Aula 21 17.2

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Prof. Severino Rodrigues 
de Farias Neto
Unidade Acadêmica de 
Engenharia Química
Operações Unitárias I
Filtração
01/03/2018
FILTRAÇÃO
Filtro prensa:
FILTRAÇÃO
Filtro prensa:
FILTRAÇÃO
Filtro prensa:
FILTRAÇÃO
Filtro Tambor Rotativo
FILTRAÇÃO
FILTRAÇÃO
FILTRAÇÃO
FILTRAÇÃO
Filtro de Disco Rotativo
FILTRAÇÃO
Filtro de Disco Rotativo
TEÓRIA DA FILTRAÇÃO
Henry Darcy em 1856 demonstrou que a velocidade
média (u) de um fluido newtoniano quando escoa em
regime laminar dentro de um leito poroso é
proporcional ao gradiente de pressão e inversamente
proporcional à distância percorrida.
v = velocidade média do fluido (fora do leito),
K = constante que depende das propriedades
físicas do leito e do fluído.
(-P) = queda de pressão através do leito;
L = percurso realizado no leito poroso
( )P
v K
L


TEÓRIA DA FILTRAÇÃO
Lei de Darcy
h2
h1
q
L
dV Q
v
Adt A
 
L
p
Kq


TEÓRIA DA FILTRAÇÃO
k
K 


Ao chegar nesta equação, Darcy concluiu igualmente
que as dimensões do leito poroso afetavam os
resultados obtidos.
A experiência de Darcy foi entendida a outros fluidos e,
então, chegou-se a conclusão de que a constante de
proporcionalidade K era também dependente da
viscosidade, , e do peso específico,  do fluido.
TEÓRIA DA FILTRAÇÃO
• k – constante de proporcionalidade que
independe do tipo de fluido, desde que o meio
poroso esteja completamente saturado com esse
fluido.
• k – representará exclusivamente do meio poroso
denominado de permeabilidade absoluta.
TEÓRIA DA FILTRAÇÃO
1 2h hkq A
L




Logo, a forma geral da lei de Darcy torna-se:
A permeabilidade pode ser expressa analiticamente em
função da porosidade do meio poroso e a formula mais
difundida é a de Kozeny-Carman, pois satisfaz
razoavelmente os dados experimentais, dado por:
 
3
2 2
1 1
1 p
k
S

 


TEÓRIA DA FILTRAÇÃO
Substituindo
Na equação de Darcy e assumido b = 5 (para leito fixo
ou leito com movimentos suaves) e b = 3,36 (leito
movendo rapidamente ou sedimentando)
 
3
2 2
1 1
1 p
k
S

 


Δ𝑃
L
= 𝜇
5 1 − 𝜀 2𝑆𝑝
2
𝜀3
𝑑𝑉
𝑑𝑡
1
𝐴
TEÓRIA DA FILTRAÇÃO
Durante a filtração a espessura da torta aumenta com o
depósito de sólidos sobre a superfície no meio filtrante.
A alteração da espessura da torta é acompanhada pela
variação da vazão de fluido de diferencial de pressão e,
consequentemente, um aumento no tempo de filtração.
TEÓRIA DA FILTRAÇÃO
Se a torta apresenta uma permeabilidade constante,
normalmente é consequência de uma concentração
constante de sólidos na torta.
O que é consistente com as equações de permeabilidade
TEÓRIA DA FILTRAÇÃO
Observa-se na Figura a seção de um filtro em um
tempo t (s). A espessura da torta é L (m). A área da
seção transversal é A (m2), e a velocidade linear do
filtrado na direção L é v (m/s)
Suspensão 
Alimentação
Filtrado
Meio Filtrante
dl L
2
32P v
L D

 
Onde:
∆p é a pressão (N/m2)
v é a velocidade no tubo (m/s)
D é o diâmetro (m)
L é o comprimento (m)
µ é a viscosidade (Pa.s)
Equação de Poiseuille
TEÓRIA DA FILTRAÇÃO
No caso de fluxo laminar em um leito empacotado de
partículas se usa a equação de Carman-Kozeny
Onde:
k1 - é uma constante para partículas de tamanho e
forma definida
µ - viscosidade do filtrado em Pa.s
v - velocidade linear em m/s
ε - porosidade da torta
L - espessura da torta em m
S0 - área superficial específica expressa em m
2 / m3
∆Pc - diferença de pressão na torta N/m
2
2 2
1 0
3
(1 )cp k v S
L
 

 
 
TEÓRIA DA FILTRAÇÃO
A velocidade linear é obtida por:
Onde:
Q - vazão de filtrado, m3/s
V - volume de filtrado, m3
A - área transversal do filtro, m2
t - tempo de filtração, s
/Q dV dt
v
A A
 
A massa de partículas sólidas depositada na torta será:
p s totalm c V
Onde:
c s - massa de sólidos, kg, por unidade de volume de filtrado, m
3
TEÓRIA DA FILTRAÇÃO
)()1( LAVcLA sp  
p
s
A
LAVc
L


)1(
)(



Onde:
L - espessura da torta, m
p - densidade das partículas, kg/m
3
TEÓRIA DA FILTRAÇÃO
( )
(1 )
s
p
c V LA
L
A

 



