MDT_AP2_2008 1

Prévia do material em texto

Fundação Centro de Ciências e Educação Superior a Distância do Estado do 
Rio de Janeiro 
Centro de Educação Superior a Distância do Estado do Rio de Janeiro 
Métodos Determinísticos 
AP2- 08/06/2008 – Gabarito 
 
1ª Questão (2,0 pts) 
Resolva as equações em ℜ : 
a) 042522 =+⋅− xx . 
b) 1)42(log)52(log 33 =+−+ xx . 
 
Solução: 
a) 0425)2(04252 22 =+⋅−⇔=+⋅− xxxx 
Fazendo a mudança de variáveis 2 x = y, obtemos: 
 
0121
2424
14
2
35
045
2
1
21
2
=⇒=⇒=
=⇒=⇒=
==⇒
±
=
=+−
xy
xy
yeyy
yy
x
x
 
Logo o conjunto solução é dado por S = {0,2}. 
 
b) 1)42(log)52(log 33 =+−+ xx 
Condição de existência do logaritmo: 
(I) 2x + 5 > 0 ⇒ x > - 5/2 = - 2,5. 
(II) 2x + 4 > 0 ⇒ x > - 2. 
Fazendo (I) ∩ (II), obtemos que x > - 2. 
 
Utilizando as propriedades e a definição do logaritmo vem, 
.
4
7
,
4
774
126523
42
52
1
42
52log1)42(log)52(log 333






=
=⇒−=−
+=+⇒=
+
+
=





+
+
⇔=+−+
S
xx
xx
x
x
x
x
xx
 
 
 
 
2ª Questão (2,0 pts) 
Considere a função 2
2
)2(
3)(
−
=
x
x
xf . Determine: 
a) O domínio. 
b) As assíntotas verticais e horizontais, caso existam. 
c) O maior conjunto D para o qual a função é contínua. 
 
Solução: 
 
a) O domínio de f, D( f ) = ℜ-{2}. 
b) Verificando a existência de assíntotas horizontais: 
 3
441
3lim
441
3lim
44
3lim)2(
3lim
22
2
2
2
2
2
2
=






+−
=






+−⋅
=
+−
=
−
+∞→+∞→+∞→+∞→
xxxx
x
x
xx
x
x
x
xxxx
 e 
3
441
3lim
441
3lim
44
3lim)2(
3lim
22
2
2
2
2
2
2
=






+−
=






+−⋅
=
+−
=
−
∞−→∞−→∞−→∞−→
xxxx
x
x
xx
x
x
x
xxxx
. 
Logo y = 3 é uma assíntota horizontal para o gráfico da função. 
 
 Além disso, +∞==
−
+→ − 0
12
)2(
3lim 2
2
2 x
x
x
 e +∞==
−
+→ + 0
12
)2(
3lim 2
2
2 x
x
x
 , donde 
podemos concluir que a função possui assíntota vertical em x = 2. 
 
c) Como f é o quociente de polinômios, temos que a função f é contínua em 
todo o seu domínio de definição, D( f ) = ℜ-{2}. 
 
 
3ª Questão (2,0 pts) 
 
Considere a função 596)( 23 ++−= xxxxf , determine: 
a) Domínio. 
b) Derivada primeira. 
c) Derivada segunda. 
d) Estudo do sinal da derivada primeira, pontos críticos, intervalos de 
crescimento e decrescimento. 
e) Estudo do sinal da derivada segunda, concavidade. 
f) Máximo, mínimo e ponto de inflexão f (se houver). 
 
Solução: 
 
a) ).,()( +∞−∞=ℜ=fD 
b) 912.3)´( 2 +−= xxxf . 
c) 126)´´( −= xxf . 
d) Estudo do sinal da primeira derivada: 
0)1).(3(3091230)´( 2 =−−⇔=+−⇔= xxxxxf . 
Logo os pontos críticos são x = 1 e x = 3. 
 
