2ª Aula de Tópicos de Cálculo 2018 Aluno

Prévia do material em texto

Tópicos de Cálculo 
 
 
Noções básicas de álgebra elementar
 
 
 
 
2ª Aula 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Prof.: José Fernando Santiago Prates 
Universidade de Franca – UNIFRAN 
Franca - 2018 
 
Tópicos de Cálculo 
 
José Fernando Santiago Prates 2 
 
1.Operações com Polinômios 
Um polinômio é representado por Pn(x) = an.xn +......+ a4.x4+ a3.x3+ a2.x2+ a1.x1+ a0 onde é o 
grau do polinômio. 
Exemplos: P7(x) = x7 - x6 + 3x3 - 3x2 + 14 
 R(x) = x5 – x4 + 8x3 - 5x2 + x - 9 
 A(x) = x3 – 5x2 + 7x + 5 
 
1.1. Agrupamento de termos iguais (coeficientes de mesma potência) 
Exemplos: 
a). 4x – 3y + z – 3x + 5y – 3z = x + 2y – 2z 
b). x2 + 5x + 7 + 8x2 + 9x + 4 = 9x2 + 14x + 11 
c). x6 + 3x2 + 3x6 + 4x2 + 5x6 + 2x2 = 9x6 + 9x2 
d). 4x5 - 2x2 + 6x5 - 3x3 + 5x6 + 2x3 = 5x6 + 10x5 – x3 - 2x2 
1.2. Soma (subtração) 
Agrupamento dos coeficientes de mesma potência. 
Exemplos: 
a) Sejam os polinômios A(x) = x3 + 3x2 + 7 e B(x) = x2 – 2x, obter A(x) + B(x). 
Solução: 
A(x) + B(x) = (x3 + 3x2 + 7) + (x2 – 2x) 
= x3 + 3x2 + 7 + x2 – 2x 
= x3 + 4x2 – 2x + 7 
 
b) Sejam os polinômios A(x) = x7 + 3x3 + 7 e B(x) = x6 + 3x2 – 7, obter A(x) + B(x). 
Solução: 
A(x) + B(x) = (x7 + 3x3 + 7) + (x6 + 3x2 – 7) 
= x7 + 3x3 + 7 + x6 + 3x2 – 7 
= x7 + x6 + 3x3 + 3x2 
 
c) Sejam os polinômios A(x) = x7 + 3x3 + 7 e B(x) = x6 + 3x2 – 7, obter A(x) – B(x). 
Solução: 
A(x) – B(x) = (x7 + 3x3 + 7) – (x6 + 3x2 – 7) 
= x7 + 3x3 + 7 – x6 – 3x2 + 7 
= x7 – x6 + 3x3 – 3x2 + 14 
 
d) Sejam os polinômios A(x) = x2 + 3x + 5 e B(x) = x3 + 3x2 + 2, obter A(x) – B(x). 
Solução: 
A(x) – B(x) = (x2 + 3x + 5) – (x3 + 3x2 + 2) 
= x2 + 3x + 5 – x3 – 3x2 – 2 
= –x3 – 2x2 + 3x + 3 
 
 
Tópicos de Cálculo 
 
José Fernando Santiago Prates 3 
 
e) Sejam os polinômios X = a 2 +2ab+b 2 , Y = a 2 -2ab+b2 e Z = a 2-b2 . O bt e r a 
s im pl i f i c ação d e X- (Y+Z) 
Solução: 
X-(Y+Z) = a 2 + 2ab + b 2 - (a2- 2ab +b2 + a2 -b 2 ) 
= a 2 + 2ab + b 2 – a2 + 2ab - b2 - a2 + b2 
= a 2 + 2ab + b 2 – a2 + 2ab - b2 - a2 + b2 
= b 2 – a2 + 4ab 
Logo, X-(Y+Z) = b 2 – a2 + 4ab 
 
