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Prova Calculo das Probabilidades 2

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UFRJ - CCMN - IM - Departamento de Me´todos Estat´ısticos
Ca´lculo das Probabilidades II - Padra˜o de Resposta da P1
1. Como En ↑ E e Fn ↑ F , basta mostrar que que Bn = En ∩ Fn ↑ B = E ∩ F .
De fato, Bn = En ∩ Fn ⊂ En+1 ∩ Fn+1 = Bn+1, ∀ n, pois En ⊂ En+1 e Fn ⊂ Fn+1, ∀ n.
Como
∪nk=1(Ek ∩ Fk) = En ∩ Fn,
temos que ∪∞k=1(Ek ∩ Fk) = lim∪nk=1(Ek ∩ Fk) = lim(En ∩ Fn), todos os limites com n→∞.
Falta mostrar que B = limBn = limEn ∩ Fn = ∪∞k=1(Ek ∩ Fk).
Seja x ∈ E ∩ F . Enta˜o, x ∈ E = ∪∞k=1Ek e x ∈ F = ∪∞k=1Fk. Logo, existem k1 e k2, nu´meros
naturais, tais que x ∈ Ek1 e x ∈ Fk2 .
Seja k3 = max{k1, k2}. Enta˜o, x ∈ Ek3 e x ∈ Fk3 , pois as sequeˆncias {En} e {Fn} sa˜o
crescentes. Logo, x ∈ Ek3 ∩ Fk3 ⊂ ∪∞k=1(Ek ∩ Fk). Portanto E ∩ F ⊂ ∪∞k=1(Ek ∩ Fk).
Seja x ∈ ∪∞k=1(Ek ∩ Fk). Enta˜o existe k0 ∈ N tal que x ∈ Ek0 ∩ Fk0 .
Enta˜o x ∈ Ek0 e x ∈ Fk0 . Como Ek0 ⊂ E e Fk0 ⊂ F , pois {En} e {Fn} sa˜o sequeˆncias
crescentes com limites E e F , respectivamente, segue que x ∈ E ∩F tal que ∪∞k=1(Ek ∩Fk) ⊂
E ∩ F .
Logo, B = limBn = limEn ∩ Fn = ∪∞k=1(Ek ∩ Fk).
Assim,
P (E ∩ F ) = P (∪∞k=1(Ek ∩ Fk)) = P (lim ∪nk=1 (Ek ∩ Fk)) =
= P (lim(En ∩ Fn)) =︸︷︷︸
continuidade de P
limP (En ∩ Fn) =
da independeˆncia︷︸︸︷
= limP (En)P (Fn) =︸︷︷︸
ambos limites existem
limP (En) limP (Fn) = P (E)P (F ).
Logo, E e F sa˜o independentes.
2.

P (A) = P (B) = P (C) = x
sa˜o dois a dois independentes
P (A ∩B) = P (A ∩ C) = P (B ∩ C) = x2
P (A ∩B ∩ C) = 0
∅ ⊂ A ⊂ A ∩B ⊂ A ∪B ∪ C ⊂ Ω
tal que
0 ≤ x ≤ 2x− x2 ≤ 3x− 3x2 ≤ 1
Resolvendo todas as desigualdades, vemos que algumas delas levam a 0 ≤ x ≤ 1, uma delas
leva a 0 ≤ x ≤ 2/3 e uma delas leva a 0 ≤ x ≤ 1/2. Assim, conclu´ımos que o maior valor
poss´ıvel de x nessa configurac¸a˜o e´ 1/2.
3. Pelo gra´fico da func¸a˜o de distribuic¸a˜o, vemos que a varia´vel aleato´ria X e´ uma varia´vel
aleato´ria mista com uma parte discreta e uma parte cont´ınua. O peso da parte discreta e´
dado por 7/8 que corresponde a P (X = 0)︸ ︷︷ ︸
1/4
+
3/8︷ ︸︸ ︷
P (X = 1) +P (X = 2)︸ ︷︷ ︸
1/4
.
(a) A func¸a˜o de distribuic¸a˜o discreta e´ dada por F d(x) =

0, x < 0
2
7
, 0 ≤ x < 1
5
7
, 1 ≤ x < 2
1, x ≥ 2
A parte cont´ınua tem distribuic¸a˜o linear entre 0 e 1 de tal forma que a densidade corres-
pondente e´ constante no intervalo (0,1).
Logo, a func¸a˜o de distribuic¸a˜o da parte cont´ınua e´ uniforme em (0,1).
F ac(x) =

