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Mecânica das Vibrações - Capítulo 2 – Conceitos Básicos de Vibrações
21
��������	
	�	����
����	�������	�
	�������
�
��	�	�������� �
A noção de vibração começa com a idéia do equilíbrio. Um sistema está em equilíbrio quando a resultante de
todas as forças atuantes sobre mesmo é nula. Qualquer sistema que esteja sob esta condição somente sairá dela quando
alguma perturbação externa atuar sobre o mesmo. A oscilação irá ocorrer quando, após a perturbação atuar, o sistema
apresentar a tendência a retornar à sua posição de equilíbrio. Ao se conceder ao pêndulo um ângulo inicial pequeno
(menor que π/2) o mesmo entrará em movimento tendendo a retornar à sua posição de equilíbrio inicial. Ao passar por
ela o movimento não se interrompe porque ao executar seu movimento, a massa do pêndulo adquire energia cinética,
portanto velocidade. Enquanto esta energia permanecer presente no sistema o movimento oscilatório continuará. Se,
entretanto, a energia inicial concedida for muito elevada, o pêndulo entrará em movimento rotativo. Situação semelhante
ocorre com uma bola rolando dentro de uma superfície circular. Uma balança com dois pesos iguais apresentará
comportamento equivalente (Figura 2.1).
!"#��$	
�� – Equilíbrio nos sistemas físicos.
Seguramente o movimento do pêndulo se produz na direção em que o mesmo é permitido. Em se tratando de
um pêndulo simples o movimento é plano sendo necessária apenas uma única variável para descreve-lo (o ângulo). Diz-
se, então que ele possui �����������	
��������������
	
����. Se fosse permitido ao mesmo girar em torno de um eixo
vertical, o mesmo possuiria dois graus de liberdade. O número de graus de liberdade de um sistema é o número mínimo
de coordenadas capazes de representar completamente o movimento do mesmo (estas coordenadas são chamadas
����������� ������	
�����). O estudo de sistemas vibratórios deve começar por sistemas simples que apresentem
características básicas capazes de permitir a análise de uma série de fenômenos presentes em sistemas mais complexos.
Sistemas de um grau de liberdade são sistemas ideais, capazes de representar uma reduzida parte dos sistemas reais
presentes no mundo físico, assim mesmo com uma grande dose de simplificação. Por outro lado, entretanto, estes
mesmos sistemas apresentam características que fundamentam o entendimento da maioria dos aspectos básicos que
estão presentes em sistemas mais complicados. Problemas como ressonância, transmissibilidade, balanceamento e
isolamento podem ser devidamente equacionados em sistemas de um grau de liberdade com posterior extensão dos
conceitos para problemas de ordem maior. Por outro lado estimativas de comportamento podem ser estabelecidas com
relativa facilidade e simplicidade matemática quando se cria um modelo simples para um sistema complexo. Razões
como estas justificam a introdução do estudo de sistemas de um grau de liberdade em cursos de vibrações em
engenharia. A Figura 2.2 mostra exemplos esquemáticos de sistemas com um, dois e três graus de liberdade.
Se um sistema possui pelo menos um grau de liberdade, os valores das variáveis que descrevem o ������ ��
�
�������posição, velocidade, aceleração) devem ser especificados. Para isto é necessário que se escolha um sistema de
coordenadas. Esta escolha é arbitrária: pode-se escolher qualquer sistema de coordenadas para descrever um
movimento. Na Figura 2.3 o movimento do pêndulo é representado por dois sistemas de coordenadas. No primeiro, são
necessárias duas coordenadas para determinar exatamente a posição do pêndulo (� e �), sua velocidade ( �� ) e sua
aceleração ( ��� ). No segundo sistema apenas a coordenada θ, representa completamente a posição do pêndulo, q sua
velocidade e q sua aceleração. Nada impede que o sistema �� seja utilizado. Apenas o mesmo apresentará um número de
equações maior que o sistema mais simples. Nele deve ser incluída a equação de restrição (condição de contorno) �2 +
Mecânica das Vibrações - Capítulo 2 – Conceitos Básicos de Vibrações
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�2 = 	2. Já com a utilização de θ, apenas uma equação descreverá o movimento do sistema como foi visto no Capítulo 1.
Este sistema apresenta um número mínimo de coordenadas, igual ao número de graus de liberdade, necessárias a
representar completamente o movimento do sistema. É, por isto, chamado de �
���������
�����������������	
�����. O
número de graus de liberdade é sempre igual ao número de coordenadas utilizado menos o numero de equações de
restrição. Assim sendo, um movimento descrito em um sistema de coordenadas generalizadas não apresenta equações de
restrição.
(a) Um grau de liberdade.
(b) Dois graus de liberdade.
(c) Três graus de liberdade
!"#��$	
�
 – Sistemas com um, dois e três graus de liberdade.
!"#��$	
�% – Sistemas de coordenadas no movimento do pêndulo.
Mecânica das Vibrações - Capítulo 2 – Conceitos Básicos de Vibrações
23
O sistema está em �
������� 	
��� quando seu movimento resulta apenas de condições iniciais, não havendo
nenhuma causa externa atuando durante o movimento. O movimento de um pêndulo é um exemplo de vibração livre. Ao
se abandonar o mesmo com uma determinada condição inicial (ângulo inicial, por exemplo), o mesmo irá oscilar
livremente. Se, entretanto, alguma ação externa for introduzida durante o movimento com intenção de repor a energia
que as resistências passivas dissipam, a oscilação será chamada de �������. Em se tratando de um sistema real, as
resistências passivas estão sempre presentes fazendo com que a energia oscilatória se dissipe. Esta dissipação de energia
é representada pela característica chamada ������
�����. A Figura 2.4 ilustra uma vibração não amortecida e uma
amortecida. Alguns modelos típicos de amortecimento como viscoso, atrito seco (Coulomb) e atrito interno serão
estudados nas seções seguintes.
2
[(W)
�
W
Amortecido
Não amortecido
[0
!"#��$	
�& – Vibrações livres sem e com amortecimento.
�
	�	�$�$'�(�)*�"'$*	��*	��+,��(��(*	��	�"*�(+$	�"-�$�.�"�
Nas características dos sistemas mecânicos, três são as que apresentam importância especial sob o aspecto da
vibração: elasticidade, inércia e amortecimento. Isto porque a vibração é, em essência um processo de troca de energia
mecânica, na forma de energia cinética (associada à velocidade) e energia potencial (associada à deformação), como
será visto na seção 2.x. A elasticidade é uma característica que se relaciona com a capacidade do sistema em armazenar
energia potencial. A inércia, por sua vez, se liga à capacidade de armazenar energia cinética. O amortecimento,
finalmente, é conseqüência as perdas de energia que ocorrem, em função das resistências passivas, como já foi
mencionado na seção 2.1. Nos modelos físicos destes sistemas mecânicos, estas características serão representadas pelos
elementos: mola (elasticidade, energia potencial), massa ou momento de inércia (inércia, energia cinética) e amortecedor
(amortecimento, dissipação de energia). A seguir, cada um destes elementos será detalhadamente discutido.
�
��	�	
/(+(���0	1�/$	2	�$�$'�(�)*�"'$0	�"#"�(3
A mola linear relaciona diretamente forças e deslocamentos como ilustra a Figura 2.5a. Como a função da mola
nos modelos físicos será o de representar a capacidade que o sistema possui de armazenar energia potencial e esta
depende da elasticidade, o elemento mola não possui massa nem amortecimento, de forma que uma força �
P
 atuando em
uma extremidade deve ser equilibrada por outra força de igual magnitude mas de sentido contrário, atuando na outra
extremidade. Pela atuação da força �
P�
 a mola se alonga (ou se contrai, se as forças atuarem com sentidos contrários).
Esta deformação é igual à diferença entre os deslocamentos �2 e �1�. A Figura 2.5b mostra uma curva ������������������
típica de uma mola normal. Esta curva é não linear. Entretanto, para uma determinada faixa de deformações existe uma
proporcionalidadeentre a força e a deformação, sendo ��a constante de proporcionalidade, conhecida como ���������
��	
��� ou �
�
���. As unidades de �	no Sistema Internacional (SI), são ������	���	
����	 ���
�. �
P
 é uma força
elástica, conhecida como força de restauração porque uma mola alongada ou comprimida tende sempre retornar à sua
posição não deformada.
A relação entre força e deslocamento é expressa por
( )� � � �
P
= −2 1 (2.1)
O elemento mola representa a capacidade que o sistema físico tem em armazenar energia. Esta capacidade é,
muitas vezes, expressa pela elasticidade presente. Em analogia com um sistema elétrico, a mola pode ser comparada a
um capacitor sendo o elemento que armazena energia na forma de energia potencial em um determinado instante do
movimento e depois a devolve para que o sistema vibratório a transforme em energia cinética ou a dissipe. A energia
potencial armazenada pela mola é dada por
Mecânica das Vibrações - Capítulo 2 – Conceitos Básicos de Vibrações
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Faixa linear
�
P
�2����1
(b)
�
P
�
P
�2
(a)
�1
!"#��$	
�4	2	Elemento mola.
� ��=
1
2
2
 (2.2)
Um elemento elástico pode ser deformado em várias direções. Cada relação entre uma força em uma direção e
uma deformação na mesma ou em outra direção produz uma diferente constante de mola. A equação (2.1) pode,
portanto se apresentar na forma mais geral
MLML
��� = (2.3)
onde 
 e � podem indicar, por exemplo, translações e rotações ao longo ou em torno de três eixos de um sistema de
coordenadas cartesianas. Portanto, 
 e � podem assumir seis valores diferentes. Genericamente existirão 6 x 6
coeficientes independentes �
LM
, relacionado com uma possível aplicação do esforço (força ou momento) e a direção do
deslocamento produzido.
!"#��$	
�5 – Definição de constantes de mola para a viga engastada.
Considere-se, por exemplo, a viga engastada da Figura 2.6, com o sistema de coordenadas ���, como indicado.
Se a viga possui uma seção transversal circular de diâmetro �, área � e momentos de inércia �
[
, �
\
, �
]
, comprimento ,
módulo de elasticidade !, módulo de elasticidade transversal ", e se �, �, #, são as deflexões e θ, φ, ψ as rotações da
sua extremidade livre com relação ao sistema de coordenadas ���, da Resistência dos Materiais, se tem
33
33
3
,
3
3
,
3
,
 
