o de Laplace, mostrando que o potencial de velocidade
φ e´ uma func¸a˜o harmoˆnica. O mesmo pode ser dito para a func¸a˜o de corrente. Se
o campo de velocidade e´ irrotacional, pode-se utilizar a equac¸a˜o 3.46 para escrever a
velocidade em termos da func¸a˜o de corrente:
∇× u = ∇× (ψê3) = ∇×
(
∂ψ
∂x2
,− ∂ψ
∂x1
)
= 0
−∂
2ψ
∂x21
− ∂
2ψ
∂x22
= 0 ⇒ −∇2ψ = 0 (3.67)
Observa-se uma relac¸a˜o entre o potencial de velocidade φ e a func¸a˜o de corrente ψ:
u =
(
∂φ
∂x1
,
∂φ
∂x2
)
=
(
∂ψ
∂x2
,− ∂ψ
∂x1
)
(3.68)
46
Comparando estas duas grandezas, definem-se as relac¸o˜es de Cauchy-Riemann:
u1 =
∂φ
∂x1
=
∂ψ
∂x2
(3.69)
u2 =
∂φ
∂x2
= − ∂ψ
∂x1
(3.70)
Uma linha equipotencial ou isopotencial sera´ uma linha onde φ = cte, tal que:
dφ =
∂φ
∂x1
dx1 +
∂φ
∂x2
dx2 = 0 (3.71)
=
(
∂φ
∂x1
,
∂φ
∂x2
)
· dx = 0 (3.72)
= ∇φ · dx (3.73)
Este resultado afirma que o gradiente do potencial de velocidade e´ perpendicular a`s
isopotenciais. Da mesma forma, o gradiente da func¸a˜o de corrente e´ perpendicular a`s
linhas de corrente. Tomando o produto escalar entre ambos os gradientes e aplicando
as relac¸o˜es de Cauchy-Riemann:
∇φ · ∇ψ =
(
∂φ
∂x1
,
∂φ
∂x2
)
·
(
∂ψ
∂x1
,
∂ψ
∂x2
)
=
∂φ
∂x1
∂ψ
∂x1
+
∂φ
∂x2
∂ψ
∂x2
, Aplicando 3.69
=
∂ψ
∂x2
(
∂ψ
∂x1
)
+
(
− ∂ψ
∂x1
)
∂ψ
∂x2
= 0 (3.74)
Conclui-se com este resultado que as linhas de corrente e as linhas isopotenciais sera˜o
sempre perpendiculares. Alguns exemplos de escoamentos potenciais4 sa˜o:
4Fonte das imagens da fonte, sorvedouro e dipolo: http://en.wikipedia.org/wiki/Two-
dimensional flows
47
(a) Fonte (b) Sorvedouro
(c) Escoamento Uniforme (d) Dipolo
Figura 3.7: Escoamentos Potenciais
3.10.1 Princ´ıpio da superposic¸a˜o: O me´todo dos paine´is
Consideram-se dois potenciais φ1 e φ2, que satisfazem a equac¸a˜o de Laplace:
∇2φ1 +∇2φ2 = 0⇒ ∇2(φ1 + φ2) = 0 (3.75)
Este resultado permite concluir que φ = φ1 + φ2 tambe´m satisfaz a equac¸a˜o de La-
place. Se dois potenciais de velocidadede escoamentos distintos atendem esta condic¸a˜o,
enta˜o o somato´rio destes potenciais permite combinar estes escoamentos potenciais.
48
O me´todo dos paine´is consiste em calcular escoamentos potenciais oriundos de com-
binac¸o˜es de outros escoamentos potenciais. A figura 3.8 mostra alguns exemplos5:
(a) Escoamento Uniforme + Fonte = Ponto de Estagnac¸a˜o
(b) Escoamento Uniforme + Fonte + Sorvedouro = Dipolo
(c) Escoamento Uniforme + Vo´rtice = Escoamento em torno de um
cilindro 2D
Figura 3.8: Escoamentos Potenciais Superpostos
3.11 Exerc´ıcios
1- Uma sala qualquer possui concentrac¸a˜o de poeira C e a massa espec´ıfica da poeira
ρd. Quando uma janela e´ aberta, uma rajada de vento entra na sala em condic¸o˜es
ρ, A1 e u1, onde A e´ a a´rea e u e´ a velocidade. Nota-se que o ar que entra e´ livre
de poeira. Uma rajada de ar sai por outra janela em condic¸o˜es ρ, A2 e u2. Sabendo
que a concentrac¸a˜o de poeira e´ uma raza˜o da massa espec´ıfica da poeira e a massa
espec´ıfica do ar, e a mesma pode ser considerada como conservativa, utilize o teorema
do transporte de Reynolds para encontrar uma expressa˜o que denote a taxa de troca
de massa de poeira na sala.
