ELMG_Exerc_Resolvidos_03[1]

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ELMG – Eletromagnetismo – Exercícios Resolvidos 03
Exercício 01: Em uma região do espaço os pontos podem ser definidos em coordenadas 
cartesianas ou curvilíneas. Para compreender os métodos de cálculo com diferentes tipos, 
calcule o vetor que liga (8; 3.pi/4; pi/2) a (4; pi/3, -pi/2), pontos expressos em coordenadas 
esféricas. Apresentar na forma cartesiana. Calcule também a distância entre os dois 
pontos.
RESOLUÇÃO:



2
;
4
3;8 pipiA 


−
2
;
3
;4 pipiB
0
2
cos.
4
3.8 == pipisenxA 02
cos.
3
.4 =


−=
pipisenxB
657,5
2
.
4
3.8 == pipi sensenyA 464,32
.
3
.4 −=


−=
pipi sensenyB
657,5
4
3cos.8 −== piAz 23
cos.4 == piBz
( ) ( ) ( ) zyzyx aaGaaaABG  .657,7.121,9.657,52.657,5464,3.00 +−=⇒++−−+−=−=
( ) ( ) )(909,11657,7121,9 22 uGd =+== 
Exercício 02: Em uma região do espaço, a permissividade do meio vale 2ε0 e a 
permeabilidade vale 3µ0. O campo vetorial nesta região é dado por zzyyxx aBaBaBB
 ... ++=
. Este campo vetorial tem suas aplicações em estudo de fenômenos eletromagnéticos, 
quando representadas em coordenadas esféricas. Expresse este campo vetorial em 
coordenadas esféricas no ponto P(1, 2, 2).
RESOLUÇÃO:
Transformação do campo em coordenadas esféricas:
Ponto P(1, 2, 2) = P(r, θ, φ) = ),arccos,( 222
x
yarctg
r
zzyxrP ==++= φθ
( )º43,63;º19,48;3
1
2;
3
2arccos;221 222 ====


==++= φθφθ rParctgrP
zzyyxx aBaBaBB
 ... ++=
φφθθ aBaBaBB rr
 ... ++=
θφθφθ cos...cos... zyxrr BsensenBsenBaBB ++== 

θφθφθθθ senBsenBBaBB zyx ..cos.cos.cos.. −+== 

φφφφ cos... yx BsenBaBB +−== 

Substituindo os valores dos ângulos, obtemos:
zyxr BBBB .6667,0.6666,0.3334,0 ++=
zyx BBBB .7454,0.5963,0.2982,0 −+=θ
yx BBB .4473,0.8944,0 +−=η
( ) ( )
( ) φ
θ
aBB
aBBBaBBBB
yx
zyxrzyx


..4473,0.8944,0
..7454,0.5963,0.2982,0..6667,0.6666,0.3334,0
+−
+−++++=
Exercício 03: Os campos vetoriais podem ser apresentados em diferentes tipos de 
coordenadas e as suas transformações são importantes para estudar os fenômenos 
elétricos e magnéticos. Pela importância destas transformações, escreva o campo vetorial 
rarF
 .5 3−= para coordenadas cartesianas e também para coordenadas cilíndricas no ponto 
P(x = 0,2; y = -0,1; z = 0,2).
RESOLUÇÃO:
rarF
 .5 3−= e P(x = 0,2; y = -0,1; z = 0,2) = P(r = 0,3; θ = 48,19º; φ = -26,565º)
zzyyxx aFaFaFF
 ... ++=
φθ cos...5. 3 senraFF xx −== 

φθ sensenraFF yy ...5. 3−== 

θcos..5. 3−== raFF zz

( ) ( )zyxzyx azayaxzyxFar
za
r
ya
r
xrF 
 ....5.....5 2222
3 ++
++
=⇒


++= −
zyx aaaPF
 .457,123.728,61.457,123)( +−=
b) ( ) ( )zyx azayaxzyxF
 ....5 2222 ++++
=
zz aFaFaFF
 ... ++= φφρρ
( ) ( ) ( ) ( )φφρφφρρφφρρ sensenzsenyxzyxaFF ..cos.cos..
5.cos..5. 2222222 ++
=+
++
==

( ) ρρρ .
5
222 z
F
+
=
( ) ( )
( ) ( ) 0cos...cos..
5
cos...5.
222
2222
=+−
+
=+−
++
==
φφρφφρ
ρ
φφρφ
sensen
z
ysenx
zyx
aFF 

( ) zzyxaFF zz .
5. 222 ++
==

( ) )....(
5
222 z
aza
z
F 

+
+
= ρρ
ρ e 
( )2,0;º565,26;05,0 =−== zP φρ
zaaPF
 .457,123.029,138)( += ρ
Exercício 04: Os campos vetoriais podem ser apresentados em diferentes tipos de 
coordenadas e as suas transformações são importantes para estudar os fenômenos 
elétricos e magnéticos. Pela importância destas transformações, escreva o campo vetorial 
θθθ asenaF r
 .3..cos.2 += em coordenadas cartesianas e calcule no ponto P(ρ = 10; φ = 
36,87º; z = -3) = P(x = 8; y = 6; z = -3)
RESOLUÇÃO:
θθθ asenaF r
 .3..cos.2 += e P(ρ = 10; φ = 36,87º; z = -3)
zzyyxx aFaFaFF
 ... ++=
φθθφθθ cos.cos.3cos..cos.2. sensenaFF xx +== 

