UA 2 JURO SIMPLES

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UFRRJ/ICSA/DCAC (Notas de Aula - 2014/II) U.A. 2: JURO SIMPLES 
MARCIA REBELLO DA SILVA 
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U.A. 2: JURO SIMPLES 
 
 
 
 
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 MARCIA REBELLO DA SILVA 
 
 
 
 
OBJETIVOS: 
 Ao final desta unidade, você será capaz de: 
 
1- Entender o conceito de taxas proporcionais; taxas equivalentes; taxas nominais; e taxas 
efetivas. 
 
2- Calcular taxa proporcional; taxa equivalente; taxa nominal ; e taxa efetiva. 
 
3- Compreender os conceitos de Valores: Nominal; Atual; e Futuro de um Compromisso 
Financeiro. 
 
4- Calcular os Valores: Nominal; Atual; e Futuro de um Compromisso Financeiro. 
 
5- Interpretar e resolver os exercícios propostos na Unidade de Aprendizagem 2. 
 
 
 
 
 
 
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1- CONSIDERAÇÕES SOBRE TAXA DE JUROS 
1.1- Taxas Proporcionais. 
Duas taxas são proporcionais se houver igualdade de quociente das taxas com o quociente dos 
respectivos períodos. 
 
 
Ex. 1: Verificar se a taxa de 20% a.a. e a taxa de 10% a.s. são proporcionais no regime de capitalização 
simples. 
 
Solução: 
(1) � (20%) ÷ (10%) 
 (ano) (sem) 
 
(1) � (20%) x (sem) = (2) (sem) => quociente entre as taxas 
 (ano) (10%) (ano) 
 
(2) � (sem) = 2 (sem) => quociente entre os períodos 
 (ano) (ano) 
 Como: (1) = (2) ⇒ que as taxas são proporcionais. 
Resposta: As taxas são proporcionais. 
 
 
1.2- Taxas Equivalentes 
 Duas taxas são ditas equivalentes se aplicadas ao mesmo capital pelo mesmo período de tempo, 
ambas as taxas produzirem o mesmo montante, ou o mesmo juro. 
 
 
 
NOTA: 
 ���� No Regime de Capitalização Simples as Taxas Proporcionais são igualmente Equivalentes. 
 
 
 
Ex. 2: Verificar se a taxa de juros de 20% a.a. e a taxa de juros de 10% a.s. são equivalentes no regime 
de capitalização simples. 
 
Solução 1: .J = (P) (i) (n). 
 (1) P = $1 i = 20% a.a. n = 1 ano 
 (2) P = $1 i = 10% a.s. n = 1 ano = 2 sem 
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Então: 
(1) ⇒ J = ($ 1) (0,20/ano) (1 ano) = $ 0,20 
 (2) ⇒ J = ($ 1) (0,10/sem) (2 sem) = $ 0,20 
Como: (1) = (2) ⇒ são equivalentes 
 
Solução 2: .S = P [1 + (i) (n)]. 
 
 (1) P = $1 i = 20% a.a. n = 1 ano 
 (2) P = $1 i = 10% a.s. n = 1 ano = 2 sem 
 
Então: 
 (1) ⇒ S = $ 1 [1 + (0,20/ano) (1 ano)] = $ 1,20 
 (2) ⇒ S = $ 1 [1 + (0,10/sem) (2 sem)] = $ 1,20 
Como: (1) = (2) ⇒ são equivalentes 
Resposta: As taxas são equivalentes. 
 
 
 
Observação: 
 ���� Essas duas taxas também foram proporcionais no exemplo anterior, então, podemos 
concluir que quando duas taxas são proporcionais em regime de capitalização simples elas 
também são equivalentes, ou vice-versa. 
 
 
 
Ex. 3: Verificar em regime de capitalização simples se as taxas 10% a.m. e 30% a.q. se são: 
a) proporcionais, e b) equivalentes. 
Solução: 
a) Quociente entre as taxas: (10%) ÷ (30%) 
 (mês) (quad) 
Quociente entre as taxas: (10%) x (quad) = 1 quad. 
 (mês) (30%) 3 meses 
Quociente entre respectivos períodos: 1 quad. 
 4 meses 
Como: 1 quad. ≠ 1 quad. 
3 meses 4 meses 
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Então, as duas taxas não são proporcionais 
Resposta: As duas taxas não são proporcionais 
 
 
b) 
Solução 1: .J = P (i) (n)]. 
Prazo = 1 ano = 12 meses i = 10% a.m. J1 = (P) (0,1) (12) = 1,2 P 
 Prazo = 1 ano = 3 quad. i = 30% a.q. J2 = (P) (0,3) (3) = 0,9 P 
 
Como os juros são diferentes, então, não são equivalentes 
Solução 2: .S = P [1 + (i) (n)]. 
Prazo = 1 ano = 12 meses i = 10% a.m. S1 = (P) [1 +(0,1) (12)] = 2,2 P 
 Prazo = 1 ano = 3 quad. i = 30% a.q. S2 = (P) [1 +(0,3) (3)] = 1,9 P 
 
Como os juros são diferentes, então, não são equivalentes 
 
Resposta: As duas taxas não são equivalentes 
 
���� Essas duas taxas item (a) não foram proporcionais, então, não serão equivalentes como 
vimos no item (b). 
 
 
 
 
1.3- Taxa Nominal e Taxa Efetiva. 
A taxa nominal é a taxa de juros contratada numa operação financeira; e a taxa efetiva é a taxa 
de rendimento que a operação financeira proporciona efetivamente. Nem sempre a taxa nominal é igual 
a taxa efetiva. Isto acontece pelo fato de existirem taxas, comissões, obrigações ou impostos que 
oneram os pagamentos dos juros ou comprometem os rendimentos. Diferentes critérios para o cálculo 
dos juros também fazem diferir a taxa nominal da taxa efetiva, por exemplo: juros calculados sobre um 
total que na realidade é pago em parcelas ou juros cobrados antecipadamente. 
Estes e outros artifícios usados às vezes conscientemente para mascarar a taxa efetiva e fazer 
os juros parecerem menores ou maiores conforme a conveniência, fazem com que tanto de 
capitalização simples quanto no regime de capitalização composto as taxas efetivas e nominais difiram. 
 