1.3. Produto (distributiva) 
Exemplos: 
 
a) Sejam os polinômios A(x) = x – y e B(x) = x + y, obter A(x)  B(x). 
Solução: 
A(x)  B(x) = (x – y)(x + z) 
= x2 + xz - yx – yz 
 
b) Sejam os polinômios A(x) = x2 – 3 e B(x) = x + 5, obter A(x)  B(x). 
Solução: 
A(x)  B(x) = (x2 – 3)(x + 5) 
= x3 + 5x2 – 3x - 15 
 
c) Sejam os polinômios A(x) = x3 – 3x e B(x) = x + 7, obter A(x)  B(x). 
Solução: 
A(x)  B(x) = (x3 – 3x)(x + 7) 
= x4 + 7x3 - 3x2 - 21x 
 
d) Sejam os polinômios A(x) = 2x2 – 3 e B(x) = 3x + 5, obter A(x)  B(x). 
Solução: 
A(x)  B(x) = (2x2 - 3)(3x + 5) 
= 6x3 + 10x2 - 9x - 15 
 
e) (a + b + c)(a + b + c) = a2 + c2 + b2 + 2ab + 2ac + 2bc 
 
f) (a + b + c)(a – b + c) = a2 + 2ac – b2 + c2 
 
g) Sejam os polinômios: 
baX 
, 
baY 
 e 
2)ba(Z 
. Obter o valor simplificado de: 
2b2ZY.X 
 
Solução: 
2b2ZY.X 
 = (a - b)(a + b)-(a - b)2 + 2b2 
= a2 + ab – ba - b2 –(a2 -2ab +b2) + 2b2 
= a2 + ab – ba - b2 – a2 +2ab - b2 + 2b2 
= 2ab 
 
Logo, 
2b2ZY.X 
 = 2ab 
Tópicos de Cálculo 
 
José Fernando Santiago Prates 4 
 
1.4. Divisão 
 
 Tem a finalidade de obter um polinômio quociente Q e outro polinômio resto R da divisão dos 
polinômios, P1 e P2. Com P1=P2.Q+R. 
 
P1  P1 P2 
P2 R Q 
Exemplos: 
1) Efetue a divisão de 
1
2 2


x
xx
 identificando o quociente e resto. 
Solução: 
2x2 + x  2x2 + x x + 1 
x + 1 2x2 + 2x 2x 
 
 
2x2 + x x + 1 
-(2x2 + 2x) 2x 
-x 
 
 
2x2 + x x + 1 
-(2x2 + 2x) 2x - 1 
-x 
-(-x - 1) 
1 
 
Logo, o quociente é Q = 2x - 1 e o resto R = 1, 
e ainda 2x2 + x = (x + 1).(2x  1) + 1 
 
 
 
Tópicos de Cálculo 
 
José Fernando Santiago Prates 5 
 
4) Efetue a divisão de 
1
423


x
xx
 identificando o quociente e resto. 
Solução: 
 x3- 2x + 4  x3- 2x + 4 x - 1  x3- 2x + 4 x - 1 
 x - 1 x2 x3 - x2 x2 
 
 
 x3- 2x + 4 x - 1  x3- 2x + 4 x - 1 
 -(x3 - x2) x2 -(x3 - x2) x2 + x 
 x2 – 2x + 4 x2 – 2x + 4 
 x2 - x 
 
 
 x3- 2x + 4 x - 1  x3- 2x + 4 x - 1 
 -(x3 - x2) x2 + x -(x3 - x2) x2 + x -1 
 x2 – 2x + 4 x2 – 2x + 4 
 -(x2 - x) -(x2 - x) 
 -x + 4 -x + 4 
 -x + 1 
 
 
 x3- 2x + 4 x - 1 
 -(x3 - x2) x2 + x -1 
 x2 – 2x + 4 
 -(x2 - x) 
 -x + 4 
 -(-x + 1) 
 3 
 
 
 
Logo, o quociente é Q= x2 + x - 1 e o resto R = 3, 
 
e ainda (x2-4) = (x+2).(x-2) + 3 
 
 
 
Tópicos de Cálculo 
 
José Fernando Santiago Prates 6 
 
Frações 
 
Em operações que envolvem frações, existem a maneira CORRETA e a ERRADA de se realizar os 
cálculos. Cabe o aluno aplicar, de modo correto, as definições e propriedades para obter os acertos! 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
26 Erros Mais Comuns de Matemática que Fazem Você parecer um Idiota 
https://www.youtube.com/watch?v=ruZm22FYfIg 
https://youtu.be/0m4HV2iQQg8 
https://paginas.uepa.br/seer/index.php/web-mat/article/download/265/229. 
Tópicos de Cálculo 
 
