ProbabilidadeII Apostila Nei

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CÁLCULO DAS PROBABILIDADES II
Prof. Nei Rocha
Instituto de Matemática - UFRJ
Rio de Janeiro
2017-2
Sumário
1 Modelos de Probabilidade 1
1.1 Modelo Matemático para um Experimento . . . . . . . . . . . . . . . 1
1.1.1 Espaço Amostral e Eventos Aleatórios . . . . . . . . . . . . . 1
1.1.2 Álgebras e �-Álgebras de Subconjuntos de 
 . . . . . . . . . . 4
1.1.3 Sequências de Eventos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9
1.1.4 Medidas Positivas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11
1.1.5 Medidas de Probabilidade . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12
1.1.6 Probabilidade Condicional . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
1.1.7 Independência . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
1.2 O Processo de Poisson . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
1.3 Exercícios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27
2 Variáveis Aleatórias 34
2.1 Conceito . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34
2.2 Função de Distribuição . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36
2.3 Variáveis Aleatórias Discretas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39
2.4 Variáveis Aleatórias Contínuas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40
2.5 Vetores Aleatórios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42
2.5.1 Independência . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46
2.6 Funções de Variáveis Aleatórias . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50
2.6.1 Transformações Mensuráveis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50
2.6.2 Distribuições de Funções de Variáveis e Vetores Aleatórios . . 51
2.6.3 Método do Jacobiano . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52
2.6.4 Estatísticas de Ordem . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55
2.7 Exercícios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 57
3 Esperança Matemática 65
3.1 De…nição . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 65
3.2 Esperanças de Funções de Variáveis Aleatórias . . . . . . . . . . . . . 68
3.3 Momentos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 69
3.4 Esperanças de Funções de Vetores Aleatórios . . . . . . . . . . . . . . 71
3.5 Teoremas de Convergência . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 74
3.6 Exercícios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 75
4 Distribuição e Esperança Condicionais 80
4.1 Exercícios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 87
i
PROGRAMA
I - Modelo Probabilístico. Probabilidade Condicional. Independência.
II - Variáveis Aleatórias - Funções de Distribuição, Independência, Distribuição
de Variáveis Aleatórias.
III - Esperança Matemática de Variáveis Aleatórias - Propriedades, Desigual-
dades Básicas, Teoremas de Convergência.
IV - Distribuição e Esperança Condicionais - De…nições e Exemplos.
V - Lei dos Grandes Números - Lei Fraca, Lema de Borel-Cantelli, Lei Forte.
VI - Funções Características e Convergência em Lei.
VII - Teorema Central do Limite.
BIBLIOGRAFIA
[1] Magalhães, M. N. - Probabilidade e Variáveis Aleatórias - Ed. Universidade
de São Paulo - 2004.
[2] Ross, S. - A First Course in Probability - Sixth Edition. Prentice Hall - 2002.
[3] James, B.- Probabilidade: UmCurso emNível Intermediário - Projeto Euclides
- 1981.
[4] Ross, S. - Introduction to Probability Models - Sixth Edition. Academic Press
- 1997.
[5] Hoel, P.G. e Stone, C. J. - Introdução à Teoria da Probabilidade - Editora
Interciência - 1978.
AVALIAÇÕES
ii
Prova 1: 02/10/2017
Prova 2: 27/11/2017
Prova 3: 06/12/2017
Prova Final: 08/12/2017
iii
Capítulo 1
Modelos de Probabilidade
1.1 Modelo Matemático para um Experimento
O modelo matemático criado durante as primeiras três décadas do século XX para
estudar os experimentos aleatórios é denominado de espaço de probabilidade. Este
modelo consiste de uma terna ordenada denotada usualmente por (
;A; P ), onde
 é um conjunto arbitrário, A é uma �-álgebra de subconjuntos de 
 e P é uma
medida de probabilidade de…nida sobre A. Vejamos cada um desses elementos.
1.1.1 Espaço Amostral e Eventos Aleatórios
Suponha que vamos realizar um experimento cujo resultado não pode ser predito
de antemão. Entretanto, suponha que saibamos todos os possíveis resultados de
tal experimento. Este conjunto de todos os resultados possíveis, que denotaremos
por 
, é chamado de espaço amostral do experimento. Assim, temos a seguinte
de…nição:
De…nição 1 (Espaço Amostral) O conjunto 
 contendo todos os resultados pos-
síveis de um determinado experimento é chamado de espaço amostral.
Exemplo 1 Se o experimento consiste em lançar uma moeda, então 
 = fCa;Cog,
onde Ca é ”cara”e Co é ”coroa”.
1
Exemplo 2 Se o experimento consiste em lançar um dado e observar a face supe-
rior, então 
 = f1; 2; 3; 4; 5; 6g.
Exemplo 3 Se o experimento consiste em lançar duas moedas, então
 = f(Ca;Ca); (Ca;Co); (Co;Ca); (Co;Co)g, onde o resultado (a; b) ocorre se a
face da primeira moeda é a e a face da segunda moeda é b.
Exemplo 4 Se o experimento consiste em lançar dois dados e observar as faces
superiores, então
 =
8>>>>>><>>>>>>:
(1; 1) (1; 2) (1; 3) (1; 4) (1; 5) (1; 6)
(2; 1) (2; 2) (2; 3) (2; 4) (2; 5) (2; 6)
(3; 1) (3; 2) (3; 3) (3; 4) (3; 5) (3; 6)
(4; 1) (4; 2) (4; 3) (4; 4) (4; 5) (4; 6)
(5; 1) (5; 2) (5; 3) (5; 4) (5; 5) (5; 6)
(6; 1) (6; 2) (6; 3) (6; 4) (6; 5) (6; 6)
9>>>>>>=>>>>>>;
onde o resultado (i; j) ocorre se a face i aparece no primeiro dado e a face j no
segundo dado.
Exemplo 5 Se o experimento consiste em medir a vida útil de um carro, então um
possível espaço amostral consiste de todos os números reais não-negativos, isto é,
 = [0;1).
De…nição 2 Qualquer subconjunto A do espaço amostral 
, isto é A � 
, ao qual
atribuímos uma probabilidade, é dito um evento aleatório.
Obviamente, como ; � 
 e 
 � 
 os conjuntos ; e 
 são eventos aleatórios. O
conjunto vazio ; é denominado evento impossível e o conjunto 
 é denominado
evento certo. Se ! 2 
 o evento f!g é dito elementar (ou simples).
De…nição 3 Dois eventos A e B são ditos mutuamente exclusivos ou incom-
patíveis se A \B = ;.
2
Observação 1 É importante saber traduzir a notação de conjuntos para a lin-
guagem de eventos: A [ B é o evento ”A ou B”; A \ B é o evento ”A e B” e
Ac é o evento ”não A”.
Observação 2 (Concepção Errônea) Um dos equívocos comumente observado é
o estabelecimento de uma relação um a um do experimento com o espaço amostral
associado. É preciso ter em mente que para todo experimento é possível estabelecer
uma in…nidade de espaços amostrais, todos legítimos, pois o espaço amostral deve
ser o conjunto que contém todos os resultados possíveis, mas não há necessidade
de que este seja minimal. Assim, se o experimento consiste em lançar um dado
e se observar a sua face superior, podemos ter 
1 = f1; 2; 3; 4; 5; 6g, 
2 = N e
3 = (0;1) como espaços amostrais legítimos para esse experimento. Em todos
eles basta atribuir a probabilidade de 1
6
para os pontos 1; 2; 3; 4; 5 e 6 e probabilidade
nula para os demais pontos se houver. Claro que não há necessidade de se pecar por
excesso, se podemos reconhecer o espaço amostral mínimo, mas isso nem sempre é
possível, e nesse caso pecaremos por excesso e deixaremos a medida de probabilidade
fazer o trabalho de de…nir pontos (ou regiões) de maior e menor probabilidade a
partir da análise estatística de dados.
É preciso lembrar também que toda escolha do espaço amostral induz uma medida
de probabilidade diferente. Por exemplo, se temos uma urna com três bolas brancas
e 2 bolas vermelhas e o experimento consiste em se retirar uma bola e registrar a sua
cor, então poderíamos teros seguintes espaços amostrais, dentre outros possíveis:
1 = fb; vg e 
2 = fb1; b2; b3; v1; v2g. No primeiro espaço amostral, estaríamos con-
siderando as bolas pretas e vermelhas indistinguíveis entre si e assim o ponto b teria
3
5
de chance e o ponto v teria 2
5
de chance, ou seja, um espaço amostral de elemen-
tos não equiprováveis. No segundo espaço amostral, estaríamos considerando todas
3
as bolas como distinguíveis e, nesse caso, cada ponto tem a mesma probabilidade
1
5
, construindo assim um espaço amostral de elementos equiprováveis. Portanto, se
o evento for "retirar uma bola branca", então esse evento será dado por fbg pelo
espaço amostral 
1, e fb1; b2; b3g pelo espaço amostral 
2. No entanto, ambos terão
a mesma chance de 3
5
.
1.1.2 Álgebras e �-Álgebras de Subconjuntos de 
De…nição 4 (Álgebra) Seja A uma classe de subconjuntos de 
 tendo as seguintes
propriedades:
(i) 
 2 A;
(ii) Se A 2 A então Ac 2 A; (a classe é fechada pela complementariedade)
(iii) Se A1; A2; :::; An 2 A então
n[
i=1
Ai 2 A. (a classe é fechada pela união …nita)
Então a classe A de subconjuntos de 
 é chamada uma álgebra.
Proposição 1 Seja A uma álgebra. Então:
(a) ; 2 A;
(b) se A e B 2 A então A�B 2 A;
(c) se A1; A2; :::; An 2 A então
n\
i=1
Ai 2 A.
Prova. (Em aula.)
De…nição 5 (�-álgebra) SejaA uma classe de subconjuntos de 
 tendo as seguintes
propriedades:
(i) 
 2 A;
(ii) Se A 2 A então Ac 2 A; (a classe é fechada pela complementariedade)
(iii) Se A1; A2; ::: 2 A então
1[
i=1
Ai 2 A. (a classe é fechada pela união in…nita
enumerável)
Então a classe A de subconjuntos de 
 é chamada uma �-álgebra.
4
Exemplo 6 Seja 
 um conjunto não-vazio. Sejam as seguintes coleções de subcon-
juntos de 
.
(i) A1 = f;;
g;
(ii) A2 = f;; A;Ac;
g com A � 
;
(iii) A3 = P (
) onde P (
) é o conjunto das partes de 
, ou seja, o conjunto
de todos os subconjuntos de 
.
Então A1, A2 e A3 são �-álgebras.
Proposição 2 Seja A uma �-álgebra de subconjuntos de 
, então
(i) ; 2 A.
(ii) Se A1; A2; ::: 2 A, então
1\
i=1
Ai 2 A.
(iii) Se A e B 2 A então A�B 2 A e A4B := (A�B) [ (B � A) 2 A.
Prova. (Em aula.)
De…nição 6 (Evento Aleatório) Os membros de A são chamados (no contexto
da Teoria de Probabilidade) de eventos, ou subconjuntos de 
 A-mensuráveis, ou
apenas subconjuntos mensuráveis de 
 se não houver confusão quanto à �-álgebra
referente. O par (
; A) é dito ser um espaço mensurável.
Exemplo 7 Seja 
 = R e A a classe de todas as uniões …nitas de intervalos do
tipo (�1; a], (b; c] e (d;1). Mostre que
(a) A é uma álgebra;
(b) A não é uma �-álgebra.
Exemplo 8 Mostre que toda �-álgebra é uma álgebra, mas a recíproca não é ver-
dadeira.
Exemplo 9 Mostre, com exemplo, que se A e B são �-álgebras, A [ B não é nec-
essariamente uma �-álgebra.
5
Proposição 3 SejamA e B �-álgebras de subconjuntos de 
. Então A\B é também
uma �-álgebra.
Prova. (Em aula.)