2- Um bocal de Laval, muito utilizado em propulsores de oˆnibus espaciais, consiste
em uma sec¸a˜o convergente-divergente, ou seja, o diaˆmetro da entrada e´ menor que
o diaˆmetro da sa´ıda. A intenc¸a˜o e´ que ocorra a expansa˜o do escoamento de ar em
5Imagens adaptadas de http://soliton.ae.gatech.edu/labs/windtunl/classes/lowspdaero/lospd4/lospd4.html
49
velocidade supersoˆnica. Na entrada ou garganta do bocal, o ar esta´ a uma pressa˜o de
284 KPa, temperatura de 665 K e velocidade de 517 m/s, e o diaˆmetro e´ de 0,01m.
Na sa´ıda, o ar esta´ a uma pressa˜o de 8 KPa e temperatura de 240 K, com diaˆmetro
de 0,025m. Considerando o escoamento como compress´ıvel e em regime permanente,
calcule:
• A vaza˜o ma´ssica;
• A velocidade da sa´ıda;
• O nu´mero de Mach na sa´ıda, considerando que a velocidade do som local e´ de
310 m/s;
Para calcular a massa espec´ıfica, utilize a seguinte equac¸a˜o de estado (R = 0, 287KJ/KgK):
p = ρRT (3.76)
3- Um peso de 700 N se encontra em um estado de equil´ıbrio devido a um jato de a´gua
ascendente que o sustenta. Considerando que o diametro me´dio do jato de a´gua e´ de
5 cm calcule a velocidade necessa´ria do jato de a´gua para manter o peso equilibrado.
4- Uma ma´quina te´rmica operando em regime permanente admite ar na sec¸a˜o 1 e
descarrega nas sec¸o˜es 2 e 3, distintas. As condic¸o˜es de operac¸a˜o sa˜o dadas pela tabela
abaixo:
Sec¸a˜o a´rea(m) vaza˜o (m3/s) Temperatura (oC) pressa˜o (kPa)
1 371,6 2,832 21 137,9
2 929 1,133 38 206,84
3 232,6 1,416 93
Fornece-se 150 W de poteˆncia para esta ma´quina. Admitindo que o ar se comporta
como um ga´s perfeito e os fluxos de energia potencial e cine´tica sa˜o desprez´ıveis, calcule
o calor transferido por esta ma´quina. Em seus ca´lculos use a seguinte equac¸a˜o de estado
para a entalpia:
h = cpT (3.77)
50
5- Em que condic¸o˜es o seguinte campo de velocidade sera´ incompress´ıvel?
u(x1, x2, x3) = (a1x1 + b1x2 + c1x3)eˆ1 + (a2x1 + b2x2 + c2x3)eˆ2 + (a3x1 + b3x2 + c3x3)eˆ3
(3.78)
6- Um campo de velocidade incompress´ıvel e´ dado por u = a(x21 − x22)eˆ1 + u2eˆ2 + beˆ3.
Aqui, b e´ uma constante. Calcule o valor de u2.
7- Mostre que qualquer campo de velocidade U que pode ser expresso como o gradiente
de uma grandeza escalar φ deve ser um campo irrotacional.
8- Considere o escoamento bidimensional oriundo da superposic¸a˜o entre treˆs escoamen-
tos:
• Escoamento uniforme: u = u0eˆ1
• Fonte localizada em (−a, 0);
• Sorvedouro localizado em (a, 0);
Determine:
• O potencial de velocidade e a func¸a˜o de corrente deste escoamento;
• Onde estara˜o poss´ıveis pontos de estagnac¸a˜o?
• Que escoamento e´ este?
9- Toma-se o seguinte campo de velocidade (a e´ uma constante):
u = a(x21 − x22)eˆ1 − 2ax1x2eˆ2 (3.79)
51
• E´ poss´ıvel escrever um potencial de velocidade para este escoamento? Se sim,
mostre o potencial e a func¸a˜o de corrente como func¸a˜o de a;
• Este escoamento e´ irrotacional? Qual e´ o valor da vorticidade?
10- Um escoamento e´ descrito pela seguinte func¸a˜o de corrente:
ψ = x21 − 2x2 (3.80)
Determine as linhas de corrente para ψ = 0, 1, 2. Calcule a velocidade e a vorticidade
deste escoamento.