!�
�
 
#!�
�
 
!�
�
 
�!�
�
 
!�
�
 
!��
�
[
ZZ
[
Z
]
YY
]
X
YYY
==
==
==
 (2.4a)
Mecânica das Vibrações - Capítulo 2 – Conceitos Básicos de Vibrações
25
 
!�
�
 
!�
$
 
!�
�
 
!�
$
 
"�
�
 
"�
$
[[
]]
\\
==
==
==
θθθ
ψψψ
φφφ
θ
ψ
φ
,
,
,
 (2.4b)
onde �
[
 = �
]
 = π�4/64 e �
\
 = π�4/32, para uma seção circular.
Sistemas com um grau de liberdade possuem 
�= � = 1 e o sufixo da constante � é omitido.
�
����	2	�**�'"$� �	�(	+�/$*	(+	,$�$/(/�
As molas podem ser associadas de várias formas. As associações em ��������	e em ���
�, mostradas na Figura
2.7a e 2.7b, respectivamente, são as mais comuns.
Para as molas em paralelo (Figura 2.7a) a força atuante na mola se divide em duas, de forma que
� � �
P P P
= +
1 2
 (2.5)
Cada uma das molas está submetida à relação
( )
( )
� � � �
� � � �
P
P
1
2
1 2 1
2 2 1
= −
= −
 (2.6)
�
P
�
P
�1 �2
�2
�1
(a)
�
P
�
P
�1 �2
�2�1
�0
(b)
!"#��$	
�6 - Associação de molas
Uma mola equivalente ao conjunto das duas molas deve possuir uma constante de forma que
( )� � � �
P HT
= −2 1 (2.7)
Introduzindo (2.6) em (2.5) e considerando (2.7) chega-se a
� � �
HT
= +1 2 (2.8)
Generalizando, para um conjunto de�� molas associadas em paralelo
� �
HT L
L
Q
=
=
∑
1
 (2.9)
�
���
	2	�**�'"$� �	�(	+�/$*	(+	*7�"(
Observando a Figura 2.7b, as seguintes relações podem ser escritas para molas em série:
( ) ( )� � � � � � �
P
= − = −1 0 1 2 2 0 (2.10)
que podem ser escritas na forma
� �
�
�
� �
�
�
P P
0 1
1
2 0
2
− = − = e (2.11)
Como para uma mola única vale a expressão (2.7) , tem-se que
Mecânica das Vibrações - Capítulo 2 – Conceitos Básicos de Vibrações
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( ) ( )�
�
� � � � � �
�
�
�
�
P
HT
P P
= − = − + − = +2 1 2 0 0 1
2 1
o que conduz a
�
� �
HT
=
+
1
1 1
1 2
 (2.12)
Para um conjunto de �	molas associadas em série
�
�
HT
L
L
Q
=
=
∑
1
1
1
 (2.13)
8(+,/�	
��	2	Um tambor, com um cabo de aço, é montado na extremidade de uma viga em balanço como mostra a
Figura 2.8(a). Determinar a constante de mola equivalente do sistema quando o comprimento suspenso do cabo é 	. São
conhecidos o comprimento da viga �, sua largura � e sua espessura �%	Assumir que o diâmetro do cabo é � e os módulos
de elasticidade da viga e do cabo são iguais a !.
��/�� �0 A constante de mola da viga em balanço é dada por
�
!�
�
!
��
�
!��
�E
= =




=
3
3
12
43
3
3
3
3 (a)
�
�
�
&
	 �
&
(a)
(b)
&
�
HT
&
�
E
�
U
(c)
!"#��$	
�9	2	Sistema de elevação.
A rigidez do cabo submetido a carregamento axial é
�
!�
	
!
�
	
! �
	U
= =




=
π
π
2
24
4
 (b)
A viga em balanço e o cabo podem ser considerados como molas combinadas em série, cuja constante de mola
equivalente é dada pela equação (2.12)
Mecânica das Vibrações - Capítulo 2 – Conceitos Básicos de Vibrações
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�
� �
�
!��
	
! �
! � ��
� � 	��HT
E U
=
+
=
+
=
+




1
1 1
1
4 4 433 2
2 3
2 3 3
π
π
π
 (c)
8(+,/�	
�
	2	A lança AB do guindaste mostrado na Figura 2.9 é uma barra de aço uniforme de comprimento 10�m e
área da seção transversal 2,5 x 10-3 m2. A massa de 1000�kg, suspensa pelo guindaste está parada. O cabo CDEBF é de
aço e tem área da seção transversal de 0,1 x 10-3�m2. Desprezando o efeito do segmento do cabo CDEB, determinar a
constante de mola equivalente do sistema na direção vertical. O módulo de elasticidade do aço é 2,07 x 1011 N/m2.
��/�� �0	A Figura 2.9b mostra a combinação de molas, assumindo que tanto a lança quanto o cabo estão submetidos
exclusivamente a carregamento axial, o que é válido uma vez que a lança é articulada na base do guindaste e o cabo
trabalha sob tração. Como não está evidente a associação das molas em série ou em paralelo, deve-se usar a
equivalência de energia potencial para determinar a constante de mola equivalente.
Um deslocamento vertical � do ponto B causará uma deformação �2�'���cos�45R	na lança (constante �2). O cabo
se deformará �1 '���cos(90o�θ).
Pela Lei dos Cosenos, o comprimento do cabo FB, 	1 é obtido por
( )	 �� 	 ��	 ��	12 2 22 2 2 2 22 3 10 2 3 10 135= + − = + − × × × °cos cosangulo (a)
	1 = 12,306 m
1000 kg
1,5 m 1,5 m
45o
10 m
AF
B
ED
C
1000 kg
45o
	2 = 10 m, �2
AF
B
	2, �1
�
3 m
(a) (b)
�
eq
1000 kg
(c)
!"#��$	
�:	2	Guindaste com carga.
A mesma	Lei dos Cosenos, aplicada para determinar o ângulo θ resultará em
	 	 �� 	 ��
	 	 ��
	 ��
2
2
1
2 2
1
1
2
2
1 2
1
2 2 2
2
2
12 306 10 3
2 12 306 3
0 819
= + −
=
− +
=
− +
× ×
=
cos
cos
,
,
,
θ
θ
 (b)
θ = 35,061ο
A energia potencial total � armazenada nas molas é obtida por
( )[ ] ( )
( )( )
� � � � � � � � �
� � � �
= + = °− + °
= °− +










