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Fundac¸a˜o Centro de Cieˆncias e Educac¸a˜o Superior a Distaˆncia do Estado do Rio de Janeiro Centro de Educac¸a˜o Superior a Distaˆncia do Estado do Rio de Janeiro EP2 – Gabarito – Me´todos Determin´ısticos I – 2018-1 Neste EP vamos trabalhar o conteu´do estudado na Aula 2 e nas pa´ginas 144 e 145 da Aula 12, do Caderno Dida´tico. Uma expressa˜o matema´tica e´ uma combinac¸a˜o finita de nu´meros ou letras, as quais chamamos de varia´veis, que sa˜o ligadas por operac¸o˜es matema´ticas, tais como, soma, diferenc¸a, multiplicac¸a˜o, divisa˜o, etc e que tambe´m envolvem chaves, colchetes e pareˆnteses para indicar a ordem em que as operac¸o˜es devem ser efetuadas. As expresso˜es matema´ticas podem ser nume´ricas, quando envolvem apenas combinac¸o˜es de nu´meros ou alge´bricas, quando envolvem combinac¸o˜es de nu´meros e letras. Na Aula 2 do Caderno Dida´tico, voceˆ estudou as regras das operac¸o˜es com nu´meros naturais, inteiros e racionais e, nos pro´ximos exerc´ıcios, voceˆ praticara´ estas regras. Esteja especialmente atento a` ordem com que as operac¸o˜es devem ser realizadas. Exerc´ıcio 1 Resolva as expresso˜es nume´ricas abaixo. Lembre-se que as operac¸o˜es de multiplicac¸a˜o e de divisa˜o devem ser realizadas antes das operac¸o˜es de adic¸a˜o e subtrac¸a˜o. a) 5 + 7× (−3)× (−2)− (−4)× 5 b) (−16)÷ 4 + (−3)× (−2) c) 12× 4÷ (−3)× 9 Soluc¸a˜o: a) 5 + 7× (−3)× (−2)− (−4)× 5 = 5 + 42− (−20) = 47 + 20 = 67 b) (−16)÷ 4 + (−3)× (−2) = −4 + 6 = 2 c) 12× 4÷ (−3)× 9 = 12× 4−3 × 9 = 12× 4× 9 −3 = − 12× 4× 3 1 = −144 Exerc´ıcio 2 Efetue as operac¸o˜es com frac¸o˜es, e obtenha o resultado na forma de uma frac¸a˜o irre- dut´ıvel a) 2 5 ÷ 1 40 b) −2 15 × 9−11 c) −7 3 − 4−5 d) 2 5 − 3 4 × 6−5 Soluc¸a˜o: a) 2 5 ÷ 1 40 = 2 5 × 40 1 = 2× 40 5× 1 = 2× 8 1× 1 = 16 Me´todos Determin´ısticos I EP2 2 b) −2 15 × 9−11 = (−2)× � 3 9 > 5 15 × (−11) = (−2)× 3 5× (−11) = −6 −55 = 6 55 c) −7 3 − 4−5 = − 7 3 − ( −4 5 ) = −7 3 + 4 5 = −35 15 + 12 15 = −35 + 12 15 = −23 15 d) 2 5 − 3 4 × 6−5 = 2 5 − 3 4 × ( −6 5 ) = 2 5 + > 9 18 > 10 20 = 2 5 + 9 10 = 4 10 + 9 10 = 4 + 9 10 = 13 10 Exerc´ıcio 3 Compare as frac¸o˜es a seguir, completando a lacuna de cada item com >, < ou =. a) 12 7 . . . 5 7 b) 6 4 . . . 6 8 c) 2 3 . . . 5 7 d) 8 9 . . . 9 8 e) −3 4 . . . −7 4 f) 6 −5 . . . 1 3 g) −12 9 . . . 