 
Ex. 4: Uma imobiliária está vendendo terrenos à vista por $ 45.000; e a prazo, vende os mesmos 
terrenos por $ 13.000 de entrada e um pagamento de $ 36.000, um semestre após a compra. Qual foi a 
taxa de juros simples efetiva quadrimestral cobrada no financiamento a prazo? 
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Preço à Vista = $ 45.000 
Entrada = $ 13.000 
Prestação= $ 36.000 (1 sem. após compra) 
iefet. = ? (a.q.) 
Solução: 
 Preço a Prazo se equivale ao Preço à Vista 
 Preço a Prazo = Entrada + Prestações 
Preço à Vista = Preço com Desconto 
 
Valor Financiado = $ 45.000,00 − $ 13.000,00 = Pefet = $ 32.000,00 
 
Solução 1: .S = P + J. .J = P (i) (n)]. 
36.000 − 32.000 = 32.000,00 (i) (6)(1/4) 
 (4.000) (4) = i 
(32.000) (6) 
i = 0,0833 = 8,33% 
Solução 2: .S = P [1 + (i) (n)]. 
 36.000 = 32.000 [1 + (i) (6/4)] 
$ 32.000 
$ 36.000 
6 meses 0 
$ 45.000 
$ 13.000 
$ 36.000 
6 meses 0 
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36.000 − 1 = (i) (6/4) 
 32.000 
 (1,125) − 1 = (i) (6/4) 
(0,125) (4/6) = i 
i = 0,0833 = 8,33% 
Resposta: 8,33% 
 
 
Ex. 5: Aplicou-se $ 33.700 pelo prazo de quatro anos a uma taxa de juros simples de 42% a.s. em uma 
poupança. Calcular a rentabilidade efetiva mensal da aplicação se foi pago uma alíquota de 20% de 
Imposto de Renda no resgate. 
 
 P = $ 33.700 n = 4 anos 
i = 42% a.s. IR = 20% 
iefet. = ? (a.m.) 
Solução: .J = P (i) (n)]. 
Jnom = ($ 33.700) (0,42/sem) (4 anos) (2 sem/1 ano) 
Jnom = $ 113.232 
IR = (alíq. IR) (J) 
IR = (0,20) ($ 113.232) 
IR = $ 22.646,40 
Jef = Jnom − IR 
Jef = $ 113.232 – $ 22.646,40 
Jef = $ 90.585,60 
.J = P (i) (n)]. 
Jef = (P) (i efet.) (n) 
$ 90.585,60 = ($ 33.700) (iefet.) (4 anos) (12 meses/1 ano) 
 ($ 90.585,60) (1 ano) = iefet. 
($ 33.700) (4 anos) (12 meses) 
iefet. = 0,056 a.m. = 5,6% a.m. 
Resposta: 0,056 ou 5,6% 
 
Ex. 6: Um equipamento à vista custa $ 102.000; ou a prazo, sendo que a prazo terá um acréscimo de 
25%sobre o preço a vista. Se o pagamento a prazo for uma entrada $ 35.000 e mais um pagamento 
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dois meses após a compra, qual será a taxa efetiva anual de juros simples que está sendo cobrada no 
financiamento? 
 
Preço à Vista = $ 102.000 
Entrada = $ 35.000 
 Preço a Prazo = 1,25 do Preço à Vista = ($ 102.000) (1,25) = $ 127.500 
 Prestação = $ 127.500 − $ 35.000 = $ 92.500 (2 meses após compra) 
iefet. = ? (a.a.) 
Solução: 
Preço a Prazo se equivale ao Preço à Vista 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Preço a Prazo = Entrada + Prestações 
Preço à Vista = Preço com Desconto 
Valor Financiado = $ 102.000 − $ 35.000 
Valor Financiado = Pefet. = $ 67.000 
 
Solução 1: .J = P (i) (n)]. 
92.500 − 67.000 = 67.000 (i) (2) (1/12) 
(25.500) (12) = i 
 (67.000) (2) 
$ 67.000 
$ 92.500 
2 meses 0 
$ 102.000 
$ 35.000 
$ 92.500 
2 meses 0 
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i = 2,2836 = 228,36% 
Solução 2: .S = P [1 + (i) (n)]. 
 92.500 = 67.000 [1 + (i) (2) (1/12)] 
(92.500) − 1 = (i) (2) (1/12)] 
 (67.000) 
(0,3806) (12/2) = i 
i = 2,2836 = 228,36% 
Resposta: 228,36% 
 
Ex. 7: Um tomador de empréstimo pagou por um empréstimo de $ 81.000 de cinco bimestres uma taxa 
de 1,5% a.m. de juros simples. Se os juros foram pagos antecipadamente, qual foi taxa efetiva anual 
cobrada no empréstimo? 
 
 Pnom. = $ 81.000 n = 5 bim. inom. = 1,5% a.m. ief.et. = ? (a.a.) 
Solução: .J = P (i) (n)]. 
 Jnom = ($ 81.000) (0,015/mês) (5 bim) (2 meses/1 bim) 
Jnom = $ 12.150 
 
 Pefet. = $ 81.000 − $ 12.150 
Pefet. = $ 68.850 
Solução 1: .S = P [1 + (i) (n)]. 
Sefet = (Pefet) [1 + (iefet.) (n)] 
 81.000 = ($ 68.850) [1 + (iefet.) (5 bim) (1 ano/6 bim)] 
 iefet. = 0,2118 a.a = 21,18% a.a. 
 
$ 81.000 
J = $ 12.150 
$ 81.000 
meses 10 0 
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Solução 2: .J = P (i) (n)]. 
Jefet = (Pefet) (iefet.) (n) 
 12.150 = 68.850 (iefet.) (5/6) 
 iefet. = 0,2118 a.a ou 21,18% a.a. 
Resposta: 0,2118 ou 21,18% 
 
Ex. 8: Em uma determinada casa comercial são concedidos descontos de 10% no preço das 
mercadorias para vendas à vista. Esta mesma casa cobra 24% de juros simples para as vendas com 
prazo de pagamento de dois meses. Calcular: (a) Taxa nominal mensal; (b) Taxa efetiva anual. 
 