1
2
1
2
1
2
90 1
2
45
1
2
90 2
2
1 1
2
2 2
2
1
2
2
2
1
2
2
2
2
cos cos
cos
θ
θ
 (c)
onde
�
! �
	1
1 1
1
11 3
62 07 10 0 1 10
12 306
1 682 10= = × × × = ×
−
, ,
,
,
N
m
 (d)
e
Mecânica das Vibrações - Capítulo 2 – Conceitos Básicos de Vibrações
28
�
! �
	2
2 2
2
11 3
62 07 10 2 5 10
10
51 750 10= = × × × = ×
−
, ,
,
N
m
 (e)
Como a mola equivalente na direção vertical sofre uma deformação �, a energia potencial desta mola
equivalente é dada por
� � �
HT HT
=
1
2
2
 (f)
Fazendo ��'��
HT
 , das expressões (c) e (f), utilizando os resultados de (d) e (e), obtém-se a constante de mola
equivalente como
( )( ) ( )( )� � �
�
HT
HT
= °− +



 = °− ° × × + × ×
= ×
cos cos , , ,
,
90 2
2
90 35 061 1 682 10 1
2
51 750 10
26 430 10
2
1
2
2
2 6 6
6
θ
N
m
8(+,/�	
�%	�	Uma ponte rolante que opera sobre uma viga de comprimento e rigidez flexional !� transporta pesos
através de um gancho suspenso por dois cabos de comprimento 	, diâmetro �, e módulo de elasticidade ! (Fig. 2.10).
Determinar a constante de rigidez entre o gancho e a estrutura na direção vertical.
!"#��$	
��;	�	Ponte rolante e constante de rigidez equivalente.
��/�� �0	A viga é equivalente a uma mola conectada em série com o cabo, que também pode ser modelado como uma
mola. As duas molas são combinadas conduzindo a uma constante equivalente para o conjunto.
A rigidez à flexão (que é a forma de deformação a que está submetida) de uma viga simplesmente apoiada
carregada em seu centro é
3
48
 
!�
�
Y
= (a) 
Mecânica das Vibrações - Capítulo 2 – Conceitos Básicos de Vibrações
29
O cabo, submetido a tração, possui seção transversal é circular com área �= π�2/4, comprimento 	 e módulo de
Young !, de forma que sua rigidez axial é
	
!�
 
!�
�
F 4
2π
== (b)
O modelo da ponte rolante pode ser simplificado (Figura 2.10b) pela combinação dos dois cabos (em paralelo)
de acordo com a equação (2.8). Chega-se então ao modelo da Figura 2.10b, que também pode ser simplificado
combinando-se as rigidezes �
E
 e 2� (em série) utilizando-se a equação (2.12). O resultado é
32
2
2192
96
2
2
1
2
11
 ��	
!��
��
��
�
���
FY
YF
HT
YFHT
π
π
+
=
+
=
+=
(c)
O cálculo da resposta dinâmica da estrutura é simplificado pois a complexa estrutura da mesma está substituída
por uma simples constante de mola equivalente, ilustrada na Figura 2.10c.
�
���%	�	1�/$*	� �	/"�($�(*
As molas reais não são exatamente lineares, de forma que a equação (2.1) não é exata. Nestes casos a variação
da deformação depende da força aplicada. No caso de uma mola helicoidal, por exemplo, a sua rigidez aumenta
progressivamente quando as espiras começam a entrar em contato entre si. O que acontece normalmente é que o
comportamento de um elemento elástico é linear dentro de determinados limites de força e deformação. Quando as
tensões superam o limite de proporcionalidade estabelecido pela Lei de Hooke (Figura 2.11, ponto 4), a deformação não
é mais proporcional à força que a causa.
!"#��$	
��� – Não linearidade na rigidez de elementos mecânicos.
Existem muitas outras razões para o comportamento não linear de molas. No caso de vigas em flexão, por
exemplo, elas se comportam como molas lineares somente se as deflexões são pequenas. Sabe-se que para grandes
deflexões a teoria das vigas não é adequada existindo uma relação não linear entre força e deflexão.
Freqüentemente, é adequado, para fins práticos, limitar a análise a pequenas deformações. Então a relação
�����������	���� de uma mola não linear pode ser simplificada por um processo chamado de 	
����
�����. Suponha-se
que uma mola tem uma relação �����������	���� � = �(�), como mostra a Figura 2.12. Uma força estática �0 (chamada
pré-carga) é aplicada inicialmente sobre a mola que sofre uma deflexão inicial �0. Nesta posição ocorre um equilíbrio
uma vez que a reação da mola é –�0. Uma força adicional ∆� resulta em um incremento ∆� na deflexão de forma que
�0 + ∆��= �(�0 + ∆�). Expandindo em série de Taylor em relação à posição de equilíbrio tem-se
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) �+∆′′′+∆′′+∆′+=∆+=∆+ 30200000 !3!2 �
��
�
��
���������� (2.14)
Mecânica das Vibrações - Capítulo 2 – Conceitos Básicos de Vibrações
30
!"#��$	
��
 – Linearização de molas.
Para pequenas deformações ∆�, se a função �(�) é suficientemente suave, desprezando os termos de ordem mais
alta e considerando �0 = �(�0), tem-se
( ) ���� ∆′=∆ 0 (2.15)
que é uma relação linear e significa que a constante de rigidez � é a derivada da função � = �(�), calculadas na posição
de equilíbrio (tangente).
Não há uma forma simples de determinar o erro deste procedimento. Isto depende da função �(�), dos padrões
de precisão utilizados e dos propósitos da análise.
8(+,/�	 
�&	 �	Um instrumento eletrônico de massa � = 8 kg é montado sobre quatro suportes elásticos (forma de
coxins) de uma borracha especial. A relação ������ �� ���	���� de cada suporte é dada na Figura 2.13. Determinar a
constante de rigidez entre o instrumento e o solo na direção vertical.
!"#��$	
��%– Instrumento sobre suportes elásticos não lineares.
��/�� �0 Como os suportes apresentam comportamento não linear, encontra-se, inicialmente a posição de equilíbrio, e,
neste ponto calcula-se a constante de mola equivalente como a inclinação da curva �����������	���� neste ponto.
Cada suporte pode receber uma pré-carga estática de 8 x 9,81/4 = 19,62 N. A deflexão estática é obtida da
equação �����������	����
m 106,2
100051062,19
3
0
2
00
3
−
−
×=
+=×
�
��
 (a)
A constante de rigidez de um único suporte, calculado em � = �0, pela equação (2.15), é
( ) N/m 102,101020005 330
0
×=×+==
=
�
��
��
�
[[
(b)
Como são quatro molas em paralelo
N/m 108,404 3×== ��
HT
 (c)
Mecânica das Vibrações - Capítulo 2 – Conceitos Básicos de Vibrações
31
�
���&	�	1�/$*	���'"��$"*
Os elementos básicos do sistema vibratório foram definidos em relação ao movimento de translação. Existem
sistemas, entretanto, que executam movimento de rotação (vibrações torcionais). Há uma completa analogia entre
sistemas em vibração axial (movimento de translação) e torcional (movimento de rotação): os elementos básicos são
molas torcionais, amortecedores torcionais e discos possuindo momento de inércia de massa. Se chamarmos os
deslocamentos angulares nas duas extremidades de uma mola torcional de θ1 e θ2, o torque de restituição da mola $P, a
curva $
P
������� θ2 − θ1 será similar à curva apresentada na Figura 2.5b.
8(+,/�	
�4	2	O eixo em torção mostrado na Figura 2.14a, é constituído de dois segmentos de comprimento e rigidez
torcional diferentes e está engastado na sua extremidade esquerda possuindo um disco na sua extremidade direita. Os
dados relativos a cada um dos segmentos do eixo são os seguintes:
�"()1�'�28700�N.m2������������������ 1�'�4�m
�"()2�'�14350�N.m2 ����������������� 2�'�3�m
Assumindo que o eixo atua como uma mola torcional, calcular o deslocamento angular do disco causado por
um torque de 115�N�m%�Usando este resultado, calcular a constante de mola equivalente.
θ2θ1
("()1("()1 ("()2
("()2
 1 1 2 2
θ1 θ2θ1
$ $ $
$
(a) (b)
!"#��$	
��&	2	Eixo com dois segmentos com disco na extremidade livre.
��/�� �	�	2	Sendo θ1 e θ2 os deslocamentos angulares das extremidades direitas dos segmentos 1 e 2 respectivamente,
da Resistência dos Materiais obtém-se
( ) rad 0160,028700
4115
1
1
1 =
×
=



