UA 3 DESCONTO SIMPLES

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UFRRJ/ICSA/DCAC (Notas de Aula - 2014/II) U.A. 3: DESCONTO SIMPLES 
MARCIA REBELLO DA SILVA 
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U.A. 3: DESCONTO SIMPLES 
 
 
 
 
Todos os direitos autorais reservados à 
 MARCIA REBELLO DA SILVA 
 
 
 
 
OBJETIVOS: 
 Ao final desta unidade, você será capaz de: 
 
1- Entender e compreender o conceito de desconto simples; 
2- Entender o conceito de valor nominal, valor atual e prazo de antecipação de um título; 
 
 3- Entender os conceitos envolvendo o desconto racional ou ‟por dentro” e o desconto comercial 
ou ‟por fora” no regime de capitalização simples; 
 
4- Calcular o desconto; o valor nominal e atual; o prazo; e a taxa de juros no desconto simples. 
 
5- Interpretar e resolver os exercícios propostos na Unidade de Aprendizagem 3. 
 
 
 
 
 
 
 
 
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1- INTRODUÇÃO 
O Desconto é o abatimento na prestação de um serviço seja em decorrência da compra de 
grandes quantidades, seja devido a condições especiais de pagamento ou de promoções; nestes casos o 
desconto é uma operação comercial. O Desconto também pode ser associado a uma operação 
financeira neste caso, é realizado com título de crédito. 
Quando o desconto é associado a uma operação financeira é o abatimento no valor declarado de 
um título de crédito devido antecipação do resgate. O detentor do título dirige-se a uma instituição 
financeira e o negocia, recebendo uma importância menor do que receberia se a aguardasse a quitação 
na data de vencimento. 
No mercado financeiro é comum a realização destas operações com base em um valor futuro 
determinado, como o caso de letras de câmbio, cheques pré-datados e outros títulos de crédito. 
 
TÍTULOS DE CRÉDITOS: são instrumentos jurídicos, reconhecido pela legislação em vigor, por 
intermédio do qual o emitente se compromete a efetuar o pagamento da importância nele declarada, na 
data prevista do vencimento. Os títulos de créditos que podem ser descontados a saber são: 
 
 Notas Promissórias: são documentos comuns entre pessoas físicas, podendo também ser 
emitidas por pessoas jurídicas ou em favor de instituições. São títulos de crédito, que correspondem a 
uma promessa de pagamento, em que vão especificados: o valor nominal ou a quantia a ser paga 
(dívida inicial, geralmente acrescida de juros), data de vencimento do título, nome e assinatura do 
devedor, nome do credor e da pessoa que deverá receber a importância a ser paga. 
 
Duplicatas: são emitidas por firmas contra seus clientes (pessoas físicas ou jurídicas) para 
quem venderam mercadorias ou prestaram serviços a prazo. As duplicatas devem constar o aceite do 
cliente, a data de vencimento, o valor nominal, o nome de quem deverá pagar e o nome da pessoa a 
quem deverá pagar. As duplicatas só são legais se forem feita tendo por base a nota fiscal. 
 
Letras de Câmbio: são emitidas por empresas, com aceite de uma sociedade de crédito, 
financiamento e investimento. São colocadas no mercado para captar recursos para serem aplicados no 
próprio mercado em forma de financiamentos, pelos quais são cobrados taxas de juros maiores do que 
aquelas pagas aos portadores das letras de câmbio. As letras de câmbio tem especificados: o valor de 
resgate (valor nominal mais os juros); a data de vencimento do título; e quem deve pagar. 
 Esses títulos sempre tem um valor declarado que é o valor nominal (ou valor de face) que 
representa o valor que deve ser pago na data de vencimento, que também vem declarada. 
Mas, existem outros conceitos que precisamos saber. 
 
 
2- CONCEITOS 
2.1- Valor Nominal 
 Valor Nominal é o valor de ‟face” de um título de crédito ou compromisso com vencimento 
para uma data futura (valor futuro determinado). 
Representamos o valor nominal pela letra N. 
 
 
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2.2- Valor Atual 
 Valor Atual é o valor que um compromisso ou um título de crédito tem em uma data que 
antecede ao seu vencimento, ou seja, é o valor nominal descontado. 
 Representamos o valor atual pela letra V. 
 
 
2.3- Desconto 
Desconto é o valor que se deduz do compromisso ou do título de crédito pela antecipação do seu 
vencimento, isto é, a diferença entre o valor nominal e o seu valor atual (descontado). Adotamos a 
notação D. 
 
.D
 
= N − V. 
 
 
.D
 
= N − V. 
 
 
 
3- CLASSIFICAÇÃO DO DESCONTO. 
Conforme o tipo de taxa com que for calculado, teremos os seguintes descontos: 
● Desconto Racional 
● Desconto Comercial 
 
Em ambos os casos, dependendo do regime de capitalização que vier a ser adotado no cálculo 
do desconto, teremos: 
 
● Desconto Racional Simples 
● Desconto Racional Composto 
● Desconto Comercial Simples 
● Desconto Comercial Composto 
 
Nas operações de mercado, realizadas pelas instituições financeiras, são usados apenas o 
Desconto Comercial Simples e o Desconto Racional Composto. 
P Juros 
N 
0 
Vr 
D 
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3.1- Desconto Racional ou “Por Dentro” 
 O desconto racional, também chamado de desconto real, de desconto verdadeiro ou de desconto 
por dentro, ou a taxa de juros é o desconto que se obtém pelo cálculo do juro simples sobre o valor 
atual, do título que é quitado "n" períodos antes de seu vencimento. 
 
Neste tipo de desconto temos as mesmas relações desenvolvidas no estudo de juros simples, 
mudando apenas a notação. 
 
.Dr = (Vr ) (i) (n)]. 
Onde: 
Dr: Desconto Racional ou Valor do Desconto Racional ou Juros do Título de Crédito. 
Vr: Valor Atual Racional ou Valor Descontado Racional ou Valor Líquido Recebido. 
 
n: Prazo (Diferença entre Data de Vencimento e Data de Resgate) 
i: Taxa de Desconto Racional 
 
.Dr = N − Vr . 
Onde: 
 N: Valor Nominal ou Valor de Face, ou Valor de Emissão 
 
Valor Descontado: é a diferença entre o valor nominal e o desconto: Vr = N – Dr 
 
Como: Dr = Vr i n 
Então: Vr = N – Vr i n 
N = Vr + Vr i n 
Colocando Vr em evidência fica: 
.N = Vr [1 + (i) (n)]. 
Como: Vr = N . 
 1 + (i) (n) 
 
Então: Dr = N – Vr => Dr = N – . N . 
 1 + (i) (n) 
 
 
Dr = (N) (i) (n)[1 + (i) (n)]−1. 
 
Ex. 1: Sabendo-se que o valor nominal de uma duplicata é $ 4.500 vencível em cinco meses, 
descontado à taxa de desconto racional simples de 48% a.a, calcular o valor do desconto e o valor 
descontado. 
 