(a) Solução: 
Taxa Nominal = . (24%). 
 (2 meses) 
Taxa Nominal = 12% a.m. 
Resposta: 12% 
 
(b) Solução: Taxa Efetiva: 
Preço = X 
Preço à Vista = X – 0,1X = 0,9 X 
.J = P (i) (n)]. 
Jnom = X (0,24/2m) (2 m) = 0,24 X 
.S = P + J. 
S = X + 0,24 X = 1,24 X 
Solução 1: 
$ 68.850 
$ 81.000 
meses 10 
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Jefet = (Pefet) (iefet) (n) 
 1,24 X − 0,9 X = (0,9 X) (iefet) (2/12) 
ief = 2,2668 = 226,68% 
 
Solução 2: .S = P [1 + (i) (n)]. 
Sefet = (Pefet) [1 + (iefet.) (n)] 
1,24 X = 0,9 X [1 + (iefet.) (2/12)] 
1,24 X = 1 + (iefet.) (2/12) 
 0,9 X 
1,3778 − 1 = (iefet.) (2/12) 
(0,3778) (12/2) = iefet. 
iefet. = 2,2668 = 226,68% 
Resposta: 226,68% 
 
 
Ex. 9: Bianca investiu $ 25.500 pelo prazo de três semestres e dois meses a uma taxa de juros simples 
de 15% a.t. Se Bianca teve que pagar Imposto de Renda e a rentabilidade efetiva do investimento foi 
4,25% a.m, de quanto foi a alíquota do IR? 
 
P = $ 25.500 n = 3 sem e 2 meses = (3) (6) + 2 = 20 meses 
i = 15% a.t. iefet. = 4,25% a.m. 
Alíq. de IR = X = ? 
Solução: .J = P (i) (n)]. 
J = (25.500) (0,05) (20) = 25.500 
IR = (alíq. IR) (J) 
IR = (X) (25.500) = 25.500 X 
Jef = Jnom. − IR 
Jef = 25.500 – 25.500 X 
.J = P (i) (n)]. 
Jefet = (Pefet) (iefet.) (n) 
25.500 – 25.500 X = (25.500) (0,0425) (20) 
25.500 – 25.500 X = 21.675 
25.500 – 21.675 = 25.500 X 
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3.825 = 25.500 X 
 3.825. = X 
25.500 
X = 0,15 = 15% 
Resposta: 0,15 ou 15% 
 
 
Ex. 10: As Lojas BBF estão vendendo televisores por $ 1.300 à vista. A prazo, vende os mesmos 
televisores por $ 1.700, com $ 500 de entrada e o saldo três trimestres após a compra. Qual foi a taxa 
de juros simples efetiva anual cobrada na venda a prazo pelas Lojas? 
 
 Preço à Vista = $ 1.300 
Preço a Prazo = $ 1.700 
Entrada = $ 500 
iefet. = ? (a.a.) 
 
Solução: 
Preço a Prazo = Entrada + Prestações 
1.700 = 500 + Prestação 
iefet. = ? (a.a.) 
Prestação = $ 1.200 (3 trimestres após compra) 
 Preço a Prazo se equivale ao Preço à Vista 
 Preço à Vista = Preço com Desconto 
Valor Financiado = 1.300 − 5.000 = $ 800 
Valor Financiado = Pefet. = $ 800 
 
 
 
$ 1.300 
$ 500 
$ 1.200 
3 trim. 0 
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Solução 1: .J = P (i) (n)]. 
1.200 − 800 = 800 (i) (3) (1/4) 
400 = 800 (i) (3) (1/4) 
(400) (4) = i 
(800) (3) 
i = 66,67% 
Solução 2: .S = P [1 + (i) (n)]. 
 1.200 = 800 [1 + (i) (3/4)] 
1.200 − 1 = (i) (3/4) 
 800 
(0,05) (4) (1/3) = i 
i = 66,67% 
Resposta: 0,6667 ou 66,67% 
 
 
2- VALORES: NOMINAL; ATUAL; E FUTURO DE UM COMPROMISSO FINANCEIRO 
2.1- Valor Nominal 
 Corresponde o valor recebido por um compromisso na data de vencimento, isto é, o valor que 
assume esse compromisso em sua data de vencimento. O valor nominal é igual ao montante. 
 
 
 
$ 800 
$ 1.200 
3 trim. 0 
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2.2- Valor Atual 
 Corresponde ao valor que um compromisso tem em uma data anterior a data de seu 
vencimento. 
 
 
2.3- Valor Futuro 
 É o valor do compromisso em qualquer data posterior a que está sendo considerada no 
momento. 
 
 
 
 
 
Notas: 
1- Quando a data posterior for data de vencimento do compromisso financeiro, então, 
teremos o valor nominal do compromisso financeiro. 
 
2- O valor Futuro só será igual ao montante quando a data futura for a data de 
vencimento do compromisso financeiro. 
 
 
 
Ex. 11: Se o valor nominal de uma Letra de Câmbio for $ 8.700, qual será o seu valor atual onze 
trimestres antes do vencimento, considerando-se a taxa de juros simples de 1,7% a.m? 
 
N = S = $ 8.700 n = 11 trim. i = 1,7% a.m. 
V = ? 
Solução: .S = N = V [1 + (i) (n)]. 
 
P 
V N = S 
0 Data Vencim. Data Atual 
Fator = (1 + i n) 
Taxa de juros simples 
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8.700 = V [1 + (0,017) (11) (3)] 
8.700 = V (1 + 0,5610) 
8.700 = V (1,5610) 
8.700 = V 
 1,5610 
V = $ 5.573,35 
Resposta: $ 5.573,35 
 
 
Ex. 12: Um varejista fez um empréstimo de $ 45.000 pelo prazo de nove semestres e dois meses a uma 
taxa de juros simples de 12% a.t. Se ele pagou $125.000antes da data de vencimento, e se a taxa de 
juros simples corrente do mercado foi 3,75% a.m, então, quanto tempo antes do vencimento o varejista 
quitou a dívida? 
 