=
"(
$ θ (a)
e
( ) rad 0240,014350
3115
2
2
12 =
×
=



=−
"(
$ θθ (b)
O deslocamento angular total do disco será
rad 0400,0rad 0240,0rad 0160,02 =+=θ (c)
Isto permite que se calcule imediatamente a constante de mola equivalente
rad
N.m
 2870
0400,0
115
2
===
θ
$
�
HT
 (d)
��/�� �	
	- O mesmo problema pode ser resolvido considerando os dois segmentos de eixo como representando duas
molas torcionais em série. De fato, usando as equações (a) e (b), as constantes de mola para os dois segmentos do eixo
podem ser escritas na forma
( )
( )
rad
N.m
 333,4783
3
14350
rad
N.m
 7175
4
28700
2
2
12
2
1
1
1
1
===
−
=
====
 
"($
�
 
"($
�
θθ
θ
 (e)
de forma que, usando a Eq. (2.12) ou (2.13), obtém-se
rad
N.m
 2870
333,4873
1
7175
1
1
11
1
21
=
+
=
+
=
��
�
HT
 (f)
Mecânica das Vibrações - Capítulo 2 – Conceitos Básicos de Vibrações
32
�
�
	�	
/(+(���0	$+���('(���	�	�$�$'�(�)*�"'$0	$+���('"+(���
O elemento que relaciona forças com velocidades é conhecido genericamente como �
���������. O
amortecedor é constituído por um pistão montado com folga dentro de um cilindro cheio de um líquido viscoso (óleo,
água, etc.), de forma que o fluido possa passar através do pistão. A Figura 2.15a apresenta um esquema deste elemento.
Assume-se também que o amortecedor não possui massa, de forma que a força �
G
, aplicada em uma de suas
extremidades possa ser balanceada por uma outra força de mesma magnitude e sentido contrário, aplicada na outra
extremidade. Se estas forças �
G
, causam um cisalhamento suave no fluido viscoso, a curva �
G
 ������� � �� �2 1− será
aproximadamente linear, como mostra a Figura 2.15b. A constante de proporcionalidade 
, que é a inclinação da curva,
é chamada de ����
�
����	��	�
�����
����	�
�����. As unidades de 
 no SI são ��������������	���	
����	�����
�.
�
G
�2����1
(b)
�
G
�
G
�1 �2
(a)
!"#��$	
��4	2	Elemento amortecedor.
A relação entre força e velocidade é então, expressa por
( )� 
 � �
G
= −2 1 (2.16)
O amortecedor tem como função física em um sistema vibratório, representar a capacidade que o sistema
possui de dissipar energia.
�
�
��	�	!)*"'$	��	$+���('(���
Um amortecedor viscoso simples consiste de duas placas separadas por uma camada de fluido de espessura �.
viscosidade do fluido é η. A Tabela 2.1 apresenta a viscosidade de alguns fluidos utilizados em amortecedores. As duas
placas se movem relativamente com velocidade � como ilustra a Fig. 2.16. A força de resistência ao movimento (atrito
viscoso) é
�
�
�
�
η
= (2.17)
A constante de amortecimento, que relaciona força com velocidade, é então
�
�
η
= (2.18)
onde � é a área da placa pequena que entra em contato com o fluido.
!"#��$	
��5	– Modelo físico de amortecedor.
Amortecedores lineares podem ser combinados em série ou paralelo da mesma forma que as molas.
�
�
�
	�	�+���('(���(*	� �	/"�($�(*
O amortecedor mostrado na Fig. 2.16 necessita de uma grande área � e de uma fina espessura de fluido para
produzir forças de amortecimento elevadas, como se deduz da Eq. 2.17. Em virtude disso, outras montagens são
utilizadas e, em muitos casos a relação ����������	�
�����se torna não linear como ilustra a Fig. 2.17.
Mecânica das Vibrações - Capítulo 2 – Conceitos Básicos de Vibrações
33
!"#��$	
��6	– Curva ����������	�
���� de um amortecedor não linear.
O procedimento de linearização é o mesmo adotado para as molas. Uma aproximação utilizada com freqüência
quando a velocidade não é constante é considerar a constante de amortecimento calculada como a derivada da curva
����������	�
���� para velocidade zero (considerando carregamento estático), na forma
( )
0=
=
[
��
���
&
�
�
 (2.19)
�"*'�*"�$�(	�"�<+"'$	η =��*>+�?	$
1$�(�"$/ �(�*"�$�(	=@#>+�? 
;ž� 5;ž� 9;ž�
�#�$ 1000 1,0 x 10-3 0,47 x 10-3 0,35 x 10-3
�� 1,225 0,018 x 10-3 0,020 x 10-3 0,021 x 10-3
A/(�	��
�; 890 (média) 0,120 0,035 0,0065
A/(�	��
%; 890 (média) 0.350 0,085 0,012
A/(�	��
5; 890 (média) 1,08 0,300 0,035
B$*�/"�$ 819 0,652 x 10-3 0,392 x 10-3 0,329 x 10-3
C�(��*(�( 814 1,8 x 10-3
�$-(/$	
��	– Propriedades relacionadas ao amortecimento de fluidos.
8(+,/�	
�5	�	Para amortecer o movimento de um ponteiro de um instrumento, o mesmo é conectado a uma lâmina de
aço com 30 x 30 mm posicionada entre duas placas, com um espaço de 0,1 mm de cada lado e confinada a se mover em
uma direção permanecendo paralela às placas. Determinar a constante de amortecimentose o espaço entre as placas é
preenchido com óleo de viscosidade η = 20 mPa�s.
��/�� �0	O amortecimento é devido a um atrito viscoso, aplicando-se a Eq. 2.18, com � = 2 � 0,03 � 0,03 = 1,8 � 10-3
m2, � = 0,0001 m. Portanto
 = 20 � 10-3 � 1,8 �� 4
3
10
10
−
−
 = 0,36 N�s/m.
8(+,/�	
�6	�	Um amortecedor viscoso torcional consiste de dois cilindros concêntricos formando uma folga anular
preenchida com um fluido viscoso. O amortecedor viscoso mostrado na Fig. 2.18 possui raio � = 0,50 m, comprimento 	
= 0,75 m e folga � = 0,125 mm. O óleo possui viscosidade η = 6 � 10-3 n�s/m2. Determinar a constante de
amortecimento torcional definida pela relação θ�
W
�� −= , onde � é o torque de amortecimento e θ é o ângulo de
rotação.
�������� Sendo θ� a velocidade angular, a velocidade periférica é θ��� = . Em um arco �θ de comprimento ��θ� atua
uma força de corte devida à viscosidade do óleo, como na equação 2.17:
θθηη ��
�
���
�
�
	