Proposição 4 A interseção …nita, in…nita enumerável ou arbitrária qualquer de
�-álgebras de subconjuntos de 
 é também uma �-álgebra.
Prova. (Em aula.)
Observação 3 Dada uma classe C de subconjuntos de 
, podemos construir a
menor álgebra contendo C, da seguinte forma:
(i) Formamos a classe C1 contendo 
, ;, A e Ac para todo A 2 C;
(ii) Formamos a classe C2 de interseções de elementos de C1;
(iii) Formamos a classe C3 de uniões …nitas de elementos de C2.
Claramente, C � C1 � C2 � C3, e pode-se veri…car facilmente que C3 é uma
álgebra.
Observação 4 Podemos construir (ainda que de forma abstrata) a menor ��álgebra
contendo uma classe C de subconjuntos de 
, da seguinte forma: Considere todas
as ��álgebras contendo C. Denote-as ��(C), � 2 �. O conjunto � é não-vazio,
pois o conjunto de todos os subconjuntos de 
 é uma ��álgebra. Então, a menor
��álgebra contendo C é dada por
�(C) = \
�2�
��(C)
Proposição 5 Sejam C1 e C2 duas coleções de subconjuntos de 
, tais que C1 � C2.
Então �(C1) � �(C2).
Prova. (Em aula.)
6
Exemplo 10 Seja 
 = f1; 2; 3; 4; 5; 6g. (a) Construa a menor ��álgebra de sub-
conjuntos de 
; (b) Construa a menor ��álgebra contendo a classe de subconjuntos
de 
 dada por ff1; 2g ; f1; 3; 4g ; f3; 5gg; (c) Construa a menor ��álgebra contendo
todos os subconjuntos de 
.
De…nição 7 (Espaço Topológico) Uma topologia num conjuntoX é uma coleção
F de partes de X, chamados os abertos da topologia, com as seguintes propriedades:
(i) ; 2 F e X 2 F ;
(ii) se A1; A2; :::; An 2 F então
n\
i=1
Ai 2 F ;
(iii) se A1; A2; ::: 2 F então
1[
i=1
Ai 2 F .
Um espaço topológico é um par (X;F) onde X é um conjunto e F é uma
topologia em X.
De…nição 8 (��álgebra de Borel) A ��álgebra de Borel é ��álgebra gerada
pela coleção de conjuntos abertos de um espaço topológico. Os membros desta �-
álgebra são chamados Borelianos.
De…nição 9 (�-álgebra de Borel de R) A ��álgebra de Borel de R, denotada
por B(R), é de…nida como
B(R) = �f(a; b) � R; a � bg.
Os elementos de B(R) são chamados de conjuntos de Borel, Borelianos ou con-
juntos de Borel mensuráveis.
Proposição 6 Para quaisquer números reais a � b, os intervalos [a; b] ; (a;1) ;
(�1; b), [a; b), (a; b] e fag são todos elementos de B(R).
Prova. (Em aula.)
7
Exemplo 11 Mostre que N, Z, Q e I = R�Q são elementos de B(R).
As ��álgebras em Rd, d > 1, e R são geradas por intervalos nestes espaços e são
denotadas por B(Rd) = Bd e B = B1 = B(R), respectivamente.
Proposição 7 Se 
 = R, B pode ser gerada por quaisquer dos intervalos (a; b),
(a; b], [a; b) ou [a; b], isto é,
B = �f(a; b);�1 � a � b � +1g
= �f[a; b);�1 < a � b � +1g
= �f[a; b];�1 < a � b < +1g
= �f(�1; x];x 2 Rg,
e assim por diante.
Prova. (Em aula.)
É natural se perguntar se a coleção B(R) contém todos os subconjuntos de R.
A resposta é negativa, pois é possível construir um subconjunto dos números reais
que não pertence a B(R). A construção desse conjunto é bem delicada e é tratada
num curso formal de Teoria da Medida e está no momento fora do alcance de nossos
objetivos nesse curso de nível intermediário.
De…nição 10 (�-álgebra de Borel de A) Seja A 2 B(R). A ��álgebra de
Borel de A, denotada por B(A) ou por A \ B(R), é de…nida como
B(A) = fA \B : B 2 B(R)g .
Exemplo 12 Mostre que B(A) é de fato uma �-álgebra de subconjuntos de A.
De…nição 11 Dados dois espaços mensuráveis (
1; A1) e (
2; A2), de…nimos
A1 � A2 = fA1 � A2 : A1 2 A1 e A2 2 A2g e a �-álgebra de subconjuntos do es-
paço produto 
1 � 
2 é de…nida � (A1 �A2) ou A1 
A2.
8
Exemplo 13 Dados dois espaços mensuráveis (
1; A1) e (
2; A2), mostre com
um exemplo que A1 �A2 não é necessariamente uma �-álgebra de subconjuntos do
espaço produto 
1�
2. Daí de…nirmos a �-álgebra como � (A1 �A2) ou A1
A2.
O conceito de �-álgebra de Borel de R pode agora ser estendido a dimensões
superiores da seguinte forma: Considere a coleção C de todos os retângulos abertos
de R2, isto é,
C = f(a; b)� (c; d) : a < b, c < dg .
Então B(R2) := �(C) = � (B(R)� B(R)). De forma análoga se de…ne B(Rn).
De…nição 12 (�-álgebra de Borel de Rn) B(Rn) := � (B(R)� :::� B(R)).
De…nição 13 Seja A uma (��)álgebra em 
. Um membro A de A é dito um
átomo, se A 6= ; e se B � A implica que ou B = ; ou B = A. Portanto, átomos
são os membros mais …nos de uma (��)álgebra.
Exemplo 14 Seja 
 = f1; 2; 3; 4; 5; 6g e sejaA = f;; f2g; f1; 3; 4; 5; 6g; f4; 6g; f1; 2; 3; 5g;
f1; 3g; f2; 4; 5; 6g; f5g; f1; 2; 3; 4; 6g; f1; 3; 5g; f4; 5; 6g; f1; 3; 4; 6g; f2; 5g; f1; 2; 3g; f2; 4; 6g;
g.
Então os átomos associados à A são f2g, f5g, f1; 3g e f4; 6g.
1.1.3 Sequências de Eventos
Nesta seção etudaremos o conceito de convergência de uma sequência in…nita de
eventos. Paraconceituá-la precisaremos antes de…nir o conceito de limite supremo
e limite ín…mo de conjuntos. Essas de…nições são extensões naturais do caso de
sequências numéricas, como veremos.
De…nição 14 Sejam En, n = 1; 2; 3; :::, subconjuntos de um conjunto 
. O limite
9
supremo e o limite ín…mo desta sequência são de…nidos como
lim sup
n!1
En =
1\
k=1
1[
n=k
En =
1\
k=1
Bk, Bk =
1[
n=k
En # (1.1)
lim inf
n!1
En =
1[
k=1
1\
n=k
En =
1[
k=1
Ck, Ck =
1\
n=k
En " (1.2)
Observação 5 (a) Os limites (1.1) e (1.2) são subconjuntos de 
 e são mensu-
ráveis. A sequência de eventos Bk =
1S
n=k
En e Ck =
1T
n=k
En são monótonas, com Bk
uma sequência decrescente, isto é, Bk � Bk+1 e Ck uma sequência crescente, isto é,
Ck � Ck+1, para todo k. Estas propriedades são denotadas por Bk # e Ck ".
(b) Observe que lim infn!1En � lim supn!1En.
De…nindo a função indicadora como 1A : 
 ! f0; 1g, isto é, 1A(!) = 1 para
! 2 A e 1A(!) = 0 para ! =2 A, temos as seguintes proposições.
Proposição 8 lim supn!1En = fEn in…nitas vezesg = f! :
1P
n=1
1En(!) = 1g =
f! : ! 2 Enk , k = 1; 2; :::g para alguma subsequência nk dependendo de !.
Prova. (Em aula.)
Proposição 9 lim infn!1En = f! : ! 2 En, para todo n, exceto para um número
…nitog = f! :
1P
n=1
1Ecn(!) <1g = f! : ! 2 Ei, i � n0(!)g.
Prova. (Em aula.)
De…nição 15 Uma sequência de eventos fEn; n � 1g é dita convergente com limn!1En =
E se lim supn!1En = lim infn!1En = E.
Exemplo 15 Para cada número natural n de…na En =
�� 1
n
; 0
�
se n é ímpar e
En =
�
0; 1
n
�
se n é par. Mostre que limn!1En = f0g.
10
Exemplo 16 Seja A um evento. Mostre que a seguinte sequência de eventos não é
convergente.
An =
�
A, se n é ímpar
Ac, se n é par
De…nição 16 Uma sequência de eventos fEn; n � 1g é dita crescente se En �
En+1, n � 1 e é dita decrescente se En � En+1, n � 1.
Proposição 10 (i) Se fEn; n � 1g é uma sequência crescente de eventos, então
limn!1En existe e é dado por
lim
n!1
En =
1[
i=1
Ei.
(ii) Se fEn; n � 1g é uma sequência decrescente de eventos, então limn!1En existe
e é dado por
lim
n!1
En =
1\
i=1
Ei.
Prova. (Em aula.)
1.1.4 Medidas Positivas
De…nição 17 Seja (
;A) um espaço mensurável. Uma função não-negativa
� : A ! �R+ = [0;1] é chamada de uma medida se �(?) = 0 e se �(A) for �-
aditiva, isto é, para qualquer coleção inumerável de conjuntos disjuntos A1, A2, A3
...2 A e A =
1[
n=1
An temos
�(A) =
1X
n=1
�(An).
O valor �(A) é chamado de medida do conjunto A 2 A.
De…nição 18 A medida � é dita …nita se �(
) < 1, e �-…nita se 
 pode ser
representado como uma união enumerável de conjuntos An tais que �(An) < 1,
n = 1; 2;...
11
De…nição 19 A tripla (
;A; �) é chamada de um espaço de medida.
Observação 6 Se �(
) := j
j < 1, então �(A) =
X
!2
1A(!) para todo A 2 A.
Essa é a medida canônica empregada na análise combinatória.
Observação 7 Seja 
 = R. Para qualquer intervalo I limitado de qualquer tipo,
isto é, I = [a; b], I = [a; b), I = (a; b] ou I = (a; b) de…na a medida de Lebesgue
�(I) = b� a. Então, por exemplo, �(fag) = � ([a; a]) = 0, �(Q) = 0 e �(I\ [a; b]) =
b� a.
Observação 8 Se �(
) := P (
) = 1, então �(A) = P (A) 2 [0; 1]. Essa é a medida
de probabilidade de eventos aleatórios, que estudaremos em seguida, e que estabelece
a chance de um evento (subconjunto de 
) ocorrer.
De…nição 20 (Conjuntos de medida nula) Seja � uma medida positiva. Um
conjunto N 2 A é dito de medida nula se �(N) = 0.
Observação 9 Conjuntos de medida nula do espaço Euclidiano n-dimensional, Rn,
são em geral referenciados segundo a medida de Lebesgue.
1.1.5 Medidas de Probabilidade
Assentaremos a base axiomática da Teoria das Probabilidades tal como foi con-
struída pelo matemático russo Andrei Nikolaevich Kolmogorov (1903 - 1987), re-
sponsável pela base matemática sólida da teoria.
12
Kolmogorov
Seja 
 um espaço amostral e A uma �-álgebra para um dado experimento. Uma
medida de probabilidade P é uma aplicação
P : A ! [0; 1]
tendo os seguintes axiomas:
A1) P (A) � 0.
A2) P (
) = 1.
A3) (Aditividade Finita) Se A1; A2; :::; An 2 A são disjuntos dois a dois, isto é,
Ai \ Aj = ; para todo i 6= j, então P
�
n[
i=1
Ai
�
=
nX
i=1
P (Ai).