P = $ 45.000 i1 = 12% a.t n1 = (9) (6) + 2 = 56 
 V = $ 125.000 i2 = 3,75% a.m n2 = ? 
 
Solução: 
1) Traçar o Diagrama de Tempo 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
P 
V = ? S = N = $ 8.700 
0 
Data Venc. 
Data Atual 
i = 1,7% a.m 
n = 11 trim. 
Trim. 
P = $ 45.000 
$ 125.000 
S = N 
0 Data Venc. Data Atual 
i2 = 3,75% a.m 
n1 = 56 meses 
i1 = 12% a.t. 
 n2 = ? 
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2) Calcular o Valor da Dívida na Data de Vencimento: .S = N = V [1 + (i) (n)]. 
N = S = P [1 + (i1) (n1)] 
 S = N = 45.000 [1 + (0,12) (56) (1/3)] 
 S = N = (45.000) (1 + 2,24) 
S = N = (45.000) (3,24) 
S = N = $ 145.800 
 
3) Calcular o Prazo de Antecipação: 
N = V [1 +(i2) (n2)] 
145.800 = 125.000 [1 + (0,0375) (n2)] 
[145.800 − 1] (1/0,0375) = n2 
 125.000 
n2 = 4,44 meses 
Resposta: 4,44 meses 
 
Ex 13: Uma firma pegou um empréstimo de $ 54.000 por dez meses a uma taxa de juros simples de 
9% at. Se a dívida foi quitada quatro meses antes da data do vencimento a uma taxa de juros simples 
de 21% a.s., quanto foi pago de juros? 
 
 P = $ 54.000 i1 = 9% a.t. n1 = 10 meses. 
 i2 = 21% a.s. n2 = 4 meses. J = ? 
 
Solução: 
1) Traçar o Diagrama de Tempo: 
 
 
 
P = $ 54.000 
V 
S = N 
0 Data Venc. Data Atual 
i2 = 21% a.s 
n1 = 10 meses 
i1 = 9% a.t. 
n2 = 4 meses 
J = ? 
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2) Calcular o Valor da Dívida na Data de Vencimento: .S = N = V [1 + (i) (n)]. 
 N = S = P [1 +(i) (n)] 
N = (54.000) [1 + (0,09) (10) (1/3)] 
N = (54.000) (1 + 0,30) 
N = (54.000) (1,30) 
N = $ 70.200 
 
3) Calcular o Valor Atual a partir do Valor Nominal: 
70.200,00 = V [1 + (0,21) (4) (1/6)] 
70.200,00 = V (1 + 0,14) 
70.200,00 = V (1,14) 
V = $ 61.578,95 
 
 
4) Calcular os Juros pago: 
J = 61.578,95 − 54.000 
J = $ 7.578,95 
Resposta: $ 7.578,95 
 
 
Ex. 14: Foi pego emprestado uma determinada quantia a uma taxa de juros simples de 1,8% a.m. 
Sabendo-se que foi pago $ 23.900; meio ano antes do vencimento e que nesta época a taxa de juros 
simples corrente de mercado era 40% a.a., qual foi o prazo inicial, se os juros previstos montavam em 
$ 12.000? 
 
P = ? 
i1 = 1,8% a.m. n1 = ? 
 V = $ 23.900 
i2 = 40% a.a. n2 = 0,5 ano 
 J = $ 12.000 
Solução: 
1) Traçar o Diagrama de Tempo: 
 
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17 
 
 
2) Calcular o Valor Nominal a partir do Valor Atual: 
N = S = V [1 + (i2) (n2)] 
N = 23.900 [1 + (0,40) (0,5)] 
N = (23.900) (1,20) 
N = $ 28.680 
 
3) Calcular o Capital: S = N = P + J 
28.680 = P + 12.000 
P = $ 16.680 
 
 
4) Calcular o Prazo Inicial: 
Solução 1: .J = P (i) (n)]. 
J = (P) (i1) (n1) 
12.000 = (16.680) (0,018) (n1) 
n1 = 40,0 meses 
Solução 2: .S = N = P [1 + (i) (n)]. 
28.680 = 16.680 [1 + (0,018) (n1)] 
n = 40,0 meses 
Resposta: 40 meses 
P 
$ 23.900 S = N 
0 Data de Venc. Data Atual 
i2 = 40% a.a 
n1 = ? 
n2 = 0,5 ano 
J = $ 12.000 
i1 = 1,8% a.m 
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18 
Ex. 15: Hugo aplicou $ 33.000 à taxa de juros simples de 5% a.b, pelo prazo de cinco quadrimestres. 
Um semestre antes da data de vencimento, Hugo propôs a transferência da aplicação a um primo. 
Quanto deverá ser pago pelo título, se a taxa de juros simples de mercado for de 3% a.m., na ocasião 
da transferência? 
 
P = $ 33.000 i1 = 5% a.b. n1 = 5 quad. 
 V = ? i2 = 3% a.m. n2 = 1 sem. 
 
Solução: 
1) Traçar o Diagrama de Tempo: 
 
 
2) Calcular o Valor Nominal a partir do Capital: .S = N = P [1 + (i) (n)]. 
N = P [1 +(i1) (n1)] 
N = 33.000 [1 + (0,05) (5) (2)] 
N = (33.000) (1,50) 
N = $ 49.500 
 
3) Achar o Valor Descontado a Partir do Valor Nominal: .S = N = V [1 + (i) (n)]. 
N = V [1 +(i2) (n2)] 
49.500 = V [1 + (0,03) (1) (6)] 
49.500 = V (1,18) 
V = $ 41.949,15 
Resposta: $ 41.949,15 
 
P = $ 33.000 
V = ? S = N 
0 Data de Venc. Data Atual 
i2 = 3% a.m. 
n1 = 5 quadr. 
i1 = 5% a.b. 
n2 = 1 sem. 
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Ex. 16: No dia 10 de julho, um devedor assina uma nota promissória de $ 1.000 devida em cinco 
meses com juros simples de 14% a.a. Cinqüenta e três dias antes da data de vencimento, o portador da 
nota vendeu a mesma a um banco que desconta notas a taxa de juros simples de 15% a.a. Achar o 
lucro: a) obtido na venda; e b) que o banco obterá? 
 