11- Dado o campo de velocidade:
u = 2x1eˆ1 + 4x2eˆ2 + 15eˆ3 (3.81)
Calcule a vorticidade e avalie a circulac¸a˜o ao redor de um quadrado de lado a.
12- De modo a analisar o escoamento de o´leo na perfurac¸a˜o em a´guas profundas, um
engenheiro decidiu efetuar um ca´lculo das linhas de corrente do escoamento. Observou-
se um campo de velocidade via medic¸o˜es com anemoˆmetros, e aproximou-se este campo
para a seguinte se´rie:
u =
∞∑
n≥1
1
nx
(3.82)
Entretanto, esta aproximac¸a˜o so´ pode ser utilizada caso se garanta a convergeˆncia da
se´rie. Utilizando o teste da raza˜o, discorra sobre a possibilidade da utilizac¸a˜o desta
se´rie como aproximac¸a˜o para o campo de velocidade.
Teste da Raza˜o:
52
Para uma se´rie: ∞∑
n≥1
xn (3.83)
Onde xn 6= 0, para qualquer n ≥ 1, tem-se:
L = lim
n→∞
xn+1
xn
(3.84)
Caso:
• L < 1, a se´rie converge;
• L > 1, a se´rie diverge;
• L = 1, na˜o e´ poss´ıvel afirmar se a se´rie converge ou diverge;
13- Para os seguintes potenciais de velocidade:
φ1 = sin(x2) (3.85)
φ2 = cos(x1) (3.86)
• Determine o campo de velocidade oriundo da superposic¸a˜o dos escoamentos 1 e
2;
• Calcule o gradiente de pressa˜o deste escoamento usando a equac¸a˜o de Euler.
Considere auseˆncia de forc¸as de campo;
14- Para o seguinte campo de velocidade:
u = 2x1ê1 + 4x2ê2 + 6x3ê3 (3.87)
53
• Existe um potencial de velocidade para este escoamento?
• Este escoamento e´ rotacional?
• Verifique se este escoamento atende o teorema da circulac¸a˜o de Kelvin;
15- Para um dado escoamento cujo campo de velocidade e´ dado por:
u = (x1, x2) (3.88)
• Calcule a circulac¸a˜o ao redor de um meio cont´ınuo arbitra´rio. Este escoamento
atende ao teorema da circulac¸a˜o de Kelvin?
• Em que condic¸o˜es existira´ um potencial de velocidade para este escoamento?
16- Considera-se um escoamento em torno de um canto vivo de aˆngulo coˆncavo. Sua
func¸a˜o de corrente e´ dada por:
ψ = rpi/α sin
(
piθ
α
)
(3.89)
Onde α ≥ 180 graus. Para este escoamento:
• Calcule a componente r do campo de velocidade;
• O que acontecera´ com o escoamento se α = pi?
54
4 ESCOAMENTOS VISCOSOS - EQUAC¸A˜O DE
NAVIER-STOKES
4.1 Tensor de tenso˜es para um fluido Newtoniano
Considera-se uma laˆmina de fluido depositada entre uma superf´ıcie fixa e uma placa
livre. A placa comec¸a a se mover com velocidade constante U , oriundo da aplicac¸a˜o de
uma forc¸a F . Gera-se um perfil linear de velocidade unidirecional no fluido, conforme
figura 4.1:
Figura 4.1: Experieˆncia de Newton
Logo:
F ∝ AU
h
⇒ F
A
= µ
U
h
⇒ τ = µ du
dx2
(4.1)
A lei da viscosidade de Newton na forma generalizada e´ dada por:
τ = µ∇u (4.2)
O termo de gradiente de velocidade e´ um tensor. Como tal, ele pode ser escrito em
uma parte sime´trica D e uma parte anti-sime´trica W , tal que:
55
∇u = D +W ⇒ D = 1
2
(∇u+ (∇u)T ) (4.3)
⇒ W = 1
2
(∇u− (∇u)T ) (4.4)
Fisicamente, W na˜o impo˜e rotac¸a˜o no fluido, permitindo escrever:
τ = 2µD = µ(∇u+ (∇u)T ) (4.5)
Em notac¸a˜o indicial:
∇u = ∂
∂xi
uj êiêj (4.6)
D =
1
2
[
∂ui
∂xj
+
∂uj
∂xi
]
êiêj (4.7)
Tomando o trac¸o de D:
tr(D) =
1
2
[
∂ui
∂xi
+
∂ui
∂xi
]
=
1
2
[
2
∂ui
∂xi
]
=
∂ui
∂xi
= ∇ · u (4.8)
Em escoamentos viscosos, nota-se a presenc¸a de tenso˜escisalhantes ale´m das tenso˜es
normais. Logo o tensor de tenso˜es sera´ o somato´rio entre uma parte dita isotro´pica
(Oriunda das tenso˜es normais e relacionada com a pressa˜o) e uma parte dita deviato´rica
(Oriunda das tenso˜es cisalhantes e relacionada com a viscosidade), tal que:
σ = −pI + τ (4.9)
As tenso˜es cisalhantes para um fluido newtoniano sa˜o escritas na seguinte forma:
τ = 2µD + λ(∇ · u)I (4.10)
Onde:
• µ - Viscosidade dinaˆmica do fluido;
56
• λ - Mo´dulo de expansa˜o do material;
Substituindo estes resultados na equac¸a˜o 4.9, tem-se o tensor de tenso˜es para fluido
newtoniano escoando com efeitos viscosos:
σ = −pI + 2µD + λ(∇ · u)I (4.11)
Fluidos na˜o-newtonianos necessitam de uma equac¸a˜o tensa˜o-taxa de deformac¸a˜o pro´pria.
