EP2 2018 1 questoes

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Fundac¸a˜o Centro de Cieˆncias e Educac¸a˜o Superior a Distaˆncia do Estado do Rio de Janeiro
Centro de Educac¸a˜o Superior a Distaˆncia do Estado do Rio de Janeiro
EP2 – Me´todos Determin´ısticos I – 2018-1
Neste EP vamos trabalhar o conteu´do estudado na Aula 2 e nas pa´ginas 144 e 145 da Aula 12, do Caderno
Dida´tico.
Uma expressa˜o matema´tica e´ uma combinac¸a˜o finita de nu´meros ou letras, as quais chamamos
de varia´veis, que sa˜o ligadas por operac¸o˜es matema´ticas, tais como, soma, diferenc¸a, multiplicac¸a˜o,
divisa˜o, etc e que tambe´m envolvem chaves, colchetes e pareˆnteses para indicar a ordem em que as
operac¸o˜es devem ser efetuadas. As expresso˜es matema´ticas podem ser nume´ricas, quando envolvem
apenas combinac¸o˜es de nu´meros ou alge´bricas, quando envolvem combinac¸o˜es de nu´meros e letras.
Na Aula 2 do Caderno Dida´tico, voceˆ estudou as regras das operac¸o˜es com nu´meros naturais, inteiros
e racionais e, nos pro´ximos exerc´ıcios, voceˆ praticara´ estas regras. Esteja especialmente atento a`
ordem com que as operac¸o˜es devem ser realizadas.
Exerc´ıcio 1 Resolva as expresso˜es nume´ricas abaixo. Lembre-se que as operac¸o˜es de multiplicac¸a˜o
e de divisa˜o devem ser realizadas antes das operac¸o˜es de adic¸a˜o e subtrac¸a˜o.
a) 5 + 7× (−3)× (−2)− (−4)× 5
b) (−16)÷ 4 + (−3)× (−2)
c) 12× 4÷ (−3)× 9
Exerc´ıcio 2 Efetue as operac¸o˜es com frac¸o˜es, e obtenha o resultado na forma de uma frac¸a˜o irre-
dut´ıvel
a)
2
5
÷ 1
40
b)
−2
15
× 9−11
c) −7
3
− 4−5
d)
2
5
− 3
4
× 6−5
Exerc´ıcio 3 Compare as frac¸o˜es a seguir, completando a lacuna de cada item com >, < ou =.
a)
12
7
. . .
5
7
b)
6
4
. . .
6
8
c)
2
3
. . .
5
7
d)
8
9
. . .
9
8
e)
−3
4
. . .
−7
4
f)
6
−5 . . .
1
3
g)
−12
9
. . .
4
−3
Me´todos Determin´ısticos I EP2 2
Exerc´ıcio 4 Desenvolvendo as expresso˜es nume´ricas de ambos os lados das desigualdades, decida
se as desigualdades abaixo sa˜o verdadeiras ou falsas.
a)
3
7
· −5
2
<
−3
2
+
1
3
b)
−8
3
· −7
8
>
4
5
− 6
8
c) −
(−5
9
÷ −2
7
)
≤ 4
7
·
(
−3
5
)
d)
−4
5
+
3
−8 ≥ −
47
40
e) −10 > 20−3
Exerc´ıcio 5 Efetue as expresso˜es nume´ricas indicadas e obtenha o resultado na forma de uma frac¸a˜o
irredut´ıvel.
a)
12
8
+
8
5
b)
2
7
− 5
4
× 2−3
c) 1 + 2
[
3− 1
4
(
4
6
− 1
2
)
+ 5
]
+ 7
d) 2
{
−1 + 12
[
−13 + 4
(
1− 1
3
)]
+ 5
}
e)
[(
3
6
− 12
48
)
÷ 7
6
+
1
7
(
13
4
− 7
3
+
1
12
)]
× 1
3
÷ 1
7
f)
(
2
3
− 7
4
× 5
6
)
÷ 5
3
− 1
2
× 3
4
g)
1
6
 15
3
+
7
−4
× 9
8
÷ −2
3
.
Lembrete: Lembre-se de que primeiro resolvemos o que esta´ entre pareˆnteses, depois o que esta´ entre colchetes e,
finalmente, o que esta´ entre chaves. Observe ainda que quando temos dois termos lado a lado sem nenhum sinal
entre eles (como ocorre apo´s 1/7 no item e) a operac¸a˜o a ser realizada e´ multiplicac¸a˜o.
Exerc´ıcio 6 Simplifique as expresso˜es alge´bricas a seguir, onde a, b e c sa˜o nu´meros com a 6= 0 e
b 6= 0.
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Me´todos Determin´ısticos I EP2 3
a) (7a+ b− 2c) + (2a− 5b− 3c)
b) (a+ 5b)− (4a+ 5b)
c) (3a) · (−9b)
d) 2(a− b) + 2b
e) (25a)÷ (5a)
f)
3a
6
÷ 6
3b
g)
a− 3ba
3a
+ b
Equac¸o˜es de primeiro grau (com uma varia´vel)
Uma Equac¸a˜o e´ toda sentenc¸a matema´tica aberta que exprime uma relac¸a˜o de igualdade entre ex-
presso˜es matema´ticas.
Exemplos de equac¸o˜es:
• 3x+ 9 = 0
• 4x− 2 = 6x+ 7
• a+ b+ c = 0.
Exemplos de expresso˜es que na˜o sa˜o equac¸o˜es:
• 3 + 7 = 5 + 5 (Na˜o e´ uma sentenc¸a aberta)
• 2x− 4 < 0 (Na˜o e´ uma igualdade)
• 3 6= 7 (na˜o e´ uma sentenc¸a aberta, nem uma igualdade).