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 N = $ 4.500 n = 5 meses i = 48% a.a. = 4% a.m. 
 Dr = ? Vr = ? 
Solução: .Dr = (N) (i) (n) [1 + (i) (n)]−1. 
 Dr = ($ 4.500) (0,04/mês) (5 meses) 
 1 + (0,04/mês) (5 meses) 
Dr = $ 900 
 1 + 0,2 
Dr = $ 900 
 1,2 
Dr = $ 750 
 
Solução 1: .Dr = N − Vr . 
 $ 750 = $ 4.500 – Vr 
 Vr = $ 4.500 − $ 750 
Vr = $ 3.750 
Solução 2: .N = Vr [1 + (i) (n)]. 
 4.500 = Vr [1 + (0,04) (5)] 
4.500 = Vr (1 + 0,20) 
4.500 = Vr 
 1,20 
Vr = $ 3.750 
Solução 3: .Dr = (Vr ) (i) (n)]. 
750 = (Vr) (0,04) (5) 
750 ÷ 0,20 = (Vr) 
Vr = $ 3.750 
Resposta: $ 750; e $ 3.750 
Ex. 2: Uma empresa emitiu um título de crédito com vencimento em 18 de novembro. Noventa e três 
dias antes da data do vencimento,o título foi descontado a uma taxa de desconto simples “por dentro” 
igual a 2% a.m. Se o valor líquido recebido na operação de desconto foi $ 6.300, qual foi o valor de 
face? 
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n = 93 dias (Ano Comercial = 360 dias) i = 2% a.m. 
Vr = $ 6.300 N = ? 
Solução: .N = Vr [1 + (i) (n)]. 
 N = $ 6.300 [1 + (0,02/30) (93)] 
N = $ 6.300 (1 + 0,0620) 
N = $ 6.300 (1,0620) 
N = $ 6.690,60 
Solução 2: .Dr = (Vr ) (i) (n)]. .Dr = N − Vr . 
Dr = 6.300 (0,02/30) (93) = $ 390,60 
 N = 390,60 + 6.300 = $ 6.690,60 
Resposta: $ 6.690,60 
Ex. 3: Uma nota promissória de valor de emissão de $ 5.002,50; está sendo descontada a taxa de 
desconto simples verdadeiro de 3,5% a.m. Se o valor atual for $ 4.600, quanto tempo antes da data de 
vencimento está sendo descontada a nota? 
 
N = $ 5.002,50 Vr = $ 4.600 i = 3,5% a.m. n = ? 
Solução 1: .N = Vr [1 + (i) (n)] . 
5.002,50 = 4.600 [1 + (0,035) (n)] 
5.002,50 – 1 = (0,035) (n) 
 4.600 
1,0875 – 1 = (0,035) (n) 
0,0875 = (n) 
 0,035 
n = 2,5 meses 
Solução 2: .Dr = N − Vr . .Dr = (Vr ) (i) (n)]. 
 5.002,50 – 4.600 = (4.600) (0,035) (n) 
 . 402,50 = n 
 (4.600) (0,035) 
 n = 2,5 meses 
Resposta: 2,5 meses 
 
 
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Ex. 4: Uma letra de câmbio de valor de face igual a $ 9.000 foi descontada cinqüenta e cinco dias antes 
da data de vencimento, sendo o desconto simples real no valor de $ 850. Calcular a taxa de desconto 
simples anual. 
 
N = $ 9.000 n = 55 dias Dr = $ 850 i = ? (a.a.) 
Solução 1: .Dr = (N) (i) (n) [1 + (i) (n)]−1. 
 850 = (9.000) (i) (55) 
 1 + (i) (55) 
 850 = 495.000 (i) 
 1 + (i) (55) 
 1 + (i) (55) = (495.000) (i) 
 850 
 1 + (i) (55) = 582,35 (i) 
1 = 582,35 (i) – (55) (i) 
1 = (i) [582,35 – (55)] 
i = 1 . 
 527,35 
i = 0,001896 a.d. = 0,1896% a.d. 
i = (0,1896%) (360) = 68,26% a.a. 
Solução 2: .Dr = (Vr ) (i) (n)]. 
 .Dr = N − Vr. ⇒ Vr = N − Dr 
850 = (9.000 − 850) (i) (55/360) 
 (850) (360) = i 
(8.150) (55) 
i = 0,6872 = 68,27% a.a. 
Resposta: 68,27% a.a. 
 
Ex. 5: Se o valor do desconto simples “por dentro” de um título de crédito for $ 5.600; o valor nominal 
$ 39.000; e a taxa de desconto 18% a.q; quantos meses antes do vencimento foi descontado o título de 
crédito? 
 
N = $ 39.000 n = ? (meses) i = 18% a.q Dr = $ 5.600 
Solução 1: .Dr = (N) (i) (n) [1 + (i) (n)]−1. 
 
5.600 = (39.000) (0,18/4) (n) 
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 1 + (0,18/4) (n) 
1 + (0,18) (n) (1/4) = (39.000) (0,18) (n) (1/4) 
 5.600 
1 + 0,045 n = 0,313 n 
1 = 0,313 n – 0,045 n 
1 = 0,268 n 
n = 3,73 
Solução 2: .Dr = (Vr ) (i) (n)]. 
.Dr = N − Vr. 
 5.600 = (39.000 − 5.600) (0,18/4) (n) 
 (5.600) (4) = n 
(33.400) (0,18) 
n = 3,73 
Resposta: 3,73 
Ex. 6: Se o juro de uma nota promissória for $ 10.640; o valor recebido $ 53.480; e o prazo sessenta e 
sete dias, qual será a taxa de desconto simples racional ao trimestre cobrada? 
 
D = $ 10.640 Vr = $ 53.480 n = 67 dias i = ? (a.t.) 
Solução: .Dr = (Vr ) (i) (n)]. 
 10.640 = (53.480) (i) (67/90) 
i = 26,73% 
Resposta: 26,73% 
Ex. 7: Calcule o valor de face de uma nota promissória que foi descontada cento e vinte dias antes do 
seu vencimento a uma taxa de desconto simples real de 60% a.s, e os juros da nota $ 30.000? 
 
 Juros = D = $ 30.000 (Real ⇒ Racional) 
n = 120 dias i = 60% a.s. 
 N = ? 
Solução 1: 
30.000 = (N) (0,60) (120/180) 
 1 + (0,60) (120/180) 
30.000 = (N) (0,40) 
 1 + 0,40 
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30.000 = (N) (0,40) 
 1,40 
 
(30.000) (1,40) = N 
 0,40 
 
N = $ 105.000 
Solução 2: .Dr = (Vr ) (i) (n)]. .Dr = N − Vr. 
 30.000 = (Vr) ( 0,60) (120/180) 
 (30.000) (180) = Vr 
 (0,60) (120) 
Vr = $ 75.000 
N = $ 30.000 + $ 75.000 
N = $ 105.000 
Resposta: 105.000 
Ex. 8: Duas duplicatas foram descontadas a uma taxa de desconto simples racional de 36% a.s. A 
primeira duplicata foi descontada quatro meses antes do vencimento; e a segunda duplicata foi 
descontada um semestre antes do seu vencimento. Sabendo-se que a soma dos descontos das duas 
duplicatas totalizaram em $ 79.800 e que o desconto da segunda duplicata excedeu o desconto da 
primeira em $ 23.450, qual era soma dos dois valores atuais? 
 