P = $ 1.000 i1 = 14% a.a. n1 = 5 meses. 
 i2 = 15% a.a. n2 = 53 dias. 
 Lucro na Venda = ? 
Lucro que o banco obterá = ? 
 
Solução: 
1) Traçar o Diagrama de Tempo 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
2) Calcular o Valor da Dívida na Data de Vencimento: .S = N = P [1 + (i) (n)]. 
N = S = P [1 +(i1) (n1)] 
 N = S = ($ 1.000) [1+ (0,14/ano) (5 meses) (1 ano/12 meses)] 
 N = S = ($ 1.000) (1,0583) 
S = $ 1.058,30 
3) Achar o Valor Descontado a Partir do Valor Nominal: .S = N = V [1 + (i) (n)]. 
N = V [1 +(i2) (n2)] 
 1.058,30 = V [1+ ( 0,15) (53) (1/360)] 
 1.058,30 = V (1,0221) 
V = $ 1.035,42 
 
P = $ 1.000 
S = N 
0 Data de Venc. Data Atual 
i2 = 15% a.a. 
n1 = 5 meses 
i1 = 14% a.a 
n2 = 53 dias 
Lucro que o banco obterá = ? 
Lucro na venda = ? 
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LEMBRETE: 
���� Na prática o ano é comercial. (1 ano = 360 dias) 
 
 
a) Lucro Obtido na Venda = ? 
Lucro Obtido na Venda = $ 1.035,42 − $ 1.000 
Lucro Obtido na Venda = $ 35,42 
Resposta: $ 35,42 
 
b) Lucro que o banco obterá = ? 
Lucro que o banco obterá = 1.058,30 − 1.035,42 
Lucro que o banco obterá = $ 22,88 
Resposta: $ 22,88 
 
 
Ex. 17: Um varejista pegou por dois anos e meio a uma taxa de juros simples uma determinada 
quantia. Sabendo-se que ela pagou $ 7.700; nove meses antes do vencimento, que nesta época a taxa de 
juros simples corrente de mercado era 30% a.s, e que ele pagou de juros $ 3.712,50, qual foi a taxa de 
juros ao mês inicialmente cobrada? 
 
P = ? i1 = ? (a.m.) n1 = 2,5 anos 
V = $ 7.700 
i2 = 30% a.s. n2 = 9 meses 
J (pago) = $ 3.712,50 
Solução: 
1) Traçar o Diagrama de Tempo 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
P 
$ 7.700 
S = N 
0 
 Data Atual 
i2 = 30% a.s 
n1 = 2,5 anos 
i1 = ? 
n2 = 9 meses 
J = $ 3.712,50 
 Data de Vencimento 
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21 
2) Calcular o Capital a partir dos Juros pago: 
7.700 = P + 3.712,50 
P = $ 3.987,50 
 
3) Calcular o Valor Nominal a partir do Valor Atual: 
N = S = V [1 +(i2) (n2)] 
N = 7.700 [1 + (0,30) (9) (1/6)] 
N = $ 11.165 
 
4) Calcular a Taxa de Juros inicial:Solução 1: J = (P) (i1) (n1) 
11.165,50 − 3.987,50 = (3.987,50) (i1) (2,5) (12) 
 7.178,00 .= i1 
(3.987,50) (2,5) (12) 
i1 = 6% 
Solução 2: N = P [1 + (i1) (n1)] 
11.165,50 = 3.987,50 [1 + (i1) (2,5) (12)] 
11.165,50 − 1 = (i1) (2,5) (12) 
 3.987,50 
i1 = 6% 
Resposta: 0,06 ou 6% 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
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EXERCÍCIOS PROPOSTOS: U.A.2 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
FORMULÁRIO 
 
 
S = P + J J = P i n S = P (1 + i n) D = N −−−− V 
 
N = (Vr) (1 + i n) Dr = (Vr) (i) (n) Dr = .N i n Dc = N i n 
 1 + i n 
 
Vc = N (1 −−−− i n) ief = . i S = P (1 + i)n J = P [(1 + i)n −−−− 1] 
 1 − i n 
 
S = R [(1 + i)n −−−− 1] = R (sn┐i) S = R [(1 + i)n −−−− 1] (1 + i) = R (sn┐i ) (1 + i) 
 i i 
 
A = R [1 −−−− (1 + i)−−−− n] = R (an┐i) A = R [1 −−−− (1 + i)−−−− n] (1 + i) = R (an┐i) (1 + i) 
 i i 
 
A = R A = R (1 + i) 
 i i 
 
Cn = . In . −−−− 1 Cac = . In −−−−1 
 In−1 I0 
 
Cac = [(1 + C1) (1 + C2)…(1 + Cn)] −−−− 1 (1 + i) = (1 + r) (1 + θθθθ) 
 
 
 
O uso do formulário abaixo é útil: 
 (1) Para resolver os exercícios propostos, 
 (2) Para desenvolver as questões das avaliações, pois o mesmo será 
anexado as mesmas e 
 
 (3) Porque não serão aceitas as questões nas avaliações em que o 
desenvolvimento foram pelas teclas financeiras de uma calculadora. 
 
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23 
 
Lembrete: 
1- Façam sempre os cálculos usando a calculadora científica que irão usar nas avaliações. 
2- Não será permitido o uso de celular para efetuar as contas nas avaliações. 
3- Os arredondamentos se forem feitos terão que ser no mínimo duas casas decimais. O ideal 
seria usar a memória da calculadora. 
 
 
 
1) Foi aplicado $ 27.000 pelo prazo de três anos e meio a uma taxa de juros simples de 4% a.m. em um 
fundo de investimento. Calcular a rentabilidade efetiva ao trimestre da aplicação se foi pago uma 
alíquota de 15% de Imposto de Renda. 
 
