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Momento Linear

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Fundamentos de Mecânica 
Clássica 
Unidade 7 – Momentum e Leis de Conservação 
Prof. Farley Correia Sardinha 
Mestre em Física 
P
ro
f.
 F
ar
le
y
 C
o
rr
ei
a 
S
ar
d
in
h
a 
Centro de Massa 
Para qualquer sistema de partículas, seja um bloco 
de madeira, uma pessoa ou um grupo de 
asteroides: 
 
 
 
O centro de massa é o ponto que se move como 
se: 
1. Toda a massa do sistema estivesse concentrada 
nesse ponto; 
2. E todas as forças estivessem aplicadas nesse 
ponto. 
P
ro
f.
 F
ar
le
y
 C
o
rr
ei
a 
S
ar
d
in
h
a 
Centro de Massa 
P
ro
f.
 F
ar
le
y
 C
o
rr
ei
a 
S
ar
d
in
h
a 
 Dado o sistema abaixo, formado por duas 
partículas: 
 
 
 
 
 
 Seu centro de massa tem sua localização 
dada por: 
Centro de Massa 
1 1 2 2
1 2
. .
CM
m x m x
x
m m



P
ro
f.
 F
ar
le
y
 C
o
rr
ei
a 
S
ar
d
in
h
a 
Centro de Massa 
 Tal equação pode ser generalizada para 
um sistema com n partículas como: 
 
 
 De modo análogo, as coordenadas em y e 
z são dadas por: 
 
 
1
1
.
n
CM i i
i
x m x
M 
 
1
1
.
n
CM i i
i
y m y
M 
 
1
1
.
n
CM i i
i
z m z
M 
 
P
ro
f.
 F
ar
le
y
 C
o
rr
ei
a 
S
ar
d
in
h
a 
Centro de Massa 
 Vetorialmente, a localização do centro de 
massa desse sistema é dada pelo vetor 
posição: 
 
 Ou seja: 
 
kzjyixr CMCMCMCM
ˆˆˆ 




n
i
iiCM rm
M
r
1
.
1 
P
ro
f.
 F
ar
le
y
 C
o
rr
ei
a 
S
ar
d
in
h
a 
Centro de Massa 
 Caso o objeto seja maciço os somatórios 
tendem a uma integral: 
 
 
 Considerando que: 
 
 
 Temos: 
 
1
.
f
i
x
CM
x
x x dm
M
 
m dm M dm dV
V dV V M V
      
1
. . .
f f f
i i i
x x x
CM CM
x x x
dm dV
x x x x x dV
M V V
     
P
ro
f.
 F
ar
le
y
 C
o
rr
ei
a 
S
ar
d
in
h
a 
Centro de Massa 
 Para as demais componentes: 
 
 
1
.
f
i
y
CM
y
y y dV
V
 
1
.
f
i
z
CM
z
z z dV
V
 
P
ro
f.
 F
ar
le
y
 C
o
rr
ei
a 
S
ar
d
in
h
a 
Exemplo 
P
ro
f.
 F
ar
le
y
 C
o
rr
ei
a 
S
ar
d
in
h
a 
2ª Lei de Newton para um 
Sistema de Partículas 
Para um sistema de partículas de massa total M 
temos: 
 
Derivando: 
 
 
 
Logo: 
 
 
1 1 2 2 3 3 4 4 ...CMM r m r m r m r m r          
 
2 2
1 1 2 2 3 3 4 42 2
...CM
d d
M r m r m r m r m r
dt dt
          
1 1 2 2 3 3 4 4 ...CMM a m a m a m a m a          
CMF M a 
P
ro
f.
 F
ar
le
y
 C
o
rr
ei
a 
S
ar
d
in
h
a 
Exemplos 
P
ro
f.
 F
ar
le
y
 C
o
rr
ei
a 
S
ar
d
in
h
a 
Momento Linear 
 O momento linear de uma partícula é uma 
grandeza vetorial resultante do produto da 
massa da partícula pela sua velocidade: 
 
 Originalmente Isaac Newton definiu a 2ª 
Lei de Movimento como: 
 
