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UFRJ - CCMN - IM - Departamento de Me´todos Estat´ısticos Ca´lculo das Probabilidades II - Padra˜o de Resposta da P1 1. Como En ↑ E e Fn ↑ F , basta mostrar que que Bn = En ∩ Fn ↑ B = E ∩ F . De fato, Bn = En ∩ Fn ⊂ En+1 ∩ Fn+1 = Bn+1, ∀ n, pois En ⊂ En+1 e Fn ⊂ Fn+1, ∀ n. Como ∪nk=1(Ek ∩ Fk) = En ∩ Fn, temos que ∪∞k=1(Ek ∩ Fk) = lim∪nk=1(Ek ∩ Fk) = lim(En ∩ Fn), todos os limites com n→∞. Falta mostrar que B = limBn = limEn ∩ Fn = ∪∞k=1(Ek ∩ Fk). Seja x ∈ E ∩ F . Enta˜o, x ∈ E = ∪∞k=1Ek e x ∈ F = ∪∞k=1Fk. Logo, existem k1 e k2, nu´meros naturais, tais que x ∈ Ek1 e x ∈ Fk2 . Seja k3 = max{k1, k2}. Enta˜o, x ∈ Ek3 e x ∈ Fk3 , pois as sequeˆncias {En} e {Fn} sa˜o crescentes. Logo, x ∈ Ek3 ∩ Fk3 ⊂ ∪∞k=1(Ek ∩ Fk). Portanto E ∩ F ⊂ ∪∞k=1(Ek ∩ Fk). Seja x ∈ ∪∞k=1(Ek ∩ Fk). Enta˜o existe k0 ∈ N tal que x ∈ Ek0 ∩ Fk0 . Enta˜o x ∈ Ek0 e x ∈ Fk0 . Como Ek0 ⊂ E e Fk0 ⊂ F , pois {En} e {Fn} sa˜o sequeˆncias crescentes com limites E e F , respectivamente, segue que x ∈ E ∩F tal que ∪∞k=1(Ek ∩Fk) ⊂ E ∩ F . Logo, B = limBn = limEn ∩ Fn = ∪∞k=1(Ek ∩ Fk). Assim, P (E ∩ F ) = P (∪∞k=1(Ek ∩ Fk)) = P (lim ∪nk=1 (Ek ∩ Fk)) = = P (lim(En ∩ Fn)) =︸︷︷︸ continuidade de P limP (En ∩ Fn) = da independeˆncia︷︸︸︷ = limP (En)P (Fn) =︸︷︷︸ ambos limites existem limP (En) limP (Fn) = P (E)P (F ). Logo, E e F sa˜o independentes. 2. P (A) = P (B) = P (C) = x sa˜o dois a dois independentes P (A ∩B) = P (A ∩ C) = P (B ∩ C) = x2 P (A ∩B ∩ C) = 0 ∅ ⊂ A ⊂ A ∩B ⊂ A ∪B ∪ C ⊂ Ω tal que 0 ≤ x ≤ 2x− x2 ≤ 3x− 3x2 ≤ 1 Resolvendo todas as desigualdades, vemos que algumas delas levam a 0 ≤ x ≤ 1, uma delas leva a 0 ≤ x ≤ 2/3 e uma delas leva a 0 ≤ x ≤ 1/2. Assim, conclu´ımos que o maior valor poss´ıvel de x nessa configurac¸a˜o e´ 1/2. 3. Pelo gra´fico da func¸a˜o de distribuic¸a˜o, vemos que a varia´vel aleato´ria X e´ uma varia´vel aleato´ria mista com uma parte discreta e uma parte cont´ınua. O peso da parte discreta e´ dado por 7/8 que corresponde a P (X = 0)︸ ︷︷ ︸ 1/4 + 3/8︷ ︸︸ ︷ P (X = 1) +P (X = 2)︸ ︷︷ ︸ 1/4 . (a) A func¸a˜o de distribuic¸a˜o discreta e´ dada por F d(x) = 0, x < 0 2 7 , 0 ≤ x < 1 5 7 , 1 ≤ x < 2 1, x ≥ 2 A parte cont´ınua tem distribuic¸a˜o linear entre 0 e 1 de tal forma que a densidade corres- pondente e´ constante no intervalo (0,1). Logo, a func¸a˜o de distribuic¸a˜o da parte cont´ınua e´ uniforme