4 −3 Observac¸a˜o: Para comparar dois nu´meros racionais, voceˆ pode optar por igualar os denominadores ou por utilizar a propriedade apresentada na pa´gina 31 do Caderno Dida´tico. Na soluc¸a˜o a seguir, optamos por utilizar a propriedade citada. Soluc¸a˜o: a) 12 7 > 5 7 , pois 12× 7 > 5× 7. b) 6 4 > 6 8 , pois 6× 8 > 6× 4. c) 2 3 < 5 7 , pois 2× 7 < 5× 3. d) 8 9 < 9 8 , pois 8× 8 < 9× 9. e) −3 4 > −7 4 , pois −3× 4 > −7× 4. f) 6 −5 < 1 3 equivale a −6 5 < 1 3 , pois 6 −5 = −6 5 e −6× 3 < 1× 5. g) −12 9 = 4 −3 equivale a −12 9 = −4 3 , pois 4 −3 = −4 3 e −12× 3 = −4× 9. Fundac¸a˜o CECIERJ Conso´rcio CEDERJ Me´todos Determin´ısticos I EP2 3 Exerc´ıcio 4 Desenvolvendo as expresso˜es nume´ricas de ambos os lados das desigualdades, decida se as desigualdades abaixo sa˜o verdadeiras ou falsas. a) 3 7 · −5 2 < −3 2 + 1 3 b) −8 3 · −7 8 > 4 5 − 6 8 c) − (−5 9 ÷ −2 7 ) ≤ 4 7 · ( −3 5 ) d) −4 5 + 3 −8 ≥ − 47 40 e) −10 > 20−3 Soluc¸a˜o: Antes de comec¸armos o gabarito desta questa˜o, por motivo de simplificac¸a˜o e economia de espac¸o, vamos trocar a expressa˜o “se, e somente se,”pelo s´ımbolo “⇐⇒”. Na Aula 4, falaremos mais sobre ele. a) 3 7 · −5 2 < −3 2 + 1 3 ⇐⇒ −15 14 < −9 6 + 2 6 ⇐⇒ −15 14 < −7 6 ⇐⇒ −15 · 6 < −7 · 14 ⇐⇒ −90 < −98 Logo, a desigualdade e´ falsa. Fundac¸a˜o CECIERJ Conso´rcio CEDERJ Me´todos Determin´ısticos I EP2 4 b) −8 3 · −7 8 > 4 5 − 6 8 ⇐⇒ *−1−8 3 · −7 � 1 8 > 4 5 − � 3 6 � 4 8 ⇐⇒ −1 3 · −7 1 > 4 5 − 3 4 ⇐⇒ 7 3 > 16 20 − 15 20 ⇐⇒ 7 3 > 1 20 ⇐⇒ 7.20 > 3.1 ⇐⇒ 140 > 3 Logo, a desigualdade e´ verdadeira. c) − (−5 9 ÷ −2 7 ) ≤ 4 7 · ( −3 5 ) ⇐⇒ − (−5 9 · 7−2 ) ≤ ( −4 7 · 3 5 ) ⇐⇒ − ( 35 18 ) ≤ −12 35 ⇐⇒ −35 · 35 ≤ −12 · 18 ⇐⇒ −1225 ≤ −216 Logo, a desigualdade e´ verdadeira. d) −4 5 + 3 −8 ≥ − 47 40 ⇐⇒ −32 40 + −15 40 ≥ −47 40 ⇐⇒ −47 40 ≥ −47 40 Logo, a desigualdade e´ verdadeira. Fundac¸a˜o CECIERJ Conso´rcio CEDERJ Me´todos Determin´ısticos I EP2 5 e) −10 > 20−3 ⇐⇒ −10 > −20 3 ⇐⇒ −30 > −20 Logo, a desigualdade e´ falsa. Exerc´ıcio 5 Efetue as expresso˜es nume´ricas indicadas e obtenha o resultado na forma de uma frac¸a˜o irredut´ıvel. a) 12 8 + 8 5 b) 2 7 − 5 4 × 2−3 c) 1 + 2 [ 3− 1 4 ( 4 6 − 1 2 ) + 5 ] + 7 d) 2 { −1 + 12 [ −13 + 4 ( 1− 1 3 )] + 5 } e) [( 3 6 − 12 48 ) ÷ 7 6 + 1 7 ( 13 4 − 7 3 + 1 12 )] × 1 3 ÷ 1 7 f) ( 2 3 − 7 4 × 5 6 ) ÷ 5 3 − 1 2 × 3 4 g) 1 6 15 3 + 7 −4 × 9 8 ÷ −2 3 . Lembrete: Lembre-se primeiro resolvemos o que esta´ entre pareˆnteses, depois o que esta´ entre colchetes e, finalmente, o que esta´ entre chaves. Observe ainda que quando temos dois termos lado a lado sem nenhum