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ÁLGEBRA LINEAR AULA 8- TRANSFORMAÇÕES LINEARES Tema da Apresentação TRANSFORMAÇÕES LINEARES– AULA 8 ÁLGEBRA LINEAR Conteúdo Programático desta aula . Transformações Lineares: Definição. Exemplos. . Núcleo de uma Transformação Linear. . Imagem de uma Transformação Linear . Matriz de uma Transformação Linear: - Matriz de Transformação Linear do R² - Matriz de Transformação Linear do R³ . Transformações Lineares Planas: - Reflexões. Dilatações e Contrações.Cisalhamentos. Rotação. . Exemplos Tema da Apresentação TRANSFORMAÇÕES LINEARES– AULA 8 ÁLGEBRA LINEAR TRANSFORMAÇÕES LINEARES DEFINIÇÃO Sejam V e W espaços vetoriais. Uma aplicação (função) T:V W é chamada TRANSFORMAÇÃO LINEAR de V em W se, para quaisquer vetores u e v em V e qualquer escalar k valem: T(u+v) = T(u) + T(v) T(kv) = k.T(v) No caso especial em que V = W , a transformação linear é chamada de OPERADOR LINEAR DE V. Em toda transformação linear T:V W, a imagem do vetor 0 V é o vetor 0 W, isto é T(0)=0 Tema da Apresentação TRANSFORMAÇÕES LINEARES– AULA 8 ÁLGEBRA LINEAR EXEMPLOS T:R R x 2x ou T(x) = 2x é linear. De fato: i) Sejam u=x1 e v=x2 vetores quaisquer de R (nesse caso os vetores são números reais). Então: T(u+v) = T(x1) + T(x2) = 2(x1+x2)=2x1+2x2=T(u)+T(v) ii) Para todo kR e para todo u=x1R, tem-se: T(ku)=T(kx1)=2kx1=k(2x1)=kT(u) Obs: Essa transformação linear representa uma reta que passa pela origem. Se uma transformação representar uma reta que não passa pela origem, ela não é linear. Por ex.: T:RR , T(x)=2x+1 Nesse caso: T(0)≠0 pois T(0)=1 Tema da Apresentação TRANSFORMAÇÕES LINEARES– AULA 8 ÁLGEBRA LINEAR 2. T:R²R² (x,y) (-x,-y) , aplicação que a cada vetor (x,y) associa o seu oposto (-x,-y) Tema da Apresentação TRANSFORMAÇÕES LINEARES– AULA 8 ÁLGEBRA LINEAR 3. T:R² R³ , T(x,y)=(2x , -3y , x-y) é linear Tema da Apresentação TRANSFORMAÇÕES LINEARES– AULA 8 ÁLGEBRA LINEAR 4. Considere a transformação T:R² R³ definida por T(x,y) = (2x , -3y , x – y). Calcule: T(4,-1) T(0,5) Tema da Apresentação TRANSFORMAÇÕES LINEARES– AULA 8 ÁLGEBRA LINEAR NÚCLEO DE UMA TRANSFORMAÇÃO LINEAR Seja T:VW uma transformação linear. O conjunto dos vetores em V que T leva em 0 é chamado NÚCLEO DE T, que denotamos por N(T) ou ker(T) (Kernel). N(T) = {v V T(v)=0} O núcleo de uma transformação linear T:VW é um subespaço vetorial de V. Tema da Apresentação TRANSFORMAÇÕES LINEARES– AULA 8 ÁLGEBRA LINEAR IMAGEM DE UMA TRANSFORMAÇÃO LINEAR O conjunto de todos os vetores em W que são imagens por T de pelo menos um vetor em V é chamado de IMAGEM DE T, que representamos por Im(T) ou T(V). Im(T) = { wWT(v)=w para algum vV} A imagem de uma transformação T:VW é um subespaço de W Tema da Apresentação TRANSFORMAÇÕES LINEARES– AULA 8 ÁLGEBRA LINEAR MATRIZ DE UMA TRANSFORMAÇÃO LINEAR MATRIZ DE TRANSFORMAÇÃO LINEAR DO R² Dada uma transformação linear T:R²R² , definida por T(x,y) =(a1x+b1y , a2x+b2y) denominamos matriz de T na base canônica do R², ou apenas matriz de T, à matriz M = a1 b1 a2 b2 Exemplo: A matriz da transformação T(x,y) = (3x-5y , 2x+y) é M = 3 -5 2 1 Tema da Apresentação TRANSFORMAÇÕES LINEARES– AULA 8 ÁLGEBRA LINEAR II. MATRIZ DE TRANSFORMAÇÃO LINEAR DO R³ A matriz da transformação