2) Uma loja está vendendo bicicletas por $ 1.500 à vista; mas em duas vezes, (um pagamento na 
compra e o outro pagamento dois meses após a compra) terá que pagar a mais 25% sobre o preço a 
vista. Qual é a taxa efetiva anual de juros simples que está sendo cobrada se o primeiro pagamento 
30% do segundo pagamento? 
 
3) A Casa de Materiais de Construção Summer estão concedendo descontos de 20% no preço para 
pagamentos à vista; e para pagamentos a prazo (em dois pagamentos); um pagamento na entrada no 
valor de 10% do preço e o segundo pagamento 25% superior ao preço; dois bimestres após a compra. 
Calcular a taxa efetiva de juros simples ao semestre cobrada pela Casa. 
 
4) Foi investido $ 45.000 pelo prazo de quinze meses a uma taxa de juros simples de 12% a.t. Se foi 
pago Imposto de Renda e se a rentabilidade efetiva do investimento foi 3% a.m, de quanto foi a 
alíquota do IR? 
 
5) Uma imobiliária está vendendo terrenos à vista por $ 45.000 e a prazo, vende os mesmos terrenos 
por $ 49.000, sendo que $ 13.000 de entrada e o saldo um semestre após a compra. Qual foi a taxa de 
juros simples efetiva mensal cobrada na venda a prazo? 
 
6) De quanto são os descontos no preço à vista concedidos por uma loja de eletrodomésticos; se esta 
mesma loja cobra 50% de juros simples para vendas com prazo de pagamento um ano e a taxa efetiva 
de juros simples é 15% a.m?. 
 
7) Em determinada casa comercial são concedidos descontos de 15% no preço das mercadorias para 
vendas à vista. Esta mesma casa cobra 30% de juros simples para as vendas com prazo de pagamento 
de um trimestre. Quais são as taxas mensais nominal e efetiva? 
 
8) Qual seria o preço à vista de um carro; se a prazo custa $ 37.700, sendo que tem que dar uma certa 
quantia de entrada; pagar uma prestação de $ 31.200 seis meses após a compra; e a taxa efetiva de 
juros simples que está sendo cobrada na venda a prazo é 120% a.a? 
 
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24 
9) Uma dívida de $ 85.000 foi quitada setenta dias antes da data de vencimento a uma certa taxa de 
juros simples. Se o valor pago foi $ 75.000; quanto foi a taxa de juros simples mensal desta operação? 
 
10) Um varejista pegou emprestado uma certa quantia a uma taxa de juros simples de 48% a.s. 
Sabendo-se que o varejista pagou $ 35.700; sete meses antes do vencimento e que nesta época a taxa 
de juros simples corrente de mercado era 9% a.t., qual foi o prazo inicial, se os juros previstos 
montavam em $ 31.000? 
 
11) Um casal pegou emprestado a quantia de $ 33.000 pelo prazo de cinco meses e vinte dias a uma 
taxa de juros simples de 4,5% a.m. Quarenta dias antes do vencimento ela quitou a dívida pagando $ 
37.600. Calcular a taxa de juros mensal corrente do mercado? 
 
12) Foi pego emprestado uma certa quantia pelo prazo de dois anos e oito meses a uma taxa de juros 
simples de 30% a.s. Sabendo-se que foi pago $ 55.400; nove meses antes do vencimento e que nesta 
época a taxa de juros simples corrente de mercado era 6,5% a.m, quanto foi pago de juros? 
 
13) João pegou emprestado uma determinada quantia a uma taxa de juros simples por quatro 
semestres. Sabendo-se que ele pagou $ 15.400; três trimestres antes do vencimento e que nesta época a 
taxa de juros simples corrente de mercado era 60% a.a, qual foi a taxa de juros mensal inicialmente 
cobrada no empréstimo se ele pagou de juros de juros $ 7.425? 
 
14) Ana emprestou $ 25.000 para Bia para ser pago em três semestres e meio. A taxa de juros simples 
ajustada foi de 12% a.t. Quanto poderia aceitar Ana, se cinco meses antes do vencimento da dívida; 
Bia desejasse quitá-la, a uma taxa de juros simples de 21% a.s? 
 
15) Pegou-se uma determinada quantia por quatro trimestres a uma taxa de juros simples. Sabendo-se 
que ela pagou $ 18.000; meio ano antes do vencimento e que nesta época a taxa de juros simples 
corrente de mercado era 42% a.s, qual foi o taxa de juros cobrada na ocasião do empréstimo, se os 
juros previstos montavam em $ 12.500? 
 
 
 
SOLUÇÃO DOS EXERCÍCIOS PROPOSTOS: U.A.2 
 
1) P = $ 27.000 n = 3,5 anos i = 4% a.m. 
 Alíquota de IR = 15% ief.= ? (a.t.) 
Solução: J = P (i) (n) 
J = (27.000) (0,04) (3,5) (12) = $ 45.360 
IR = (0,15) (45.360) = $ 6.804 
Jef = 45.360 – 6.804 = $ 38.556 
38.556 = (27.000) (ief.) (3,5) (4) 
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25 
ief. = 10,20% 
Resposta: 10,20% 
2) Preço à vista = $ 1.500 ief = ? (a.a.) 
Solução: 
Preço a prazo = (1.500) (1,25) = $ 1.875 
 2º pagam. = X 
1º pagam. = 0,3 X 
Preço a Prazo se equivale ao Preço à Vista 
Preço a Prazo = Entrada + Prestações 
1.875 = 0,3 X + X 
 1.875,00 = 1,3 X 
 X = $ 1.442,31 (2º pagam.) (0,3) (1.442,31) = $ 432,69 (1º pagam.) 
 