Uma função P satisfazendo os axiomas 1, 2 e 3 é chamada probabilidade …ni-
tamente aditiva. Entretanto, para os nossos objetivos, será mais conveniente
supor �-aditividade:
A3’) Se A1; A2; ::: 2 A são disjuntos dois a dois, então P
� 1[
i=1
Ai
�
=
1X
i=1
P (Ai).
Modelo Probabilístico: Terminamos a formulação do modelo matemático para
um experimento, ou modelo probabilístico. É constituído de
13
a) Um conjunto não-vazio 
, de resultados possíveis, o espaço amostral.
b) Uma �-álgebra A de eventos aleatórios.
c) Uma probabilidade P de…nida em A.
Vamos agora retirar nosso modelo do contexto de um experimento e reformulá-lo
como um conceito matemático abstrato.
De…nição 21 (Espaço de Probabilidade) Um espaço de probabilidade é um
terna ordenada (
;A; P ) onde
(a) 
 é um conjunto não-vazio,
(b) A é uma �-álgebra de subconjuntos de 
, e
(c) P é uma probabilidade de…nida em A.
O Paradoxo de Bertrand a seguir é uma excelente oportunidade para nos
mostrar que, sem conhecer precisamente a gênese do fenômeno aleatório em estudo,
é possível construir modelos de probabilidade diferentes para um mesmo fenômeno,
gerando cada um medidas de probabilidade diferentes para os eventos de interesse.
Joseph Louis François Bertrand (1822 –1900)
14
Exemplo 17 Seja um triângulo equilátero inscrito num círculo unitário. Uma
corda do círculo é selecionada aleatoriamente. Qual a probabilidade de que a corda
seja maior que o lado do triângulo?
Modelo 1: A corda é obtida através da seleção aleatória de dois pontos da
circunferência. Então p = 1
3
.
Modelo 2: Um ponto é escolhido aleatoriamente sobre um diâmetro do círculo. A
corda é obtida pela perpendicular ao diâmetro que passa pelo ponto. Então p = 1
2
.
Modelo 3: Um ponto é escolhido aleatoriamente do círculo. A corda é construída
tendo o ponto selecionado como seu ponto médio. Então p = 1
4
.
Exemplo 18 Cinco dados equilibrados são lançados simultaneamente. Construa
um espaço de probabilidade (
;A; P ) para o experimento e determine a probabilidade
de se obter:
15
(a) um par;
(b) dois pares;
(c) uma trinca;
(d) uma quadra;
(e) uma quina;
(f) uma sequência;
(g) um full hand, isto é, uma trinca e um par.
Exemplo 19 Um polígono regular de 2n + 1 lados está inscrito em um círculo.
Escolhem-se três de seus vértices, formando um triângulo. Determine a probabili-
dade de o centro do círculo ser interior ao triângulo.
De…nição 22 (Espaço de Probabilidade Completo) Um espaço de probabili-
dade (
;A; P ) é dito completo, se para todo A 2 A com P (A) = 0 tivermos
N 2 A para todo N � A. (Naturalmente devemos ter P (N) = 0.)
Com base nos axiomas de probabilidade, pode-se demonstrar os seguintes teore-
mas:
Proposição 11 P (;) = 0.
Prova. (Em aula.)
Observação 10 (Concepção Errônea) Sabemos agora que se A = ; então P (A) =
0. No entanto, a recíproca não é verdadeira, isto é, P (A) = 0 não implica neces-
sariamente que A = ;! Um evento pode ter probabilidade nula e não ser impossível.
Da mesma forma, sabemos pelo Axioma 2 que se A = 
 então P (A) = 1. No
entanto um evento pode ter probabilidade 1 e não ser o evento certo 
. É o que
chamamos em probabilidade de um evento quase-certo.
Vejamos o exemplo a seguir para ilustrar esses fatos.
16
Exemplo 20 Um experimento consiste em se selecionar um ponto aleatoriamente
do círculo de raio unitáriocentrado na origem. Então
 =
�
! = (x; y) : x2 + y2 � 1	
Como todo ponto é aleatoriamente escolhido, a probabilidade de um ponto cair numa
região do círculo deveria ser a razão entre a área dessa região e a área do círculo
unitário. Assim, se A � 
, temos
P (A) =
SA
�
,
com SA a área da região de…nida pelos pontos de A. Mas então, todo evento ele-
mentar desse espaço amostral tem probabilidade nula, pois se A = f(a; b)g, então
SA = 0, e consequentemente
P (A) =
0
�
= 0.
No entanto A 6= ?. Além disso, observe que todo experimento terá como um resul-
tado um ponto do círculo unitário, que tinha probabilidade nula antes de ele ocorrer.
Portanto eventos de probabilidade 0 não são necessariamente eventos impossíveis!
Seja agora o evento B como sendo o conjunto de pontos do círculo unitário tais
que a abscissa é diferente da ordenada, isto é, B = f! = (x; y) : x2 + y2 � 1 e x 6= yg.
Naturalmente B é subconjunto próprio de 
. Mas
P (B) =
SB
�
=
�
�
= 1,
pois SB (a área da região de…nida pelos pontos de B) equivale à área de 
. Assim
B é um evento quase-certo, pois embora possamos obter um ponto do tipo (a; a) que
não satisfaz ao evento B, a chance de isso ocorrer é nula.
Proposição 12 O Axioma 3’implica o Axioma 3, isto é, se P é �-aditiva, então é
…nitamente aditiva.
17
Prova. (Em aula.)
Proposição 13 Para todo A 2 A, temos P (Ac) = 1� P (A).
Prova. (Em aula.)
Proposição 14 Para todo A 2 A, temos 0 � P (A) � 1.
Prova. (Em aula.)
Proposição 15 Sejam A e B 2 A. Se A � B, então
(a) P (B � A) = P (B)� P (A);
(b) P (A) � P (B).
Prova. (Em aula.)
Proposição 16 Sejam A e B 2 A. Então P (A [B) = P (A) + P (B)� P (A \B).
Prova. (Em aula.)
Proposição 17 (Desigualdades de Boole) Seja fAn; n � 1g uma sequência de
eventos. Então
(i) P
� 1[
i=1
Ai
�
�
1X
i=1
P (Ai).
(ii) P
� 1\
i=1
Ai
�
� 1�
1X
i=1
P (Aci).
Prova. (Em aula.)
Proposição 18 Sejam A1; A2; :::; An 2 A. Então
P
�
n[
i=1
Ai
�
=
nX
i=1
P (Ai)�
X
i<j
P (Ai \ Aj) +
X
i<j<k
P (Ai \ Aj \ Ak)
�
X
i<j<k<l
P (Ai \ Aj \ Ak \ Al) + :::+ (�1)n+1P (A1 \ A2 \ ::: \ An)
18
Prova. (Em aula.)
De…nição 23 Diz-se que A 2 A é um evento "quase certo"se A 6= 
 e P (A) = 1.
Proposição 19 Seja fAn; n � 1g uma sequência de eventos.
(i) Se P (An) = 1, para todo n, então P
� 1\
i=1
Ai
�
= 1.
(ii) Se P (An) = 1, para algum n, então P
� 1[
i=1
Ai
�
= 1.
(iii) Se P (An) = 0, para algum n, então P
� 1\
i=1
Ai
�
= 0.
(iv) Se P (An) = 0, para todo n, então P
� 1[
i=1
Ai
�
= 0.
Prova. (Em aula.)
Proposição 20 Se fAn; n � 1g é uma sequência crescente ou decrescente de even-
tos, então
lim
n!1
P (An) = P ( lim
n!1
An).
Prova. (Em aula.)
Exemplo 21 Considere uma população de indivíduos capazes de gerar proles do
mesmo tipo. O número de indivíduos inicialmente presentes, denotado por X0, é o
tamanho da geração zero. Todos as proles da geração zero constituem a primeira
geração e o seu número é denotado por X1. Em geral, Xn denota o tamanho da
n-ésima geração. Mostre que limn!1 P (Xn = 0) existe e interprete o seu signi…cado.
A proposição anterior nos informa que a função probabilidade P é contínua para
sequências monótonas de eventos. Na verdade a função probabilidade P é contínua
para quaisquer sequências de eventos convergentes.
Proposição 21 (Lema de Fatou) A medida de probabilidade satisfaz às desigual-
dades
P (lim inf
n!1
An) � lim inf
n!1
P (An) � lim sup
n!1
P (An) � P (lim sup
n!1
An)
19
para qualquer sequência de eventos fAn; n � 1g.
Prova. (Em aula.)
Proposição 22 Se a sequência de eventos fAn; n � 1g é convergente com A =
limn!1An, então
lim
n!1
P (An) = P ( lim
n!1
An) = P (A).
Prova. (Em aula.)
1.1.6 Probabilidade Condicional
De…nição 24 Seja (
;A; P ) um espaço de probabilidade. Se B 2 A e P (B) > 0,
a probabilidade condicional de A dado B é de…nida por
PB(A) = P (AjB) = P (A \B)
P (B)
, A 2 A. (1.3)
Proposição 23 PB(A) = P (AjB), A 2 A, é uma medida de probabilidade em A,
isto é, PB(A) satisfaz os axiomas da probabilidade.
Prova. (Em aula.)
Observação 11 A proposição anterior nos garante, portanto, que todas as pro-
priedades de probabilidade não condicional são mantidas na medida condicional,
como, por exemplo, P (AcjB) = 1� P (AjB).
Observação 12 Observe que, dado B, então podemos de…nir um novo espaço de
probabilidade induzido por B dado por (B;G; PB), onde G := fA \B : A 2 Ag é a
�� álgebra gerada por B.
Exemplo 22 Joga-se um dado não-viciado duas vezes. Determine a probabilidade
condicional de obter 3 na primeira jogada, sabendo que a soma dos resultados foi 7.
20
Proposição 24 (Teorema da Multiplicação) Seja (
;A; P ) um espaço de prob-
abilidade. Então
(a) P (A \B) = P (B):P (AjB) = P (A):P (BjA);
(b) P (A1 \ A2 \ ::: \ An) = P (A1):P (A2jA1):P (A3jA1 \ A2):::P (AnjA1 \ A2 \
:::An�1), para todo A1; A2; :::; An 2 A e para todo n = 2; 3; :::.
Prova. (Em aula.)
Exemplo 23 Selecionar três cartas sem reposição ao acaso. Qual a probabilidade
de se retirar 3 reis. (Use o teorema acima para resolver o problema e compare com
o uso da análise combinatória.)
De…nição 25 Seja 
 um conjunto não-vazio. Uma partição de 
 é uma família
de conjuntos A1, A2, ..., An tais que
(i)
n[
i=1
Ai = 
(ii) Ai \ Aj = ;, para todo i 6= j.
Ou seja, os conjuntos A1, A2, ..., An são disjuntos dois a dois e a sua união é
o conjunto 
. Dizemos também que 
 foi particionado pelos conjuntos A1, A2, ...,
An.
Para todo evento B 2 A temos
B =
n[
i=1
(Ai \B) .
Como os Ai são disjuntos, então os Ci = Ai\B são disjuntos. Com isto podemos
demonstrar os seguintes teoremas:
Teorema 1 (Teorema da Probabilidade Total) Se a sequência (…nita ou enu-
merável) de eventos aleatórios A1, A2, ...formar uma partição de 
, então
P (B) =
X
i
P (Ai):P (BjAi) (1.4)
21
para todo B 2 A.
Prova. (Em aula.)
Exemplo 24 Um prisioneiro possui 50 bolas brancas, 50 bolas pretas e duas urnas
iguais. O prissioneiro deve colocar do modo como preferir as bolas nas urnas desde
que nenhuma urna …que vazia. As urnas serão embaralhadas e o prisioneiro deverá,
de olhos fechados, escolher uma urna e, nesta urna, escolher uma bola. Se a bola
for branca, ele será libertado; e, se for preta, será condenado. Como deve agir o
prisioneiro para maximizar a probabilidade de ser libertado?