/Q dV dt
v
A A
 
Substituindo
e
em
2 2
1 0
3
(1 )cp k v S
L
 

 
 
Mostra-se que:
2
1 0
3
(1 )
c
s
p
pdV
k S c VAdt
A
 
 



TEÓRIA DA FILTRAÇÃO
Definindo-se a resistência especifica da torta, a, como
sendo:
Pode-se reescrever a equação
Como sendo:
2
1 0
3
(1 )
c
s
p
pdV
k S c VAdt
A
 
 



2
1 0
3
(1 )
p
k S
a
 


c
sV
pdV
cAdt
A

a


TEÓRIA DA FILTRAÇÃO
Para se determinar a resistência do meio filtrante, Rm
(m-1), emprega-se a lei de Darcy, logo:
ou,
2 f
pk
q
l

 
f f
m m
dVp pQ dtq
R A A R 
 
     
logo,
f
m
pdV
Adt R

 
TEÓRIA DA FILTRAÇÃO
Como o escoamento ocorre em dois meios porosos, a
torta e o meio filtrante, existem duas resistências ao
escoamento:
• a primeira, resistência devido a torta;
• a segunda, referente ao meio filtrante.
E estão dispostas em série, logo pode-se afirmar que:
c fp p p   
Assim,
Torta Filtro ou meio filtrante
fc
sV m
ppdV
cAdt R
A
 a

 
TEÓRIA DA FILTRAÇÃO
Logo,
Inverte-se esta equação,
s
m
dV p
c VA dt
R
A
a



 
 
 
2 ( ) ( )
s
m
cdt
V R
dV A p A p
a 
 
 
a b
TEÓRIA DA FILTRAÇÃO
Logo,
dt
aV b
dV
 
onde,
 62 ,( )
sc sa
mA p
a


 3,
( )
mR sb
mA p



TEÓRIA DA FILTRAÇÃO
Determinação do tempo de filtração
dt
aV b
dV
 
 
0 0
t V
dt aV b dV  
2
2
V
t a bV 
 62 ,( )
sc sa
mA p
a


 3,
( )
mR sb
mA p



?
?
TEÓRIA DA FILTRAÇÃO
Divide-se a equação para o tempo por V:
2
t a
V b
V
 
t
V
V
2
a
b
 621 ,2 ( )
sc s
mA p
a


 3,
( )
mR sb
mA p



 1 1, .(1 ) s m Kgka   
Os dados de uma filtração com uma
suspensão de CaCO3 em água a
298,2 K (25°C), a uma pressão
constante (-∆p) de 338 kN/m2, a
concentração de alimentação é de
23,43 kg/m3 e um um filtro com área
igual a 0,0439 m2. Calcule as
constantes α e Rm a partir dos dados
experimentais de volume de filtrado
(m3) versus tempo de filtração (s).
Estime o tempo necessário para
filtrar 1m3 da mesma suspensão em
um filtro industrial com 1m2 de área.
Se o tempo limite para essa filtração
fosse de 1h, qual deveria ser a área
do filtro?
Exemplo
Tempo 
(s)
Volume 
(m3)
4,4 0,498 x 10-3
9,5 1,000 x 10-3
16,3 1,501 x 10-3
24,6 2,000 x 10-3
34,7 2,498 x 10-3
46,1 3,002 x 10-3
59,0 3,506 x 10-3
73,6 4,004 x 10-3
89,4 4,502 x 10-3
107,3 5,009 x 10-3
Solução
t(s) V (m3) t/V (s/m3)
4,4 0,498 x 10-3 8835,34
9,5 1,000 x 10-3 9500,00
16,3 1,501 x 10-3 10859,43
24,6 2,000 x 10-3 12300,00
34,7 2,498 x 10-3 13891,11
46,1 3,002 x 10-3 15356,43
59,0 3,506 x 10-3 16828,29
73,6 4,004 x 10-3 18381,62
89,4 4,502 x 10-3 19857,84
107,3 5,009 x 10-3 21421,44
Solução
0
5000
10000
15000
20000
25000
0,00E+00 2,00E-03 4,00E-03 6,00E-03
V x 10
t/V
 x
 1
0
3
-3
Solução 6 63,0 10
2
a s
m

 36783,8 sb m
y = 3E+06x + 6783,8
R2 = 0,9965
0
5000
10000
15000
20000
25000
0,00E+00 2,00E-03 4,00E-03 6,00E-03
V x 10
t/V
 x
 1
0
3
-3
Solução
 6 63,0 10
2
a s
m
 
 30,0068, sb m 
x
4
6
2 2 3
11
(8,937 10 ) ( ) (23,47)
2 6,00 10
( ) (0,0439) (338 10 )
1,863 10 1/ .
sc x
A p x
x m kg
a a
a

  


4
m m
3
9 1
m
μR (8,937 x10 )(R )
6783,9
A( Δp) 0,0439 (338x10 )
R 1,13x10 m


 


Solução
V
pA
R
V
pA
c
t m
s
)(2
)( 2
2





a
-4 11
4 92 3
2
3
(8,937 x 10 )(1,863 x 10 )(23,47)
(8,937 10 )(1,13x10 )1 (338 10 )
1 1
2 1(338 10 )
xx
t
x

 
5783,56 1,61 t segundos horas 
V = 1 m3 e A = 1 m2
UFCG-CCT-UAEQ