 V1
 
n1
 
= 4 meses 
V2
 
n2
 
= 1 sem = 6 meses. 
 D1 + D2
 
= $ 79.800 D2
 
= $ 23.450 + D1 
 
 
i = 36% a.s = 6% a.m. V1 + V2 = ? 
Solução: 
 D1+ D2
 
= $ 79.800 (1) 
 D2 = $ 23.450 + D1
 (2) 
Sistema com duas equações e duas incógnitas 
 
Substituindo a equação (2) na equação (1) fica: 
Dr1
 
+ 23.450 + Dr1
 
= 79.800 
Dr1
 
= $ 28.175 
.Dr = (Vr ) (i) (n)]. 
28.175 = (Vr1) (0,06) (4) 
Vr1
 
= $ 117.395,83 
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Dr2
 
= 23.450 + D1 = 23.450 + 28.175 
Dr2
 
= $ 51.625 
51.625 = (Vr2) (0,06) (6) 
Vr2
 
= $ 143.402,78 
Vr1
 
+ Vr2
 
= $ 117.395,83 + $ 143.402,78 
Vr1
 
+ Vr2
 
= $ 260.798,61 
Resposta: $ 260.798,61 
Ex. 9: Calcular o valor atual de um título de $ 14.960, sabendo-se que foi descontado nove meses 
antes do vencimento a uma taxa de juros simples de 12% a.t. 
 
i = 12% a.t. n = 9 meses Vr = ? N = $ 14.960 
Solução: .N = Vr [1 + (i) (n)]. Taxa de juros ⇒ Desconto Racional 
14.960 = Vr [1 + (0,12) (9) (1/3)] 
Vr = 14.960 
 1,36 
Vr = $ 11.000 
Resposta: $ 11.000 
Ex. 10: Quanto tempo antes do vencimento foi descontado a uma taxa de desconto simples verdadeiro 
de 10% a.q, um título de crédito cujo valor de face foi (6/4) do seu valor descontado? 
 
 n = ? N = (6/4) (Vr) i = 10% a.q. 
Solução: .N = Vr [1 + (i) (n)]. 
 (6/4) (Vr) = Vr [1 + (0,10) (n)] 
n = 
 
(1 − 1,5) = 0,5 
 0,10 10 
n = 5 quad. 
Resposta: 5 quad. 
Ex. 11: O valor de face de uma duplicata de $ 23.840 que foi descontada "por dentro", cento e sessenta 
e oito dias antes da data de vencimento; o valor descontado foi $ 15.975. Calcular a taxa anual de 
desconto simples usada nesta operação. 
 
 N = $ 23.840 n = 168 dias i = ? (a.a) Vr = $ 15.975 
Solução 1: .N = Vr [1 + (i) (n)]. 
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 23.840 = 15.975 [1 + (i) (168) (1/360)] 
23.840 − 1 = (i) (168) (1/360) 
15.975 
 
 (0,4923) (360) = i 
 168 
i = 1,055 = 105,5% 
 
Solução 2: .Dr = (Vr ) (i) (n)]. 
.Dr = N − Vr. 
 23.840 − 15.975 = (15.975) (i) (168) (1/360) 
i = 105,5% 
Resposta: 105,5% 
Ex. 12: Um comerciante descontou duas duplicatas à taxa de juros simples de 7,5% a.s. A 
primeira duplicata foidescontada nove meses antes do seu vencimento e a segunda cento e 
sessenta dias antes do seu vencimento. O valor de emissão da última duplicata era 50% superior 
que o valor da primeira duplicata. Sabendo-se que os valores do dois descontos somaram $ 
382,50, qual o valor emissão da duplicata que produziu o maior desconto? 
 
N1
 
n1
 
= 9 meses 
N2
 
n2
 
= 160 dias 
N2 = 1,5 N1
 
Dr1 + Dr2 = $ 382,50 
N = ? (produziu maior desconto) 
 
Solução: Desconto à Taxa de Juros => Desconto Racional 
 Dr1 = N1
 
(0,075) (9) (1/6) 
 1 + (0,075) (9) (1/6) 
 
Dr1
 
= 0,1011N1
 
 
 
 Dr2
 
= N2
 
(0,075) (160) (1/180) 
1 + (0,075) (160) (1/180) 
 
Dr2
 
= 0,0625 N2
 
 
Como: N2 = 1,5 N1
 
(0,0625) (1,5) = 0,0938 ⇒ 0,0938 < 0,1011 
⇒ Dr2 < Dr1
 
 
Resolvendo a equação em função de N1, fica: 
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 0,1011 N1
 
+ 0,0625 N2
 
= 382,50 
 0,1011 N1
 
+ (0,0625) (1,5) N1
 
= 382,50 
N1 = $ 1.963,05 
Resposta: $ 1.963,05 
 
 
3.2- Desconto Comercial ou “Por Fora” 
É o desconto que se obtém pelo cálculo do juro simples sobre o valor nominal do título que seja 
quitado "n" períodos antes do seu vencimento. 
 
.Dc = (N) (i) (n)]. 
.Dc = N – Vc . 
.Vc = N [1 – (i) (n)] . 
Onde: 
Dc: Desconto Comercial, ou Valor do Desconto Comercial, ou Juros do Título de Crédito 
 
Vc: Valor Atual Comercial, ou Valor Descontado Comercial, ou Valor Líquído Comercial 
Recebido. 
 
N: Valor Nominal ou Valor de Face, ou Valor de Emissão (Valor na Data de Vencimento) 
 
n: Prazo antes do vencimento que foi descontado o título de crédito 
 
i : Taxa de Desconto Simples Comercial 
 
 
 
NOTA: 
���� Em regime de capitalização simples, isto é, quando se trata de desconto simples, se 
não estiver explícito no problema se o desconto é comercial ou racional, será sempre comercial, 
pois é este desconto que acontece na prática. 
 
 
 
 
 
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NOTA: 
���� O desconto comercial por ser o mais utilizado pelos bancos para o cálculo da 
remuneração do capital, no regime de capitalização simples, muitos autores denominam 
também de desconto bancário. 
 
 
 
Ex. 13: Uma letra de câmbio de $ 7.000 foi descontada quarenta e oito dias antes da data do 
vencimento a uma taxa de desconto simples comercial de 6% a.t. Determinar os juros da letra de 
câmbio e o valor descontado. 
 
