Integrais prova

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3.a prova de Ca´lculo em uma Varia´vel
Turma A (Integral) 29/06/2015
Nome:
RA:
Questo˜es Valores Notas
1.a 2,5
2.a 2,0
3.a 2,0
4.a 2,0
5.a 2,5
Total 11.0
ATENC¸A˜O: Respostas sem justificativa na˜o sera˜o consideradas. Na˜o e´ permitido (e na˜o e´
necessa´rio) o uso de equipamentos eletroˆnicos, inclusive calculadoras. A prova pode ser feita a
lapis. O aluno pego colando estara´ reprovado no curso com nota final 0.
(1) O Teorema Fundamental do Ca´lculo e´ o mais importante resultado do curso de ca´lculo
em uma varia´vel. Com relac¸a˜o a ele fac¸a o que se pede:
(a) (1.0) Enuncie as duas partes do TFC;
(b) (1.5) Considere a seguinte func¸a˜o:
F (x) =
∫ x3
ln x
t cos t√
1 + t2
dt,
onde D(F ) = R∗+. Usando TFC encontre a derivada de F (x).
(2) (2,0) Uma part´ıcula desloca-se sobre o eixo x, e sabe-se que no instante t, t ≥ 0, sua
velocidade era de v(t) = (t2 − 1) 3√t. Sabe-se ainda que no instante t = 0 a part´ıcula
encontra-se na posic¸a˜o s = 3. Determine a posic¸a˜o s = s(t) da part´ıcula no instante t.
(3) (2,0) Uma esfera de raio a pode ser obtida como um so´lido de revoluc¸a˜o girando em
torno do eixo x, a regia˜o limitada pela curva y =
√
a2 − x2, x ∈ [−a, a] e o eixo dos x.
Prove, usando integral, que o volume da esfera de raio a e´ dado por V =
4pia3
3
.
(4) (2,0) Verifique se a integral impro´pria abaixo converge ou diverge.∫ pi/2
0
sec2x√
tg x
dx
(5) Verifique se cada afirmac¸a˜o abaixo e´ verdadeira ou falsa. Justifique sua resposta
(a) (0,5) Se f e´ uma func¸a˜o cont´ınua tal que f e´ ı´mpar, enta˜o
∫ a
−a
f(x)dx = 0;
(b) (1,0)
∫
x(x2 + 1)dx =
(∫
x dx
)
.
(∫
(x2 + 1) dx
)
;
(c) (1,0)
∫ 6
3
(x− 5)−4dx =
[
−(x− 5)
−3
3
]6
3
= −1
3
−
(
− 1
24
)
= − 7
24
.
Boa Prova!