4.2 Equac¸a˜o de Navier-Stokes
Para a obtenc¸a˜o da equac¸a˜o de Navier-Stokes, sera´ usada a relac¸a˜o 4.11, inserindo-a
na equac¸a˜o de Cauchy. Para tanto, e´ necessa´rio calcular o seu divergente (∇·σ). Este
ca´lculo sera´ mostrado aqui parcela a parcela em notac¸a˜o indicial.
Primeiro termo:
∇ · (−pI) = − ∂
∂xm
eˆm · pδij eˆieˆj
= − ∂
∂xm
δij (eˆm · eˆi)︸ ︷︷ ︸
δmi
eˆjp
= − ∂
∂xm
δijδmi︸ ︷︷ ︸
δmj
eˆjp = − ∂
∂xm
δmj eˆj︸ ︷︷ ︸
ˆem
p
= − ∂
∂xm
eˆmp = −∇p (4.12)
Segundo termo:
∇ · (2µD) = 2µ(∇ ·D) (4.13)
= 2µ
[
1
2
(∇u+ (∇u)T )
]
= µ∇ · (∇u) + µ∇ · (∇u)T
= µ∇2u+ µ∇ · (∇u)T
57
Analisando ∇ · (∇u)T :
∇ · (∇u)T = ∂
∂xi
eˆi ·
(
∂
∂xj
eˆjukeˆk
)T
=
∂
∂xi
eˆi · ∂
∂xk
eˆjuj eˆk =
∂
∂xi
∂
∂xk
(eˆi · eˆj)︸ ︷︷ ︸
δij
uj eˆk
=
∂
∂xi
∂
∂xk
δijuj︸︷︷︸
ui
eˆk =
∂
∂xk
∂ui
∂xi
eˆk
= ∇(∇ · u)
Logo:
∇ · (2µD) = µ∇2u+ µ∇(∇ · u) (4.14)
Para o u´ltimo termo, sera´ utilizada a hipo´tese de Stokes:
λ = −2
3
µ (4.15)
Portanto:
λ(∇ · u)I = −2
3
µ(∇ · u)I
Tomando o divergente ⇒ ∇ ·
[
−2
3
µ(∇ · u)I
]
= −2
3
µ∇ · [(∇ · u)I]
= −2
3
µ
(∇ · u) (∇ · I)︸ ︷︷ ︸
=0
+I · ∇(∇ · u)
 = −2
3
µ [I · ∇(∇ · u)]
Avaliando I · ∇(∇ · u):
I · ∇(∇ · u) = δij eˆieˆj · ∂
∂xk
∂ul
∂xl
eˆk
=
∂
∂xk
∂ul
∂xl
δij eˆi eˆj · eˆk︸ ︷︷ ︸
δjk
=
∂
∂xk
∂ul
∂xl
δijδjk︸ ︷︷ ︸
δik
eˆi
=
∂
∂xk
∂ul
∂xl
δikeˆi︸︷︷︸
contraindo
=
∂
∂xk
eˆk
∂ul
∂xl
= ∇(∇ · u)
58
Logo:
λ(∇ · u)I = −2
3
µ∇(∇ · u) (4.16)
O divergente do tensor de tenso˜es agora pode ser escrito como:
∇ · σ = −∇p+ µ∇2u+ µ∇(∇ · u)− 2
3
µ∇(∇ · u)
= −∇p+ µ∇2u+ 1
3
µ∇(∇ · u) (4.17)
Inserindo na equac¸a˜o de Cauchy (Equac¸a˜o 3.35):
ρ
Du
Dt
= −∇p+ µ∇2u+ 1
3
µ∇(∇ · u) + ρg (4.18)
Expandindo a derivada material, tem-se finalmente a equac¸a˜o de Navier-Stokes:
ρ
 ∂u
∂t︸︷︷︸
1
+u · ∇u︸ ︷︷ ︸
2
 = − ∇p︸︷︷︸
3
+µ∇2u︸ ︷︷ ︸
4
+
1
3
µ∇(∇ · u)︸ ︷︷ ︸
5
+ ρg︸︷︷︸
6
(4.19)
Onde:
1. Termo transiente
2. Termo convectivo
3. Termo de forc¸as de pressa˜o
4. Termo difusivo ou viscoso
5. Termo de compressibilidade
6. Termo de forc¸as de campo
A equac¸a˜o de Navier-Stokes e´ uma equac¸a˜o diferencial parcial na˜o-linear e na˜o-homogeˆnea.