φθθφθθ sensensensenaFF yy .cos.3..cos.2. +== 

θθθθ sensenaFF zz .3cos.cos.2. −==

θθθθθθθθθθθθ sensensensensensensen ).(coscos.2.2coscos.2)2(3 222 −+=+=+=
θθθθθθθθθ 32322 cos..3cos.cos..23 sensensensensensen −=−+=
Passando as componentes para as coordenadas cartesianas, obtemos:
223
2222
2
222
..
).(
..3..2
yx
x
r
z
r
yxyx
r
z
r
yx
r
x
r
zFx
+




 ++
−
+
+=
4
233222
4
22
4
3
2
.....3)(..2).(...3..2
r
zyxzxxzzyxzx
r
yxzx
r
xz
r
zxFx
−−+++
=
+
−+=
( ) ( ) 2222
323
2222
233323 ..5........3..2...2..2
zyx
zxzyxzx
zyx
zyxzxzxzxzyxzxFx
++
++
=
++
−−+++
=
223
2222
2
222
..
).(
..3..2
yx
y
r
z
r
yxyx
r
z
r
yx
r
y
r
zFy
+




 ++
−
+
+=
4
323222
4
22
4
3
2
.....3)(..2).(...3..2
r
zyzyxyzzyxzy
r
yxzy
r
yz
r
zyFy
−−+++
=
+
−+=
( ) ( ) 2222
332
2222
323332 ..5........3..2..2...2
zyx
zyzyzyx
zyx
zyzyxzyzyzyzyxFy
++
++
=
++
−−+++
=
..
).(
..3..2
22
3
2222
2
222
r
yx
r
yxyx
r
z
r
yx
r
z
r
zFz
+



 ++
−
+
−=



 ++−+
−= 4
)2222222
2
2 ).(().(3.2
r
yxyxzyx
r
zFz
( ) 2222
422422222222 ..2..3..3)(.2
zyx
yyxxzyxzzyxzFz
++
+++−−++
=
( ) 2222
4224222242222 ..2..3..3.2..2..2
zyx
yyxxzyzxzzyzxFz
++
+++−−++
=
( ) 2222
422442222 ..2.2..
zyx
yyxxzzyzxFz
++
++++−−
=
zyx aaaPF
 .780,0.220,0.293,0)( +−−=
Exercício 05: Os campos vetoriais podem ser apresentados em diferentes tipos de 
coordenadas e as suas transformações são importantes para estudar os fenômenos 
elétricos e magnéticos. Pela importância destas transformações, expresse o campo vetorial 
( ) zy azyayxW  ...22 +−= em: (a) coordenadas cilíndricas no ponto P(6(m); 60º, -4(m)); (b) 
coordenadas esféricas no ponto Q(4(m); 30º; 120º)).
RESOLUÇÃO:( ) zy azyayxW  ...22 +−=
a) P(ρ = 6; φ = 60º; z = -4) ; x = ρ.cos φ e y = ρ. sen φ
zz aWaWaWW
 ... ++= φφρρ
( ) ( ) φφφρφρρ sensensenyxaWW .cos.. 22222 −=+== 
( ) ( ) φφφρφφφ cos.coscos.. 22222 senyxaWW −=−== 
φρ senzzyaWW zz .... === 

zasenzaasenW
 ....cos.2cos...2cos. 22 φρφφρφφρ φρ ++=
zaaaPW
 .785,20.9.588,15)( −−−= φρ
b) Q(r = 4; θ 30º; φ = 120º)
3.2cos.)(3..)(;1cos..)( ====−== θφθφθ rQzesensenrQysenrQx
φφθθ aWaWaWW rr
 ... ++=
( ) 330,4)(cos..... 22 =⇒−−== QWzysensenyxaWW rrr θφθ ( ) 50,4)(...cos.. 22 −=⇒−−== QWsenzysenyxaWW θθφ θφθ
( ) 00,1)(cos.. 22 =⇒−== QWyxaWW φφφ φ
φθ aaaW r
 .00,1.50,4.330,4 +−=
Exercício 06: Os campos vetoriais podem ser apresentados em diferentes tipos de 
coordenadas e as suas transformações são importantes para estudar os fenômenos 
elétricos e magnéticos. Pela importância destas transformações, escreva: (a) uma 
expressão para xa