sinal entre eles (como ocorre apo´s 1/7 no item e) a operac¸a˜o a ser realizada e´ multiplicac¸a˜o. Soluc¸a˜o: a) 12 8 + 8 5 = > 3 12 � 2 8 + 8 5 = 3 2 + 8 5 = 15 10 + 16 10 = 15 + 16 10 = 31 10 b) 2 7 − 5 4 × 2−3 = 2 7 − 10−12 = 2 7 + > 5 10 > 6 12 = 2 7 + 5 6 = 12 42 + 35 42 = 47 42 Fundac¸a˜o CECIERJ Conso´rcio CEDERJ Me´todos Determin´ısticos I EP2 6 c) 1 + 2 3− 1 4 �24 � 3 6 − 1 2 + 5 + 7 = 1 + 2 [3− 1 4 ( 2 3 − 1 2 ) + 5 ] + 7 = 1 + 2 [ 3− 1 4 ( 4− 3 6 ) + 5 ] + 7 = 1 + 2 [ 3− 1 4 ( 1 6 ) + 5 ] + 7 = 1 + 2 [ 3− 1 24 + 5 ] + 7 = 1 + 2 [ 72− 1 + 120 24 ] + 7 = 1 + 2 [ 191 24 ] + 7 = 1 + 191 12 + 7 = 12 + 191 + 84 12 = 287 12 d) 2 { −1 + 12 [ −13 + 4 ( 1− 1 3 )] + 5 } = 2 { −1 + 12 [ −13 + 4 ( 3− 1 3 )] + 5 } = 2 { −1 + 12 [ −13 + 4 ( 2 3 )] + 5 } = 2 { −1 + 12 [ −13 + 8 3 ] + 5 } = 2 { −1 + 12 [−39 + 8 3 ] + 5 } = 2 { −1 + >412 [−31 3 ] + 5 } = 2 {−1 + 4 [−31] + 5} = 2 {−1− 124 + 5} = 2{−120} = −240 Fundac¸a˜o CECIERJ Conso´rcio CEDERJ Me´todos Determin´ısticos I EP2 7 e)[( 3 � 2 6 − 12 > 4 48 ) ÷ 7 6 + 1 7 × ( 13 4 − 7 3 + 1 12 )] × 1 3 ÷ 1 7 = [( 1 2 − 1 4 ) × 6 7 + 1 7 × ( 39 12 − 28 12 + 1 12 )] × 1 3 × 7 = [( 2 4 − 1 4 ) × 6 7 + 1 7 × 12 12 ] × 1 3 × 7 = 1 � 2 4 × � 3 6 7 + 1 7 × 7 3 = [ 1 2 × 3 7 + 1 7 ] × 7 3 = [ 3 14 + 1 7 ] × 7 3 = [ 3 14 + 2 14 ] × 7 3 = 5 > 2 14 × 7 3= 5 2 × 1 3 = 5 6 f) ( 2 3 − 7 4 × 5 6 ) ÷ 5 3 − 1 2 × 3 4 = ( 2 3 − 35 24 ) ÷ 5 3 − 3 8 = ( 16 24 − 35 24 ) ÷ 5 3 − 3 8 = −19 24 ÷ 5 3 − 3 8 = − 19 > 8 24 × 3 5 − 3 8 = −19 8 × 1 5 − 3 8 = −19 40 − 3 8 = −19 40 − 15 40 = −34 40 = −17 20 Fundac¸a˜o CECIERJ Conso´rcio CEDERJ Me´todos Determin´ısticos I EP2 8 g) 1 6 15 3 + 7 −4 × 9 8 ÷ −2 3 = 1 6 1 5 3 − 7 4 × 9 8 ÷ −2 3 = 1 6 1 20 12 − 21 12 × 9 8 ÷ −2 3 = 1 6 1 − 1 12 × 9 8 ÷ −2 3 = 1 6 ( *−2−12 ) × 9 8 ÷ −2 3 = * −1−2 × 9 � 4 8 ÷ −2 3 = −9 4 ÷ −2 3 = −9 4 × ( −3 2 ) = 27 8 Exerc´ıcio 6 Simplifique as expresso˜es alge´bricas a seguir, onde a, b e c sa˜o nu´meros com a 6= 0 e b 6= 0. a) (7a+ b− 2c) + (2a− 5b− 3c) b) (a+ 5b)− (4a+ 5b) c) (3a) · (−9b) d) 2(a− b) + 2b e) (25a)÷ (5a) f) 3a 6 ÷ 6 3b g) a− 3ba 3a + b Soluc¸a˜o: a) (7a+ b− 2c) + (2a− 5b− 3c) = 7a+ b− 2c+ 2a− 5b− 3c = (7a+ 2a) + (b− 5b) + (−2c− 3c) = (9a) + (−4b) + (−5c) = 9a− 4b− 5c Fundac¸a˜o CECIERJ Conso´rcio CEDERJ Me´todos Determin´ısticos I EP2 9 b) (a+ 5b)− (4a+ 5b) = a+ 5b− 4a− 5b = (a− 4a) + (5b− 5b) = −3a+ 0 = −3a c) (3a) · (−9b) = −27ab d) 2(a− b) + 2b = 2a− 2b+ 2b = 2a e) (25a)÷ (5a) = 25a · 1 5a = > 5 25 a 5a = 5 f) 