A na˜o-linearidade esta´ no termo convectivo. A equac¸a˜o de Navier-Stokes pode ser ob-
servada como uma interpretac¸a˜o da segunda lei de Newton, onde o lado esquerdo e´
59
a variac¸a˜o da quantidade de movimento e o lado direito e´ o somato´rio das forc¸as re-
sultantes. Esta equac¸a˜o descreve o movimento de qualquer fluido newtoniano. Seu
entendimento teo´rico e´ incompleto, ou seja, para um escoamento tridimensional e com
condic¸o˜es iniciais e contorno determinadas, na˜o se deduziu ainda uma soluc¸a˜o anal´ıtica
u´nica. Este e´ um dos sete problemas do mileˆnio, posto na seguinte forma:
Prove ou fornec¸a um contra-exemplo da seguinte afirmac¸a˜o: Em um dom´ınio tridimensional
que varia no tempo, dado um campo inicial de velocidade, existira´ um vetor velocidade e
um valor escalar de pressa˜o, ambos u´nicos e definidos, que resolvera˜o a equac¸a˜o de Navier-
Stokes.
O procedimento para se obter soluc¸o˜es da equac¸a˜o de Navier-Stokes consiste em simplifica-
las analisando a ordem de magnitude de cada termo e desprezando termos de pequena
ordem de magnitude. Para esta ana´lise, podem-se usar ana´lise de escala1 ou ana´lise
f´ısica direta do fenoˆmeno. A literatura traz as formulac¸o˜es destas soluc¸o˜es.
4.2.1 Adimensionalizac¸a˜o da equac¸a˜o de Navier-Stokes
A adimensionalizac¸a˜o de equac¸o˜es consiste em um procedimento usado na simulac¸a˜o
nume´rica e em ensaios de laborato´rio. Considera-se que a especificac¸a˜o de condic¸o˜es
iniciais e de contorno envolva grandezas caracter´ısticas de comprimento e velocidade.
Logo os resultados obtidos podem ser comparados diretamente com estas grandezas.
Neste sentido, qualquer processo de adimensionalizac¸a˜o comec¸a no estabelecimento
destas grandezas. Em seguida, escrevem-se valores adimensionais de comprimento,
velocidade, tempo e pressa˜o. Se:
• L - Comprimento caracter´ıstico;
• U - Velocidade caracter´ıstica;
1Sera´ mostrada no pro´ximo cap´ıtulo
60
Enta˜o os valores adimensionais sera˜o:
u∗ =
u
U
⇒ u = u∗U (4.20)
x∗ =
x
L
⇒ x = x∗L (4.21)
t∗ =
tU
L
⇒ t = t∗ L
U
(4.22)
p∗ =
p
ρU 2
⇒ p = p∗ρU 2 (4.23)
Inserindo em cada termo da equac¸a˜o de Navier-Stokes incompress´ıvel e sem forc¸as de
campo:
Termo Transiente:
∂u
∂t
=
∂
∂t
(u∗U)
= U
∂u∗
∂t
= U
∂u∗
∂(t∗ LU )
= U
U
L
∂u∗
∂t∗
=
U 2
L
∂u∗
∂t∗
(4.24)
Termo convectivo (O operador ∇ adimensionalizado e´ definido usando o valor adimen-
sional de comprimento x∗):
u · ∇u = u∗U ·
(
1
L
∇∗(u∗U)
)
= U
U
L
u∗ · ∇∗u∗
=
U 2
L
u∗ · ∇∗u∗ (4.25)
Termo de pressa˜o:
∇p = 1
L
∇∗(p∗ρU 2)
=
U 2
L
ρ∇∗p∗ (4.26)