José Fernando Santiago Prates 7 
 
Operações entre Frações 
1.5. Soma: 
 
oCompensaçã da Lei
y
b
x
a
xy
bx
xy
ay

 = 
xy
bxay  
Exemplos: 1) 
3
zyx
3
z
3
y
3
x 

, mesmo denominador somam-se os numeradores. 
2) 
6
y3+x2
2.3
y3
2.3
x2
2
y
3
x

 
3) 



60
727580
4.3.5
4.3.6
5.3.4
5.3.5
5.4.3
5.4.4
5
6
4
5
3
4
 
4) 
yx
yx
2



 = 
yx
yx
yx
)yx(2





 = 
1.6. Subtração 
 
oCompensaçã da Lei
y
b
x
a
xy
bx
xy
ay

 = 
xy
bx-ay 
Exemplos: 1) 
5
zyx
5
z
5
y
5
x 

, mesmo denominador subtraem-se os numeradores. 
2) 
6
y3x2
2.3
y3
2.3
x2
2
y
3
x 

 
3) 
x
x
x
1x
1
x
1x




= 
1.7. Produto 
 
Linha em Multiplica
y
b
x
a
xy
ab 
Exemplos: 1) 
6
xy
2
y
3
x

 
2) 
3
10
6
20
2.3
5.4
2
5
3
4

 
3) 
2
5.4.3
6.5.4
5
6
4
5
3
4

 
1.8. Divisão 
 
Cruz em Multiplica
y
b
x
a
xb
ay 
Exemplos: 1) 
y3
x2
2
y
3
x

 
2) 
15
8
5.3
2.4
2
5
3
4

 
3) 
3
4
5.6
4.10
4
5
6
10

 
y
b
x
a

 ou 














y
b
x
a
 
 
Tópicos de Cálculo 
 
José Fernando Santiago Prates 8 
 
Exemplos: 
1) Efetue e simplifique a expressão algébrica 
1
x
1x
x
1x



 
 Solução: 
 

x
1
x
x
x
1x
1
x
1x
x
1x






 = 
x
x
x
1x
x
1x



 
= 

x
1
x
1x
x
1
x
1x




 
= x + 1 
Logo, 
1
1
1



x
x
x
x
= x + 1 
 
 
 
2) Efetue e simplifique a expressão algébrica 
3x
1
3x
3x
3x
3x






 
Solução: 
3x
1
3x
3x
3x3x






 = 
3x
1
)3x)(3x(
)3x)(3x(
)3x)(3x(
)3x)(3x(






 
= 
3x
1
3x
)33.x.2x(
3x
)33.x.2x(






 
= 
3x
1
3x
6x2



 
= 
3x
5x2


 
Logo, 
3x
1
3x
3x
3x
3x






 = 
3x
5x2


 
 
Tópicos de Cálculo 
 
José Fernando Santiago Prates 9 
 
3) Efetue e simplifique a expressão algébrica 



















 



18a12
x6x4
x4
3a2
2
6x3
2x
x4x 23 
Solução: 

















 



)3a2(6
)3x2(x2
x4
3a2
2
)2x(3
2x
)4x(x 2 = 
















)3a2.(6.x.4
)3x2.(x.2).3a2(
)2x.(3).2x(
2).2x)(2x(x
 
= 





 






12
3x2
3
x.2
 
= 
4
1x2 
 
Logo, 



















 



18a12
x6x4
x4
3a2
2
6x3
2x
x4x 23 = 
4
1x2 
 
 
 
Tópicos de Cálculo 
 
José Fernando Santiago Prates 10 
 
Exercícios de Polinômios 
 
1) Considere os polinômios A(x) = 2x3 + 3x2 – 5x + 2, B(x) = 4x2 + 3x + 7 e C(x) = 5x4 + 3x3 – 
5. Efetue as operações abaixo. 
a) A(x) + B(x) – C(x) 
 – 5x4 – x3+7x2 – 2x+14 
b) A(x) – [2B(x) – 3C(x)] 
 15x4 + 11x3 – 5x2 – 11x – 27 
c) 3[A(x) – 2B(x)] – C(x) 
 – 5x4 + 3x3 – 15x2 – 33x – 31 
d) 2(A(x)+2B(x)) –2(A(x) –2C(x)) 
 20x4 + 12x3 + 16x2 + 12x + 8 
 