 N = $ 7.000 n = 48 dias Jc = Dc = ? Vc = ? 
 i = 6% a.t. 
Solução: .Dc = (N) (i) (n)]. 
 Dc = ($ 7.000) (0,06/trim) (48 dias) (1 trim/90 dias) 
Dc = $ 224 
Solução 1: .Dc = N – Vc. 
 $ 224 = $ 7.000 – Vc 
Vc = $ 6.776 
Solução 2: .Vc = N [1 – (i) (n)]. 
 Vc = 7.000 [1– (0,06) (48/90)] 
Vc = 7.000 (1– 0,032) 
Vc = 7.000 (0,9680) 
Vc = $ 6.776 
Resposta: $ 6.776 
Ex. 14: Calcular o valor de face de uma duplicata que foi descontada oitenta e dois dias antes do seu 
vencimento, sabendo-se que o desconto foi $ 964 e a taxa de desconto simples “por fora” foi 36% a.a. 
 
 n = 82 dias i = 36% a.a. N = ? D = $ 964 
Solução: .Dc = (N) (i) (n)]. 
 964 = N (0,36/360) (82) 
 964 = N (0,082) 
N = $ 11.756,10 
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14 
Resposta: $ 11.756,10 
Ex. 15: Uma duplicata de valor nominal de $ 17.500 foi descontada a taxa de desconto simples no 
valor de 13,95% a.t. Se o desconto foi $ 2.460; quantos dias antes do vencimento foi descontada a 
duplicata? 
 
N = $ 17.500 i = 13,95% a.t n
 
= ? Dc = $ 2.460 
Solução: .Dc = (N) (i) (n)]. 
 2.460 = (17.500) (0,1395) (n) (1/90) 
 (2.460,00) (90) = n 
(17.500) (0,1395) 
n = 91 
Resposta: 91 
 
 
LEMBRETE: 
���� Como não foi explícito no problema se é desconto comercial ou desconto racional, 
portanto, na prática em se tratando de desconto simples será sempre o desconto comercial. 
 
 
Ex. 16: Uma nota promissória de valor de emissão de $ 47.800 foi descontada quatro meses e dez dias 
antes do seu vencimento. Se o valor de resgate foi $ 42.900, qual a taxa de desconto simples comercial 
anual usada nesta operação? 
 
N = $ 47.800 n = 4 meses e 10 dias = (4) (30) + 10 = 130 dias 
Vc = $ 42.900 i = ? (a.a) 
Solução 1: .Vc = N [1 – (i) (n)]. 
 42.900 = 47.800 [1 – (i) (130) (1/360)]
. 
42.900 = [1 – (i) (130) (1/360)]
.
 
47.800 
0,8975 = 1 – (i) (130) (1/360) 
(i) (130) (1/360) = 1 – 0,8975 
i = 0,2838 = 28,4% 
 
Solução 2: .Dc = (N) (i) (n)]. 
UFRRJ/ICSA/DCAC (Notas de Aula - 2014/II) U.A. 3: DESCONTO SIMPLES 
MARCIA REBELLO DA SILVA 
15 
.Dc = N – Vc. 
 47.800 – 42.900 = (47.800) (i) (130) (1/360) 
 4.900 = (i) (130) (1/360) 
47.800 
0,1025 = (i) (130) (1/360) 
i = 0,2839 = 28,4% 
Resposta: 28,4% 
Ex. 17: Uma empresa emitiu uma nota promissória de valor de face $ 11.470, que foi descontado a 
uma taxa de desconto simples comercial de 3,75% a.m. Calcule o valor atual e o desconto, sabendo-se 
que a nota foi descontada cento e quarenta e quatro dias antes do seu vencimento. 
 
N = $ 11.470 n = 145 dias i = 3,75% a.m 
Vc = ? Dc = ? 
Solução: .Vc = N [1 – (i) (n)]. 
 Vc = 11.470 [1 − (0,0375) (144) (1/30)] 
Vc = $ 9.405,40 
 .Dc = N – Vc. 
Dc = 11.470 − 9.405,40 
Dc = $ 2.064,60 
 .Dc = (N) (i) (n)]. 
Dc = (11.470) (0,0375) (144) (1/30) 
Dc = $ 2.064,60 
Resposta: $ 2.064,60 
 
Ex. 18: Duas notas promissórias, com valores de face $ 6.500 e $ 13.240, vencíveis em cinco meses; e 
dez bimestres, respectivamente, sofreram desconto simples "por fora", gerando um total de $ 7.800, 
correspondente à soma dos seus juros. Calcular a taxa de desconto? 
 
N1 = $ 6.500 n1 = 5 meses 
N2 = $ 13.240 n2 = 10 bim. = 20 meses 
Dc1 + Dc2 = $ 7.800 i = ? 
Solução: .Dc = (N) (i) (n)]. 
 (6.500) (i) (5) + (13.240) (i) (20) = 7.800 
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16 
 (32.500) (i) + (264.800) (i) = 7.800 
i = . 7.800 . 
 297.300 
i = 0,0262 = 2,62% a.m 
Resposta: 0,0262 ou 2,62% 
Ex. 19: Calcular o valor de face de uma duplicata que foi descontada oitenta e dois dias antes do seu 
vencimento, sabendo-se que o desconto foi $ 964 e a taxa de desconto simples foi 36% a.a. 
 
 n = 82 dias i = 36% a.a. N = ? D = $ 964 
Solução: .Dc = (N) (i) (n)]. 
 
LEMBRETE: 
���� Como não foi explícito no problema se é desconto comercial ou desconto racional, 
portanto, na prática em se tratando de desconto simples será sempre o desconto comercial. 
 
 
 $ 964,00 = N (0,36 / ano) (82 dias) (1 ano/360 dias) 
 $ 964,00 = N (0,082) 
N = $ 11.756,10 
Resposta: $ 11.756,10 
Ex. 20: Quantos trimestres antes do vencimento; foi descontado um título de valor nominal de $ 
11.500; a uma taxa de desconto simples “por fora” de 26,09% a.s, recebendo após o desconto o valor 
líquido de $ 10.000. 
 
Vc = $ 10.000 N = $ 11.500 i = 26,09% a.s. n = ? (trim.) 
Solução 1: .Dc = N – Vc. .Dc = (N) (i) (n)]. 
$ 11.500 – $ 10.000 = ($ 11.500) (0,2609) (1 sem) (n) 
 sem. 2 trim.. ($ 1.500) (2 trim) = n 
 ($ 11.500) (0,2609) 
 n = 1 trim. 
Solução 2: .Vc = N [1 – (i) (n)]. 
 $ 10.000 = $ 11.500 [1 – (0,2609/sem) (n)] 
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17 
 $ 10.000 = 1 – (0,2609/sem) (n) 
$ 11.500 
0,8696 – 1 = – (0,2609/sem) (n)] 
 – 0,1304 sem = – n 
 0,2609 
– n ≅ – 0,50 sem 
Multiplicando por menos um fica: 
n ≅≅≅≅ 0,50 sem. 
Prazo = (0,50 sem) (2 trim) = 1 trim 
 1 sem 
Resposta: 1,0 
Ex. 21: Calcule o desconto simples racional sofrido por um título de crédito que foi resgatado 
cinco meses antes de seu vencimento, a uma taxa de 96% a.a, se este mesmo título de crédito 
tivesse sofrido um desconto simples comercial cujo valor do desconto teria sido de $ 8.500. 
 Dr
 