Teorema 2 (Fórmula de Bayes) Se a sequência (…nita ou enumerável) de even-
tos aleatórios A1, A2, ... formar uma partição de 
, então
P (AijB) = P (Ai)P (BjAi)X
j
P (Aj):P (BjAj)
. (1.5)
Prova. (Em aula.)
Exemplo 25 Em uma cidade, as pessoas falam a verdade com probabilidade 1
3
.
Suponha que A faz uma a…rmação e que D diz que C diz que B diz que A falou a
verdade. Qual a probabilidade de A ter falado a verdade?
1.1.7 Independência
De…nição 26 (Independência entre Dois Eventos) Seja (
;A; P ) um espaço
de probabilidade. Os eventos aleatórios A e B são (estocasticamente) independentes
se
P (A \B) = P (A):P (B).
Proposição 25 Eventos de probabilidade 0 ou 1 são independentes de qualquer
outro.
22
Prova. (Em aula.)
Observação 13 (Concepção Errônea) Um erro muito comum é associar inde-
pendência com disjunção de eventos, interpretando erroneamente que se A e B são
independentes, então A \ B = ?. É justamente o contrário que se dá, ou seja, se
A\B = ?, então A e B não são independentes (a menos que um deles tenha prob-
abilidade zero). Isso …ca claro se pensarmos que, se P (A) = p > 0 e P (B) = q > 0
com A \B = ?, então teremos
P (AjB) = P (A \B)
P (B)
=
P (?)
P (B)
=
0
q
= 0 6= p = P (A) .
Assim P (AjB) 6= P (A), o queprova que A e B não são independentes!
Outra maneira de justi…car esse fato é pensar que se A e B não têm nada em
comum, então se um deles ocorre a probabilidade de o outro ocorrer é inevitavelmente
nula, o que reduz uma chance inicial desse outro evento ocorrer a zero. Ou seja,
para que dois conjuntos sejam independentes eles necessitam potencialmente ter algo
em comum, do contrário serão dependentes.
Outro problema de má interpretação do conceito de independência de eventos
com a disjunção decorre de uma má caracterização do espaço amostral como no
exemplo a seguir.
Exemplo 26 Um dado e uma moeda honestos são lançados sucessivamente e seus
resultados são registrados. Qual a probabilidade de se obter um número primo e uma
face cara?
Proposição 26 A é independente de si mesmo se e somente se P (A) = 0 ou 1.
Prova. (Em aula.)
Proposição 27 Se A e B são independentes, então A e Bc também são indepen-
dentes (e também Ac e B, e ainda Ac e Bc).
23
Prova. (Em aula.)
Observação 14 Se A \B = ;, então A e B não são independentes (a menos que
um deles tenha probabilidade zero).
De…nição 27 (Independência Dois a Dois) Os eventos aleatórios Ai, i 2 I (I
um conjunto de índices), são independentes dois a dois (ou a pares) se
P (Ai \ Aj) = P (Ai):P (Aj)
para todo i; j 2 I, i 6= j.
De…nição 28 (Independência de Eventos) (a) Os eventos aleatórios A1; :::; An
(n � 2) são chamados (coletiva ou estocasticamente) independentes se
P (Ai1 \ Ai2 \ ::: \ Aim) = P (Ai1):P (Ai2):::P (Aim)
para todo 1 � i1 < i2 < ::: < im � n, para todo m = 2; 3; :::; n (isto é, se todas as
combinações satisfazem a regra produto).
(b) Os eventos aleatórios A1; A2; ::: independentes se para todo n � 2, A1; :::; An
são independentes.
Observação 15 Independência a pares não implica independência coletiva. Con-
forme o exercício a seguir.
Exemplo 27 Seja o lançamento de um tetraedro equilibrado sobre a mesa e o reg-
istro da face justaposta à mesa. Sejam os eventos A = f1; 4g, B = f2; 4g e C =
f3; 4g. Veri…que que A, B e C são independentes dois a dois, mas P (A \B \C) 6=
P (A):P (B):P (C), consequentemente, A, B e C não são independentes.
Proposição 28 Se os eventos Ai, i 2 I, são independentes, então os eventos Bi,
i 2 I, são também independentes, onde cada Bi é igual a Ai ou Aci (ou um ou outro).
24
Prova. (Prova similar à Proposição 27)
Exemplo 28 Um dado não viciado é lançado uma vez. Se a face que aparece é
ímpar, uma moeda não viciada é lançada repetidas vezes. Se a face é par, uma
moeda com probabilidade p 6= 1
2
de dar cara é lançada repetidamente. Os sucessivos
lançamentos são independentes. Se os primeiros n lançamentos resultaram em cara,
qual a probabilidade de que a moeda não viciada foi usada?
De…nição 29 (Independência de Classes) As classes não vazias de eventos C1; :::; Cn
são independentes se os eventos A1; :::; An o são para quaisquer Ai 2 Ci, i = 1; :::; n.
Mais geralmente, um conjunto in…nito de classes não vazias de eventos é indepen-
dente, se qualquer subconjunto …nito o é.
1.2 O Processo de Poisson
Nessa seção veremos como o matemático francês Siméon-Denis Poisson (1781 - 1840)
constrói um belo processo que dá inteligibilidade matemática a fenômenos raros
estudados ao longo do tempo contínuo.
Poisson
25
De…na a função !(t), representando o número de ocorrências de um determinado
fenômeno em [0; t] e de…na o espaço amostral como
 = f! : [0;1)! f0; 1; 2; :::g : 90 < t1 < t2 < :::; ti 2 R+; !(t) = 0 para t 2 [0; t1);
!(t) = 1 para t 2 [t1; t2); :::; !(t) = n para t 2 [tn; tn+1):::g
De…na também o evento Aks;t : "há k ocorrências do fenômeno em (s; s + t]".
Então
Aks;t = f! : !(s+ t)� !(s) = kg, s; t � 0 e k = 0; 1; 2; 3; :::
Sejam agora as seguintes hipóteses:
(i) !(0) = 0
(ii) Os incrementos são estacionários, isto é, P
�
Aks;t
�
= P
�
Ak0;t
�
:= pk(t)
(iii) Os incrementos são independentes, isto é, se (s; s+ t]\ (u; u+v] = ?, então
P
�
Aks;t \ Aju;v
�
= P
�
Aks;t
�
P
�
Aju;v
�
, para todo k; j 2 Z+
(iv) Para h pequeno
P
�
Aks;h
�
=
8<:
�h+ o(h), se k = 1
1� �h+ o(h), se k = 0
o(h), se k � 2
onde o(h) é uma função tal que limh!0
o(h)
h
= 0.
Sob as hipóteses acima podemos agora provar o seguinte resultado.
Proposição 29 Sob as hipóteses (i)-(iv), temos
pn(t) =
e��t (�t)n
n!
, n = 0; 1; 2; 3; ::::
Prova. (Em aula.)
Exemplo 29 Em certa rodovia, a intensidade média do ‡uxo de tráfego é de 30
carros por minuto. Um medidor é colocado na rua para registrar o número de carros
passando por cima. Suponha válidas as hipóteses do processo de Poisson. Calcule:
26
(a) A probabilidade de que dois ou mais carros sejam registrados durante deter-
minado intervalo de dois segundos.
(b) A probabilidade de passar mais de um minuto até registrar o primeiro carro.
1.3 Exercícios
Exercício 1 Seja 
 = (0;1). Considere a sequência de eventos
An =
�
! 2 
 : 0 < ! < a+ (�1)
n
n
�
(i) Obtenha lim inf
n!1
An e lim sup
n!1
An.
(ii) A sequência fAngn2N converge? Justi…que.
Exercício 2 Escolhem-se ao acaso duas peças de um dominó comum. Qual é a
probabilidade delas possuírem um número comum? Resp.: 7=18
Exercício 3 No jogo da quina concorrem 80 dezenas e são sorteadas 5 dezenas. Se
você apostou em 8 dezenas, qual a probabilidade de você acertar:
(a) 3 dezenas? Resp.: 0; 5954%
(b) 4 dezenas? Resp.: 0; 0209%
(c) 5 dezenas? Resp.: 1=429:286
Exercício 4 Em uma roda são colocadas n pessoas. Qual é a probabilidade de duas
dessas pessoas …carem juntas? Resp.: 2=(n� 1)
Exercício 5 Uma pessoa tem um molho de n chaves, das quais apenas uma abre a
porta. Se ela vai experimentando as chaves até acertar, determine a probabilidade
dela só acertar na tentativa de ordem k, supondo:
(a) que a cada tentativa frustrada ela toma a sábia providência de descartar a
chave que não serviu. Resp.: 1=n
(b) supondo que ela não age como no item (a). Resp.: (n� 1)k�1 =nk
27
Exercício 6 Há 8 carros estacionados em 12 vagas em …la. Determine a probabil-
idade:
(a) das vagas vazias serem consecutivas. Resp.: 1=55
(b) de não haver duas vagas vazias adjacentes. Resp.: 14=55
Exercício 7 Laura e Telma retiram cada uma um bilhete numerado de uma urna
que contém bilhetes numerados de 1 a 100. Determine a probabilidade do número
de Laura ser maior que o de Telma, supondo a extração:
(a) sem reposição. Resp.: 50%
(b) com reposição. Resp.: 49; 5%
Exercício 8 Em uma gaveta há 10 pilhas, das quais duas estão descarregadas.
Testando-se as pilhas uma a uma até serem identi…cadas as duas descarregadas,
determine a probabilidade de serem feitos:
(a) cinco testes; Resp.: 4=45
(b) mais de cinco testes; Resp.: 7=9
(c) menos de cinco testes. Resp.: 2=15
Exercício 9 Joga-se um dado não-viciado duas vezes. Determine a probabilidade
condicional de obter 3 na primeira jogada, sabendo que a soma dos resultados foi 7.
Resp.: 1=6.
Exercício 10 Um estudante resolve um teste de múltipla escolha de 10 questões,
com 5 alternativas por questão. Ele sabe 60% da matéria do teste. Quando ele sabe
uma questão, ele acerta, e, quando não sabe, escolhe a resposta ao acaso. Se ele
acerta uma dada questão, qual é a probabilidade de que tenha sido por acaso? Resp.:
2=17
28
Exercício 11 Determine a probabilidade de obter ao menos
(a) um seis em 4 lançamentos de um dado; Resp.: 51; 77%
(b) um duplo seis em 24 lançamentos de um par de dados. Resp.: 49; 14%
Exercício 12 Um exame de laboratório tem e…ciência de 95% para detectar uma
doença quando ela de fato existe. Entretanto o teste aponta um resultado falso-
positivo para 1% das pessoas sadias testadas. Se 0; 5% da população tem a doença,
qual é a probabilidade de uma pessoa ter a doença, dadoque o seu exame foi positivo?
Resp.: 32; 31%
Exercício 13 Quantas vezes, no mínimo, se deve lançar um dado para que a prob-
abilidade de se obter algum seis seja superior a 0; 9? Resp.: 13
Exercício 14 Em um armário há 5 pares de sapatos. Escolhem-se 4 pés de sapatos.
Qual é a probabilidade de se formar exatamente um par de sapatos? Resp.: 4=7
Exercício 15 Distribuindo ao acaso 5 sorvetes de creme e 5 de chocolate a 10
pessoas, das quais 3 preferem creme, 2 preferem chocolate e as demais não têm
preferência, qual é a probabilidade de todas saírem satisfeitas? Resp.: 5=126
Exercício 16 Dois dados são lançados. Seja A1 = fface ímpar no primeiro dadog,
A2 = fface ímpar no segundo dadog e A3 = fa soma da faces é ímparg. Esses even-
tos são independentes dois a dois? Eles são conjuntamente independentes? Resp.:
Sim; Não.
Exercício 17 Uma moeda honesta é lançada até que uma cara ocorra ou então até
que três lançamentos sejam feitos. Qual a probabilidade de que a moeda deva ser
jogada 3 vezes se se sabe que o primeiro lançamento foi coroa? Resp.: 1=2
29
Exercício 18 Prove que se A e B são eventos tais que P (A) > 0, P (B) > 0 e
P (AjB) > P (A), então P (BjA) > P (B).