 
 
 
 
 
 
 
Valor Financiado = Pefet. = 1.500 − 432,69 = $ 1.067,31 
 
 
S = J + P .J = P (i) (n)]. 
$ 1.067,31 
$ 1.442,31 
2 meses 0 
$ 1.500 
$ 432,69 
$ 1.442,31 
2 meses 0 
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26 
1.442,31 − 1.067,31 = (1.067,31) (ief) (2) (1/12) 
 (375) (12) = ief 
(1.067,31) (2) 
ief = 2,1081 = 210,81% 
Resposta: 210,81% 
3) 
Solução: 
Preço Vista = P − 0,2 P = 0,80 P 
E (1º pagam.) = 0,1 P 
2º pagam. = P + 0,25 P = 1,25 P 
Preço a Prazo se equivale ao Preço à Vista 
Preço a Prazo = Entrada + Prestações 
 
.S = P [1 + (i) (n)]. 
1,25 P = (0,80 − 0,1) P [1 + (ief) (2) (1/3) 
1,25 P − 1 = (ief) (2) (1/3) 
0,70 P 
0,7857 = (ief) (2) (1/3) 
ief = 1,1786 = 117,86% 
Resposta: 117,86% 
 
4) P = $ 45.000 prazo = 15 meses i = 12% a.t. 
 Aliquota de IR = X = ? ief = 3% a.m. 
Solução: .J = P (i) (n)]. 
 J = (45.000) (0,12) (15) (1/3) = $ 27.000 
 0,8 P 
1,25 P 
2 Bim. 0 
0,1 P 
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IR = (X) (27.000) = 27.000 X 
27.000 – 27.000 X = (45.000) (0,03) (15) 
27.000 – 27.000 X = 20.250 
27.000 – 20.250 = 27.000 X 
6.750 = 27.000 X 
X = 0,25 = 25% 
Resposta: 25% 
 
 
5) Preço à vista = $ 45.000 
 Preço a prazo = 49.000 
Entrada = $ 13.000 Saldo => 1 semestre após a compra 
ief = ? (a.m.) 
Solução: J = (P) (i) (n) S = P + J 
Valor Financiado = 45.000 − 13.000 = $ 32.000 
Saldo = 49.000 − 13.000 = $ 36.000 
J = 36.000 − 32.000 = 32.000 (ief) (6) 
ief = 2,08% 
Resposta: 2,08% 
 
6) Preço = P Desconto = X = ? 
50% juros simples – pagam/ 1 ano ief = 15% a.m. 
Solução: .S = P [1 + (i) (n)] 
 
Desconto no Preço = X P 
Preço à Vista = P − X P 
Preço a Prazo = P + 0,5 P = 1,5 P 
1,50 P = (P − X P) [1+ (0,15) (1) (12)] 
 P − X P 
1,5 P 
1 ano. 0 
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1,50 P = (1 − X) P (1 + 1,8) 
1,50 = (1 − X) (2,8) 
2,8 X = 2,8 − 1,50 = 1,3 
X = 46,43% 
Resposta: 46,43% 
 
7) Solução: 
Taxa Nominal: 
(30%) = . (30%) . = 10% a.m. 
 1trim. (3 meses) 
Taxa Efetiva: 
Preço = X 
Preço à Vista = X – 0,15 X = 0,85 X 
Preço a Prazo = X + 0,30 X = 1,30 X 
 
 
 
 
 
 
 
J = (P) (i) (n) 
1,3 X − 0,85 X = (0,85 X) (ief) (1) (3) 
. 0,45 X = ief 
(0,85 X) (3) 
ief. = 0,1765 = 17,65% 
Resposta: 10% e 17,65% 
 
8) Preço à vista = P = ? E = ? 
Saldo = $ 31.200 (6 meses após compra) ief = 120% a.a. 
Solução: 
 
 
 0,85 X 
1,3 X 
1 trim. 0 
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Preço a prazo = E + Prestação 
37.700 = E + 31.200 
E = $ 6.500 
.S = P [1 + (i) (n)] 
31.200 = (P − 6.500) [1 + (1,20) (6) (1/12)] 
31.200 = (P − 6.500) (1,6) 
31.200 = (P − 6.500) 
 1,6 
19.500 = P − 6.500 
P = $ 26.000 
Resposta: $ 26.000 
 
9) S = N = $ 85.000 V = $ 75.000 
 n = 70 dias i = ? 
Solução: .S = P [1 + (i) (n)] 
S = N = V [1 + (i) (n) (1/30)] 
85.000 = 75.000 [1 + (i) (70) (1/30)] 
[(85.000/75.00) − 1] (30/70) = i 
i = 5,71% 
Resposta: 5,71% 
 
10) P i1 = 48% a.s. n1 = ? 
V = $ 35.700 n2 = 7 meses i2 = 9% a.t. 
J = $ 31.000 (previstos) 
Solução: .S = P [1 + (i) (n)]. 
 P 
$ 31.200 
6 meses 0 
$ 6.500 
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30 
S = N = V [1 + (i2) (n2)] 
N = 35.700 [1 + (0,09) (7) (1/3)] = $ 43.197 
.S = P + J 
P = 43.197 – 31.000 = $ 12.197 
.J = (P) (i) (n). 
J = (P) (i1) (n1) 
31.000 = (12.197) (0,48) (n1) 
n1 = 5,3 sem 
Resposta: 5,3 sem 
 
11) P = $ 33.000 i1 = 4,5% a.m. n1 = 5 m. e 20 d. = 170 d. 
V = $ 37.600 i2 = ? (a.m.) n2 = 40 d. 
 