em (0,1). F ac(x) = 0, x < 0 x, 0 ≤ x < 1 1, x ≥ 1 F (x) = 1 8 F ac(x) + 7 8 F d(x) (b) Uma alternativa: i. Gere um nu´mero aleato´rio R ∼ Uniforme[0, 1]. ii. Se R ≤ 1/4, fac¸a X = 0. iii. Se 1/4 < R ≤ 3/8, gere U ∼ Uniforme[0, 1] e fac¸a X = U . iv. Se 3/8 < X ≤ 3/4, fac¸a X = 1 v. Se 3/4 < R ≤ 1, fac¸a X = 2. Repita esse procedimento ate´ completar o tamanho da amostra. Outra alternativa: i. Gere um nu´mero aleato´rio R ∼ Uniforme[0, 1]. ii. Se R ≤ 1/8, gere U ∼ Uniforme[0, 1] e fac¸a X = U . iii. Caso contra´rio, gere U ∼ Uniforme[0, 1] e fac¸a X = 0, se U ≤ 2/7 X = 1, se 2/7 < U ≤ 5/7 X = 2, se U ≥ 5/7 Repita esse procedimento ate´ completar o tamanho da amostra. 4. f(x, y) = { 2, 0 < x < y < 1 0, caso contra´rio (a) Z = X +Y . Observe que P (0 ≤ Z ≤ 2) = 1 tal que FZ(z) = 0, z ≤ 0 e FZ(z) = 1, z ≥ 2. A figura a seguir indica as regio˜es de integrac¸a˜o para obter a distribuic¸a˜o quando 0 < Z ≤ 1 e quando 1 < Z < 2, usando o complementar. Para 0 < z ≤ 1, FZ(z) = ∫ z/2 0 ∫ z−x x 2dydx = ∫ z/2 0 2(z − 2x)dx = 2[zx− x2|z/20 = z2 2 Para 1 < z < 2, FZ(z) = 1− ∫ 1 z/2 ∫ y z−y 2dxdy = 1− 2 ∫ 1 z/2 (2y − z)dy = 1− 2[y2 − zy|1z/2 = z2 2 = 2z − z 2 2 − 1 Logo, fZ(z) = z, 0 < z ≤ 1 2− z, 1 < z < 2 0, caso contra´rio (b) fX(x) = ∫ 1 x 2dy = 2(1− x), 0 < x < 1. fX(1/2) = 1 tal que fY |X= 1 2 (y|x = 1 2 ) = 2 1 , 1 2 < y < 1 P (Y > 3/4|X = 1/2) = ∫ 1 3 4 2dy = 1 2 5. f(x, y) = { e−(x+y), x ≥ 0, y ≥ 0 0, caso contra´rio (a) { u = x + y v = x y tal que { x = uv v+1 y = u v+1 J(x, y) = ∣∣∣∣ 1 11 y − x y2 ∣∣∣∣ = −x+yy2 tal que |J(x, y)|−1 = y2x+y = u(1+v)2 Observe que P (U ≥ 0) = P (V ≥ 0) = 1 fU,V (u, v) = f ( uv v + 1 , u v + 1 ) u (v + 1)2 = u (1 + v)2 e−u, u ≥ 0, v ≥ 0 (b) E´ poss´ıvel perceber que a densidade conjunta de U e V fatora em uma func¸a˜o que so´ depende de u e outra, que so´ depende de v. Por essa raza˜o, podemos concluir que as varia´veis U e V sa˜o indenpendentes. Mais ainda, podemos perceber que ue−u para u ≥ 0 e´ uma densidade Gamma(2,1), tal que essa e´ a densidade marginal de U resultando que a densidade marginal de V e´ fV (v) = 1 (1+v)2 , v ≥ 0. Calculando as densidade temos fU(u) = ∫ ∞ 0 u (1 + v)2 e−udv = ue−u(−(1 + v)−1|∞0 = ue−u, u ≥ 0 fV (v) = ∫ ∞ 0 u (1 + v)2 e−udu = 1 (1 + v)2 [−ue−u − e−u|∞0 = 1 (1 + v)2 , v ≥ 0 (c) Sim, pois fU,V (u, v) = fU(u)fV (v).
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