= ? Dc = $ 8.500 n = 5 meses i = 96% a.a. = 8% a.m. 
Solução: .Dc = (N) (i) (n)]. 
 8.500 = N (0,08) (5) 
 N = $ 21.250 
 .Dr = (N) (i) (n) [1 + (i) (n)]−1. 
Dr
 
= (21.250) (0,08) (5) 
 1 + (0,08) (5) 
Dr
 
= . 8.500 . 
 1 + 0,40 
Dr
 
= 8.500 
 1,40 
Dr
 
= $ 6.071,43 
Resposta: $ 6.071,43 
Ex. 22: O valor descontado simples de uma duplicata é igual a (2/5) de seu valor emissão. Qual será a 
taxa de desconto anual “por fora”, se o prazo de antecipação for de seis meses? 
 
 Vc = (2/5) N n = 6 meses i = ? (a.a.) 
Solução: .Vc = N [1 – (i) (n)]. 
 (2/5) N = N [1 – (i) (6/12)] 
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18 
 0,4 = 1 – (6/12) (i) (meses) 
i = 1,2 a.a. = 120% a.a 
Resposta: 120% 
Ex. 23: Uma nota promissória no valor nominal de $ 50.000 vence no dia 30 de abril. Uma negociação 
para resgatá-la no dia 10 de abril, a uma taxa de desconto comercial simples de 4,5% ao mês, 
implicaria num desembolso de: 
 
N = $ 50.000 n = 20 dias i = 4,5% a.m. Vc = ? 
Solução: .Vc = N [1 – (i) (n)]. 
 Vc = 50.000 [1 − (0,045) (20) (1/30)] 
Vc = 50.000 (1 − 0,030) 
Vc = 50.000 (0,97) 
Vc = $ 48.500 
Resposta: $ 48.500 
Ex. 24: Um título de crédito de valor face de $ 51.700 sofreu um desconto simples a uma taxa de 36% 
a.s. Se o valor atual foi $ 30.650, quantos meses antes da data de vencimento foi descontado o título de 
crédito? 
 
N = $ 51.700 Vc = $ 30.650 i = 36% a.s. n = ? (meses) 
 
 
LEMBRETE: 
���� Como não foi explícito no problema se é desconto comercial ou desconto racional, 
portanto, na prática em se tratando de desconto simples será sempre o desconto comercial. 
 
 
Solução 1: .Vc = N [1 – (i) (n)]. 
30.650 = (51.700) [1 − (0,36) (1/6) (n)] 
30.650 = 1 − (0,36) (1/6) (n) 
51.700 
n = (1 − 0,59280) (6) (1/0,36) 
n = 6,79 meses 
Solução 2: .Dc = N – Vc. .Dc = (N) (i) (n)]. 
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19 
 51.700 − 30.650 = (51.700) (0,36) (n) 
. 21.050 = n 
 (51.700) (0,36) 
n = 1,1310 sem. 
Prazo = (1,1310 sem) (6 meses/1 sem.) = 6,79 
Resposta: 6,79 
Ex. 25: Dois títulos, um vencível em setenta dias e o outro em cento e dez dias são descontados “por 
fora” a taxa de desconto simples de 4,5% a.m. Quais são os valores de face, dado que somam $ 7.500; 
e que seus valores descontados totalizam $ 6.400? 
 
n1 = 70 dias n2 = 110 dias i = 4,5% a.m. 
N1 + N2 = $ 7.500 V1 + V2 = $ 6.400 
N1 = ? N2 = ? 
Solução: .Vc = N [1 – (i) (n)]. 
N1 [1 – (i) (n1)] + N2 [1 – (i) (n2)] = 6.400 
N1 [1 – (0,045) (70/30)] + N2 [1 – (0,045) (110/30)] = 6.400 
N1 (0,90) + N2 (0,84) = 6.400 
Como: N2 = $ 7.500 – N1 
N1 (0,90) + (7.500 – N1) (0,84) = 6.400 
0,90 N1 – 0,84 N1 = 6.400 − 6.300 
 N1 = $ 1.666,67 
N2 = 7.500 − 1.666,67 
N2 = $ 5.833,33 
Resposta: $ 1.666,67 e $ 5.833,33 
Ex. 26: Determinar a taxa de desconto simples comercial mensal de uma letra de câmbio; de valor de 
vencimento igual a $ 18.000 e que foi descontada em um banco, cento e trinta e três dias antes de seu 
vencimento; sendo o valor do desconto $ 4.765. 
 
 N = $ 18.000 Vencimento: 15/09 Dc = $ 4.765 i = ? (ao mês) 
Solução: .Dc = (N) (i) (n)]. 
 $ 4.765 = $ 18.000 (i) (133 dias) (1 mês/30 dias) 
 $ 4.765 = $ 79.800 (i) (mês) 
i = 0,0597 a.m = 5,97% a.m. 
UFRRJ/ICSA/DCAC (Notas de Aula - 2014/II) U.A. 3: DESCONTO SIMPLES 
MARCIA REBELLO DA SILVA 
20 
Resposta: 0,0597 a.m = 5,97% a.m. 
Ex. 27: Quanto devo receber pelo resgate de três títulos de crédito de $ 50.000 cada título, 
sabendo que a taxa de desconto simples “por fora” é 6% a.m; e que os títulos vencerão, 
respectivamente, dentro de dez dias; vinte e cinco dias e cinquenta dias? 
 
 
N1 = N2 = N3
 
= $ 50.000 
 n1 = 10 dias n2 = 25 dias n3 = 50 dias 
i = 6% a.m. 
VcT = Vc1 + Vc2 + Vc3 = ? 
Solução: .Dc = (N) (i) (n)]. .Dc = N – Vc. 
 VcT = N1 − (N1) (i) (n1) + N2 − (N2) (i) (n2) + N3 − (N3) (i) (n3) 
Como: 
N1 = N2 = N3 = $ 50.000 
E colocando N em evidência 
 VcT = (3) (N) − [(N1) (i) (n1) + (N2) (i) (n2) + (N3) (i) (n3)] 
VcT = 150.000 − [(50.000) (0,06) (10/30) + (50.000) (0,06) (25/30) + (50.000) (0,06) (50/30)] 
VcT = $ 141.500 
Resposta: $141.500 
Ex. 28: Duas letras de câmbio com valores de emissão de $ 40.000 e $ 60.000; vencíveis em meio ano, 
e dez meses, respectivamente, sofreram desconto simples, gerando um total de $ 80.000, 
correspondente à soma dos seus valores atuais. Qual foi a taxa de desconto referente a esta operação? 
 
N1 = $ 40.000 n1 = 0,5 ano = 6 meses 
N2 = $ 60.000 n2 = 10 meses 
V1 + V2 = $ 80.000 i = ? 
 