�
 −=−= (a)
O momento em relação ao eixo do cilindro é
θθη �
�
��
�
��� �
3
−== (b)
Integrando se produz
Mecânica das Vibrações - Capítulo 2 – Conceitos Básicos de Vibrações
34
θπηθθη
ππ ��
�
��
�
�
��
���
32
0
32
0
2
−=−== ∫∫ (c)
Portanto a constante de amortecimento será
smN 3,28
10125,0
50,075,010622
3
333
⋅⋅=
×
××××
=−=
−
−ππη
�
��
�
W
(d)
�	
���
���� – Amortecedor viscoso torcional.
�������
���
�
Um amortecedor fluídico, como o tipo utilizado como absorvedor de choques, consiste de um pistão de
comprimento � que possui dois furos de diâmetro δ (Figura 2.19). Determinar a constante de amortecimento assumindo
que o diâmetro do pistão seja � e o óleo possua viscosidade dinâmica η e densidade ρ.
�δ
�	
���
����
– Amortecedor viscoso de pistão
��������
Para fluxo laminar em tubos, a variação de pressão é dada pela fórmula de Darcy
�
�
2
1 2
δρ=∆ (a)
onde o fator de atrito é
ρδ
η
�
�
64
= (b)
Portanto
�
�
 2
32
δ
η
=∆ (c)
onde � é a velocidade média do óleo fluindo através dos dois furos. Devido à continuidade do fluxo
�
�
�
2
2
1 


= δ (d)
se � é a velocidade do pistão. Portanto
Mecânica das Vibrações - Capítulo 2 – Conceitos Básicos de Vibrações
35
�
��
2
22
32 


=∆ δδ
η
 (e)
Assumindo que os furos são pequenos comparados ao diâmetro do pistão e que não há fluxo na folga entre o
pistão e o cilindro, a força sobre o pistão em função de ∆
 é
�
�
�
�
42
4
4



=∆= δηπ
π
 (f)
A constante de amortecimento como definida pela relação 
 = ��, é, portanto
4
4 


= δηπ
�
�� (g)
Para � furos
48 


= δ
ηπ �
�
�
� (h)
�����
�
���������
�����
�
�����������	���
�����
��
�������
 �
	�!��	�
O elemento que relaciona forças com acelerações é o que representa a inércia do sistema, sendo conhecido
como 
����. De acordo com o que estabelece a Segunda Lei do Movimento de Newton, a força 
L�
é proporcional à
aceleração � quando medidos no mesmo referencial e a constante de proporcionalidade é �	(Figura 2.20). A unidade de
massa é básica no SI: ��
�����
�	����.
O elemento massa é aquele que representa a capacidade física do sistema em armazenar energia cinética. A
vibração é o fenômeno físico que ocorre com a troca sistemática de energias cinética e potencial entre a massa e mola.
Neste processo o amortecimento responde pela energia que é dissipada.
L
�
(b)
L
(a)
�
�
�	
���
���"
#
Elemento massa.
����
���
�
$�����
 	���	�������
�%�	&�������
Para fins de qualquer análise estática a massa equivalente de um sistema constituído de várias massas é igual à
soma das massas individuais.
�eq = �1 + �2 + ... + �n (2.20)
Em sistemas dinâmicos, como o movimento das diversas massas é normalmente diferente o mesmo não se
aplica para todos os casos. O princípio básico a ser respeitado quando se quer determinar a massa equivalente de um
determinado sistema é o da conservação da capacidade de conservar energia cinética. Em outras palavras, o sistema
equivalente deve possuir sempre a mesma energia cinética do sistema real. A expressão para a energia cinética é
2
2
1
��� �= (2.21)
�������
���
�
Um mecanismo came-seguidor, mostrado na Fig. 2.21, é utilizado para converter movimento de rotação
de um eixo no movimento alternativo de uma válvula. O sistema consiste de uma haste de massa �
S
��um balancim de
massa �
U
 e momento de inércia �
U
 em relação ao seu centro de gravidade C.G., uma válvula de massa �
Y
, e uma mola de
Mecânica das Vibrações - Capítulo 2 – Conceitos Básicos de Vibrações
36
massa desprezível. Determinar a massa equivalente �
HT
 deste sistema came-seguidor assumindo a localização de �
HT
como (a) ponto A, (b) ponto B. O deslocamento linear da haste é �
S
 e da válvula é �
Y
.
Came
Eixo
Seguidor de
rolamento
Haste
Balancim
Mola da
Válvula
Válvula
�3
�1 �2
GOA
B
�
S
�
U
�
Yθ
U
�	
���
����
#
Sistema came-seguidor
��������
Devido ao deslocamento vertical da haste, �
S
, o balancim gira um ângulo θ
U
S
�
�= 1
em relação ao ponto de
pivotamento, a válvula se move para baixo � �
� �
�Y U
S
= =θ 2
2
1
e o C.G. do balancim se move para baixo
� �
� �
�U U
S
= =θ 3 3
1
. A energia cinética do sistema é igual à soma das energias cinéticas de cada elemento
� � � � � � � �
S S Y Y U U U U
= + + +
1
2
1
2
1
2
1
2
2 2 2 2� � � �θ (a)
onde ��
S
, ��
U
 e ��
Y
são as velocidades lineares da haste, C.G. do balancim e da válvula, respectivamente, e �θ
U
 é a
velocidade angular do balancim.
(a) Se �
HT
 é a massa equivalente do sistema, localizada no ponto A, com � �� �
HT S
= , a energia cinética total do sistema
equivalente �
HT
 é dada por
� � �
HT HT HT
=
1
2
2�
 (b)
Como
� � , �
�
, �
�
,
�
�
� � �
� �
�
�
� �
�
�
�S HT Y
HT
U
HT
U
HT
= = = =
2
1
3
1 1
e θ (c)
igualando as expressões (a) e (b) resulta
� �
�
�
�
�
�
�
�
�HT S
U
Y U
= + + +
1
2
2
2
1
2
3
2
1
2 (d)
Mecânica das Vibrações - Capítulo 2 – Conceitos Básicos de Vibrações
37
(b) Da mesma forma, se a massa equivalente está localizada no ponto B, � �� �
HT Y
= , e a expressão (b) se transforma em
� � �
HT HT Y
=
1
2
2�
 (e)
e igualando (a) com (e) resulta
� �
�
�
�
�
�
�
�
�HT Y
U
S U
= + + +
2
2
1
2
2
2
3
2
2
2 (f)
�������
���"
�
Determinar a massa efetiva de uma mola de massa total �
V
.
�
��
�
�
��
�	
���
����
#
Massa efetiva da mola.
��������
Sendo �� a velocidade da massa concentrada �, a velocidade de um elemento da mola, localizado a umadistância � de sua extremidade fixa, varia com �. Supondo que esta variação é linear, a mesma pode ser expressa na
forma
� �� �
�
�
= (a)
Se a massa de um elemento de comprimento �� é ��
�
�
��[= , a energia cinética total da mola pode ser obtida
por integração
� �
�
�
�
�
��
�
�
PROD
V V
O
=



