2010-1_AP2_MetDeterministicos-1_GAB

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CEDERJ
ME´TODOS DETERMINI´STICOS - AP2 - 2010.1
Questa˜o 1 (2 pontos).
a) Resolva as inequac¸o˜es (2x+ 3)2 < x+ 2 e |y + 2| ≤ 7;
Soluc¸a˜o:
Para a primeira inequac¸a˜o:
(2x+ 3)2 < x+ 2⇔ 4x2 + 12x+ 9 < x+ 2⇔ 4x2 + 11x+ 7 < 0
Por Bhaskara vamos encontrar as ra´ızes do polinoˆmio:
∆ = 112 − 4 · 4 · 7 = 121− 112 = 9
Logo as ra´ızes sa˜o dadas por x = −11±
√
9
8
= −11±3
8
Isto e´, as ra´ızes sa˜o x = −1 e
x = −7/4.
Observamos que em x = 0 o polinoˆmio assume o valor 7 (positivo), logo o conjunto de
valores em que vale 4x2 + 11x+ 7 < 0 e´ o intevalo (−7/4,−1).
Para a segunda inequac¸a˜o:
|y+2| ≤ 7 e´ va´lido se e somente se tivermos y+2 ≥ 7 ou y− 2 ≤ −7. O primeiro caso
nos da´ como soluc¸a˜o o intervalo [9,+∞) e o segundo nos da´ o intevalo (−∞,−9].
b) Represente geometricamente o conjunto {(x, y) ∈ R2; (2x+ 3)2 < x+ 2 e |y + 2| ≤ 7}.
Soluc¸a˜o:
1
Questa˜o 2 (1 ponto). Seja f : R→ R dada por f(x) = 0, 5x2 − 1, 5x− 2.
a) Encontre as ra´ızes de f ;
Soluc¸a˜o: Vamos usar Bhaskara.
∆ = (−1, 5)2 − 4 · 0, 5 · (−2) = 2, 25 + 4 = 6, 25
x = 1,5±
√
6,25
1
= 1, 5± 2, 5, isto e´, as ra´ızes de f sa˜o x = 4 e x = −1.
b) Esboce o gra´fico de f .
Soluc¸a˜o: Para esboc¸ar o gra´fico de f precisamos de 3 pontos sobre a para´bola. As
ra´ızes ja´ nos da˜o dois desses pontos, que no gra´fico esta˜o denominados como A e B.
Vamos encontrar, enta˜o, o ve´rtice da para´bola. Se as ra´ızes ocorrem em x = −1 e
x = 4, o valor de x correspondente ao ve´rtice tem que estar no ponto me´dio entre
esses dois pontos, isto e´, o ve´rtice ocorre em x = 1, 5. Nesse ponto, temos: f(1, 5) =
0, 5 · 1, 52 − 1, 5 · 1, 5− 2 = 1, 125− 2, 25− 2 = −3, 125. Esse e´ o valor da coordenada
y do ponto C em nosso gra´fico.
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Questa˜o 3 (2 pontos). Encontre o conjunto soluc¸a˜o da equac¸a˜o |4x2 − 10x+ 5| = 1.
Soluc¸a˜o:
Para que valha |4x2−10x+5| = 1, ha´ duas possibilidades: 4x2−10x+5 = 1 ou 4x2−10x+5 =
−1.
No primeiro caso, precisamos resolver 4x2−10x+4 = 0, que e´ equivalente a 2x2−5x+2 = 0.
Por Bhaskara:
∆ = (−5)2 − 4 · 2 · 2 = 25− 16 = 9
Da´ı, x = (5±√9)/4 = (5± 3)/4. Logo, as soluc¸o˜es sa˜o x = 2 e x = 1/2. Mas ainda temos
o segundo caso, o qual pode ser escrito como 4x2− 10x+ 6 = 0, ou ainda, 2x2− 5x+ 3 = 0.
Novamente por Bhaskara:
∆ = (−5)2 − 4 · 2 · 3 = 25− 24 = 1
Da´ı, x = (5±√1)/4 = (5± 1)/4. Logo, as soluc¸o˜es sa˜o x = 1 e x = 3/2.
Resposta: O conjunto soluc¸a˜o e´ {1/2, 1, 3/2, 2}.
Questa˜o 4 (1 ponto). Resolva o sistema de equac¸o˜es a seguir:
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 x+ 8y = 173x− 12y = −12
Soluc¸a˜o: Multiplicando a primeira equac¸a˜o por -3 e somando com a segunda obtemos:
0x− 36y = −63
Dividindo por -9, isso nos da´: 4y = 7, isto e´, y = 7/4
Substituindo na primeira equac¸a˜o, obtemos: x + 8(7/4) = 17, isto e´, x + 14 = 17, donde
conclu´ımos que x = 3.
Questa˜o 5 (4 pontos). Chico, pequeno empresa´rio produtor de biscoitos finos, pode negociar
com dois fornecedores diferentes para comprar farinha de trigo. O fornecedor A cobra R$1,20
por quilo de farinha. O fornecedor B, sediado em regia˜o mais pro´xima a produtores de trigo,
vende farinha a 1 real por quilo, pore´m cobra taxa de entrega de 20 reais (independente da
quantidade demandada).
a) Para comprar 50 quilos de farinha de trigo, quanto Chico gastara´ se fizer a compra
com o fornecedor A e quanto gastara´ se utilizar o fornecedor B?
Soluc¸a˜o: Como o fornecedor A, Chico gastara´ 50 · 1, 20 = 60 reais. Com o fornecedor
B, Chico gastara´ 20 + 50 · 1 = 70 reais.
b) Encontre a func¸a˜o fA : (0,∞) → R que indica qual o valor fA(x) que Chico gastara´
para comprar x quilos de farinha com o fornecedor A.
Soluc¸a˜o: fA(x) = 1, 2x
c) Encontre a func¸a˜o fB : (0,∞) → R que indica qual o valor fB(x) que Chico gastara´
para comprar x quilos de farinha com o fornecedor B.
Soluc¸a˜o: fB(x) = 20 + x.
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d) Esboce os gra´ficos de fA e fB (em um mesmo plano cartesiano).
e) Qual deve ser a quantidade mı´nima de farinha a ser adquirida por Chico para que seja
mais barato utilizar o fornecedor B? Soluc¸a˜o: Devemos descobrir para qual valor de
x temos fB(x) < fA(x). Isso ocorre sempre que 20 + x < 1, 2x, isto e´, sempre que
20 < 0, 2x, o que por sua vez equivale a x > 100.
Logo, sera´ mais barato usar o fornecedor B sempre que Chico for comprar mais do que
100 quilos de farinha.
Bom trabalho e boa sorte!
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