Exercícios Superfícies cilíndricas, cônicas e revolução

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6.2 Superfı´cies Cilı´ndricas, Coˆnicas e de Revoluc¸a˜o 425
Exercı´cios Nume´ricos
6.2.1. Dadas as equac¸o˜es da curva diretriz e um vetor paralelo a`s retas geratrizes determine a equac¸a˜o da
superfı´cie cilı´ndrica
(a) y2 = 4x, z = 0 e V = (1,−1, 1)
(b) x2 + z2 = 1, y = 0 e V = (2, 1,−1)
(c) x2 − y2 = 1, z = 0 e V = (0, 2,−1)
(d) 4x2 + z2 + 4z = 0, y = 0 e V = (4, 1, 0)
6.2.2. Mostre que cada uma das equac¸o˜es representa uma superfı´cie cilı´ndrica e determine a equac¸a˜o da curva
diretriz e um vetor paralelo a`s retas geratrizes
(a) x2 + y2 + 2z2 + 2xz− 2yz = 1
(b) x2 + y + 5z2 + 2xz + 4yz− 4 = 0
(c) 17x2 + 2y2 + z2 − 8xy− 6xz− 2 = 0
(d) xz + 2yz− 1 = 0
6.2.3. Dadas as equac¸o˜es da curva diretriz determine a equac¸a˜o da superfı´cie coˆnica que tem ve´rtice na origem
O = (0, 0, 0).
(a) x2 + y2 = 4 e z = 2
(b) xz = 1 e y = 1
(c) y = x2 e z = 2
(d) x2 − 4z2 = 4 e y = 3
6.2.4. Mostre que cada uma das equac¸o˜es representa uma superfı´cie coˆnica com ve´rtice na origem O = (0, 0, 0)
e determine a equac¸a˜o de uma curva diretriz
(a) x2 − 2y2 + 4z2 = 0
(b) 4z3 − x2y = 0
(c) 8y4 − yz3 = 0
(d) xy + xz + yz = 0
6.2.5. Determine a equac¸a˜o da superfı´cie de revoluc¸a˜o gerada pela rotac¸a˜o da curva dada em torno do eixo
especificado.
(a) 9x2 + 4y2 = 36 e z = 0 em torno do eixo y
(b) x2 − 2z2 + 4z = 6 e y = 0 em torno do eixo x
(c) yz = 1 e x = 0 em torno do eixo z
(d) z = ex e y = 0 em torno do eixo z
6.2.6. Mostre que cada uma das equac¸o˜es representa uma superfı´cie de revoluc¸a˜o e determine o seu eixo de
revoluc¸a˜o e a equac¸a˜o de uma curva geratriz
(a) x2 + y2 − z3 = 0
(b) x2 + z2 = 4
(c) y6 − x2 − z2 = 0
(d) x2y2 + x2z2 = 1
Marc¸o 2012 Reginaldo J. Santos