Exercício 19 Se A e B são eventos independentes tais que P (A) = 1=3 e P (B) =
1=2, calcule P (A [B), P (Ac [Bc) e P (Ac \B). Resp.: 2=3, 5=6 e 1=3
Exercício 20 A probabilidade de um homem ser canhoto é 1=10. Qual é a prob-
abilidade de, em um grupo de 10 homens, haver pelo menos um canhoto? Resp.:
aproximadamente 0; 65
Exercício 21 Sacam-se, sucessivamente e sem reposição, duas cartas de um baralho
comum (52 cartas). Calcule a probabilidade de a primeira carta ser uma dama e a
segunda ser de copas. Resp.: 1=52
Exercício 22 Quantas pessoas você deve intrevistar para ter probabilidade igual ou
superior a 0; 5 de encontrar pelo menos uma que aniversarie hoje? Resp.: 253
Exercício 23 Um dia você captura 10 peixes em um lago, marca-os e coloca-os de
novo no lago. Dois dias após, você captura 20 peixes no mesmo lago e constata que
dois desses peixes haviam sido marcados por você.
(a) Se o lago possui k peixes, qual era a probabilidade de, capturando 20 peixes,
encontrar dois peixes marcados? Resp.:
�
10
2
��
k � 10
18
��
k
20
��1
(b) Para que valor de k essa probabilidade é máxima? Resp.: k = 99 ou k = 100
Exercício 24 Qual a probabilidade de, em um grupo de 4 pessoas:
(a) haver alguma coincidência de signos zodiacais? Resp.: 41=96
(b) as quatro terem o mesmo signo? Resp.: 1=1728
(c) duas terem um mesmo signo, e as outras duas outro signo? Resp.: 11=576
(d) três terem um mesmo signo, e a outra outro signo? Resp.: 11=432
(e) todas terem signos diferentes? Resp.: 55=96
30
Exercício 25 Dados P (A) = 1
3
, P (B) = 1
4
, P (C) = 1
6
, P (A \B) = 1
6
, P (A \ C) =
P (B \ C) = 1
10
e P (A \B \ C) = 1
12
, determine a probabilidade de ocorrência de:
(a) exatamente um dos eventos A, B, C; Resp.: 4=15
(b) exatamente dois dos eventos A, B, C; Resp.: 7=60
(c) pelo menos dois desses eventos; Resp.: 1=5
(d) no máximo dois desses eventos; Resp.: 11=12
(e) no máximo um desses eventos. Resp.: 4=5
Exercício 26 Uma moeda é lançada. Se ocorre cara, um dado é lançado e o seu
resultado é registrado. Se ocorre coroa, dois dados são lançados e a soma dos pontos
é registrada. Qual a probabilidade de ser registrado o número 2? Resp.: 7=72
Exercício 27 Num certo certo país, todos os membros de comitê legislativo ou são
comunistas ou são republicanos. Há três comitês. O comitê 1 tem 5 comunistas, o
comitê 2 tem 2 comunistas e 4 republicanos, e o comitê 3 consiste de 3 comunistas e
4 republicanos. Um comitê é selecionado aleatoriamente e uma pessoa é selecionada
aleatoriamente deste comitê.
(a) Ache a probabilidade de que a pessoa selecionada seja comunista. Resp.:
58; 73%
(b) Dado que a pessoa selecionada é comunista, qual a probabilidade de ela ter
vindo do comitê 1? Resp.: 56; 76%
Exercício 28 Um executivo pediu à sua secretária que …zesse uma ligação para
o escritório do Sr.X. Admitindo que: a probabilidade de a secretária conseguir a
ligação é de 50%; a probabilidade de o Sr.X se encontrar no escritório naquele
momento é de 80%; a probabilidade de o executivo não se ausentar enquanto a
secretária tenta fazer o que ele pediu é de 90%.
31
(a) Calcule a probabilidade de que o executivo tenha de fato conseguido falar com
o Sr.X pelo telefone. Resp.: 36%
(b) No caso de ele não ter conseguido falar com o Sr.X, calcule a probabilidade
condicional de que isso tenha ocorrido porque a ligação não se completou. Resp.:
78; 125%
Exercício 29 São dadas duas urnas A e B. A urna A contém 1 bola azul e 1
vermelha. A urna B contém 2 bolas vermelhas e 3 azuis. Uma bola é extraída ao
acaso de A e colocada em B. Uma bola então é extraída ao acaso de B. Pergunta-se:
(a) Qual a probabilidade de se retirar uma bola vermelha de B? Resp.: 5=12
(b) Qual a probabilidade de ambas as bolas retiradas serem da mesma cor? Resp.:
7=12
Exercício 30 Suponha que A, B e C sejam eventos tais que A e B sejam indepen-
dentes e que P (A \B \ C) = 0; 04, P (C j A \B) = 0; 25, P (B) = 4P (A). Calcule
P (A [B). Resp.: 84%
Exercício 31 Suponha que uma caixa contenha 5 moedas e que cada moeda tenha
uma probabilidade diferente de dar cara. Seja pi a probabilidade de sair cara, quando
a i-ésima moeda é lançada, e que p1 = 0, p2 = 1=4, p3 = 1=2, p4 = 3=4, p5 = 1.
Suponha, …nalmente, que uma moeda é selecionada aleatoriamente da caixa e que,
ao ser lançada, dá cara. Com base nesta informação, calcule:
(a) A probabilidade de que se tenha selecionado a moeda 5. Resp.: 2=5
(b) A probabilidade de se obter outra cara ao lançar a mesma moeda novamente.
Resp.: 3=4
Exercício 32 Pedro quer enviar uma carta a Marina. A probabilidade de que Pedro
a escreva é de 80%. A probabilidade de que o correio não a perca é de 90%. A
32
probabilidade de que o carteiro a entregue é de 90%. Dado que Marina não recebeu
a carta, qual é a probabilidade condicional de que Pedro não a tenha escrito?
33
Capítulo 2
Variáveis Aleatórias
2.1 Conceito
Informalmente, uma variável aleatória é um característico numérico do resultado de
um experimento. Por exemplo:
Exemplo 30 Seja o lançamento de duas moedas e a observação do número de caras
obtido. Então 
 = f(Ca;Ca); (Ca;Co); (Co;Ca); (Co;Co)g. Se de…nirmos X =
número de caras observadas, e !1 = (Ca;Ca), !2 = (Ca;Co), !3 = (Co;Ca),
!4 = (Co;Co), temos
X(!1) = 2;
X(!2) = X(!3) = 1;
X(!4) = 0.
Exemplo 31 Escolher ao acaso um ponto em [0; 1]. Seja X o quadrado do ponto
obtido. Então 
 = [0; 1] e
X(!) = !2.
Exemplo 32 Escolher ao acaso um ponto no círculo unitário. Seja X a distância
entre o ponto escolhido e a origem. Então 
 = f(x; y) : x2 + y2 � 1g e, com
! = (x; y), temos
X(!) =
p
x2 + y2.
34
Exemplo 33 Joga-se um dado e observa-se a face superior. Então 
 = f1; 2; 3; 4; 5; 6g
e
X(!) = !.
Entretanto, nem toda função de 
 em R traduz uma variável aleatória. Para que
ela seja uma variável aleatória, necessitaremos do conceito de função mensurável.
Sejam (
;F) e (	;G) dois espaços mensuráveis e considere a função f : 
! 	
com domínio 
 e contradomínio 	.
De…nição 30 A função f é dita ser mensurável de (
;F) a (	;G) se
f�1(B) = f!; f(!) 2 Bg 2 F , para todo B 2 G.
No contexto da Teoria das Probabilidade, o conceito de variável aleatória está
relacionado com o conceito de mensurabilidade de funções. Vejamos por quê.
De…nição 31 Uma variável aleatória X em um espaço de probabilidade (
;A; P )
é uma função real de…nida no espaço 
, X : 
 ! R, tal que X é uma função
mensurável a A, isto é, para todo B 2 B = B (R), temos X�1(B) = f! 2 
 :
X(!) 2 Bg 2 A.
Umade…nição equivalente é a seguinte:
De…nição 32 Uma variável aleatória X em um espaço de probabilidade (
;A; P ) é
uma função real de…nida no espaço 
 tal que o conjunto [! 2 
 : X(!) � x] (daqui
para frente escrito de forma simpli…cada [X � x]) é evento aleatório para todo x 2 R;
isto é,
X : 
! R
é uma variável aleatória se [X � x] 2 A para todo x 2 R.
35
Exemplo 34 Sejam 
 = f1; 2; 3; 4g e A = f;; f1; 2g; f3; 4g;
g e considere os con-
juntos A = f1; 2g e B = f1; 3g. Então 1A é variável aleatória em (
;A), mas 1B
não é.
Exemplo 35 Sejam 
 = f�1; 0; 1g e A = f;; f0g; f�1; 1g;
g. Seja X : 
 ! R
onde X(!) = !. Então X não é variável aleatória em (
;A), mas jX(!)j = j!j é.
De…nição 33 A ��álgebra gerada por uma variável aleatória X 2 R é de…nida
como
�(X) = FX = X�1(Bd) = fX�1(B); para todo B 2 Bg
e representa a menor ��álgebra com respeito à qual X é mensurável.
Exemplo 36 Considere o experimento de lançar um dado. Sejam X e Y : 
! R,
de…nidas como X(!) = 1 e �1, se ! � 3 e ! > 3, respectivamente; Y (!) = !,
para todo !. As ��álgebras geradas por X e Y são FX = f;; f1; 2; 3g; f4; 5; 6g;
g
e FY = P(
) (o conjunto das partes de 
. Observe que FX � FY , e portanto
X é mensurável a FY também. Entretanto Y não é mensurável à FX , já que a
informação contida em FX é bruta demais para descrever Y .
Observação 16 Cabe ressaltar que toda variável aleatória real de…nida num espaço
de probabilidade (
;F ; P ) induz um espaço de probabilidade (R;B (R) ; PX).
2.2 Função de Distribuição
De…nição 34 A função de distribuição (acumulada) da variável aleatória X,
representada por FX , ou simplesmente por F quando não houver confusão, é de…nida
por
FX(x) = P (X � x), x 2 R. (2.1)
36
Exemplo 37 Considere duas caixas, cada uma contendo 10 bolas brancas numer-
adas de 1 a 10. Toma-se de cada caixa uma amostra aleatória, sem reposição, de
tamanho 4, registrando-se as duas amostras. Pede-se:
(a) Contruir o espaço de probabilidade (
;A; P ) para tal experimento, identi…-
cando formalmente o espaço amostral 
, a �-álgebra A de eventos gerados por 
 e
a medida de probabilidade P .
(b) Mostre que a função de distribuição de probabilidade para a variável aleatória
X, representando o número de bolas comuns nas duas amostras, é dada por:
FX(x) =
8>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>><>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>:
0, se x < 0
15
210
, se 0 � x < 1
95
210
, se 1 � x < 2
185
210
, se 2 � x < 3
209
210
, se 3 � x < 4
1, se x � 4
Esboce o grá…co de FX(x) e estabeleça suas propriedades funcionais.
Exemplo 38 Seja um experimento que consiste em selecionar aleatoriamente um
número no intervalo (0; 1). Seja Z(!) a variável aleatória de…nida como
Z(!) =
�1
10
ln!
(a) Contruir o espaço de probabilidade (
;A; P ) para tal experimento, identi…cando
formalmente o espaço amostral 
, a �-álgebra A de eventos gerados por 
 e a medida
de probabilidade P .
(b) Construa a função de distribuição de probabilidade para a variável aleatória
Z, esboce o grá…co de FZ(z) e estabeleça suas propriedades funcionais.
37
Exemplo 39 Seja um experimento que consiste em selecionar aleatoriamente um
número no intervalo [�1; 1]. Seja X(!) = max (4!2; 1).