linear T:R³R³ definida por T(x,y,z) = (a1x+b1y+c1z,a2x+b2y+c2z,a3x+b3y+c3z) é a matriz a1 b1 c1 M = a2 b2 c2 a3 b3 c3 Exemplo: A matriz da transformação T(x,y,z) = (x+y+z , 2x-3y-5z , x-2z) é: 1 1 1 M = 2 -3 -5 1 0 -2 Tema da Apresentação TRANSFORMAÇÕES LINEARES– AULA 8 ÁLGEBRA LINEAR TRANSFORMAÇÕES LINEARES PLANAS São as transformações de R² em R². Vejamos algumas delas e suas respectivas interpretações geométricas: 1.REFLEXÕES a) Reflexão em torno do eixo dos x T:R² R² (x , y) (x, -y) ou T (x , y) = (x , -y) sendo 1 0 sua matriz canônica, isto é: 0 -1 x 1 0 x -y = 0 -1 . y Tema da Apresentação TRANSFORMAÇÕES LINEARES– AULA 8 ÁLGEBRA LINEAR b) Reflexão em torno do eixo dos y T:R² R² (x , y) (-x , y) ou : x -x -1 0 x = . y y 0 1 y Tema da Apresentação TRANSFORMAÇÕES LINEARES– AULA 8 ÁLGEBRA LINEAR c) Reflexão na origem T:R² R² (x , y) (-x , -y) ou : x -x -1 0 x = y -y 0 -1 y Tema da Apresentação TRANSFORMAÇÕES LINEARES– AULA 8 ÁLGEBRA LINEAR d) Reflexão em torno da reta y = x T:R² R² (x , y) (y , x) ou : x y 0 1 x = y x 1 0 y Tema da Apresentação TRANSFORMAÇÕES LINEARES– AULA 8 ÁLGEBRA LINEAR e) Reflexão em torno da reta y=-x T:R² R² (x , y) (-y , -x) ou : x -y 0 -1 x = y -x -1 0 y Tema da Apresentação TRANSFORMAÇÕES LINEARES– AULA 8 ÁLGEBRA LINEAR 2.DILATAÇÕES E CONTRAÇÕES a) Dilatação ou contração na direção do vetor T:R² R² (x , y) α(x , y), αR ou : x x αx α 0 x = = y y αy 0 α y Tema da Apresentação TRANSFORMAÇÕES LINEARES– AULA 8 ÁLGEBRA LINEAR Tema da Apresentação TRANSFORMAÇÕES LINEARES– AULA 8 ÁLGEBRA LINEAR b) Dilatação ou contração na direção do eixo dos x T:R² R² (x , y) (αx , y), α > 0 ou : x αx α 0 x = y y 0 1 y Tema da Apresentação TRANSFORMAÇÕES LINEARES– AULA 8 ÁLGEBRA LINEAR c) Dilatação ou contração na direção do eixo dos y T:R² R² (x , y) (x , αy), α > 0 Tema da Apresentação TRANSFORMAÇÕES LINEARES– AULA 8 ÁLGEBRA LINEAR OBS.: α = 0 (x , y) (x , 0) T seria a projeção ortogonal do plano sobre o eixo dos x. Para α=0 no caso (b), T seria a projeção ortogonal do plano sobre o eixo dos y. Tema da Apresentação TRANSFORMAÇÕES LINEARES– AULA 8 ÁLGEBRA LINEAR 3.CISALHAMENTO a) Cisalhamento na direção do eixo dos x T:R² R² (x , y) (x + αy, y) ou : x x+αy 1 α x = y y 0 1 y Tema da Apresentação TRANSFORMAÇÕES LINEARES– AULA 8 ÁLGEBRA LINEAR Tema da Apresentação TRANSFORMAÇÕES LINEARES– AULA 8 ÁLGEBRA LINEAR b) Cisalhamento na direção do eixo dos y T:R² R² (x , y) (x,y + αx) A matriz canônica deste cisalhamento é: 1 0 α 1 Tema da Apresentação TRANSFORMAÇÕES LINEARES– AULA 8 ÁLGEBRA LINEAR 4.ROTAÇÃO T : R² R² cos -sen [T ]= sen cos Tema da Apresentação TRANSFORMAÇÕES LINEARES– AULA 8 ÁLGEBRA LINEAR EXEMPLO Determinar a imagem do vetor v=(5,3) pela rotação de = π/2. Tema da Apresentação TRANSFORMAÇÕES LINEARES– AULA 8 ÁLGEBRA LINEAR Na aula de hoje estudamos: . Transformações Lineares: Definição. Exemplos. . Núcleo de uma Transformação Linear. . Imagem de uma Transformação Linear . Matriz de uma Transformação Linear: - Matriz de Transformação Linear do R² - Matriz de Transformação Linear do R³ . Transformações Lineares Planas: - Reflexões. Dilatações e Contrações.Cisalhamentos. Rotação. . Exemplos Tema da Apresentação
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