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ÁLGEBRA LINEAR AULA 5- ESPAÇOS VETORIAIS Tema da Apresentação ESPAÇOS VETORIAIS– AULA 5 ÁLGEBRA LINEAR Conteúdo Programático desta aula: . VETORES DE DIMENSÃO n: . ADIÇÃO DE VETORES . MULTIPLICAAÇÃO POR UM ESCALAR k . PROPRIEDADES . ESPAÇOS VETORIAIS . SUBESPAÇOS VETORIAIS . EXERCÍCIOS Tema da Apresentação ESPAÇOS VETORIAIS– AULA 5 ÁLGEBRA LINEAR VETORES DE DIMENSÃO n Os espaços n—dimensionais são representados por uma ênupla ou n-upla de números reais representados por (α1, α2, α3, ... , αn). Exemplos: u=(-1,2,-5,7) é um vetor que possui quatro coordenadas e pertence a um espaço real de dimensão 4, o R4. 2. v=(4,0,-3,6,-4) é um vetor que possui cinco coordenadas e pertence a um espaço real de dimensão 5, o R5. Rn = {(u1,u2,u3, ... , un) u1, u2, u3, ... , un R} Tema da Apresentação ESPAÇOS VETORIAIS– AULA 5 ÁLGEBRA LINEAR OPERAÇÕES EM Rn 1.ADIÇÃO DE VETORES Considere dois vetores u=(u1,u2,u3,...,un) e v=(v1,v2,v3, ... , vn ) do Rn. Temos que: u + v = (u1+v1 , u2+v2 , u3+v3 , ... , un+vn) 2. MULTIPLICAÇÃO POR UM ESCALAR k Considere um vetor u =(u1,u2,u3,...,un) e seja k um escalar (real) qualquer. Temos que: k.u = k. (u1,u2,u3,...,un) = (ku1,ku2,ku3, ... , kun) Tema da Apresentação ESPAÇOS VETORIAIS– AULA 5 ÁLGEBRA LINEAR EXEMPLOS: Considere os vetores u=(-2,3,-5,4) , v=(3,9,-6,0) e w=(-4,8,-7,1) do R4 . Calcule: u + v w-v 2u-v+3w Tema da Apresentação ESPAÇOS VETORIAIS– AULA 5 ÁLGEBRA LINEAR d) -w+3v-2u e) 5u-v+2w Tema da Apresentação ESPAÇOS VETORIAIS– AULA 5 ÁLGEBRA LINEAR PROPRIEDADES As operações de adição e multiplicação por escalar no Rn gozam das seguintes propriedades. Para quaisquer u , v e w do Rn e m e n escalares reais, temos: 1.(u+v)+w=u+(v+w) Propriedade Associativa 2.u+v=v+u Propriedade Comutativa 3. u+0=0+u=u Elemento Neutro -> 0=(0,0,0, ... . 0) 4. u+(-u)=0 Elemento Inverso->-u é o oposto ou simétrico de u 5. m(u+v)=um + mv 6. (m+n)u=mu+nu 7.(mn)u=m(nu) 8. 1.u=u Tema da Apresentação ESPAÇOS VETORIAIS– AULA 5 ÁLGEBRA LINEAR EXEMPLOS: Qual a dimensão de cada um dos vetores abaixo: a) u=(1-,3,5,-7,9) b) v=(0,-3,-4,5,9,0,-8) 2. Qual é o vetor nulo do R8? 3. Determinar o vetor v sabendo que (3,7,1)+2v=(6,10,4)-v. Tema da Apresentação ESPAÇOS VETORIAIS– AULA 5 ÁLGEBRA LINEAR ESPAÇOS VETORIAIS Os elementos de um espaço vetorial V são chamados de vetores qualquer que seja o conjunto V considerado. O conjunto V de todas as matrizes de números reais de m linhas e n colunas, representado por M=(m,n), com as operações de soma e multiplicação por um escalar real constitui um espaço vetorial. O espaço Rn com as operações usuais de adição e multiplicação por escalar real constitui um espaço vetorial. Tema da Apresentação ESPAÇOS VETORIAIS– AULA 5 ÁLGEBRA LINEAR SUBESPAÇOS VETORIAIS Se W é um conjunto de um ou mais vetores de um espaço vetorial V, então W é um subespaço de V se, e somente se, são satisfeitas as seguinte propriedades: i) Se u e v são vetores de W, então u+v também é vetor de W ii) Se k é um escalar qualquer e v é um vetor qualquer em W, então k.v está em W. Obs.: Note que sendo V um espaço vetorial e W≠ um subconjunto de V que satisfaça as duas condições acima dizemos que W é um subespaço de V. Tema da Apresentação ESPAÇOS VETORIAIS– AULA 5 ÁLGEBRA LINEAR Na aula de hoje estudamos: . VETORES DE DIMENSÃO n . ADIÇÃO DE VETORES . MULTIPLICAAÇÃO POR UM ESCALAR k . PROPRIEDADES . ESPAÇOS VETORIAIS . SUBESPAÇOS VETORIAIS . EXERCÍCIOS Tema da Apresentação
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