 =∫12 12 3
2
2
0
� �
 (b)
Se a energia cinética equivalente é dada pela expressão (b) do exemplo 2.9, e � �� �
HT
= , comparando com a
expressão (b) deste exemplo, a massa efetiva (ou equivalente) da mola é
�
�
HII
V
=
3
 (c)
Muitas vezes, quando existem molas de massa considerável no sistema mecânico estudado, utiliza-se a
expressão (c) para incluir o efeito da massa da mola.
�������
�
�	������
����	���	��
��������
 �
	�!��	�
Em movimentos rotacionais, a energia cinética é dada pela expressão
2
02
1
ω�� = (2.22)
Desta forma o parâmetro equivalente à massa é o momento de inércia �0. É, então importante conhecer esta
característica dos corpos físicos. Sendo o corpo sólido mostrado na Fig. 2.23, e ��� os eixos coordenados cartesianos, os
momentos de inércia são definidos por
Mecânica das Vibrações - Capítulo 2 – Conceitos Básicos de Vibrações
38
( )
( )
( )∫
∫
∫
+=
+=
+=
�����
�����
�����
]
\
[
22
22
22
 (2.23)
�
�
�
�
�
�
��
�	
���
���� – Momentos de inércia.
O momento de inércia equivalente de vários sólidos rigidamente ligados, em rotação plana em torno de um
ponto �, pode ser obtido pela aplicação do teorema de Steiner
( ) ( ) ( )2 2 20 1 1 1 2 2 2* * *Q Q Q� � � � � � � � � �= + + + + + +� (2.24)
onde �
*1, �*2, ��� , �*Q são os momentos de inércia das massas individuais em relação aos seus centros de massa, �1, �2,
��� , �
Q
 as distâncias destes centros a partir de �, e �1, �2, ��� , �Q, as respectivas massas.
O momento de inércia equivalente em relação a um eixo de rotação de vários sólidos possuindo uma relação
fixa de velocidades angulares (pares de engrenagens, por exemplo), pode ser obtido observando o par de engrenagens
mostrado na Fig. 2.24. As duas engrenagens se movem com uma relação fixa de velocidades angulares θ1/θ2 = ω1/ω2 =
�2.
�	
���
���' – Vibração torcional de um par de engrenagens.
A aplicação da Segunda Lei de Newton para a rotação (também conhecida como Lei de Euler), aplicada às
duas engrenagens produz
1 1 1 1 1 1
2 2 2 2 2 2
7
7
� � � 
�
� � � 
�
θ θ
θ θ
+ = −
+ = −
��
��
 (2.25)
Mecânica das Vibrações - Capítulo 2 – Conceitos Básicos de Vibrações
39
Eliminando a força de interação, desconhecida, com �2 = �2/�1, tem-se
2 2 2
1 1 1 1 12 2
2 2 2
7
7
� � �
� � �
� � �
θ θ   + + + = +      
��
 (2.26)
O momento de inércia equivalente é então
2
1 2
2
HT
�
� �
�
= + (2.27)
Por analogia, a constante de rigidez equivalente é
2
1 2
2
7
HT 7
�
� �
�
= + (2.28)
�������
����
– Determinação do centro de massa e momento de inércia de um sólido. Para determinar o centro de
massa e o momento de inércia de uma biela de um motor de um navio, a mesma foi analisado como segue:
a. Foi inicialmente suspensa por um cabo como mostrado na Fig. 2.25a e a linha do cabo foi projetada sobre a biela. O
ponto de interseção com o eixo de simetria � foi registrado. Foi medida a distância �1� = 1,10 m.
b. A biela foi pesada resultando � = 60 kg.
c. A biela foi suspensa por um ponto O1, como mostra a Fig. 2.25b, a partir de um pivô e foi feito oscilar em torno do
pivô. Foi medido o período de oscilação � = 1,65 s.
Encontrar o centro de massa e o momento de inércia em relação a um eixo perpendicular ao plano de oscilação que
passa por �.
�	
���
���( – Determinação do centro de massa da biela.
��������
a. O centro de massa é o ponto S.
b. A freqüência natural de um pêndulo composto é dada por
Mecânica das Vibrações - Capítulo 2 – Conceitos Básicos de Vibrações
40
1
2
Q
2
���
�
ω = (a)
O momento de inércia é, então
1 22
Q
���
�
ω
= (b)
sendo � = �1� = 1,10 m, � = 60 kg e � = 9,81 m/s2,
1
2
2
60 9,81 1,10 237,8 kg m
1,652
�
× ×
= = ⋅ (c)
Como o desejado é o momento de inércia em relação ao centro de massa, o teorema de Steiner produz
1
2 2 2237,8 60 1,1 165, 2 kg m
6 2
� � ��= − = − × = ⋅ (d)
�������
����
�
Determinação da altura metacêntrica de um navio (Thomson, 1993). O ��������� �� de um navio é o
ponto de interseção da resultante da força de empuxo e a linha de centro do navio e é constante para pequenos
movimentos de “rolling”, como mostra a Fig. 2.26. A distância ! = (�") entre o metacentro e o centro de massa ", que
é também o eixo de simetria, é chamada altura metacêntrica sendo o parâmetro de projeto básico para o navio. O
metacentro atua como um pivô de um pêndulo físico. Achar a altura metacêntrica através de um experimento
envolvendo a freqüência natural de oscilação por “rolling” e pela altura do navio, que é cuidadosamente considerada
durante a construção do navio.
�	
���
���) – Navio em oscilação.
Solução: O momento de inércia em relação ao metacentro, pelo teorema de Steiner é
2
0 *
� � �!= + (a)
A freqüência natural de oscilação do pêndulo físico será então
2
2Q
0 *
��! ��!
� � �!
ω = =
+
 (b)
Portanto
2 2 2 0
Q * Q
� ! ��! �ω ω− + =
ou
2
2
2
4
2
* Q
Q
�
� �
�!
ω
ω
+ −
= (c)
Mecânica das Vibrações - Capítulo 2 – Conceitos Básicos de Vibrações
41
���
#
*�+�	��
 �
,	-�����
Um sistema vibratório é um sistema dinâmico para o qual as variáveis tais como as excitações (causas,
entradas, inputs) e respostas (efeitos, saídas, outputs) são dependentes do tempo. A resposta de um sistema vibratório
depende, geralmente, das condições iniciais e das ações externas. Isto faz com que seja necessário estabelecer um
procedimento de análise que permita o entendimento das influências de cada um dos fatores. O procedimento geral é o
que começa com o estabelecimento de um modelo físico, determinação das equações diferenciais que governam o
movimento (modelo matemático), solução destas equações e interpretação dos resultados.
�����
#
$� ���
���	��
 