 
LEMBRETE: 
���� Como não foi explícito no problema se é desconto comercial ou desconto racional, 
portanto, na prática em se tratando de desconto simples será sempre o desconto comercial. 
 
 
Solução: .Vc = N [1 – (i) (n)]. 
 
 
 N1
 
[1 − (i) (n1)] + N2
 
[1 − (i) (n2)] = 75.000 
 40.000 [1 − (i) (6)] + 60.000
 
[1 − (i) (10)] = 80.000 
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21 
Dividindo a equação por 40.000 fica: 
 1− 6 (i) + (1,5)
 
[1 − (i) (10)] = 2 
1− 6 (i) + 1,5 − 15 (i) = 2 
2,5 − 2,0 = 21 (i) 
i = 0,5/21 
i = 0,0238 a.m. = 2,38% a.m. 
Resposta: 2,38% a.m. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
UFRRJ/ICSA/DCAC (Notas de Aula - 2014/II) U.A. 3: DESCONTO SIMPLES 
MARCIA REBELLO DA SILVA 
22 
EXERCÍCIOS PROPOSTOS: U.A.3 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
FORMULÁRIO 
 
 
S = P + J J = P i n S = P (1 + i n) D = N −−−− V 
 
N = (Vr) (1 + i n) Dr = (Vr) (i) (n) Dr = .N i n Dc = N i n 
 1 + i n 
 
Vc = N (1 −−−− i n) ief = . i S = P (1 + i)n J = P [(1 + i)n −−−− 1] 
 1 − i n 
 
S = R [(1 + i)n −−−− 1] = R (sn┐i) S = R [(1 + i)n −−−− 1] (1 + i) = R (sn┐i ) (1 + i) 
 i i 
 
A = R [1 −−−− (1 + i)−−−− n] = R (an┐i) A = R [1 −−−− (1 + i)−−−− n] (1 + i) = R (an┐i) (1 + i) 
 i i 
 
A = R A = R (1 + i) 
 i i 
 
Cn = . In .−−−− 1 Cac = . In −−−−1 
 In−1 I0 
 
Cac = [(1 + C1) (1 + C2)…(1 + Cn)] −−−− 1 (1 + i) = (1 + r) (1 + θθθθ) 
 
 
 
O uso do formulário abaixo é útil: 
 (1) Para resolver os exercícios propostos, 
 (2) Para desenvolver as questões das avaliações, pois o mesmo será 
anexado as mesmas e 
 
 (3) Porque não serão aceitas as questões nas avaliações em que o 
desenvolvimento foram pelas teclas financeiras de uma calculadora. 
 
UFRRJ/ICSA/DCAC (Notas de Aula - 2014/II) U.A. 3: DESCONTO SIMPLES 
MARCIA REBELLO DA SILVA 
23 
Lembrete: 
1- Façam sempre os cálculos usando a calculadora científica que irão usar nas avaliações. 
2- Não será permitido o uso de celular para efetuar as contas nas avaliações. 
3- Os arredondamentos se forem feitos terão que ser no mínimo duas casas decimais. O ideal 
seria usar a memória da calculadora. 
 
 
 
1) Um investidor resgatou uma letra de câmbio dois bimestres antes do vencimento a uma taxa de 
desconto simples verdadeiro de 9% a.t, o valor recebido nesta operação foi de $ 6.000. Pergunta-se: a) 
O valor do desconto, b) o valor de emissão da letra. 
 
2) Se o valor de face de uma nota promissória é de $ 300.000 descontada quatro meses e dez dias antes 
de seu vencimento, a uma taxa de 63% a.t, qual foi o desconto simples racional? 
 
3) Os juros de um título de crédito foi de $ 10.640. Se o título foi descontado sessenta e sete dias antes 
do vencimento, e o valor recebido foi $ 53.480, qual foi a taxa de desconto simples “por dentro” 
mensal cobrada? 
 
4) Quantos dias antes do vencimento foi descontada uma letra de câmbio de valor nominal igual a $ 
8.070; o desconto $ 2.500; e a taxa de desconto simples real 72% a.a. 
 
5) Uma empresa emitiu uma nota promissória valor nominal de $ 23.400. No dia dois de março de 
2013 descontou-a em uma instituição financeira, quarenta e cinco dias antes do vencimento, sendo o 
valor do desconto simples real de $ 3.750. Calcule a taxa de desconto mensal. 
 
6) Uma letra de câmbio foi descontada cento e quarenta e quatro dias antes do vencimento a uma taxa 
de desconto simples comercial de 3,75% a.m. Se o valor atual foi $ 9.405,40, qual foi o valor de 
emissão? 
 
7) Uma empresa emitiu uma nota promissória de valor nominal de $ 11.470 que foi descontada a uma 
taxa de desconto simples “por fora” de 4% a.m., cento e vinte dias antes do seu vencimento. Calcule o 
valor descontado e o juros 
 
8) Sabendo-se que uma letra de câmbio de valor de face de $ 9.600 foi descontada antes do seu 
vencimento a uma taxa de desconto simples de 30% a.a, e que o valor descontado foi $ 7.680; 
pergunta-se: quantos bimestres antes do vencimento foi descontada esta duplicata? 
 
9) O possuidor de uma duplicata de valor nominal de $ 2.436 descontou-a em um banco à taxa de 
desconto “por fora” de 0,5% a.m, faltando três trimestres para o seu vencimento. Calcular o valor 
líquido recebido se o regime de capitalização era simples. 
 
UFRRJ/ICSA/DCAC (Notas de Aula - 2014/II) U.A. 3: DESCONTO SIMPLES 
MARCIA REBELLO DA SILVA 
24 
10) Uma duplicata de valor de face de $ 5.000 foi resgatada dois meses antes de seu vencimento, a 
uma taxa de desconto simples comercial de 20% a.a, sendo que (2/3) do valor descontado foi aplicado 
por seis meses, a juros simples de 6,25% a.t. Qual foi o rendimento da aplicação? 
 
11) José descontou duas duplicatas em um banco no regime de juros simples “por fora” a uma taxa de 
15% a.a. O primeiro título de crédito vencia em 160 dias e o segundo em 270 dias, sendo que o 
primeiro título o valor nominal era 50% superior ao valor nominal do segundo título. Sabendo-se que 
os valores dos descontos dos dois títulos somaram $ 382,50, qual o valor nominal do título de crédito 
que produziu o maior desconto? 
 
12) Duas duplicatas, com valores nominais de $ 50.000 e $ 75.000 e vencíveis em três trimestres e 
quinze meses; respectivamente, sofreram desconto simples, gerando um total de $ 80.000, 
correspondente à soma de seus valores atuais. Qual a taxa de desconto referente a esta operação? 
 
13) Uma duplicata de valor de emissão de $ 17.500 foi descontada a taxa de desconto simples 
comercial de 9% a.t, sendo o desconto de $ 2.460, quantos dias antes do vencimento foi descontada a 
duplicata? 
 