3a 6 ÷ 6 3b = 3a 6 · 3b 6 = 9ab > 4 36 = ab 4 g) a− 3ba 3a + b = a− 3ab+ 3ab 3a = a 3a = 1 3 Equac¸o˜es de primeiro grau (com uma varia´vel) Uma Equac¸a˜o e´ toda sentenc¸a matema´tica aberta que exprime uma relac¸a˜o de igualdade entre ex- presso˜es matema´ticas. Exemplos de equac¸o˜es: • 3x+ 9 = 0 • 4x− 2 = 6x+ 7 • a+ b+ c = 0. Exemplos de expresso˜es que na˜o sa˜o equac¸o˜es: • 3 + 7 = 5 + 5 (Na˜o e´ uma sentenc¸a aberta) • 2x− 4 < 0 (Na˜o e´ uma igualdade) • 3 6= 7 (na˜o e´ uma sentenc¸a aberta, nem uma igualdade). Uma equac¸a˜o do primeiro grau e´ toda equac¸a˜o que, depois de simplificada, pode ser escrita na forma ax+ b = 0, onde a e b sa˜o nu´meros conhecidos e a e´ diferente de zero. A letra x e´ a inco´gnita da equac¸a˜o. Para resolver essa equac¸a˜o efetuamos os seguintes passos: ax+ b−b = 0−b (subtra´ımos b dos dois lados da equac¸a˜o) ax = −b ax a = − b a (dividimos por a os dois lados da equac¸a˜o) x = − b a . Fundac¸a˜o CECIERJ Conso´rcio CEDERJ Me´todos Determin´ısticos I EP2 10 Portanto, x = − b a e´ a soluc¸a˜o da equac¸a˜o ax + b = 0, isto e´, o valor de x que torna correta (isto e´, verdadeira) a igualdade ax + b = 0. Note que quando substitu´ımos x = − b a na equac¸a˜o, obtemos, de fato, a igualdade, veja: a · ( − b a ) + b = −ab a + b = −a/b a/ + b = − b 1 + b = −b+ b = 0. Numa equac¸a˜o, tudo que antecede o sinal da igualdade e´ chamado de primeiro membro, e o que sucede, de segundo membro. Por exemplo, em 3x + 8 = 2x − 7 temos que 3x + 8 e´ o primeiro membro e 2x − 7 e´ o segundo membro da equac¸a˜o. Qualquer parcela, do primeiro ou do segundo membro, e´ um termo da equac¸a˜o. Resolver uma equac¸a˜o consiste em realizar uma se´rie de operac¸o˜es que nos conduzam a equac¸o˜es equivalentes cada vez mais simples e que nos permitam determinar as suas soluc¸o˜es. Exerc´ıcio 7 Resolva as equac¸o˜es: a) 4x 3 = 11 5 b) 3 (x− 4)− 2 (1− x) = 2 (x− 1) c) 3 ( 1− x− 1 3 ) = 1 3 (3x− 7) d) 6− 3x 5 = 1 10 e) 3x− 8 4 = 4x− 20 5 Soluc¸a˜o: a) 4x 3 = 11 5 ⇐⇒ 4x 3 ·15 = 11 5 ·15⇐⇒ 4x(5) = 11(3)⇐⇒ 20x = 33⇐⇒ 20x· 1 20 = 33· 1 20 ⇐⇒ x= 33 20 b) 3 (x− 4)− 2 (1− x) = 2 (x− 1) ⇐⇒ 3 · x+ 3 · (−4)− 2 · 1− 2 · (−x) = 2 · x+ 2 · (−1) ⇐⇒ 3x− 12− 2 + 2x = 2x− 2 ⇐⇒ 5x− 14 = 2x− 2 ⇐⇒ 5x− 14−2x = 2x− 2−2x ⇐⇒ 3x− 14 = −2 ⇐⇒ 3x− 14+14 = −2+14 ⇐⇒ 3x = 12 ⇐⇒ 3x·1 3 = 12·1 3 ⇐⇒ x = 4 Fundac¸a˜o CECIERJ Conso´rcio CEDERJ Me´todos Determin´ısticos I EP2 11 c) 3 ( 1− x− 1 3 ) = 1 3 (3x− 7) ⇐⇒ 3 · 1− 3 · ( x− 1 3 ) = 1 3 · 3x− 1 3 · 7 ⇐⇒ 3− (x− 1) = x− 7 3 ⇐⇒ 3− x+ 1 = 3x− 7 3 ⇐⇒ 4− x = 3x− 7 3 ⇐⇒ 3(4− x) = 3x− 7 ⇐⇒ 12− 3x = 3x− 7 ⇐⇒ −3x− 3x = −7− 12 ⇐⇒ −6x = −19 ⇐⇒ x = −19−6 ⇐⇒ x = 19 6 d) 6− 3x 5 = 1 10 ⇐⇒ 6− 3x 5 · 10 = 1 10 · 10 ⇐⇒ 6− 3x 5 · >210 = 1 10 · 10 ⇐⇒ (6− 3x) · 2 = 1 ⇐⇒ 2 · (6− 3x) = 1 ⇐⇒ 12− 6x = 1 ⇐⇒ −6x = 1− 12 ⇐⇒ −6x = −11 ⇐⇒ x = −11−6 ⇐⇒ x = 11 6 Fundac¸a˜o CECIERJ Conso´rcio CEDERJ Me´todos Determin´ısticos I EP2 12 e) 3x− 8 4 = 4x− 20 5 ⇐⇒ 3x− 8 4 · 20 = 4x− 20 5 · 20 ⇐⇒ 3x− 8 4 · >520 = 4x− 20 5 · >420 ⇐⇒ (3x− 8) · 5 = (4x− 20) · 4 ⇐⇒ 5 · (3x− 8) = 4 · (4x− 20) ⇐⇒ 15x− 40 = 16x− 80 ⇐⇒ 15x− 16x = −80 + 40 ⇐⇒ −x = −40 ⇐⇒ x = 40. Uma observac¸a˜o! As equac¸o˜es de primeiro grau na˜o devem ser pensadas apenas como “questo˜es”ou “exerc´ıcios”por si so´. Muitas vezes, elas aparecem quando se esta´ tentando relacionar as informac¸o˜es dadas em problemas, servindo assim, como ferramenta de modelagem destes problemas. Nos exerc´ıcios abaixo, equac¸o˜es de primeiro grau sera˜o utilizadas como ferramentas em problemas envolvendo conjuntos. Experimente utilizar uma varia´vel para representar a quantidade que voceˆ quer determinar, ou alguma outra quantidade relacionada ao problema. Tente resolver o primeiro deles, o Exerc´ıcio ?? e, caso na˜o consiga (depois de tentar muito!), leia o comec¸o do gabarito. Depois, volte ao exerc´ıcio e tente seguir sozinho ate´ o fim. Nos exerc´ıcios ?? e ??, voceˆ utilizara´ equac¸o˜es de primeiro grau para descobrir nu´meros de elementos de conjuntos. Experimente denotar por uma varia´vel (x, por exemplo) a quantidade de elementos de algum dos conjuntos envolvidos. Exerc´ıcio 8 Numa produc¸a˜o caseira de uma quantidade q de bombons, sabe-se que o custo C e´ igual a soma do dobro da quantidade a ser produzida com um custo fixo de R$ 16,00. A receita R obtida pela comercializac¸a˜o deste produto e´ igual a 5 vezes a quantidade produzida. Sabendo que o lucro L e´ dado pela diferenc¸a entre a receita e o custo, escreva a equac¸a˜o que representa uma produc¸a˜o com lucro igual a R$ 50,00. Neste caso, determine quantos bombons sa˜o produzidos. Soluc¸a˜o: Pelo enunciado q e´ a quantidade de bombons a ser produzida. Como o custo C e´ igual a soma do dobro da quantidade a ser produzida com um custo fixo de R$ 16,00, temos a equac¸a˜o C = 2q + 16. Fundac¸a˜o CECIERJ Conso´rcio CEDERJ Me´todos Determin´ısticos I EP2 13 Como a receita R obtida pela comercializac¸a˜o deste produto e´ igual a 5 vezes a quantidade