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Fundamentos de Mecânica Clássica Unidade 7 – Momentum e Leis de Conservação Prof. Farley Correia Sardinha Mestre em Física P ro f. F ar le y C o rr ei a S ar d in h a Centro de Massa Para qualquer sistema de partículas, seja um bloco de madeira, uma pessoa ou um grupo de asteroides: O centro de massa é o ponto que se move como se: 1. Toda a massa do sistema estivesse concentrada nesse ponto; 2. E todas as forças estivessem aplicadas nesse ponto. P ro f. F ar le y C o rr ei a S ar d in h a Centro de Massa P ro f. F ar le y C o rr ei a S ar d in h a Dado o sistema abaixo, formado por duas partículas: Seu centro de massa tem sua localização dada por: Centro de Massa 1 1 2 2 1 2 . . CM m x m x x m m P ro f. F ar le y C o rr ei a S ar d in h a Centro de Massa Tal equação pode ser generalizada para um sistema com n partículas como: De modo análogo, as coordenadas em y e z são dadas por: 1 1 . n CM i i i x m x M 1 1 . n CM i i i y m y M 1 1 . n CM i i i z m z M P ro f. F ar le y C o rr ei a S ar d in h a Centro de Massa Vetorialmente, a localização do centro de massa desse sistema é dada pelo vetor posição: Ou seja: kzjyixr CMCMCMCM ˆˆˆ n i iiCM rm M r 1 . 1 P ro f. F ar le y C o rr ei a S ar d in h a Centro de Massa Caso o objeto seja maciço os somatórios tendem a uma integral: Considerando que: Temos: 1 . f i x CM x x x dm M m dm M dm dV V dV V M V 1 . . . f f f i i i x x x CM CM x x x dm dV x x x x x dV M V V P ro f. F ar le y C o rr ei a S ar d in h a Centro de Massa Para as demais componentes: 1 . f i y CM y y y dV V 1 . f i z CM z z z dV V P ro f. F ar le y C o rr ei a S ar d in h a Exemplo P ro f. F ar le y C o rr ei a S ar d in h a 2ª Lei de Newton para um Sistema de Partículas Para um sistema de partículas de massa total M temos: Derivando: Logo: 1 1 2 2 3 3 4 4 ...CMM r m r m r m r m r 2 2 1 1 2 2 3 3 4 42 2 ...CM d d M r m r m r m r m r dt dt 1 1 2 2 3 3 4 4 ...CMM a m a m a m a m a CMF M a P ro f. F ar le y C o rr ei a S ar d in h a Exemplos P ro f. F ar le y C o rr ei a S ar d in h a Momento Linear O momento linear de uma partícula é uma grandeza vetorial resultante do produto da massa da partícula pela sua velocidade: Originalmente Isaac Newton definiu a 2ª Lei de Movimento como: Para um sistema de partículas: d F p dt p m v CMP M v d F P dt P ro f. F ar le y C o rr ei a S ar d in h a Impulso Tomando a forma original da 2ª Lei temos: Onde a integral do momento é denominada impulso da força: Pelo Teorema do Momento Linear - Impulso: dp F.dt dp F.dt J = Δp dp F.dt J F.dt P ro f. F ar le y C o rr ei a S ar d in h a Exemplo P ro f. F ar le y C o rr ei a S ar d in h a Exemplo P ro f. F ar le y C o rr ei a S ar d in h a Conservação do Momento Linear Se certo sistema for: ◦ isolado, ou seja, a força resultante sobre um sistema (e portanto o impulso) é nula; ◦ fechado, ou seja, o número de suas partículas não se altera; Então o momento linear total desse sistema permanece constante, ou seja: Se apenas uma componente da força externa for nula, então a componente do momento na mesma direção também será nula. P = 0 P ro f. F ar le y C o rr ei a S ar d in h a Exemplos P ro f. F ar le y C o rr ei a S ar d in h a Exemplos P ro f. F ar le y C o rr ei a S ar d in h a Colisões As colisões podem ser: ◦ Elásticas – quando a energia cinética total do sistema se conserva; ◦ Inelásticas – quando a energia cinética total do sistema não se conserva. Nesse último caso ela se transforma em outras formas de energia, como a térmica ou a sonora. Os casos em que ocorre maior perda de energia cinética são chamados de colisões perfeitamente inelásticas. P ro f. F ar le y C o rr ei a S ar d in h a Colisões Inelásticas em 1-D Ao considerar que os objetos em colisão formam um sistema fechado e isolado, pode-se dizer que o momento linear se conserva, ou seja: Identificando os objetos pelos índices “1” e “2”, pode-se escrever: ANTES DEPOISp p 1 2 1 2ANTES DEPOISp p p p P ro f. F ar le y C o rr ei a S ar d in h a Neste caso os dois objetos seguem juntos após a colisão: E a velocidade do conjunto é: Colisões Perfeitamente Inelásticas em 1-D 1 1 1 2 ANTES m V v m m Colisões Perfeitamente Inelásticas em 1-D Já o centro de massa se move com uma velocidade dada por: 1 2 1 2 Antes CM p p v m m Exemplos Exemplos Exemplos P ro f. F ar le y C o rr ei a S ar d in h a Colisões Elásticas em 1-D Nesse caso, a energia cinética dos objetos em colisão pode variar individualmente, mas a energia cinética do conjunto, assim como o momento linear se conservam, ou seja: Para as colisões em mais de uma dimensão basta fazer toda a análise para cada componente. ANTES DEPOISp p ANTES DEPOISK K Exemplos Exercícios Exercícios Exercícios Exercícios Exercícios Exercícios Exercícios Exercícios Exercícios Exercícios Exercícios
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