2) Efetue as operações entre os polinômios: 
a) 
)cba)(cba( 
 
222 2 cbcba 
 
b) 
)xyyx)(xyyx( 2222 
 
4224 yyxx 
 
c) 
)cb)(acb()ca)(cba()ba)(cba( 
 
)cba( 2222 
 
d) 
)ac)(cb)(ba()ba(c)ca(b)cb(a 222 
 
– 2a2c + 2ba2 + 2ac2 – 2bc2 
e) 
)ac)(cb)(ba()ba(c)ca(b)cb(a  222
 
 2ab2 – 2b2c 
 
3) Represente as divisões de polinômios 
)x(B
)x(A
 abaixo na forma de 
)x(R)x(Q).x(B)x(A 
. 
a) 
1x
x2xxx2x
2
2346


 
(x⁴ – x² – x)(x² – 1)+x 
b) 
5x2
3x2x10xx2
2
357


 
(x⁵ – 2x³)(2x²+5)+2x+3 
c) 
1x
1x3


 
(x – 1)(x2+x+1) 
d) 
3x
27x3


 
(x – 3)(x2+3x+9) 
e) 
3x2
27x8 3


 
(2x+3)(4x2 – 6x+9) 
 
4) Determine os valores de A, B e C de modo que 
1x3x3x
7x43x15
23
2


=
32 )1x(
C
)1x(
B
1x
A





 
A=15, B=13, C= – 21 
Tópicos de Cálculo 
 
José Fernando Santiago Prates 11 
 
 
5) Determine os valores de A, B, C e D de modo que 
23
133223
24
23


xx
xxx
=
21 22 




x
DCx
x
BAx
 
A=10, B=-3, C=13 e D=5
 
Exercícios de Frações 
1) Efetue e simplifique a expressão algébrica 
)1x)(1x(
2x4
1x
3
1x
2






 
1
1x  
2) Efetue e simplifique a expressão algébrica 
5
12
.
3
1
2
1
3
x
3
x
2
x













 
 
10
29
 
3) Efetue e simplifique a expressão algébrica 
4
)3x)(1x(
)3x)(3x(
)1x)(1x(
)1x)(1x(






 
1x
x48


 
4) Efetue e simplifique a expressão algébrica 
1
x
1
 
x2
x1
 


 
2
1
 
5) Efetue e simplifique a expressão algébrica
ax
a
1
x
1

 
1
ax
 
6) Efetue e simplifique a expressão algébrica 













 

a
b
b
ba
a
ba
b
a
 
1 
7) Efetue e simplifique a expressão algébrica 
1a
1
1a
1
1a
1a
1






 
a1 
 
8) Efetue e simplifique a expressão algébrica 
1x
x
1x
x
1x
x
1x
x





 
1
x
 
9) Efetue e simplifique a expressão algébrica 
5x
10x
5x
5x
5x
5x








 
Tópicos de Cálculo 
 
José Fernando Santiago Prates 12 
 
5x
x

 
10) Efetue e simplifique a expressão algébrica 
x
1
1 
1
1 
1x
1




 
22 x 
11) Sabendo 
3y 
e 
1y 
 efetue a operação







 




 6
3y4y
1y
1y
3y
y2 22
 
2 
12) Efetue e simplifique a expressão algébrica 





















yx
yx
1
yx
yx
1
x 
y 
13) Efetue e simplifique a expressão algébrica 
222
42
2
23
y.b
xa
y.b
xa
ba2
yx5
ab3
yx15









 
3 
14) Efetue e simplifique a expressão algébrica 
22
422
2
2
2
2
yx
x4xyyx
x
y4
xy
yx
y
x4 



 
2
2
x
y4 
15) Efetue e simplifique a expressão algébrica 















 



18a12
x6x4
x4
3a2
2
6x3
2x
x4x 23 
4
1x2  
16) Efetue e simplifique a expressão algébrica 
4
2
2 x1
x4
x1
2
x1
1
x1
1







 
2x1
4

 
17) Efetue e simplifique a expressão algébrica 
2x
x
x
2x
)1x(2
1x





 
3x
1x