produzida, temos R = 5q. Como o lucro L e´ dado pela diferenc¸a entre a receita e o custo, temos L = R− C = 5q − (2q + 16) = 3q − 16. Assim, a equac¸a˜o que representa uma produc¸a˜o com lucro igual a R$ 50,00 e´ escrito por L = 50 =⇒ 3q − 16 = 50 . Resolvendo essa equac¸a˜o, vem que: 3q − 16 = 50 ⇐⇒ 3q − 16 + 16 = 50 + 16 ⇐⇒ 3q = 66 ⇐⇒ 1 3 · 3q = 1 3 · 66 ⇐⇒ q = 22 Isto significa, que quando o lucro e´ igual a R$ 50,00 sa˜o produzidos 22 bombons. Exerc´ıcio 9 Os estudantes de uma classe organizaram sua festa de final de ano, sendo que cada um deveria contribuir com R$ 135,00 para as despesas. Como 7 alunos deixaram a escola antes da arrecadac¸a˜o e as despesas permaneceram as mesmas, cada um dos estudantes restantes teria de pagar R$ 27,00 a mais do que antes. No entanto, o diretor, para ajudar, contribuiu com R$ 630,00. Quanto pagou cada aluno participante da festa? Observac¸a˜o: Este exerc´ıcio foi retirado do livro Matema´tica e Lo´gica para Concursos de Jose´Luiz de Morais, da Editora Saraiva. Soluc¸a˜o: Representando o total de alunos que inicialmente faziam parte da classe por a, segue que o total de alunos que efetivamente contribuiram com a festa foi de a−7, depois que 7 deles deixaram a escola. Como as despesas na˜o foram alteradas depois da sa´ıda destes alunos, segue que o que os alunos da classe iam arrecadar inicialmente ficou igual ao que os alunos restantes arrecadaram. Ou seja, 135 a = (135 + 27)(a− 7) Resolvendo essa equac¸a˜o obtemos 135 a = (135 + 27)(a− 7) ⇐⇒ 135 a = 162 (a− 7) ⇐⇒ 135 a = 162 a− 1134 ⇐⇒ 135 a− 162 a = −1134 ⇐⇒ −27 a = −1134 ⇐⇒ a = −1134−27 ⇐⇒ a = 42. Fundac¸a˜o CECIERJ Conso´rcio CEDERJ Me´todos Determin´ısticos I EP2 14 Encontramos o total de alunos que dividiriam, inicialmente, o total das despesas; esse total e´ igual a 42 ·R$ 135, 00 = R$ 5670, 00. Como o diretor contribuiu com R$ 630,00, essa despesa diminuiu para R$ 5040,00, montante que devera´ ser dividido entre os alunos restantes, ou seja, 42− 7 = 35 alunos. Assim, temos que cada aluno participante da festa pagou R$ 5040, 00 35 = R$ 144, 00. Exerc´ıcio 10 Em uma cidade de 100 habitantes, sa˜o vendidas duas marcas de sabonetes, A e B. Sabe-se que 12 pessoas compram ambas as marcas; que o nu´mero de pessoas que compra a marca A e´ o triplo do que compra a marca B; e que apenas 16 pessoas na˜o compram A e nem B. Determine quantas pessoas compram apenas a marca A. Soluc¸a˜o: Vamos chamar de U o conjunto de todos os