14) Duas duplicatas, com valores de face de $ 4.000 e $ 2.000 vencíveis em oito meses; cinco 
bimestres respectivamente, sofreram desconto simples "por fora" gerando um total de $ 1.000, 
correspondendo a soma dos seus descontos. Calcule a taxa de desconto. 
 
15) Um título, no valor nominal de $ 80.000 foi pago três meses de antecedência, sofrendo um 
desconto simples de $ 1.500. A taxa anual de desconto foi: 
 
 
 
 SOLUÇÃO DOS EXERCÍCIOS PROPOSTOS: U.A.3 
 
 
1) Vr = $ 6.000 n = 4 m. i = 3% a.m. 
Dr = ? N = ? 
a) Solução: Dr = N i n 
 Dr = (6.000) (0,03) (4) 
Dr = $ 720 
Resposta: $ 720 
 
b) Solução 1: N = Vr + Dr 
 N = 6.000 + 720 
N = $ 6.720 
 Solução 2: N = Vr ( 1 + i n) 
UFRRJ/ICSA/DCAC (Notas de Aula - 2014/II) U.A. 3: DESCONTO SIMPLES 
MARCIA REBELLO DA SILVA 
25 
 N = 6.000 [1 + (0,03) (4)] 
N = $ 6.720 
Resposta: $ 6.720 
2) N = $ 300.000 n = 130 dias i = 63% a.t. Dr = ? 
Solução: Dr = N i n (1 + i n)-1 
 Dr = (300.000) (0,63) (130/90) 
 1 + (0,63) (130/90) 
Dr = $ 142.931,94 
Resposta: $ 142.931,94 
 
3) J = D = $ 10.640 (“por dentro” => Dr) n = 67 dias Vr = $ 53.480 
 i = ? (a.m.) 
Solução: Dr = Vr i n 
 10.640 = (53.480) (i) (67) 
i = 0,2969% a.d. 
 i = (0,2969% a.d.) (30) = 8,91% a.m. 
Resposta: 8,91% a.m. 
 
 
4) n = ? (dias) N = $ 8.070,00 i = 72% a.a. Dr = $ 2.500 
Solução 1: Dr = Vr i n Dr = N − Vr 
 2.500,00 = (8.070,00 − 2.500,00) (0,72/360) (n) 
 n = 224 
Solução 2: Dr = N i n (1 + i n)−1 
 2.500,00 = (8.070,00) (0,72/360) (n) 
 1 + (0,72/360) (n) 
 
2.500,00 [1 + (0,72/360) (n)] = (8.070,00) (0,72/360) (n) 
n ≈ 224 
Resposta: 224 
 
5) N = $ 23.400 n = 45 dias Dr = $ 4.220 i = ? (a.m.) 
Solução 1: Dr = N i n (1 + i n)−1 
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26 
 3.750 = (23.400) (i) (45/30) 
 1 + (i) (45/30) 
 1 + 1,5 (i) = 9,36 (i) 
i = 12,72% 
Solução 2: Dr = (Vr) (i) (n) Dr = N − Vr 
 3.750 = (23.400 − 3.750) (i) (45/30) 
i = 12,72% 
Resposta: 12,72% 
6) Vc = $ 9.405,40 i = 3,75% a.m. n = 144 dias N = ? 
Solução: Vc = N [1 − (i) (n)] 
 9.405,40 = N [1 − (0,0375) (144) (1/30)] 
N = $ 11.470 
Resposta: $ 11.470 
7) N = $ 11.470 n = 120 dias i = 4% a.m. 
Vc = ? Dc = ? 
Solução: Vc = N [1 − (i) (n)] 
 Vc = 11.470 [1 − (0,04) (120) (1/30)] 
Vc = $ 9.634,80 
 D = N − V 
Dc = 11.470 − 9.634,80 
Dc = $ 1.835,20 
Dc = N i n 
Dc = (11.470) (0,04) (120) (1/30) 
Dc = $ 1.835,20 
Resposta: $ 1.835,20 
8) N = $ 9.600 n = ? (bim) i = 30% a.a. Vc = $ 7.680 
Solução: Vc = N [1 − (i) (n)] (não diz nada => comercial no reg. cap. simples) 
 7.680 = 9.600 [1 − (0,30/6)(n)] 
n = 4 
Resposta: 4 
 
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27 
9) N = $ 2.436 i = 0,5% a.m n = 3 trim. Vc = ? 
Solução: Vc = N [1 − (i) (n)] 
 Vc = 2.436 [1 − (0,005) (3) (3)] 
 Vc = $ 2.326,38 
Resposta: $ 2.326,38 
10) N = $ 5.000 i = 20% a.a. n = 2 meses(2/3) (Vc) = P i = 6,25% a.t. n = 6 meses J = ? 
Solução: Vc = N [1 − (i) (n)] 
 Vc = 5.000 [1 − (0,20) (2) (1/12)] 
Vc = $ 4.833,33 
 J = P i n 
P = (2/3) (4.833,33) = $ 3.222,22 
 J = (3.222,22) (6) (0,0625)(1/3) 
J = $ 402,78 
Resposta: $ 402,78 
11) N1 n1 = 160 dias N2 n2 = 270 dias 
 N1 = N2 + 0,5 N2 = 1,5 N2 
Dc1 + Dc2 = $ 382,50 i = 15% a.a. 
Solução: Dc = N i n 
 Dc1 + Dc2 = N1 n1 + N2 n2 = $ 382,50 
 1,5 N2 n1 + N2 n2 = $ 382,50 
 1,5 N2 (0,15)(160/360) + N2 (0,15)(270/360) = 382,50 
N2 = $ 1.800 
Como: Dc2 = N2 n2 
 Dc2 = 1.800 (0,15)(270/360) 
Dc2 = $ 202,50 => Dc2 > Dc1 
N2 = $ 1.800 
Resposta: $ 1.800 
12) N1 = $ 50.000 n1 = 3 trim. = 9 meses 
N2 = $ 75.000 n2 = 15 meses 
Vc1 + Vc2 = $ 80.000 i = ? 
Solução: Vc = N [1 − (i) (n)] 
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28 
 N1 [1 − (i) (n1) + N2 (1 − (i) (n2) = $ 80.000 
50.000 [1 − (i) (9)] + 75.000 [1 − (i) (15)] = 80.000 
Dividindo a equação por 10.000 fica: 
5 [1 − 9 (i)] + 7,5 [1 − 15 (i)] = 8 
5 − 45 (i) + 7,5 − 112,50 (i) = 8 
 5 + 7,5 − 8 = 45 (i) + 112,50 (i) 
4,5 = 157,5 (i) 
i = 0,0286 a.m. = 2,86% a.m. 
Resposta: 2,86% a.m. 
13) N = $ 17.500 i = 9% a.t. Dc = $ 2.460,00 n = ? (dias) 
Solução: Dc = N i n 
 2.460 = (17.500) (0,09) (n) (1/90) 
n = 140,57 ≈ 141 
Resposta: 141 
14) N1 = $ 4.000 n1 = 8 meses 
N2 = $ 2.000 n2 = 5 bim. = 10 meses 
 Dc1 + Dc2 = $ 1.000 i = ? (a.a.) 
Solução: Dc = N i n 
N1 n1 + N2 n2 = 1.000 
 4.000 (i) (8) + 2.000 (i) (10) = 1.000 
 32.000 (i) + 20.000 (i) = 1.000 
32 (i) + 20 (i) = 1 
i = 1,92% a.m. 
Resposta: 1,92% a.m. 
15) N = $ 80.000 Dc = $ 1.500 i = ? (a.a) n = 3 meses 
Solução: Dc = N i n 
 1.500,00 = 80.000,00 (i) (3/12) 
i = 7,5% 
Resposta: 7,5% 
 