Termo difusivo:
µ∇2u = µ 1
L2
∇∗2(u∗U)
= µ
U
L2
∇∗2u∗ (4.27)
61
Substituindo:
ρ
(
U 2
L
∂u∗
∂t∗
+
U 2
L
u∗ · ∇∗u∗
)
= −U
2
L
ρ∇∗p∗ + µU
L2
∇∗2u∗
Dividindo por ρU 2/L:
∂u∗
∂t∗
+ u∗ · ∇∗u∗ = −∇∗p∗ + µU
L2
L
ρU 2
∇∗2u∗
Simplificando o termo difusivo:
∂u∗
∂t∗
+ u∗ · ∇∗u∗ = −∇∗p∗ + µ
ρUL︸ ︷︷ ︸
1
Re
∇∗2u∗
∂u∗
∂t∗
+ u∗ · ∇∗u∗ = −∇∗p∗ + 1
Re
∇∗2u∗ (4.28)
Observa-se que o nu´mero de Reynolds e´, nestas condic¸o˜es, o u´nico adimensional que
aparece de forma expl´ıcita. Baseado neste resultado e´ poss´ıvel dar uma nova inter-
pretac¸a˜o para este adimensional. A viscosidade cinema´tica ν tem um papel de coefici-
ente de difusa˜o viscosa no escoamento. Portanto:
[ν] =
m2
s
=
m
s
m (4.29)
Logo, afirma-se que ν e´ da mesma ordem que o produto uL, ou seja:
ν ∼ uL (4.30)
Fazendo u = L/τD
ν ∼ L
τD
L⇒ τD ∼ L
2
ν
(4.31)
Onde τD e´ um tempo de difusa˜o viscosa. Definindo agora um tempo de convecc¸a˜o τC
como:
τC ∼ L
u
(4.32)
62
Fazendo a raza˜o entre tempos:
τD
τC
∼ L
2
ν
u
L
∼ uL
ν
∼ Re (4.33)
Conclui-se deste resultado que o nu´mero de Reynolds expressara´ uma raza˜o entre tem-
pos de transporte difusivo e convectivo. Dependendo da adimensionalizac¸a˜o adotada,
outros adimensionais podem surgir de forma expl´ıcita.
4.3 Algumas Soluc¸o˜es da Equac¸a˜o de Navier-Stokes
Nesta sec¸a˜o apresentaremos duas soluc¸o˜es da equac¸a˜o de Navier-Stokes.
4.3.1 Escoamento laminar plenamente desenvolvido em dutos de sec¸a˜o cir-
cular
Este escoamento tambe´m e´ chamado de escoamento de Hagen-Poiseville, que caracte-
riza o escoamento interno em dutos de sec¸a˜o circular. Define-se escoamento interno
como todo escoamento que e´ contido ou confinado por paredes. O exemplo mais direto
deste escoamento e´ o escoamento em tubos e condutos. Este tipo de escoamento apre-
senta efeitos viscososcrescentes devido ao confinamento. Estes efeitos sa˜o oriundos das
camadas limite existentes nas paredes. Estas camadas limite aumentam de espessura
ao longo do escoamento, causando desacelerac¸a˜o do escoamento axial na regia˜o da pa-
rede e acelerac¸a˜o do escoamento axial na regia˜o central. Esta caracter´ıstica sustentara´
a incompressibilidade do escoamento.
63
Figura 4.2: Escoamento interno
Todo escoamento interno apresentara´ perda de pressa˜o. A uma distaˆncia Le da entrada
(Figura2 4.2), as camadas limite se unificam, e os perfis de velocidade se ajustara˜o
ate´ este ponto. A partir deste ponto, a velocidade na˜o mais varia na direc¸a˜o axial,
tornando-se apenas func¸a˜o da coordenada radial (No caso de tubos de sec¸a˜o circular).