Solução: .S = P [1 + (i) (n)]. 
S = N = P [1 + (i1) (n1)] 
N = 33.000 [1 + (0,045) (170) (1/30)] 
N = 33.000 (1 + 0,2550) 
N = (33.000) (12550) = $ 41.415,00 
S = N = V [1 + (i2) (n2)] 
41.415 = 37.600 [1 + (i2) (40) (1/30)] 
41.415 − 1 = (i2) (40) (1/30) 
37.600 
(0,1015) (30) = i2 
 40 
i2 = 0,0761 = 7,61% 
Resposta: 0,0761 ou 7,61% 
 
12) P n1 = 2 anos e 8 meses = 32 meses i1 = 30% a.s. 
V = $ 55.400 n2 = 9 meses i2 = 6,5% a.m. 
J = ? (pagou) 
Solução: .S = P [1 + (i) (n)]. 
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31 
S = N = V [1 + (i2) (n2)] 
 N = 55.400 [1 + (0,065) (9)] = $ 87.809 
S = N = P [1 + (i1) (n1)] 
87.809 = P [1 + (0,30) (32) (1/6)] 
87.809 = P (2,60)] = $ 33.772,69 
 J = 55.400 − 33.772,69 
J = $ 21.627,31 
Resposta: $ 21.627,31 
 
 
13) P n1 = 4 sem. i1 = ? (a.m.) 
V = $ 55.400 n2 = 3 trim. i2 = 60% a.a. 
J = $ 7.245 (pagou) 
Solução: .S = P [1 + (i) (n)]. 
S = N = V [1 + (i2) (n2)] 
N = 15.400 [1 + (0,60) (3) (1/4)] = $ 22.330 
Juros (pagou) = V − P 
7.425 = 15.400 − P 
 P = $ 7.975 
.S = P [1 + (i) (n)]. 
 S = N = P [1 + (i1) (n1)] 
 22.330 = 7.975,00 [1 + (i1) (4) (6)] 
 [22.330 − 1] (1/4) (1/6) = i1 
 7.975 
i1 = 7,50% a.m. 
Ou .J = (P) (i) (n). 
22.330 − 7.975 = 7.975 (i1) (4) (6) 
14.355 = (7.975) (i1) (4) (6) 
i1 = 7,50% a.m. 
Resposta: 7,50% 
 
 
14) P = $ 25.000 n1 = 3,5 sem. i1 = 12% a.t. 
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32 
V = ? n2 = 5 meses i2 = 21% a.s. 
Solução: 
 S = 25.000 [1 + (0,12) (3,5) (2)] = $ 46.000 
 46.000 = V [1 + (0,21) (5) (1/6)] 
46.000 = V (1 + 0,175) 
46.000 = V (1,175) 
V = $ 39.148,94 
Resposta: $ 39.148,94 
 
15) P n1 = 4 trim. i1 = ? 
V = $ 18.000 n2 = 0,5 ano i2 = 42% a.s. 
J = $ 12.500 (inicialm/) 
Solução: .S = P [1 + (i) (n)]. 
S = N = V [1 + (i2) (n2)] 
N = 18.000 [1 + (0,42) (0,5) (2)] = $ 25.560 
.S = N = P + J 
P = 25.560 – 12.500 = $ 13.060 
.J = (P) (i) (n). 
J = (P) (i1) (n1) 
12.500 = 13.060 (i1) (4) 
i1 = 23,93% a.t. 
Resposta: 23,93% a.t. 
 
QUESTÕES DE AVALIAÇÕES ANTERIORES 
1) Um empresário pegou por três anos uma determinada quantia a uma taxa de juros simples de 3% 
a.m. Sabendo-se que ele pagou $ 15.200 dez meses antes do vencimento, e que nesta época a taxa de 
juros simples corrente de mercado era 19,8% a.s, quanto que o empresário pegou emprestado? (AP1: 
2014/1) 
 
P = ? i1 = 3% a.m. n1 = 3 anos 
V = $ 15.200 i2 = 19,8% a.s. n2 = 10 meses 
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33 
Solução: N = S = V [1 +(i) (n)] 
N = S = V [1 +(i2) (n2)] 
N = 15.200 [1 + (0,198) (10) (1/6)] = $ 20.216 
N = S = P [1 +(i1) (n1)] 
20.216 = P [1 + (0,03) (3) (12)] 
P = $ 9.719,23 
Resposta: $ 9.719,23 
 
2) Em determinada loja são concedidos descontos de 20% no preço das mercadorias para vendas à 
vista. Esta mesma casa cobra 40% de juros simples para as vendas com prazo de pagamento de quatro 
meses. Calcular a taxa efetiva mensal cobrada. (AP3: 2014/I) 
 
Solução: 
Preço = X 
Preço à Vista = X – 0,20 X = 0,80 X 
Preço a Prazo = X + 0,40 X = 1,40 X 
J = (P) (i) (n) 
1,4 X − 0,80 X = (0,80 X) (ief) (1) (4) 
. 0,60 = ief 
(0,80)(4) 
ief. = 0,1875 ou 18,75% 
Resposta: 0,1875 ou 18,75% 
 
3) Um tomador de empréstimo pagou por um empréstimo de $ 135.000 de vinte meses uma taxa de 9% 
a.t. de juros simples. Se os juros foram pagos antecipadamente, qual foi taxa de juros simples efetiva 
quadrimestral cobrada no empréstimo? (AD1: 2014/I) 
 
 Pnom. = $ 135.000 n = 20 meses. inom. = 9% a.t. . ief. = ? (a.q.) 
Solução: .J = P (i) (n)]. 
 Jnom = ($ 135.000) (0,09/trim) (20 meses) (1 trim/3 meses) 
Jnom = $ 81.000 
 Pefet. = $ 135.000 − $ 81.000 
Pefet. = $ 54.000 
 .J = P (i) (n)]. 
Jefet = (Pefet) (iefet.) (n) 
 81.000 = (54.000) (iefet.) (20 meses) (1 quad/4 meses) 
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 iefet. = . (81.000) (4) . 
 (54.000) (20) 
ief. = 30% 
Resposta: 30% 
 
4) Luana fez um empréstimo de $ 17.600 pelo prazo de dois anos e meio a uma taxa de juros simples 
de 5% a.m. Se ela pagou a dívida nove meses antes do vencimento, e se a taxa de juros simples 
corrente do mercado foi 13,5% a.t, então, quanto Luana pagou? (AD1: 2014/I) 
 
P = $ 17.600 i1 = 5% a.m. n1 = 2,5 anos 
 V = ? i2 = 13,5% a.t. n2 = 9 meses 
Solução: .S = P [1 + (i) (n)]. 
 N = 17.600 [1 + (0,05) (2,5) (12)] = $ 44.000 
 44.000 = V [1 + (0,135) (9) (1/3)] 
V = 44.000 . 
 1 + (0,135) (9) (1/3) 
V = $ 31.316,73 
Resposta: $ 31.316,73