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QUESTÕES DE AVALIAÇÕES ANTERIORES 
1) Uma duplicata de valor de face de $ 32.100 foi descontada nove meses antes do seu vencimento. Se 
o valor de resgate foi $ 28.400; qual foi a taxa de desconto simples comercial ao semestre usada nesta 
operação? (AP1/2014/I) 
 
N = $ 32.100 n = 9 meses 
Vc = $ 28.400 i = ? (a.s) 
Solução 1: .Vc = N [1 – (i) (n)]. 
 28.400 = 32.100 [1 – (i) (9) (1/6)]
. 
[1 − 28.400] (6/9) = i 
 32.100 
i = 7,68% 
 
Solução 2: .Dc = (N) (i) (n)]. 
.Dc = N – Vc. 
 32.100 – 28.400 = (32.100) (i) (9) (1/6) 
 [ 3.700 ] (6/9) = (i) 
 32.100 
i = 7,68% 
Resposta: 0,0768 ou 7,68% 
 
2) Uma firma emitiu uma duplicata de valor de face $ 23.500, que foi descontado a uma taxa de 
desconto simples comercial de 3% a.b. Calcule o valor descontado, sabendo que a duplicata foi 
descontada cinco meses antes do seu vencimento. (AP3/2014/I) 
 
N = $ 23.500 n = 5 meses i = 3% a.b. Vc = ? 
Solução: .Vc = N [1 – (i) (n)]. 
 Vc = 23.500 [1 − (0,03) (5) (1/2)] 
Vc = $ 21.737,50 
Resposta: $ 21.737,50 
 
3) O valor descontado de uma duplicata é igual a (3/6) de seu valor de face. Se a taxa de desconto 
simples comercial foi 8% a.s, quantos trimestres antes do vencimento foi descontada a duplicata? . 
(AP3/2013/II) 
 
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30 
 Vc = (3/6) N i = 8% a.s. = 4% a.t. n = ? (trim.) 
Solução: .Vc = N [1 – (i) (n)]. 
 (3/6) N = N [1 – (0,04) (n)] 
 0,5 = 1 – (0,04) (n) 
0,04 n = 1 – 0,5 = 0,5 
n = 12,5 trim. 
Resposta: 12,5 
4) Uma letra de câmbio de valor de face $ 17.800 foi descontada a uma taxa de desconto simples “por 
fora” de 24% a.a. Se o valor de resgate foi $ 14.500, quantos meses antes data de vencimento foi 
descontada a letra de câmbio? (AD1/2014/I) 
 
N = $ 17.800 n = ? (meses) i = 24% a.a. Vc = $ 14.500 
Solução: .Vc = N [1 – (i) (n)]. 
 14.500 = 17.800 [1 − (0,24) (1/12) (n)] 
[1 − 14.500] (12/0,24) = n 
 17.800 
 n = 9,27 ≈ 9,3 
Resposta: 9,3 
 
5) Calcule o desconto simples comercial sofrido por um título de crédito que foi resgatado cinco 
trimestres antes de seu vencimento, a uma taxa de 1,5% a.m, se este mesmo título de crédito 
tivesse sofrido um desconto simples racional cujo valor do desconto teria sido de $ 13.600. 
(AD1/2013/II) 
 
 Dc
 
= ? Dr = $ 13.600 n = 5 trim. i = 1,5% a.m. 
Solução: .Dr = (Vr) (i) (n) 
 13.600 = (Vr) (0,015/mês) (5 trim.) (3 meses/1 trim.) 
 Vr = $ 60.444,44 
.D
 
= N− V 
 N = 13.600 + 60.4444,44 = 74.044,44 
 .Dc = (N) (i) (n) 
Dc
 
= (74.044,44) (0,015) (5) (3) 
Dc
 
= 16.660 
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31 
Resposta: $ 16.660 
 
6) Uma duplicata de valor de nominal de $ 24.360; está sendo descontada a taxa de desconto simples 
racional de 18% a.s. Se o valor atual for $ 16.800, quantos meses antes da data de vencimento está 
sendo descontada a duplicata? (AP1.: 2013/II) 
 
N = $ 24.360 Vr = $ 16.800 i = (18%) (1/6) = 3% a.m. 
n = ? (meses) 
Solução 1: .N = Vr [1 + (i) (n)] . 
24.360 = 16.800 [1 + (0,03) (n)] 
24.360 ÷ 16.800 = 1 + (0,03) (n) 
1,45 − 1 = (0,03) (n) 
0,45 ÷ 0,03 = (n) 
 n = 15 
Solução 2: .Dr = Vr (i) (n). .Dr = N −Vr. 
24.360 − 16.800 = (16.800) (0,03) (n) 
 7.560 = n 
(16.800) (0,03) 
n = 15 
Resposta: 15 
7) Duas notas promissórias, com valores de face $ 13.000 e $ 18.000, vencíveis em meio ano, e quinze 
meses, respectivamente, sofreram desconto simples "por fora", gerando um total de $ 9.400, 
correspondente à soma dos seus juros. Calcular a taxa de desconto? (AD1/2013/II) 
 
N1 = $ 13.000 n1 = 0,5 ano = 6 meses 
N2 = $ 18.000 n2 =15 meses 
Dc1 + Dc2 = 9.400 i = ? 
Solução: .Dc = (N) (i) (n)]. 
 (13.000) (i) (6) + (18.000) (i) (15) = 9.400 
 i = 9.400/348.000 
i = 0,0270 a.m = 2,70% a.m. 
Resposta: 0,0270 a.m ou 2,70% a.m. 
 
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8) Uma duplicata de valor de emissão igual a $ 15.600 foi descontada nove meses antes da data de 
vencimento, sendo o valor do desconto $ 1.300. Calcular a taxa de desconto simples verdadeiro ao 
trimestre. (AD1/2013/II) 
 
N = $ 15.600 n = 9 meses = 3 trim. Dr = $ 1.300 i = ? (a.t.) 
Solução: Dr = Vr (i) (n) D = N − V 
 1.300 = (15.600 − 1.300) (i) (3) 
 . 1.300 = i 
 (15.600 − 1.300) (3) 
 i = 0,0303 = 3,03% 
Resposta: 0,0303 ou 3,03%