Fundação
Punção
Matriz
Estrutura
Solo
Solo
Massa da Fundação
Massa da Matriz
(a)
(b)
Amortecimento
do Solo
Rigidez
do Solo
Rigidez do
Elemento
Elástico
Amortecimento
do Elemento
Elástico
Força do
Punção
Elemento
Elástico
 �	
���
���. – Modelo físico de uma prensa.
O propósito da modelagem física é representar todos os aspectos importantes existentes no sistema para que se
possa determinar as equações matemáticas que descrevem o comportamento do mesmo. O modelo deve então traduzir
suas características físicas nos elementos vibratórios básicos, como ilustra a Figura 2.27. O modelo pode ser mais ou
menos complexo, de acordo com as necessidades e com a capacidade de solução das equações do movimento: modelos
mais complexos (com mais elementos) produzem um maior número de equações, cuja solução dificilmente é possível
sem o auxílio de um computador. Como na maioria dos casos isto não é mais um fator limitante, é possível produzirmodelos mais precisos. A consideração precisa de efeitos que apresentam modelo matemático de maior complexidade
(resistência do ar, por exemplo) muitas vezes aumentam a dificuldade de solução das equações sendo realizada apenas
em análises mais qualificadas. Outro fator é que muitas vezes a análise a se realizar tem propósitos de aplicação simples
e direta, não exigindo um refinamento muito elevado sendo possível conseguir boas interpretações em sistemas
razoavelmente simples (no caso de estudo de problemas simples em manutenção).
Mecânica das Vibrações - Capítulo 2 – Conceitos Básicos de Vibrações
42
�����
#
$� ���
$����+�	��
A partir do estabelecimento do modelo físico, são utilizados os princípios da dinâmica para determinar as
equações diferenciais do movimento. Estas são geralmente na forma de um conjunto de equações diferenciais ordinárias
para sistemas discretos e equações diferenciais parciais para sistemas contínuos. As equações podem ser lineares ou não
lineares, dependendo do comportamento dos componentes do sistema. Entre os métodos utilizados para determinar as
equações do movimento, os mais freqüentemente encontrados são a 2a Lei de Newton, o Princípio de d’Alembert
(Princípio do Trabalho Virtual) e as Equações de Lagrange (Princípio da Conservação da Energia).
�����
- �������
 ��
�%���/��
 �
$�&	�����
Dependendo da
natureza do problema, uma técnica específica deve ser usada para resolver as equações do
movimento. As técnicas mais freqüentemente utilizadas são as seguintes: métodos de solução de equações diferenciais
ordinárias, método da Transformada de Laplace, métodos matriciais e métodos numéricos.
����'
#
0������������
 ��
1������ ��
A solução das equações do movimento apresenta os deslocamentos, velocidades e acelerações das várias
massas do sistema. Estes resultados devem ser interpretados segundo o propósito da análise que está sendo realizada e
as possíveis implicações dos resultados.
��'
#
,	-�����
2	&��
 �
�	������
3��
*������	 ��
O estudo de sistemas vibratórios deve começar por sistemas simples que apresentem características básicas
capazes de permitir a análise de uma série de fenômenos presentes em sistemas mais complexos. Sistemas de um grau de
liberdade são sistemas ideais, capazes de representar uma reduzida parte dos sistemas reais presentes no mundo físico,
assim mesmo com uma grande dose de simplificação. Por outro lado, estes mesmos sistemas apresentam características
que fundamentam o entendimento da maioria dos aspectos básicos que estão presentes em sistemas mais complexos.
Problemas como ressonância, transmissibilidade, balanceamento e isolamento podem ser devidamente equacionados em
sistemas de um grau de liberdade com posterior extensão dos conceitos para problemas de ordem maior. Além disso,
estimativas de comportamento podem ser estabelecidas com relativa facilidade e simplicidade matemática quando se
cria um modelo simples para um sistema complexo. Razões como estas justificam a introdução do estudo de sistemas de
um grau de liberdade em cursos de vibrações em engenharia.
Em primeiro lugar é necessário definir ���#� ��� �$%������. É o número mínimo de coordenadas capazes de
representar completamente o movimento de um sistema. Com isto, apenas uma coordenada é capaz de representar
inteiramente o movimento, sendo esta coordenada chamada � ���������������$����. Alguns exemplos de sistemas de
um grau de liberdade são mostrados na Figura 2.28.
(a)
�
��
� ��
�
(b)
�&0
comprimento
livre
comprimento
alongado
(c)
�	
���
����
#
Sistema massa-mola.
O sistema está em �$%��'( � �$��� quando seu movimento resulta apenas de condições iniciais, não havendo
nenhuma causa externa atuando durante o movimento. O movimento de um pêndulo é um exemplo de vibração livre.
Uma outra característica importante da vibração que será explorada neste capítulo é o �� ����$���� que
representa a capacidade do sistema em dissipar a energia vibratória. Alguns modelos típicos de amortecimento como
viscoso, atrito seco (Coulomb) e atrito interno serão estudados nas seções seguintes.
��'��
#
�%�����
 �
��&	�����
A Figura 2.29a mostra um modelo simples de um sistema de um grau de liberdade sem amortecimento, o
conhecido sistema massa-mola.
Aplicando a Segunda Lei de Newton, pode-se construir o diagrama de corpo livre da massa �� mostrado na
Figura 2.29b. A equação do movimento é então
Mecânica das Vibrações - Capítulo 2 – Conceitos Básicos de Vibrações
43
( )�� � � ��
HVW
�� = − + +δ
pela condição de equilíbrio estático quando o movimento não existe, sabe-se que �� �
HVW
= δ , podendo-se escrever a
equação diferencial do movimento em sua forma conhecida
�� ����+ = 0 (2.29)
A mesma equação pode ser obtida utilizando o Princípio da Conservação da Energia. Como o sistema não
possui amortecimento, toda a energia concedida inicialmente permanece invariável durante o tempo em que acontece o
movimento. Isto é expresso por �� )� �� *� +� *� � �,������ onde � é a �����$�� �$�-�$�� e �� é a �����$�� 
 ����$��
associadas ao movimento. A conseqüência matemática da conservação da energia é
( )�+
��
�
��
� �= + = 0 (2.30)
posição de
equilíbrio estático
posição final
x
���)���
(b)
m
�(δ
st + �)
��
(c)
δ
st �
��
Energia
Potencial
Posição de equilíbrio
estático
Força de
mola
O
(d)
�
� &0 + δst
(a)
�
�δ
st
��
�	
���
����
#
Sistema massa-mola em posição vertical
A energia cinética é armazenada pela massa, dependendo da velocidade, sendo dada por � ��= 1
2
2� , enquanto
que a energia potencial é armazenada pela mola, na forma de deformação, sendo � ��= 1
2
2
. Introduzindo estes termos
na equação 2.30 tem-se
( )�
��
� �
�
��
�� �� ��� ���+ = +

 = + =
1
2
1
2
02 2� ��� �
resultando na mesma equação 2.29.
A equação 2.29 é uma equação diferencial ordinária, de segunda ordem (derivada de maior ordem), linear
(todos os termos estão linearmente relacionados com � e suas derivadas), de coeficientes constantes (��e � não variam
com o tempo) e homogênea ( o termo independente é igual a 0). A solução desta equação é dada por
( )� � 	 � 	 �
Q Q
= +1 2sen cosω ω (2.31)
onde 	1 e 	2 são constantes de integração.
Derivando duas vezes (2.31) e substituindo em (2.29) encontra-se
( )� � 	 � 	 �
Q Q Q
− + =ω ω ω2 1 2 0( sen sen ) (2.32)
Para que a equação (2.32) seja satisfeita, é necessário que
Mecânica das Vibrações - Capítulo 2 – Conceitos Básicos de Vibrações
44
( )� � �
�Q Q
− = =ω ω2 20 ou (2.33)
A solução (2.31) tem as mesmas características daquela obtida em Resistência dos Materiais, para a
equação da linha elástica. Lá o problema é espacial (variável independente é a posição) conhecido como 
� %������ 
� �� �� �� e as constantes 	
�
 e 	
�
 são obtidas através de equações auxiliares geradas pelas � ��$'.�,� ��� � �� �� 
associadas ao problema em estudo. No caso presente o problema se apresenta no domínio do tempo e é conhecido como
� %������ ���� ��$�$�$��� e as constantes 	
�
 e 	
�
 dependem das condições iniciais do movimento. Se os valores iniciais
do deslocamento e da velocidade (que representam a energia total introduzidapara gerar o movimento livre), são
conhecidos e dados por �
�
�e �
��
tem-se
( )
( )
� � � 	
� � � 	
Q
= = =
= = =
0
0
0 1
0 2� ω
de forma que a solução da equação diferencial do movimento se torna
( )� � � � � �
Q
Q
Q
= +0
0cos senω
ω
ω (2.34)
O movimento representado em (2.34) é um movimento harmônico de frequência igual a ω
Q
. Esta é a frequência
com que o sistema oscila quando está livre sem amortecimento. Por este motivo é chamada de �����	
��
�
���
�� de
oscilação. Esta frequência natural terá muita importância quando se estudar a vibração forçada, sendo uma das
características mais importantes de um sistema do ponto de vista dinâmico.
Tratando-se de uma oscilação harmônica, é importante representar a expressão (2.34) em uma forma mais
simples, contendo um seno ou coseno apenas. Com o auxílio de relações trigonométricas, (2.34) pode ser escrita como
( ) ( )0 cos Q� � � �ω φ= − (2.35)
onde
� �
�
�
�
Q
Q
0 0
2 0
2
0
0
= +








