AP3 MetDet1 2013 1gabarito

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CEDERJ
ME´TODOS DETERMINI´STICOS 1 - AP3 - 2012.2
Questa˜o 1 (2 pontos). Resolva o sistema:


y + x2 + 4x = 0
−9x+ 3y = 30
Soluc¸a˜o: Dividindo por 3 a segunda equac¸a˜o obtemos −3x + y = 10. Vamos subtrair
esta equac¸a˜o da primeira para eliminar y. Ficamos com x2 + 4x + 3x = 0 − 10, isto e´,
x2 + 7x = −10, ou ainda, x2 + 7x+ 10 = 0. Resolvendo esta equac¸a˜o do segundo grau (por
Bhaskara ou pela fo´rmula da soma e do produto das ra´ızes), obtemos como ra´ızes x1 = −5
e x2 = −2. Para resolver o sistema ainda temos que encontrar os valores de y e montar
os pares ordenados da resposta. Sabemos que y = 10 + 3x, enta˜o, para x1 = −5 temos
y1 = 10 − 15 = −5, donde y1 = −5; para x2 = −2 temos y2 = 10 − 6 = 4, isto e´, y2 = 4.
Logo as soluc¸o˜es do sistema sa˜o (x1, y1) = (−5,−5) e (x2, y2) = (−2, 4).
Questa˜o 2 (2 pontos). Resolva a expressa˜o:
(
12
20
− 15
12
)
÷ 24
30
+
7
3
− 5
3
× 1
2
1
Soluc¸a˜o:
(
12
20
− 15
12
)
÷ 24
30
+
7
3
− 5
3
× 1
2
=
(
3
5
− 5
4
)
÷ 4
5
+
7
3
− 5
3
× 1
2
=
(
12
20
− 25
20
)
× 5
4
+
7
3
− 5
6
= −13
20
× 5
4
+
14
6
− 5
6
= −13
4
× 1
4
+
9
6
= −13
16
+
3
2
= −13
16
+
24
16
=
11
16
A resposta ja´ esta´ na forma de uma frac¸a˜o irredut´ıvel pois 11 e´ primo.
Questa˜o 3 (3 pontos). Para fabricar certo produto a indu´stria XXX emprega recursos em
insumos (mate´ria prima) e ma˜o de obra, sendo que 40% do custo da produc¸a˜o adve´m do
custo dos insumos e 60% e´ relativo ao gasto com ma˜o de obra. Ao prec¸o atual do produto, a
indu´stria tem um lucro de 40% por unidade vendida. Considerando que o custo da ma˜o de
obra sofra um aumento de 30% e os insumos tenham seu valor aumentado em 5%, responda:
a) Qual deve ser o aumento do produto final para que a empresa siga tendo a mesma
margem de lucro?
Soluc¸a˜o: Vamos chamar de C o custo total da produc¸a˜o, de I os gastos que a empresa
tinha com insumos e de M os custos aplicados em ma˜o de obra (logo, I +M = C).
T´ınhamos I = 0, 4C e M = 0, 6C. Apo´s o aumento os novos custos com insumos
2
passam a ser 1, 05I = 1, 05 × 0, 4C = 0, 42C. Ja´ os novos custos com ma˜o de obra
passam a ser 1, 3M = 1, 3×0, 6C = 0, 78C. Logo o novo custo com a produc¸a˜o passou
a 0, 42C+0, 78C = 1, 2C. Donde conclu´ımos que os custos aumentaram em 20%, logo,
para que siga tendo a mesma margem de lucro, a empresa deve aumentar o prec¸o do
produto tambe´m em 20%.
b) Com estes novos custos, que porcentagem dos recursos destinados a` produc¸a˜o sera´
gasta com insumos e que porcentagem estara´ associada a` ma˜o de obra?
Soluc¸a˜o: Como vimos, o novo custo da produc¸a˜o passa a ser 1, 2C, sendo 0, 42C
oriundos de insumos e 0, 78C gastos com ma˜o de obra. Para saber qual a porcentagem
gasta com insumos devemos descobrir qual o valor de x para o qual 0, 42C = x ×
1, 2C. Efetuando os ca´lculos vemos que x = 0, 35, isto e´, o gasto com insumo passa a
respresentar 35% dos custos da produc¸a˜o. Claramente, o custo com ma˜o de obra deve
representar a parcela restante, isto e´, 65% dos novos gastos com a produc¸a˜o.
c) Se a empresa na˜o alterar o prec¸o do produto ao vendeˆ-lo, qual sera´ sua nova margem
de lucro?
Soluc¸a˜o: Como a empresa tinha lucro de 40%, ela deveria receber pela venda 1, 4C.
Se na˜o alterar o prec¸o, seguira´ recebendo esta quantia, mas agora os novos custos sa˜o
de 1, 2C, logo apenas 0, 2C corresponde ao valor que ela lucara´. Precisamos verificar
a que porcentagem isso corresponde considerando os novos custos da produc¸a˜o. Para
isso buscamos x tal que 0, 2C = x × 1, 2C. Vemos que x = 0, 1666..., isto e´, se na˜o
alterar o prec¸o do produto, a margem de lucro caira´ para aproximadamente 16,7%.
Questa˜o 4 (3 pontos). Considere as func¸o˜es f(x) = −x
2
3
− 2x
3
+
8
3
e g(x) =
−x
3
− 1.
a) Calcule f(−3) e g(−2)
3
Soluc¸a˜o:
f(−3) = −(−3)
2
3
− 2× (−3)
3
+
8
3
= −9
3
+
6
3
+
8
3
=
5
3
e
g(−2) = −(−2)
3
− 1 = 2− 3
3
= −1
3
b) Esboce o gra´fico da func¸a˜o g;
Soluc¸a˜o: A func¸a˜o g e´ afim. Logo para trac¸ar seu gra´fico precisamos de dois pontos.
Para x = 0, temos que g(0) =
−0
3
− 1 = −1. Por outro lado, para encontrar o ponto
em que o gra´fico que g cruza o eixo vertical procuramos x que satisfac¸a g(x) = 0.
g(x) = 0⇔ −x
3
− 1 = 0⇔ −x
3
= 1⇔ x = −3
Podemos, enta˜o, trac¸ar o gra´fico passando pelos pontos (−3, 0) e (0,−1). (Ver pro´ximo
item.)
c) Esboce o gra´fico da func¸a˜o f ;
Soluc¸a˜o: Primeiro vamos encontrar as ra´ızes de f . Observe que −x2
3
− 2x
3
+ 8
3
= 0⇔
−x2 − 2x+ 8 = 0. Usando Bhaskara:
∆ = 4 + 32 = 36 e x = (2±
√
36)/(−2) = (2± 6)/(−2) = −1±−3, isto e´, x = −4 ou
x = 2.
Para trac¸ar o gra´fico, precisamos ainda de mais um ponto. Vamos usar o ve´rtice (xv, yv)
da para´bola. Por simetria, sabemos que xv = (−4 + 2)/2 = −1. Para encontrar yv
basta calcular f(xv) = − (−1)
2
3
− 2×(−1)
3
+ 8
3
= −1
3
+ 2
3
+ 8
3
= 9
3
= 3. Veja gra´ficos a
seguir.
4
5