 
 Para um sistema de partículas: 
d
F p
dt

p m v 
CMP M v  d
F P
dt
  
P
ro
f.
 F
ar
le
y
 C
o
rr
ei
a 
S
ar
d
in
h
a 
Impulso 
 Tomando a forma original da 2ª Lei 
temos: 
 
 Onde a integral do momento é 
denominada impulso da força: 
 
 
 Pelo Teorema do Momento Linear - 
Impulso: 
    dp F.dt dp F.dt
J = Δp
    dp F.dt J F.dt
P
ro
f.
 F
ar
le
y
 C
o
rr
ei
a 
S
ar
d
in
h
a 
Exemplo 
P
ro
f.
 F
ar
le
y
 C
o
rr
ei
a 
S
ar
d
in
h
a 
Exemplo 
P
ro
f.
 F
ar
le
y
 C
o
rr
ei
a 
S
ar
d
in
h
a 
Conservação do Momento 
Linear 
 Se certo sistema for: 
◦ isolado, ou seja, a força resultante sobre um 
sistema (e portanto o impulso) é nula; 
◦ fechado, ou seja, o número de suas partículas não 
se altera; 
 Então o momento linear total desse sistema 
permanece constante, ou seja: 
 
 Se apenas uma componente da força externa 
for nula, então a componente do momento na 
mesma direção também será nula. 
P = 0
P
ro
f.
 F
ar
le
y
 C
o
rr
ei
a 
S
ar
d
in
h
a 
Exemplos 
P
ro
f.
 F
ar
le
y
 C
o
rr
ei
a 
S
ar
d
in
h
a 
Exemplos 
P
ro
f.
 F
ar
le
y
 C
o
rr
ei
a 
S
ar
d
in
h
a 
Colisões 
 As colisões podem ser: 
◦ Elásticas – quando a energia cinética total do 
sistema se conserva; 
◦ Inelásticas – quando a energia cinética total do 
sistema não se conserva. 
 Nesse último caso ela se transforma em 
outras formas de energia, como a térmica ou 
a sonora. 
 Os casos em que ocorre maior perda de 
energia cinética são chamados de colisões 
perfeitamente inelásticas. 
P
ro
f.
 F
ar
le
y
 C
o
rr
ei
a 
S
ar
d
in
h
a 
Colisões Inelásticas em 1-D 
 Ao considerar que os objetos em colisão 
formam um sistema fechado e isolado, 
pode-se dizer que o momento linear se 
conserva, ou seja: 
 
 Identificando os objetos pelos índices “1” 
e “2”, pode-se escrever: 
ANTES DEPOISp p
   1 2 1 2ANTES DEPOISp p p p  
P
ro
f.
 F
ar
le
y
 C
o
rr
ei
a 
S
ar
d
in
h
a 
 Neste caso os dois objetos seguem juntos 
após a colisão: 
 
 
 
 
 E a velocidade do conjunto é: 
Colisões Perfeitamente 
Inelásticas em 1-D 
 1 1
1 2
ANTES
m
V v
m m


Colisões Perfeitamente 
Inelásticas em 1-D 
 Já o centro de massa 
se move com uma 
velocidade dada por: 
 1 2
1 2
Antes
CM
p p
v
m m



Exemplos 
Exemplos 
Exemplos 
P
ro
f.
 F
ar
le
y
 C
o
rr
ei
a 
S
ar
d
in
h
a 
Colisões Elásticas em 1-D 
 Nesse caso, a energia cinética dos objetos 
em colisão pode variar individualmente, 
mas a energia cinética do conjunto, assim 
como o momento linear se conservam, ou 
seja: 
 
 
 Para as colisões em mais de uma 
dimensão basta fazer toda a análise para 
cada componente. 
ANTES DEPOISp p
ANTES DEPOISK K
Exemplos 
Exercícios 
Exercícios 
Exercícios 
Exercícios 
Exercícios 
Exercícios 
Exercícios 
Exercícios 
Exercícios 
Exercícios 
Exercícios

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