 
 
 -∞ 1 3 +∞ 
9123)´( 2 +−= xxxf + - + 
)(xf ↑ ↓ ↑ 
 
Do estudo acima podemos concluir que f é crescente em (-∞ , 1) ∪ (3 , ∞) e f é 
decrescente no intervalo (1 , 3). 
 
e) Estudo do sinal da segunda derivada: 
.20)´´(
126)´´(
=⇔=
−=
xxf
xxf
 
 
 2 +∞ 
f´´(x) = 6x - 12 - + 
f(x) ∩ ∪ 
 
Do estudo acima obtemos que f possui um ponto de inflexão em 
(2 , f(2)) = (0 , 7). 
A função é côncava no intervalo (-∞ , 2) e a função é convexa no intervalo 
(2 , ∞). 
 
f) f possui um máximo local em x = 1, dado por f(1) = 9. 
 f possui um mínimo local em x = 3, dado por f(3) = 5. 
 
4ª Questão (2,0 pts) 
 
a) Determine o domínio e a primeira derivada da função 
)44ln()( 2 +−= xxxf . 
b) Calcule a integral indefinida ∫ + dxxx 1. 2 . 
 
Solução: 
 
a) }2{}044/{)( 2 −ℜ=>+−ℜ∈= xxxfD . 
 
 
 
b) ∫∫ +=+ dxxxdxxx 2
122 )1.(1. . 
 
Seja 1)( 2 += xxu . Utilizando a substituição de variáveis na integral, já que 
.
2
2
)2(
)2(2
44
42)('
42)('
44)(
22
2
−
=
−
−
=
+−
−
=
−=
+−=
xx
x
xx
x
xf
xxu
xxxu
xdxdux
dx
du
=↔=
2
2 , obtemos 
 
.)1.(
3
1
.
3
1
2
3.2
1
1
2
1.2
1
.
2
1
2
)1( 23223
2
31
2
1
2
1
2
1
2
12 CxCuCuCuduuduudxxx ++=+=+=+
+
===+ ∫ ∫∫
+
 
Assim, Cxdxxx ++=+∫ 2
322 )1.(
3
11. . 
 
 
5ª Questão (2,0 pts) 
Determine a área da região delimitada pelos gráficos das funções 
1+= xy , 
22
5 xy −= e 72 +−= xy 
como mostra a figura, para x pertencente ao intervalo [ 1 , 3 ]. Observe que 
as abscissas dos pontos de interseção destas funções estão marcados no 
gráfico. 
 
 72 +−= xy 1+= xy 
 
 
 
 
22
5 xy −= 
 
 1 2 3 
 
 
Solução: 
 
Do gráfico, obtemos que a área desejada é dada por: 
 
A = ( ) ( )∫∫ 











−−+−+











−−+
3
2
2
1 22
572
22
51 dxxxdxxx . 
O próximo passo é calcular cada uma das integrais definidas acima utilizando o 
Teorema Fundamental do Cálculo. 
 
( )
.
4
3
.
4
3
4
63
2
3
4
301.
2
3
2
1
.
2
32.
2
3
2
2
.
2
3
2
3
2
.
2
3
2
3
2
3
22
51
1
22
2
1
22
1
2
11
=∴
=
+−
=+−=





−−





−=
=


−=



−=











−−+= ∫∫
I
x
xdxxdxxxI
 
( )
.
4
3
.
4
3
4
2454276
2
27
4
272.
2
9
2
2
.
2
33.
2
9
2
3
.
2
3
2
9
2
.
2
3
2
9
2
3
22
572
2
22
3
2
23
2
3
22
=∴
=
−+−
=−+−=





+−−





+−=
=


+−=



+−=











−−+−= ∫∫
I
x
xdxxdxxxI
 
 
Logo a área procurada é dada por A = 
2
3
4
6
4
3
4
3
==+ u.a.