Uma equac¸a˜o do primeiro grau e´ toda equac¸a˜o que, depois de simplificada, pode ser escrita na
forma
ax+ b = 0,
onde a e b sa˜o nu´meros conhecidos e a e´ diferente de zero. A letra x e´ a inco´gnita da equac¸a˜o.
Para resolver essa equac¸a˜o efetuamos os seguintes passos:
ax+ b−b = 0−b (subtra´ımos b dos dois lados da equac¸a˜o)
ax = −b
ax
a
= − b
a
(dividimos por a os dois lados da equac¸a˜o)
x = − b
a
.
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Me´todos Determin´ısticos I EP2 4
Portanto, x = − b
a
e´ a soluc¸a˜o da equac¸a˜o ax + b = 0, isto e´, o valor de x que torna correta
(isto e´, verdadeira) a igualdade ax + b = 0. Note que quando substitu´ımos x = − b
a
na equac¸a˜o,
obtemos, de fato, a igualdade, veja:
a ·
(
− b
a
)
+ b = −ab
a
+ b = −a/b
a/
+ b = − b
1
+ b = −b+ b = 0.
Numa equac¸a˜o, tudo que antecede o sinal da igualdade e´ chamado de primeiro membro, e o que
sucede, de segundo membro. Por exemplo, em 3x + 8 = 2x − 7 temos que 3x + 8 e´ o primeiro
membro e 2x − 7 e´ o segundo membro da equac¸a˜o. Qualquer parcela, do primeiro ou do segundo
membro, e´ um termo da equac¸a˜o.
Resolver uma equac¸a˜o consiste em realizar uma se´rie de operac¸o˜es que nos conduzam a equac¸o˜es
equivalentes cada vez mais simples e que nos permitam determinar as suas soluc¸o˜es.
Exerc´ıcio 7 Resolva as equac¸o˜es:
a)
4x
3
=
11
5
b) 3 (x− 4)− 2 (1− x) = 2 (x− 1)
c) 3
(
1− x− 1
3
)
=
1
3
(3x− 7)
d)
6− 3x
5
=
1
10
e)
3x− 8
4
=
4x− 20
5
Uma observac¸a˜o!
As equac¸o˜es de primeiro grau na˜o devem ser pensadas apenas como “questo˜es”ou “exerc´ıcios”por
si so´. Muitas vezes, elas aparecem quando se esta´ tentando relacionar as informac¸o˜es dadas em
problemas, servindo assim, como ferramenta de modelagem destes problemas.
Nos exerc´ıcios abaixo, equac¸o˜es de primeiro grau sera˜o utilizadas como ferramentas em problemas
envolvendo conjuntos. Experimente utilizar uma varia´vel para representar a quantidade que voceˆ
quer determinar, ou alguma outra quantidade relacionada ao problema.
Tente resolver o primeiro deles, o Exerc´ıcio 8 e, caso na˜o consiga (depois de tentar muito!), leia o
comec¸o do gabarito. Depois, volte ao exerc´ıcio e tente seguir sozinho ate´ o fim.
Nos exerc´ıcios 10 e 11, voceˆ utilizara´ equac¸o˜es de primeiro grau para descobrir nu´meros de elementos
de conjuntos. Experimente denotar por uma varia´vel (x, por exemplo) a quantidade de elementos de
algum dos conjuntos envolvidos.
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Me´todos Determin´ısticos I EP2 5
Exerc´ıcio 8 Numa produc¸a˜o caseira de uma quantidade q de bombons, sabe-se que o custo C e´
igual a soma do dobro da quantidade a ser produzida com um custo fixo de R$ 16,00. A receita R
obtida pela comercializac¸a˜o deste produto e´ igual a 5 vezes a quantidade produzida. Sabendo que
o lucro L e´ dado pela diferenc¸a entre a receita e o custo, escreva a equac¸a˜o que representa uma
produc¸a˜o com lucro igual a R$ 50,00. Neste caso, determine quantos bombons sa˜o produzidos.
Exerc´ıcio 9 Os estudantes de uma classe organizaram sua festa de final de ano, sendo que cada
um deveria contribuir com R$ 135,00 para as despesas. Como 7 alunos deixaram a escola antes
da arrecadac¸a˜o e as despesas permaneceram as mesmas, cada um dos estudantes restantes teria de
pagar R$ 27,00 a mais do que antes. No entanto, o diretor, para ajudar, contribuiu com R$ 630,00.
Quanto pagou cada aluno participante da festa?
Observac¸a˜o: Este exerc´ıcio foi retirado do livro Matema´tica e Lo´gica para Concursos de Jose´ Luiz de Morais, da
Editora Saraiva.
Exerc´ıcio 10 Em uma cidade de 100 habitantes, sa˜o vendidas duas marcas de sabonetes, A e B.
Sabe-se que 12 pessoas compram ambas as marcas; que o nu´mero de pessoas que compra a marca
A e´ o triplo do que compra a marca B; e que apenas 16 pessoas na˜o compram A e nem B.
Determinequantas pessoas compram apenas a marca A.
Exerc´ıcio 11 Na cidade de Sa˜o Miguel de Longe a` Bec¸a, com populac¸a˜o de 300 habitantes, circu-
lam apenas dois jornais, a Folha da Madrugada e o Correio da Noite Alta. Sabe-se que a Folha da
Madrugada possui o triplo de leitores que seu concorrente e que 50 pessoas sa˜o leitoras de ambos os
jornais. Sabe-se tambe´m que 150 pessoas na˜o leem jornal algum.
a) Quantos moradores desta cidade leem apenas o Correio da Noite Alta?
b) Quantos leitores possui a Folha da Madrugada?
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