0, x < 0
x, 0 ≤ x < 1
1, x ≥ 1
F (x) =
1
8
F ac(x) +
7
8
F d(x)
(b) Uma alternativa:
i. Gere um nu´mero aleato´rio R ∼ Uniforme[0, 1].
ii. Se R ≤ 1/4, fac¸a X = 0.
iii. Se 1/4 < R ≤ 3/8, gere U ∼ Uniforme[0, 1] e fac¸a X = U .
iv. Se 3/8 < X ≤ 3/4, fac¸a X = 1
v. Se 3/4 < R ≤ 1, fac¸a X = 2.
Repita esse procedimento ate´ completar o tamanho da amostra.
Outra alternativa:
i. Gere um nu´mero aleato´rio R ∼ Uniforme[0, 1].
ii. Se R ≤ 1/8, gere U ∼ Uniforme[0, 1] e fac¸a X = U .
iii. Caso contra´rio, gere U ∼ Uniforme[0, 1] e fac¸a
X = 0, se U ≤ 2/7
X = 1, se 2/7 < U ≤ 5/7
X = 2, se U ≥ 5/7
Repita esse procedimento ate´ completar o tamanho da amostra.
4. f(x, y) =
{
2, 0 < x < y < 1
0, caso contra´rio
(a) Z = X +Y . Observe que P (0 ≤ Z ≤ 2) = 1 tal que FZ(z) = 0, z ≤ 0 e FZ(z) = 1, z ≥ 2.
A figura a seguir indica as regio˜es de integrac¸a˜o para obter a distribuic¸a˜o quando 0 <
Z ≤ 1 e quando 1 < Z < 2, usando o complementar.
Para 0 < z ≤ 1, FZ(z) =
∫ z/2
0
∫ z−x
x
2dydx =
∫ z/2
0
2(z − 2x)dx = 2[zx− x2|z/20 =
z2
2
Para 1 < z < 2, FZ(z) = 1−
∫ 1
z/2
∫ y
z−y
2dxdy = 1− 2
∫ 1
z/2
(2y − z)dy = 1− 2[y2 − zy|1z/2 =
z2
2
= 2z − z
2
2
− 1
Logo,
fZ(z) =

z, 0 < z ≤ 1
2− z, 1 < z < 2
0, caso contra´rio
(b) fX(x) =
∫ 1
x
2dy = 2(1− x), 0 < x < 1.
fX(1/2) = 1 tal que fY |X= 1
2
(y|x = 1
2
) = 2
1
, 1
2
< y < 1
P (Y > 3/4|X = 1/2) =
∫ 1
3
4
2dy =
1
2
5. f(x, y) =
{
e−(x+y), x ≥ 0, y ≥ 0
0, caso contra´rio
(a)
{
u = x + y
v = x
y
tal que
{
x = uv
v+1
y = u
v+1
J(x, y) =
∣∣∣∣ 1 11
y
− x
y2
∣∣∣∣ = −x+yy2 tal que |J(x, y)|−1 = y2x+y = u(1+v)2
Observe que P (U ≥ 0) = P (V ≥ 0) = 1
fU,V (u, v) = f
(
uv
v + 1
,
u
v + 1
)
u
(v + 1)2
=
u
(1 + v)2
e−u, u ≥ 0, v ≥ 0
(b) E´ poss´ıvel perceber que a densidade conjunta de U e V fatora em uma func¸a˜o que so´
depende de u e outra, que so´ depende de v. Por essa raza˜o, podemos concluir que as
varia´veis U e V sa˜o indenpendentes. Mais ainda, podemos perceber que ue−u para u ≥ 0
e´ uma densidade Gamma(2,1), tal que essa e´ a densidade marginal de U resultando que
a densidade marginal de V e´ fV (v) =
1
(1+v)2
, v ≥ 0.
Calculando as densidade temos
fU(u) =
∫ ∞
0
u
(1 + v)2
e−udv = ue−u(−(1 + v)−1|∞0 = ue−u, u ≥ 0
fV (v) =
∫ ∞
0
u
(1 + v)2
e−udu =
1
(1 + v)2
[−ue−u − e−u|∞0 =
1
(1 + v)2
, v ≥ 0
(c) Sim, pois fU,V (u, v) = fU(u)fV (v).