 em coordenadas esféricas em P(r = 4; θ = 0,2pi; φ = 0,8pi). (b) ra em 
componentes cartesianas em P.
RESOLUÇÃO:
a) φφθθ aAaAaAa rrx
 ... ++=
eaaAsenaaA xrxr 6545,0cos.cos.;4755,0cos.. −===−=== φθφθ θθ 
5878,0. −=−== φφφ senaaA x 
φθ aaaa rx
 .5878,0.6545,0.4755,0 −−−=∴
b) P(x = r.sen θ.cos φ =-1,9020; y = r.sen θ. sen φ = 1,3820; z = r. cos θ = 3, 2361)
zzyyxxr aAaAaAa
 ... ++=
esensenaaAsenaaA yryxrx 3455,0..;4755,0cos.. ===−=== φθφθ 
8090,0cos. === θzrz aaA

zyxr aaaa
 .8090,0.3455,0.4755,0 ++−=∴
Exercício 07: Os campos vetoriais podem ser apresentados em diferentes tipos de 
coordenadas e as suas transformações são importantes para estudar os fenômenos 
elétricos e magnéticos. Pela importância destas transformações, escreva o campo vetorial 
xayA
 .= para: (a) coordenadas cilíndricas e determine-o noponto P(2, -5, 3)(m); (b) para 
coordenadas esféricas e determine-o no ponto P.
RESOLUÇÃO:
P(2, -5, 3) = P( )3;2,68;29 0 =−== zφρ
a) φφρφφρρ senyexaAaAaAA zz ==++= cos.;... 

0.).(.;cos.. ==−==== zz aAAesenyaAAyaAA
 φφ φφρρ
)...(cos.....cos.. φρφρ φφφρφφρφφρ asenasenAasensenasenA 

−=⇒−=
φρ aaPA
 .642,4.857,1)( −−=
b) )º2,68;º88,60;38()3,5,2(... −====−++= φθφφθθ rPPeaAaAaAA rr 

φθφθφθ cos....cos... sensensenrsenyaAA rr === 

φθφθφθθθ cos.cos...cos.cos.. sensenryaAA === 

( ) φφθφφι sensensenrsenyaAA ..... −=−== 
( )φθ φφθφθφθ asenaasensensenrA r  ..cos.cos.cos.... −+=
φθ aaaPA r
 .6425,4.9036,0.6222,1)( −−−=
Exercício 08: Os campos vetoriais podem ser apresentados em diferentes tipos de 
coordenadas e as suas transformações são importantes para estudar os fenômenos 
elétricos e magnéticos. Pela importância destas transformações, escreva o campo vetorial 
rarH
 .1−= em coordenadas esféricas para coordenadas cilíndricas.
RESOLUÇÃO:
Transformando em coordenadas cartesianas:
zzyyxx aHaHaHH
 ... ++= 222 zyxr ++=
φθ cos... 1 senraHH xx −== 

r
xsensenrx =⇒= φθφθ cos.cos..
φθ sensenraHH yy ... 1−== 

r
ysensensensenry =⇒= φθφθ ...
θcos.. 1−== raHH zz

r
zrz =⇒= θθ coscos.
zzxzyx azyx
za
zyx
ya
zyx
xa
r
za
r
ya
r
xH 

...... 222222222222 ++
+
++
+
++
=++=
Transformando em coordenadas cilíndricas:
zz aHaHaHH
 ... ++= ϕφρρ φρ cos.=x
222222
.cos..
zyx
seny
zyx
xaHH
++
+
++
==
φφ
ρρ
 φρ seny .=
222222
cos...
zyx
y
zyx
senxaHH
++
+
++
−
==
φφ
φφ
 222 ρ=+ yx
22222. z
z
zyx
zaHH zz
+
=
++
==
ρ

zaz
za
z
sensena
z
senH 

..cos...cos..cos. 222222
22
+
+
+
+−
+
+
+
=
ρρ
φφρφφρ
ρ
φρφρ
φρ
zaz
za
z
H 

.. 2222 +
+
+
=
ρρ
ρ
ρ
Exercício 09: Os campos vetoriais podem ser apresentados em diferentes tipos de 
coordenadas e as suas transformações são importantes para estudar os fenômenos 
elétricos e magnéticos. Pela importância destas transformações, escreva o campo vetorial 
xazF
 .= para: (a) coordenadas cilíndricas e determine-o no ponto P(-2, 5, 3) (m); (b) para 
coordenadas esféricas e determine-o no ponto Q( 2, -5, 4).
RESOLUÇÃO: xazF
 .=
a) )3;º80,111;29()3,5,2(... ======−=++= zPzyxPeaFaFaFF zz φρφφρρ 

φρρ cos.. zaFF == 

φφφφ senzsenzaFF .).(. −=−== 

 e 0. == zz aFF

φρ φφ asenzazF 

...cos −= e φρ aaPF
 .785,2.114,1)( −−=
b) )º20,68;º40,53;45()4,5,2(... −=====−==++= φθφφθθ rPzyxQeaFaFaFF rr 

φθθφθ cos..cos.cos... senrsenzaFF rr === 

φθφθθφθθθ cos.cos.cos.cos.cos.cos.cos.. 2rrzaFF ==== 

φθφφφ senrsenzaFF .cos.).(. −=−== 

( )φθ φφθφθθ asenaasenrF r  ..cos.cos.cos..cos. −+=
φθ aaaQF r
 .7156,3.8856,0.192,1)( ++=