Esta condic¸a˜o e´ chamada de escoamento plenamente desenvolvido, onde o perfil de
velocidade e´ constante na direc¸a˜o axial, bem como a tensa˜o cisalhante nas paredes do
tubo. Outra caracter´ıstica e´ o decaimento linear da pressa˜o com a direc¸a˜o axial. Logo,
chama-se Le de comprimento de desenvolvimento, ou seja, o comprimento necessa´rio
para o escoamento atingir a condic¸a˜o de desenvolvimento pleno. A literatura traz
correlac¸o˜es para Le como func¸a˜o do nu´mero de Reynolds baseado no diaˆmetro do tubo
ReD:
Le
D
∼= 0, 06ReD, Escoamento Laminar (4.34)
Le
D
∼= 4, 4Re0,16D , Escoamento Turbulento (4.35)
2Adaptada de: White, F. Fluid Mechanics, 4a Edition
64
As premissas deste escoamento sa˜o (Em coordenadas cil´ındricas):
• Escoamento unidimensional: u = u(r) (Condic¸a˜o de escoamento plenamente
desenvolvido)
• Escoamento unidirecional: u = u(r, θ, z)eˆr
• Regime permanente
Aplica-se a equac¸a˜o de Navier-Stokes em coordenadas cil´ındricas na direc¸a˜o axial do
escoamento:
∂uz
∂t
+ ur
∂uz
∂r
+
uθ
r
∂uz
∂θ
+ uz
∂uz
∂z
= −1
ρ
∂P
∂z
+ ν
[
1
r
∂
∂r
(
∂uz
∂r
)
+
1
r2
∂2uz
∂θ2
+
∂2uz
∂z2
]
+ gz
(4.36)
Simplificando a equac¸a˜o atrave´s das premissas acima:
−∂p
∂z
+ µ
[
1
r
∂
∂r
(
r
∂uz
∂r
)]
= 0 (4.37)
Fazendo a seguinte aproximac¸a˜o:
∂p
∂z
= −∆p
L
(4.38)
Inserindo na equac¸a˜o 4.37:
−∆pr
µL
=
d
dr
(
r
duz
dr
)
(4.39)
Onde z e´ a coordenada axial do tubo. Integrando esta equac¸a˜o:
−∆pr
2
2µL
+ C1 = r
duz
dr
⇒ duz
dr
= −∆pr
2µL
+
C1
r
(4.40)
Integrando novamente:
uz(r) = −∆pr
2
4µL
+ C1 ln(r) + C2 (4.41)
65
Observa-se uma singularidade em r = 0. Se esta singularidade na˜o for eliminada, o
resultado carecera´ de consisteˆncia f´ısica. Logo, sera´ considerado que C1 = 0, levando
a:
uz(r) = −∆pr
2
4µL
+ C2 (4.42)
Aplicando a condic¸a˜o de na˜o escorregamento na parede:3
uz(r = R) = 0⇒ C2 = ∆pr
2
4µL
(4.43)
Resultando em:
uz(r) =
∆pR2
4µL
[
1−
( r
R
)2]
(4.44)
Nota-se do resultado que o perfil de velocidade e´ parabo´lico. Portanto o valor ma´ximo
da velocidade acontecera´ em r = 0, ou seja:
umax =
∆pR2
4µL
⇒ uz(r) = umax
[
1−
( r
R
)2]
(4.45)
Ca´lculo da vaza˜o:
Q˙ =
‹
S
un̂ cos θdA =
ˆ R
0
u(r)2pirdr
=
2pi∆pR2
4µL
ˆ R
0
[
1−
( r
R
)2]
rdr︸ ︷︷ ︸
R2
4
Q˙ =
2pi∆pR4
8µL
(4.46)
Ca´lculo da velocidade me´dia:
u =
Q
A
=
2pi∆pR4
8µL
1
piR2
=
2pi∆pR2
8µL
=
umax
2
(4.47)
3Esta condic¸a˜o estabelece que o fluido na˜o escorrega na parede, impondo sua velocidade na su-
perf´ıcie da parede como nula
66
Ca´lculo da tensa˜o cisalhante na parede:
τw(r = R) = µ
du
dr
(4.48)
du
dr
(r = R) =
∆pR2
2µL
=
4u
R
(4.49)
τw(r = R) =
4µu
R
(4.50)
Ca´lculo da perda de carga:
hf =
32µLu
ρgD2
=
128µLQ˙
piρgD4
(4.51)
Ca´lculo do fator de atrito:
f =
8τw
ρu2
=
8
ρu2
(
8µu
D
)
=
64µ
ρuD
=
64
Re
(4.52)
Observa-se que neste escoamento o fator de atrito e´ inversamente proporcional ao
nu´mero de Reynolds. Para este escoamento especificamente, a transic¸a˜o a` turbuleˆncia
se da´ em torno de um valor do nu´mero de Reynolds igual a 2300. Para escoamen-
tos turbulentos, na˜o existe soluc¸a˜o anal´ıtica, demandando assim experimentac¸a˜o em
laborato´rio ou simulac¸a˜o nume´rica.