(a) Contruir o espaço de probabilidade (
;A; P ) para tal experimento, identi…-
cando formalmente o espaço amostral 
, a �-álgebra A de eventos gerados por 
 e
a medida de probabilidade P .
(b) Construa a função de distribuição de probabilidade para a variável aleatória
X e esboce o grá…co de FX(x) e estabeleça suas propriedades funcionais.
Proposição 30 Propriedades da Função de Distribuição. Se X é uma var-
iável aleatória, sua função de distribuição F goza das seguintes propriedades:
F1) Se x1 � x2 então F (x1) � F (x2); isto é, F é não-decrescente.
F2) Se xn # y, então F (xn) # F (y); isto é, F é contínua à direita.
F3) limx!�1 F (x) = 0 e limx!+1 F (x) = 1.
Prova. (Em aula)
Tendo em mente que FX(x) = P (X � x), podemos observar que
1. P (X > a) = 1� P (X � a) = 1� FX(a)
2. P (a < X � b) = P (X � b)� P (X � a) = FX(b)� FX(a)
3. P (X = a) = P (X � a) � P (X < a) = FX(a) � FX(a�). Ou seja, P (X = a)
é o tamanho do salto da função de distribuição em x = a. Se a função for
contínua no ponto x = a então P (X = a) = 0.
4. P (a < X < b) = P (a < X � b)� P (X = b)
= P (X � b)� P (X � a)� P (X = b) = FX(b)� FX(a)� [FX(b)� FX(b�)]
= FX(b
�)� FX(a).
38
5. P (a � X < b) = P (a < X < b) + P (X = a)
= FX(b
�)� FX(a) + [FX(a)� FX(a�)] = FX(b�)� FX(a�).
6. P (a � X � b) = P (a < X � b) + P (X = a)
= FX(b)� FX(a) + [FX(a)� FX(a�)] = FX(b)� FX(a�).
2.3 Variáveis Aleatórias Discretas
De…nição 35 A variável aleatória X é discreta se toma valores num conjunto de
pontos isolados do tipo fx1; x2; :::g � R tal que X(!) 2 fx1; x2; :::g para todo ! 2 
.
A função p(xi) de…nida por
p(xi) = P (X = xi), i = 1; 2; 3; ::: (2.2)
é chamada função de probabilidade de X.
Observação 17 Note que [X � x] =
[
i:xi�x
[X = xi] e assim
F (x) =
X
i:xi�x
P (X = xi) =
X
i:xi�x
p(xi).
Além disso, observe que
p(xi) � 0, i = 1; 2; 3; ::: (2.3)
e
1X
i=1
p(xi) = 1. (2.4)
Exemplo 40 A probabilidade de um indivíduo acertar um alvo é 2/3. Ele deve
atirar até atingir o alvo pela primeira vez. Seja X a variável aleatória que representa
o número de tentativas até que ele acerte o alvo. Pede-se:
(a) A função de probabilidade de X, mostrando que ela atende as propriedades
(2.3) e (2.4).
39
(b) A probabilidade de serem necessários pelo menos cinco tiros para que ele
acerte o alvo.
Exemplo 41 Um experimento consiste em se extrair de um baralho de 52 cartas 5
cartas. Seja X o número de reis retirados na amostra. Construa o espaço original
e o espaço induzido pela variável aleatória nos casos em que
(a) a retirada é feita sem reposição das cartas;
(b) a retirada é feita com reposição das cartas.
2.4 Variáveis Aleatórias Contínuas
De…nição 36 A variável aleatória X é (absolutamente) contínua se sua função de
distribuição FX(x) é contínua. Isto é, se existe uma função fX(x), dita função de
densidade de probabilidade, com as seguintes propriedades
fX(x) � 0 para todo x 2 R e
1Z
�1
fX(x)dx = 1
de modo que
FX(x) =
xZ
�1
fX(t)dt.
Observação 18 Pelo Teorema Fundamental do Cálculo, observe que
fX(x) =
dFX(x)
dx
.
Observação 19 Como FX(x) é contínua, observe que
(a) P (X = x) = FX(x)� FX(x�) = 0 para todo x 2 R.
(b) P (a � X � b) = P (a < X � b) = P (a � X < b) = P (a < X < b) =
bZ
a
fX(x)dx.
(c) dFX(x) := P (X 2 dx) = pX(dx) = fX(x)dx.
40
Exemplo 42 Veri…que que
FZ(z) =
8>><>>:
0, z < 0
z2, 0 � z < 1
2
1� 3(1� z)2, 1
2
� z < 1
1, z � 1
é uma função de distribuição e obtenha a função de densidade de Z. Calcule também
P (Z > 1
4
jZ � 3
4
).
De…nição 37 Uma variável aleatória é dita singular, se sua função de distribuição
é contínua, mas sua derivada é zero em quase todos os pontos, isto é, exceto em um
conjunto de medida de Lebesgue nula. (Essa linguagem mencionando "quase todos
os pontos"é muito utilizada em probabilidade avançada e signi…ca que a propriedade
só não é válida num conjunto de pontos que tem probabilidade zero, às vezes também
referido como de medida nula.) Em outras palavras, X é singular se, e somente se,
existe um conjunto B de comprimento zero tal que P (X 2 B) = 1 e FX é contínua
(isto é, P (X = x) = 0 para todo x 2 R).
De…nição 38 Uma variável aleatória X é dita mista se tem partes nas diferentes
classi…cações (parte discreta, parte contínua e parte singular). (O mais comum é a
mistura de parte contínua com parte discreta, pois, como dissemos, a parte singular
raramente ocorre.)
Observação 20 Toda função de distribuição F de uma variável aleatóriaX admite
a decomposição de mistura de modelos da forma
F = �1Fd + �2Fac + �3Fs
onde Fd é uma função de distribuição não-decrescente, constante em pedaços (piece-
wise constant) representando a parte discreta de F ; Fac é a função de distribuição
da parte absolutamente contínua de F ; e Fs é a função de distribuição da parte
singular de F , com �1 + �2 + �3 = 1.
41
Exemplo 43 (Exemplo de Variável Aleatória Mista: Discreta e Contínua ao mesmo
tempo) A função de distribuição de uma variável aleatória X é dada por:
FX(x) =
8>>>>>>>>>>>>>>>><>>>>>>>>>>>>>>>>:
0, x < 0
x
2
, 0 � x < 1
2
3
, 1 � x < 2
11
12
, 2 � x < 3
1, x � 3
Obtenha:
(a) o grá…co de FX(x);
(b) P (X < 3);
(c) P (X = 1);
(d) P (X > 1=2);
(e) P (2 < X < 4);
(f) Decomponha F nas partes discreta, absolutamente contínua e singular.
2.5 Vetores Aleatórios
De…nição 39 Um vetor X = (X1; :::; Xn) com Xi variáveis aleatórias de…nidas no
mesmo espaço de probabilidade (
;A; P ) é chamado vetor aleatório se
X�1(B) 2 A para todo B 2 Bn.
De…nição 40 A função de distribuição conjunta F = FX de um vetor aleatório X
é de…nida por
FX(x) = FX(x1; :::; xn) = P (X1 � x1; :::; Xn � xn).
Observação 21 fX1 � x1; :::; Xn � xng =
n\
i=1
f! : Xi(!) � xig 2 A.
42
Proposição 31 Propriedades da Função de Distribuição Conjunta. Se X
é um vetor aleatório em (
;A; P ), então para qualquer x 2 Rn, sua função de
distribuição F goza das seguintes propriedades:
F1) F (x) é não-decrescente em cada uma de suas coordenadas.
F2) F (x) é contínua à direita em cada uma de suas coordenadas.
F3) Se para algum j, xj ! �1, então F (x) ! 0 e, ainda, se para todo j, xj !
+1, então F (x)! 1.
F4) F (x) é tal que para todo ai; bi 2 R, ai < bi, 1 � i � n, temos
Pfa1 < X1 � b1; a2 < X2 � b2; :::; an < Xn � bng � 0.
Prova. (Em aula)
Observação 22 A propriedade F4 parece tão óbvia que poderíamos questionar a
necessidade de mencioná-la. No caso unidimensional ela não é necessária, mas no
caso muldimensional ela é essencial, pois há funções que atendem as propriedades
F1, F2 e F3 que não são funções de distribuições de nenhum vetor aleatório, con-
forme o exemplo abaixo.
Exemplo 44 Considere a seguinte função:
F (x; y) =
�
1, em S = f(x; y) : x � 0, y � 0 e x+ y � 1g
0, caso contrário
Então F (x; y) satisfaz F1, F2 e F3, mas Pf0 < X � 1; 0 < Y � 1g = �1 < 0! Logo
F (x; y) não satisfaz F4 e, portanto, não pode ser função de distribuição conjunta.
Exemplo 45 Sejam X e Y duas variáveis aleatórias com função de distribuição
conjunta FX;Y (x; y). Mostre que
Pfa < X � b; c < Y � dg = F (b; d)� F (b; c)� F (a; d) + F (a; c)
43
Exemplo 46 Veri…que se a seguinte função
F (x; y) =
�
1� e�x�y, x � 0 e y � 0
0, caso contrário
é uma função de distribuição de algum vetor aleatório.
Exemplo 47 Veri…que se a seguinte função
F (x; y) =
�
(1� e�x)(1� e�y), x � 0 e y � 0
0, caso contrário
é uma função de distribuição de algum vetor aleatório.
Observação 23 A partir da função de distribuição conjunta, pode-se obter o com-
portamento de cada variável isoladamente. A função de distribuição individualizada
é denominada função de distribuição marginal e é obtida da seguinte forma:
FXk(xk) = limxi!1
i6=k
F (x)
em que o limite é aplicado em todas as coordenadas, exceto k.
Se as variáveis do vetor aleatório são discretas, temos um vetor aleatório discreto
e de…nimos sua função de probabilidade conjunta da seguinte forma:
p(x) = p(x1; :::; xn) = P (X1 = x1; :::; Xn = xn).
É imediato veri…car que
p(x) � 0, para todo x 2 Rn eX
x
p(x) = 1.
A função de probabilidade marginal de uma variável, digamos Xk, é obtida a
partir da conjunta, somando-se os valores possíveis em todas as coordenadas, exceto
44
em k, isto é,
pXk(xk) = P (Xk = xk) =
nX
i=1
i6=k
X
xi
p(x)
=
nX
i=1
i6=k
X
xi
P (X1 = x1; :::; Xn = xn).
Exemplo 48 Duas moedas equilibradas são lançadas de forma independente e de…n-
imos as variáveis aleatórias X e Y da seguinte forma: X = número de caras nos
dois lançamentos e Y = função indicadora de faces iguais nos dois lançamentos.
Obtenha a função de probabilidade conjunta de X e Y e as funções de probabilidade
marginais de X e de Y.
Denominamos vetor aleatório contínuo, o vetor aleatório cujas componentes são
variáveis aleatórias contínuas. Dada a função de distribuição conjunta de um vetor
aleatório, sucessivas derivadas parciais produzem a função de densidade conjunta,
representada por f(x). Então, podemos considerar que um vetor aleatório é contínuo
se existe uma função f : Rn ! R+ tal que
FX(x) =
Z x1
�1
:::
Z xn
�1
f(y)dy1:::dyn.
Observe que isto é uma generalização do caso univariado, e, como antes, valem
as propriedades
f(x) � 0, para todo x 2 Rn eZ 1
�1
:::
Z 1
�1
f(x)dx1:::dxn = 1
Além disso, decorre do cálculo que @
n
@x1:::@xn
FX(x) = f(x).
Observação 24 Assim, podemos perceber que
P (X1 2 dx1; :::; Xn 2 dxn) = f(x)dx1:::dxn.
45
Exemplo 49 Sejam três variáveis aleatórias X, Y e Z com função de densidade
conjunta dada por
f(x; y; z) =
�
kxy2z, se 0 < x � 1, 0 < y � 1 e 0 < z � p2
0, caso contrário
Encontre o valor de k e ache a função de densidade marginal de X.
