Calculo integrais

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2.a prova de Ca´lculo em uma Varia´vel
Turma D (Integral) 29/06/2015
Nome:
RA:
Questo˜es Valores Notas
1.a 2,5
2.a 2,0
3.a 2,0
4.a 2,0
5.a 2,5
Total 11.0
ATENC¸A˜O: Respostas sem justificativa na˜o sera˜o consideradas. Na˜o e´ permitido (e na˜o e´
necessa´rio) o uso de equipamentos eletroˆnicos, inclusive calculadoras. A prova pode ser feita a
lapis. O aluno pego colando estara´ reprovado no curso com nota final 0.
(1) O Teorema Fundamental do Ca´lculo e´ o mais importante resultado do curso de ca´lculo
em uma varia´vel. Com relac¸a˜o a ele fac¸a o que se pede:
(a) (1.0) Enuncie as duas partes do TFC;
(b) (1.5) Considere a seguinte func¸a˜o:
f(x) =
∫ 1/x
0
1
t2 + 1
dt +
∫ x
0
1
t2 + 1
dt,
Usando TFC mostre que f(x) e´ uma func¸a˜o constante (DICA: se f ′(x) = 0 enta˜o
f(x) e´ constante).
(2) (2,0) A taxa de crescimento
dP
dt
de uma determinada populac¸a˜o de bacte´rias e´ dada por
dP
dt
=
√
2(e3t − t2), onde P = P (t) e´ o tamanho da populac¸a˜o, e t e´ o tempo em dias.
Sabendo que o tamanho inicial da populac¸a˜o era de 200, determine a populac¸a˜o P (t) em
um instante t.
(3) Arquimedes (287 - 212 a.C.) descobriu que a a´rea sob um arco parabo´lico e´ dois terc¸os
da base vezes a altura.
(a) (1,0) Use uma integral para determinar a a´rea sob o arco y = 6−x−x2, −3 ≤ x ≤ 2.
(b) (0,5)Determine a altura do arco.
(c) (0,5)Mostre que a a´rea e´ dois terc¸os da base b vezes a altura h.
(4) (2,0) Verifique se a integral impro´pria abaixo converge ou diverge.∫ pi/2
0
cotg2x cossec2x dx
(5) Verifique se cada afirmac¸a˜o abaixo e´ verdadeira ou falsa. Justifique sua resposta
(a) (1,0)Se F ′(x) = G′(x) no intervalo [a, b], enta˜o
F (x) = G(x) + C
(b) (0,5)
∫
x2
x3 + 2
dx =
1
3
ln(x3 + 2)
(c) (1,0)
∫ 2
−1
x−3dx =
[
−x
−2
2
]2
−1
= −1
8
−
(
−1
2
)
=
3
8
Boa Prova!