A rugosidade de um tubo afeta os efeitos de atrito do escoamento. Para escoamentos
laminares este efeito e´ desprez´ıvel. Para escoamentos turbulentos, este efeito torna-
se significativo. E´ poss´ıvel encontrar na literatura estudos para observar este efeito
em escoamentos turbulentos. Destes estudos, correlac¸o˜es que determinam o fator de
atrito como func¸a˜o da rugosidade do tubo podem ser determinadas. Um exemplo e´ a
correlac¸a˜o de Colebrook (1938):
1
f 0,5
= −2 log
(
�/D
3, 7
+
2, 51
ReDf 0,5
)
(4.53)
Baseado nesta correlac¸a˜o trac¸ou-se um gra´fico denominado diagrama de Moody (Figura
4.3):
67
Figura 4.3: Diagrama de Moody. Fonte: White, F. Fluid Mechanics, 4a Edition
Em problemas de escoamentos em tubos, pode acontecer de na˜o se ter alguns dados,
resultando em soluc¸o˜es iterativas. Este tipo de problema e´ caracterizado de quatro
tipos diferentes:
• Dados D, L, u ou Q˙, ρ, µ e g, calcular hf ;
• Dados D, L, hf , ρ, µ e g, calcular u ou Q˙;
• Dados Q˙, L, hf , ρ, µ e g, calcular D;
• Dados Q˙, D, hf , ρ, µ e g, calcular L;
As perdas distribu´ıdas sa˜o determinadas usando o fator de atrito, conforme formulac¸a˜o
ja´ mostrada. Ja´ as perdas localizadas hl ocorrem devido a` presenc¸a de curvas, va´lvulas,
registros ou qualquer dispositivo instalado na tubulac¸a˜o que afete o escoamento. Seu
ca´lculo e´ feito atrave´s do somato´rio das perdas de cada dispositivo na tubulac¸a˜o. A
perda de carga total e´ feita somando todas as perdas (locais e distribu´ıdas), conforme
mostra a equac¸a˜o 4.54:
∆h = hf +
∑
hl (4.54)
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Tanto a literatura quanto os fabricantes destes dispositivos fornecem fo´rmulas de
ca´lculo para as perdas localizadas.
4.3.2 Primeiro Problema de Stokes
Figura 4.4: Problema de Stokes
O primeiro problema de Stokes consiste em estudar o escoamento na vizinhanc¸a de uma
placa plana subitamente acelerada (Figura 4.4). Este e´ um problema transiente, onde
em sua condic¸a˜o inicial, o fluido esta´ em repouso. A placa e´ subitamente acelerada
ate´ uma velocidade U no tempo inicial do fenoˆmeno. Este movimento e´ gerado por
movimento de contorno. A velocidade da placa pode ser fixa (Primeiro problema de
Stokes) ou oscilato´ria (Segundo problema de Stokes).
As premissas deste escoamento sa˜o:
• Regime transiente;
• Escoamento bidimensional: u = u(x1, x2, t);
• Escoamento unidirecional: u = u(x1, x2, t)eˆ1;
• Escoamento uniforme;
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Ja´ suas condic¸o˜es inicial e de contorno sa˜o:
• Condic¸a˜o inicial: Fluido inicialmente em repouso: u(x2 > 0, t = 0) = 0
• Condic¸a˜o de Contorno: In´ıcio repentino de movimento de contorno em x2 = 0:
u(0) =
{
U, se t > 0
0, se t 6 0
(4.55)
• Condic¸a˜o de Contorno: Fluido em repouso em x2 =∞⇒ u(∞) = 0;
Aplicando-se as premissas descritas acima, a equac¸a˜o da continuidade (Equac¸a˜o 3.22)
e´ reduzida a:
∂u2
∂x2
= 0 (4.56)
Desta equac¸a˜o e das premissas, pode-se depreender que:
• A velocidade u2 e´ constante;
• Em x2 = 0, u2 = 0;
• Se o escoamento e´ uniforme, enta˜o a velocidade na˜o e´ func¸a˜o de x1;
Ao se aplicar as premissas acima, a equac¸a˜o de Navier-Stokes (Equac¸a˜o 4.19) na direc¸a˜o
x2 se reduz a:
∂p
∂x2
= 0 (4.57)
A conclusa˜o principal da equac¸a˜o 4.57 e´ que a pressa˜o na˜o varia na direc¸a˜o x2. Ja´ a
equac¸a˜o de Navier-Stokes na direc¸a˜o x1 se reduz a:
∂u1
∂t
= −1
ρ
∂p
∂x1
+ ν
∂2u1
∂x22
(4.58)
Assumindo auseˆncia de gradientes externos de pressa˜o,

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