Exemplo 50 (Função Mista) Considere duas variáveis aleatórias X e Y, sendo X
discreta e Y contínua, com função mista de probabilidade dada por
f(x; y) =
8<: xy
x�1
3
, se x = 1; 2; 3 e 0 < y � 1
0, caso contrário
(a) Veri…que que esta função é de fato uma função mista de probabilidade.
(a) Mostre que
F (x; y) =
8>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>><>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>:
0, se x < 1 ou y < 0
y
3
, se 1 � x < 2 e 0 � y < 1
y + y2
3
, se 2 � x < 3 e 0 � y < 1
y + y2 + y3
3
, se x � 3 e 0 � y < 1
1
3
, se 1 � x < 2 e y � 1
2
3
, se 2 � x < 3 e y � 1
1, se x � 3 e y � 1
2.5.1 Independência
De…nição 41 Sejam X1; X2; :::; Xn, n � 2, variáveis aleatórias de…nidas no mesmo
espaço de probabilidade (
;A; P ), de modo queX = (X1; :::; Xn) é um vetor aleatório
em (
;A; P ). As variáveis aleatórias X1; X2; :::; Xn são (coletivamente) indepen-
dentes se
P fX1 2 B1; X2 2 B2; :::; Xn 2 Bng =
nY
i=1
P fXi 2 Big
46
para todo Bi 2 B (R), i = 1; 2; :::; n.
Observação 25 (i) (Propriedade de Hereditariedade de Variáveis Aleatórias In-
dependentes) Observe que para toda família de variáveis aleatórias independentes
X1; X2; :::; Xn qualquer subfamília é também formada por variáveis aleatórias inde-
pendentes, pois, por exemplo
P fX1 2 B1; X2 2 B2g = P fX1 2 B1; X2 2 B2; X3 2 R; :::; Xn 2 Rg
= P fX1 2 B1gP fX2 2 B2gP fX3 2 Rg :::P fXn 2 Rg
= P fX1 2 B1gP fX2 2 B2g :1:::1
= P fX1 2 B1gP fX2 2 B2g
(ii) Se as variáveis aleatórias X1; X2; :::; Xn são independentes, então funções de
famílias disjuntas das variáveis são também independentes. Por exemplo:
(a) X1 +X2 +X3 e e�X4 são independentes.
(b) min(X1; X2) e max(X3; X4) são independentes.
(c) X1:X2 e X2 +X3 não são necessariamente independentes!
A proposição a seguir nos fornece o critério para independência de variáveis
aleatórias a partir da função de distribuição conjunta. Trata-se do critério de fa-
toração.
Proposição 32 (a) Se X1; X2; :::; Xn, n � 2, são variáveis aleatórias indepen-
dentes, então
FX(x) = FX(x1; :::; xn) =
nY
i=1
FXi(xi) para todo (x1; :::; xn) 2 Rn.
(b) Reciprocamente, se existem funções F1; F2; :::; Fn tais que limx!1 Fi(x) = 1
para todo i e FX(x1; :::; xn) =
nY
i=1
Fi(xi) para todo (x1; :::; xn) 2 Rn entãoX1; X2; :::; Xn
são variáveis aleatórias independentes e Fi = FXi para todo i = 1,2,...,n.
47
Prova. (Em aula)
Proposição 33 (Critério para independência no caso contínuo)
(a) Se X1; X2; :::; Xn, n� 2, são variáveis aleatórias independentes e possuem
densidades fX1 ; :::; fXn, então a função
fX(x1; :::; xn) =
nY
i=1
fXi(xi), (x1; :::; xn) 2 Rn
é densidade conjunta das variáveis aleatórias X1; X2; :::; Xn.
(b) Reciprocamente, se X1; X2; :::; Xn têm densidade conjunta f satisfazendo
fX(x1; :::; xn) =
nY
i=1
fi(xi) para todo (x1; :::; xn) 2 Rn onde fi(xi) � 0 e
R1
�1 fi(x)dx =
1 para todo i, então X1; X2; :::; Xn são variáveis aleatórias independentes e fi é a
densidade de Xi para todo i = 1,2,...,n.
Prova. (Em aula)
Proposição 34 (a) Se F (x; y) é a função de distribuição conjunta de X e Y, então
a função de distribuição marginal de X é
FX(x) = lim
y!1
FX;Y (x; y) = FX;Y (x;+1).
(b) Se f(x; y) é a função de densidade conjunta de X e Y, então a função de
densidade marginal de X é
fX(x) =
Z 1
�1
f(x; y)dy.
Prova. (Em aula)
Exemplo 51 Dizemos que o vetor aleatório (X; Y ) possui distribuição normal bi-
variada quando tem densidade dada por
f(x; y) =
1
2��1�2
p
1� �2 :
: exp
(
� 1
2 (1� �2)
"�
x� �1
�1
�2
� 2�
�
x� �1
�1
��
y � �2
�2
�
+
�
y � �2
�2
�2#)
48
onde �1 > 0, �2 > 0, �1 < � < 1, �1 2 R e �2 2 R. Mostre que se � = 0, então X
e Y são independentes e X � N(�1; �21) e Y � N(�2; �22). (Se � 6= 0, então X e Y
não são independentes, pois sua densidade conjunta não é produto das densidades
marginais.)
Observação: Dizemos queX = (X1; X2; :::; Xn) � N (�;�), onde � = (EX1; EX2; :::; EXn)T
e �n�n = [(Cov (Xi; Xj))], se a função de densidade conjunta fX(x) é dada por
fX(x) =
1
(2�)n=2 j�j1=2
: exp
�
�1
2
(x� �)T ��1 (x� �)
�
, para todo x 2 Rn.
Exemplo 52 Seja G 2 Rn uma região tal que V olG > 0, onde V olG é o volume
n-dimensional de G, de modo que V olG =
R
:::
G
R
1dx1:::dxn. Dizemos que X =
(X1; X2; :::; Xn) é uniformemente distribuído em G se X tem densidade
fX(x1; :::; xn) =
�
1
V olG
, se (x1; :::; xn) 2 G
0, se (x1; :::; xn) =2 G
Observação 26 Se X1; X2; :::; Xn são variáveis aleatórias em (
;A; P ) então
X1; X2; :::; Xn discretas , (X1; X2; :::; Xn) discreto
X1; X2; :::; Xn absolutamente contínuas ; (X1; X2; :::; Xn) absolutamente contínuo
X1; X2; :::; Xn absolutamente contínuas ( (X1; X2; :::; Xn) absolutamente contínuo
Exemplo 53 Dadas X e Y duas v.a.d conjuntamente distribuídas como:
PX;Y (x; y) =
8<:
2
n(n+ 1)
, se x = 1; 2; :::; n e y = 1; 2; :::; x
0, caso contrário
Pede-se:
(a) As funções de probabilidade marginais de X e Y .
(b) Veri…que se X e Y são independentes.
Exemplo 54 Sejam X e Y variáveis aleatórias contínuas com f.d.p. conjunta
fX;Y (x; y) =
( 8
7
(1 + 3xy), se 0 � x � y � 1
0, caso contrário
49
Pede-se:
(a) Obter as densidades marginais de X e Y . X e Y são independentes?
(b) Calcular P (�X + 1 < Y < pX).
2.6 Funções de Variáveis Aleatórias
2.6.1 Transformações Mensuráveis
Suponha que a entrada de um sistema é modelado por um vetor aleatório X e nosso
objetivo seja caracterizar a saída do sistema Y = g(X), onde g : Rd ! R depende
das propriedades do sistema. A aplicação
(
;F) X�! (Rd;Bd) g�! (R;B)
de (
;F) a (R;B) de…ne uma saída (output). A primeira questão a se colocar é
se Y é uma variável aleatória. A proposição a seguir nos garante se a composta é
formada por funções mensuráveis, então a composta é também mensurável.
Proposição 35 Se (
;F), (	;G) e (�;H) são espaços mensuráveis e
h : (
;F)! (	;G) e g : (	;G)! (�;H)
são funções mensuráveis, então
g � h : (
;F)! (�;H)
é função mensurável.
Prova. (Em aula)
Exemplo 55 Se X : (
;F)! (R;B) é uma função real mensurável e g : (R;B)!
(R;B) é uma função mensurável a Borel, isto é, g�1(B) � B, então Y = g(X) =
g �X : (
;F)! (R;B) é uma função real mensurável.
50
2.6.2 Distribuições de Funções de Variáveis e Vetores Aleatórios
Seja X = (X1; X2; :::; Xn) um vetor aleatório em (
;A; P ), e considere o problema
de determinar a distribuição de Y = g(X), com g uma função mensurável. Então,
temos
FY (y) = P fY � yg = P fg(X) � yg
De…nindo By = f(x1; x2; :::; xn) : g(x1; x2; :::; xn) � yg, temos
FY (y) = P fX 2 Byg
= PX fByg
ou seja, conhecendo a distribuição conjunta de X1; X2; :::; Xn, podemos obter a dis-
tribuição de qualquer função mensurável de X.
Observação 27 (a) Quando X é discreto, Y é também discreto e o problema torna-
se simples, pois
pY (y) =
X
i:g(xi)=y
pX(xi)
(b) Quando X é contínuo, o problema é mais complexo pois Y pode ser discreto
ou contínuo.
Exemplo 56 Se X e Y são independentes, cada uma com distribuição uniforme em
[0; 1], mostre que Z = X=Y tem função de distribuição
FZ(z) =
8>>>>>><>>>>>>:
0, se z � 0
z
2
, se 0 < z < 1
1� 1
2z
, se z � 1
51
e função de densidade
fZ(z) = F
0
Z(z) =
8>>>>>>><>>>>>>>:
0, se z � 0
1
2
, se 0 < z < 1
1
2z2
, se z � 1
Proposição 36 (a) Se X e Y têm densidade conjunta f(x; y), então a variável
aleatória Z = X + Y tem densidade dada por
fZ(z) =
Z 1
�1
f(z � t; t)dt =
Z 1
�1
f(t; z � t)dt.
(b) Se X e Y são independentes com densidades fX e fY então Z = X + Y tem
densidade dada por
fZ(z) =
Z 1
�1
fX(z � t)fY (t)dt =
Z 1
�1
fX(t)fY (z � t)dt.
Prova. (Em aula.)
Observação 28 Se f1 e f2 são densidades de variáveis aleatórias, sua convolução
f1 � f2 é de…nida como
f1 � f2(x) =
Z 1
�1
f1(x� t)f2(t)dt.
Portanto, pela proposição anterior, se X e Y são independentes e absolutamente
contínuas, fX � fY é a densidade da soma X + Y .
Exemplo 57 Sejam X e Y v.a.’s independentes, ambas com distribuição exponen-
cial de parâmetro �. Seja Z = X + Y . Ache a densidade de Z.
2.6.3 Método do Jacobiano
Sejam G0 � Rn e G � Rn duas regiões abertas e seja g : G0 ! G uma função
bijetora onde
g(x1; :::; xn) = (g1(x1; x2; :::; xn); :::; gn(x1; x2; :::; xn)) = (y1; :::; yn).
52
Então existe a função inversa h = g�1 en G, onde
x1 = h1(y1; :::; yn); :::; xn = hn(y1; :::; yn).
Suponha também que existam as derivadas parciais
@xi
@yj
=
@hi(y1; :::; yn)
@yj
, 1 � i; j � n,
e que elas sejam contínuas em G. De…nimos o jacobiano J(x;y) pelo determinante
J(x;y) =
�����@xi@yj
����� = det
264
@x1
@y1
� � � @x1
@yn
...
. . .
...