habitantes da cidade, de A o conjunto dos compradores da marca A e de B o conjunto dos compradores da marca B. A informac¸a˜o de que “12 pessoas compram ambas as marcas”, nos da´ enta˜o que n(A ∩ B) = 12. Ale´m disso, como “apenas 16 pessoas na˜o compram A e nem B”, temos n(U − (A ∪ B)) = 16. Temos enta˜o o seguinte diagrama: Se chamarmos de x o percentual de pessoas que compram exclusivamente a marca B, como no diagrama abaixo, Fundac¸a˜o CECIERJ Conso´rcio CEDERJ Me´todos Determin´ısticos I EP2 15 teremos n(B) = x+ n(A∩B) = x+12. Como o nu´mero de compradores da marca A e´ o triplo de compradores de B, temos n(A) = 3n(B) = 3 (x+ 12) = 3x+ 36. Ale´m disso, o nu´mero de compradores exclusivos da marca A sera´ dado por n(A)− n(A ∩B) = (3x+ 36)− 12 = 3x+ 24. Reunindo todas as informac¸o˜es no diagrama, temos: Com isso, podemos ver que (3x+ 24) + 12 + x+ 16 = 100, logo 4x = 100− 52 ∴ 4x = 48 · t ∴ x = 12. O percentual de compradores exclusivos de A sera´ enta˜o n(A)− n(A ∩B) = 3 · 12 + 24 = 60. Com isso, 60 pessoas compram apenas a marca A. Exerc´ıcio 11 Na cidade de Sa˜o Miguel de Longe a` Bec¸a, com populac¸a˜o de 300 habitantes, circu- lam apenas dois jornais, a Folha da Madrugada e o Correio da Noite Alta. Sabe-se que a Folha da Madrugada possui o triplo de leitores que seu concorrente e que 50 pessoas sa˜o leitoras de ambos os jornais. Sabe-se tambe´m que 150 pessoas na˜o leem jornal algum. a) Quantos moradores desta cidade leem apenas o Correio da Noite Alta? b) Quantos leitores possui a Folha da Madrugada? Soluc¸a˜o: Fundac¸a˜o CECIERJ Conso´rcio CEDERJ Me´todos Determin´ısticos I EP2 16 a) Vamos chamar de x o nu´mero de pessoas que leem apenas o Correio da Noite Alta. Assim, o nu´mero de leitores deste jornal sera´ dado por x + 50 (nu´mero de leitores exclusivos do Correio somado ao nu´mero de leitores de ambos os jornais). Desta forma, o nu´mero de leitores da Folha da Madrugada, que e´ o triplo do nu´mero de leitores do Correio, sera´ dado por 3(x+ 50) = 3x+ 150 e, com isso, o nu´mero de leitores exclusivos da Folha sera´ 3x+ 150− 50 = 3x+ 100. Temos enta˜o o seguinte diagrama: Com isso, (3x+ 100) + 50 + x+ 150 = 300, logo 4x+ 300 = 300, e enta˜o x = 0. Portanto, ningue´m leˆ apenas o Correio da Noite Alta! b) Como vimos no item anterior, o nu´mero de leitores da Folha da Madrugada e´ dado por 3x+150 = 3 · 0 + 150 = 150. Fundac¸a˜o CECIERJ Conso´rcio CEDERJ
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