@xn
@y1
� � � @xn
@yn
375
Pelo cálculo de várias variáveis, sabemos que se o jacobiano for não-nulo para todo
y 2 G, entãoZ
:::
Z
A
f(x1:::; xn)dx1:::dxn =
Z
:::
Z
g(A)
f(h1(y1; :::; yn):::; hn(y1; :::; yn)) jJ(x;y)j dy1:::dyn
para qualquer f integrável em A, onde A � G0. Com isso, no contexto de probabil-
idade, temos o seguinte teorema:
Teorema 3 Sejam G0 � Rn e G � Rn duas regiões abertas e seja g : G0 ! G
uma função bijetora onde g(x1; :::; xn) = (g1(x1; x2; :::; xn); :::; gn(x1; x2; :::; xn)) =
(y1; :::; yn). Sejam Y1; Y2; :::; Yn variáveis aleatórias transformadas, isto é, Yi =
gi(X1; X2; :::; Xn) para i = 1; 2; :::; n. Então a densidade conjunta de Y1; Y2; :::; Yn é
fY(y1:::; yn) =
�
fX(h1(y1; :::; yn):::; hn(y1; :::; yn)) jJ(x;y)j , y 2 G
0, y =2 G
onde fX é a função de densidade conjunta de X.
Prova. (Em aula.)
Exemplo 58 Sejam X e Y variáveis aleatórias independentes, cada uma com dis-
tribuição exponencial com parâmetro 1, mostre que Z = X + Y e W =
X
Y
são
53
também independentes com densidades
fZ(z) =
�
ze�z, z > 0
0, z � 0
e
fW (w) =
8<:
1
(w + 1)2
, w > 0
0, w � 0
.
Observação 29 Seja a função g : Rn ! Rk com k < n. Então g não é bijetora.
Então para obtermos a distribuição de Y = g(X), basta:
(a) Completar a transformação g através de variáveis auxiliares convenientes:
Yk+1 = gk+1(X); :::; Yn = gn(X).
(b) Obter a conjunta de Y1; Y2; :::; Yn usando o método do jacobiano fY(y1:::;yn) =
f(h1(y1; :::; yn):::; hn(y1; :::; yn)) jJ(x;y)j.
(c) Obter a marginal conjunta de Y1; Y2; :::; Yk como
R1
�1 :::
R1
�1 fY(y1:::; yn)dyk+1:::dyn.
Exemplo 59 A função de densidade conjunta de X e Y é dada por
fX;Y (x; y) =
1
3
(x+ y)1(0;2](x)1(0;1](y).
Mostre que a densidade de Z = X + Y é dada por
fZ(z) =
8>>>>>>>>>>>><>>>>>>>>>>>>:
z2
3
, 0 � z < 1
z
3
, 1 � z < 2
z(3� z)
3
, 2 � z � 3
0, caso contrário
Teorema 4 Sejam G0 � Rn e G � Rn duas regiões abertas e seja g : G0 ! G uma
função não bijetora onde g(x1; :::; xn) = (g1(x1; x2; :::; xn); :::; gn(x1; x2; :::; xn)) =
(y1; :::; yn). Sejam Y1; Y2; :::; Yn variáveis aleatórias transformadas, isto é, Yi =
54
gi(X1; X2; :::; Xn) para i = 1; 2; :::; n. Suponha também que G, G1; :::; Gk sejam
regiões abertas do Rn tais que G1; :::; Gk sejam disjuntas e valha
P
 
X 2
k[
i=1
Gi
!
= 1,
e tais que a função gjGl, a restrição de g a Gl, seja uma correspondência biunívoca
entre Gl e G para todo l = 1; 2; :::; k. Então a densidade conjunta de Y1; Y2; :::; Yn é
fY(y1:::; yn) =
8<:
kP
l=1
fX(h
(l)
1 (y1; :::; yn):::; h
(l)
n (y1; :::; yn)) jJl(x;y)j , y 2 G
0, y =2 G
onde fX é a função de densidade conjunta de X.
Prova. (Em aula.)
Exemplo 60 Seja X uma variável contínua com densidade uniforme em [�2; 5].
Encontre a densidade de Y = X2.
Exemplo 61 Seja X uma variável contínua com densidade
fX(x) =
8>>>>>>><>>>>>>>:
1
4
x, 0 � x < 2
1
8
, 2 � x � 6
0, caso contrário
(a) Determine a função de distribuição de Y = min(3; X).
(b) Faça a decomposição de FY nas suas partes discreta, contínua e singular.
Exemplo 62 Mostre que se X � P(�1) e Y � P(�2) são variáveis aleatórias
independentes, então X + Y � P(�1 + �2).
2.6.4 Estatísticas de Ordem
Se X1; X2; :::; Xn são variáveis aleatórias i.i.d. com função de distribuição FX , então
os Xi formam uma amostra aleatória de tamanho n, retirada de uma população
55
com distribuição FX . As Xi ordenadas crescentemente são estatísticas de ordem da
amostra e representamos X(1); X(2); :::; X(n) tais que
X(1)(!) � X(2)(!) � ::: � X(n)(!)
Temos assim os seguintes resultados para as distribuições de estatísticas de ordem
para variáveis aleatórias contínuas.
Proposição 37 Se X1; X2; :::; Xn são variáveis aleatórias i.i.d. com função de dis-
tribuição FX e função de densidade fX , então
fX(1);X(2);:::;X(n)(x1:::; xn) = n!fX(x1):::fX(xn) para x1 < x2 < ::: < xn.
Prova. (Em aula.)
Proposição 38 Se X1; X2; :::; Xn são variáveis aleatórias i.i.d. com função de dis-
tribuição FX e função de densidade fX , então
fX(k)(x) = n
�
n� 1
k � 1
�
fX(x) [FX(x)]
k�1 [1� FX(x)]n�k para x 2 R.
Prova. (Em aula.)
Corolário 1 Se X1; X2; :::; Xn são variáveis aleatórias i.i.d. com função de dis-
tribuição FX e função de densidade fX , então a densidade de X(1) = min1�i�nXi é
dada por
fX(1)(x) = nfX(x) [1� FX(x)]n�1 para x 2 R.
Prova. (Em aula.)
Corolário 2 Se X1; X2; :::; Xn são variáveis aleatórias i.i.d. com função de dis-
tribuição FX e função de densidade fX , então a densidade de X(n) = max1�i�nXi
é dada por
fX(n)(x) = nfX(x) [FX(x)]
n�1 para x 2 R.
56
Prova. (Em aula.)
Proposição 39 Se X1; X2; :::; Xn são variáveis aleatórias i.i.d. com função de dis-
tribuição FX e função de densidade fX , então para k < l, temos
fX(k);X(l)(x; y) =
n(n� 1)
�
n� 2
k � 1
��
n� k � 1
l � k � 1
�
fX(x)fX(y) [FX(x)]
k�1 [FX(y)� FX(x)]l�k�1 [1� FX(y)]n�l
para x < y.
Prova. (Em aula.)
Corolário 3 Se X1; X2; :::; Xn são variáveis aleatórias i.i.d. com função de dis-
tribuição FX e função de densidade fX , então a densidade conjunta de U = min1�i�nXi
e V = max1�i�nXi é dada por
fU;V (u; v) =
�
n(n� 1) [FX(v)� FX(u)]n�2 fX(u)fX(v), u < v
0, caso contrário
Prova. (Em aula.)
Exemplo 63 Três amostras de material radiativo são observadas, registrando-se os
seus tempos de emissão. Os tempos para a emissão são variáveis aleatórias com
distribuição exponencial, com parâmetros �, � e 
, respectivamente, e as emissões
de cada uma das amostras são independentes. Pede-se:
(a) Calcule a função de densidade do menor tempo observado.
(b) Calcule a função de densidade do maior tempo observado.
(c) Calcule a função de densidade conjunta do menor e do maior tempo obser-
vado.
2.7 Exercícios
Exercício 33 Um dado tendencioso é tal que a probabilidade de um ponto é propor-
cional ao próprio ponto. Seja X a variável aleatória que representa o número obtido
no lançamento do dado. Pede-se:
57
(a) A função de distribuição da variável aleatória X, esboçando o seu grá…co.
(b) A probabilidade de ocorrer 5, dado que ocorreu um número ímpar?
(c) A probabilidade de ocorrer um número par, dado que ocorreu um número
menor do que 5?
Exercício 34 Seja F (x) a função
F (x) =
8>>>>><>>>>>:
0, se x < 0
x+
1
2
, se 0 � x � 1
2
1, se x > 1
2
Mostre que F é de fato uma função de distribuição e calcule:
(a) P (X > 1
8
)
(b) P (1
8
< X < 2
5
)
(c) P (X < 2
5
j X > 1
8
)
Exercício 35 Seja X uma variável com função de distribuição
FX(x) =
8>>>>>>><>>>>>>>:
0, x < �2
1
4
+
x+ 2
8
, � 2 � x < 0
3
4
+
1
4
(1� e�x), x � 0
(a) Classi…que X e faça um grá…co de F.
(b) Calcule P (X > �1) e P (X � 4jX > 0).
(c) Decomponha F nas partes discreta e absolutamente contínua.
Exercício 36 Estabeleça condições sobre a e b, de modo que a função p(x) seja uma
função de probabilidade:
x �2 �1 0 1 2
p(x) �(a� b) b a a+ b b� a
58
Exercício 37 Mostre que se X é uma v. a . do tipo contínuo com função de
densidade par, ou seja, simétrica em torno de x = 0, isto é, fX(x) = fX(�x),
então:
(a) FX(x) = 1� FX(�x);
(b) FX(0) = 12 ;
(c) P (�x < X < x) = 2FX(x)� 1, x > 0;
(d) P (X > x) = 1
2
�
xZ
0
fX(t)dt, x > 0.
Exercício 38 Suponha que X seja uma variável aleatória com f.d.p. dada por
fX(x) =
1
2(1 + jxj)2 , �1 < x <1
(a) Obtenha a função de distribuição de X.
(b) Ache P (�1 < X < 2).
(c) Ache P (jXj > 1).
Exercício 39 Enuncie e prove o resultado análogo da Proposição 34 para o caso
discreto.
Exercício 40 Dois números x e y são sorteados ao acaso e independentemente no
intervalo [0; 1] e calcula-se a sua soma s = x+y. A seguir, cada um destes números
é arredondado para o inteiro mais próximo, obtendo-se os números inteiros ~x, ~y, e
~s. Calcule a probabilidade de que ~s seja igual a ~x+ ~y. Resp.: 3
4
Exercício 41 Sejam X e Y duas v.a.c com f.d.p. conjunta dada por:
f(x; y) =
( 1
x
, se 0 < x < 1 e 0 < y < x
0, caso contrário
Pede-se:
(a) As funções de densidade marginais de X e Y . Resp.: fX(x) = 1(0;1)(x) e
fY (y) = � ln y:1(0;1)(y)
59
(b) Veri…que se X e Y são independentes. Resp.: X e Y não são independentes.
Exercício 42 Sejam X e Y duas v.a.c com f.d.p. conjunta dada por:
f(x; y) =
�
24xy, se x � 0, y � 0 e x+ y � 1
0, caso contrário
Pede-se:
(a) As funções de densidade marginais deX e Y . Resp.: fX(x) = 12x (1� x)2 1[0;1](x)
e fY (y) = 12y(1� y)2:1[0;1](y)
(b) Veri…que se X e Y são independentes. Resp.: X e Y não são independentes.
Exercício 43 Sejam X e Y duas v.a.c com f.d.p. conjunta dada por:
f(x; y) =
�
e�(x+y), se x � 0, y � 0
0, caso contrário
Pede-se:
(a) As funções de densidade marginais de X e Y . Resp.: fX(x) = e�x:1(0;1)(x)
e fY (y) = e�y:1(0;1)(y)
(b) Veri…que se X e Y são independentes. Resp.: X e Y são independentes.
(c) Calcule P (X � Y � 2). Resp.: e�4
2
.
Exercício 44 Sejam X e Y duas v.a.c com f.d.p. conjunta dada por:
f(x; y) =
�
C(x+ 2y), se 0 < x < 2 e 0 < y < 1
0, caso contrário
Pede-se:
(a) O valor de C. Resp.: 1
4
.
(b) As funções de densidade marginais