ω
φ
ω
 e 
=tan -1
�
�
�
φ �
�	
���
���"
#
Vibração livre sem amortecimento (movimento harmônico)
�������
 ����
 #
Encontrar a frequência natural de vibração na direção vertical do sistema de elevação mostrado na
Figura 2.8a
�������� O sistema de elevação pode ser idealizado como um sistema de um grau de liberdade com duas molas
associadas em série (viga em balanço e corda, são os elementos elásticos), cuja rigidez equivalente é dada por
�
� �
� �HT
E U
E U
=
+
 (a)
onde �
E
 é a rigidez da viga em balanço sob flexão e �
U
 é a rigidez do cabo de aço sob tração.
Mecânica das Vibrações - Capítulo 2 – Conceitos Básicos de Vibrações
45
�
��
�
�
�
� �
�
�
�
��
�
�
�
� � �
�
E
U
= =



 =
= =



 =
3 3
12 4
4 4
3 3
3 3
3
2 2
 e 
π π
resultando em uma rigidez equivalente
�
� � 
�
� � �
�HT
=
+



4
2 3
2 3 3
π
π
e a frequência natural é dada por
ω
π
πQ
HT HT
�
�
� �
�
��
�
� 
�
� � �
�
= = =
+



4
2 3
2 3 3 (b)
�������
���'
 #
Determinar a frequência natural do sistema de polias mostrado na Figura 2.31. Assumir que não há
atrito entre cabo e polias e as massas das polias e do cabo são desprezíveis.
Polia 1
Polia 2
P
[
N1
N2
�	
���
����
#
Sistema de elevação com polias.
�������� Idealizando novamente o sistema como um sistema de um grau de liberdade, a frequência natural também
pode ser obtida usando o conceito de rigidez equivalente. Como não há atrito entre polias e cabo e as polias não
possuem massa, a tensão na corda é constante e igual ao peso � da massa �. Então a força que atua na polia 1, puxando-
a para cima é ��, e a força que atua na polia 2, puxando-a para baixo também é ��. O centro da polia 1 se desloca ����
�
para cima, e o centro da polia 2 se desloca ����
�
, para baixo. O deslocamento total da massa ��é
2 2 2
1 2
�
�
�
�
+




A constante de mola equivalente do sistema é obtida considerando
peso da massa
constante de mola equivalente
deslocamento da massa= , portanto
( )
( )
�
�
�
� �
� � �
� �
� �
� �
HT
= +



 =
+
=
+
4 1 1
4
4
1 2
1 2
1 2
1 2
1 2
 e
keq
Se a equação do movimento da massa é escrita como
�� � �
HT
��+ = 0
então a frequência natural é dada por
Mecânica das Vibrações - Capítulo 2 – Conceitos Básicos de Vibrações
46
( ) ( )ω
ω
π πQ
HT
Q
Q
�
�
� �
� � �
�
� �
� � �
= =
+
= =
+
1 2
1 2
1 2
1 24 2
1
4
 rad / seg ou Hz (ciclos / seg)
�������
���(
�
Um rolo compactador de solo consiste de um cilindro de massa � e raio �, que está conectado a um
trator por uma mola de constante � como mostra a Fig. 2.32. Encontrar a sua equação diferencial do movimento,
assumindo queo mesmo está livre para rolar sobre a superfície horizontal sem deslizamento.
�	
���
���� – Rolo compactador de solo.
��������
Aplicando a 2ª Lei de Newton ao movimento do cilindro, usando como coordenada o movimento do centro de
massa do mesmo,
� ��=∑ �� (a)
ou
I
�� �� �= − +�� (b)
onde �
I
 é a força de atrito, ainda desconhecida.
Usando a equação, 
2
� θ=∑
2 I
 � �θ = −�� (c)
ou
21
2 I
�
�� � �
�
  
= −    
�� (d)
e, portando, 12I� ��= − �� . Substitui-se esta expressão para �I na equação das forças para obter
1
2
�� �� ��= − −�� �� (e)
ou
3 0
2
�� ��+ =�� (f)
��'��
#
$!�� �
 �
����
	�
 �
1�4��	
5
Uma das mais importantes contribuições de Lord Rayleigh no campo das vibrações foi o método apresentado
para determinação da frequência natural do sistema de um grau de liberdade. Mais tarde Ritz estendeu o método para
determinação da primeira frequência natural de um sistema de mais de um grau de liberdade. O Método de Rayleigh se
fundamenta no Princípio da Conservação da Energia, se aplicando, portanto, apenas a sistemas conservativos (sem
amortecimento). Como a energia total � é constante, a soma das energias cinética e potencial em dois instantes de tempo
quaisquer são iguais
�
�
�!�"
�
�#��
�
�!�"
�
�#������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������(2.36)
onde �
�
�e�"
��
são as energias cinética e potencial no tempo 1 e �
��
e "
�
 são as energias cinética e potencial no tempo 2.
Estabelecendo-se a posição de equilíbrio estático como a posição referencial de energia potencial (a energia
potencial depende do referencial, que pode ser escolhido arbitrariamente) e o tempo 1 for o tempo em que o sistema
passa por esta posição, então "
�
� #� $� � � e, como a energia total é constante e igual à soma das energias cinética e
potencial, a energia cinética neste tempo deve ser máxima, ou �
�
� �#��
PD[
� . Por outro lado, ao se escolher o tempo 2
como o tempo em que o sistema atinge seu máximo deslocamento, isto produz uma energia potencial máxima "
�
� �#
Mecânica das Vibrações - Capítulo 2 – Conceitos Básicos de Vibrações
47
"
PD[
�e, como o movimento é oscilatório, a velocidade neste mesmo tempo é nula e �
�
��#�$ . Utilizando (2.36), isto se
traduz em
�
PD[
�#�"
PD[
 (2.37)
que é a expressão fundamental do Método de Rayleigh.
�������
���)
#
Utilizar o Método de Rayleigh para determinar a frequência natural de um tubo semicircular de massa
��e raio � que rola lateralmente sem deslizar, como mostra a Figura 2.33.
�������% Ao se utilizar o Método de Rayleigh, é necessário determinar as energias cinética e potencial máximas.
Rolando sem deslizar, o tubo realiza, instantaneamente, um movimento de rotação pura em torno do ponto A. A
velocidade de rotação é igual à frequência de oscilação, sendo portanto ω
Q
�. Então
� �
PD[ $ Q
=
1
2
2ω
como
( ) ( ) ( ) ( )� � � � 
 � �
 � � 
 �� �
 � � 
 �� � 
$ &* 2
= + − = − + − = − + − = −
2 22 2 2 2 2
então
( )� �� � 
PD[ Q
= − ω 2
��
θ
�
O
CG
A
(a) (b)
�	
���
����
- Tubo semicircular.
A energia potencial é gravitacional, sendo expressa por
"
PD[
 #���
&'(cosθ)
Utilizando (2.37) tem-se que
( ) ( )
( )
( )
�� � 
 ��
�
� � 
Q
Q
− = −
=
−
−
ω θ
ω
θ
2 1
1
cos
cos
e
�������
���.
�
Resolver o problema do exemplo 2.25 utilizando o Método de Energia.
��������
Energia cinética do movimento de translação do centro de massa do rolo
21
2W
� ��= � (a)
Energia cinetica do movimento de rotação do rolo
21
2U 2
� φ= � (b)
onde o momento de inércia do rolo é
21
22
 ��= (c)
Pela condição de rolamento sem deslizamento
Mecânica das Vibrações - Capítulo 2 – Conceitos Básicos de Vibrações
48
 ou � � � �φ φ= =� � (d)
de forma que a energia cinética total é
2
2 2 21 1 1 3
2 2 2 4
�
� �� �� ��
�
    
= + =        
�
� �
 (e)
A energia potencial se concentra na mola, sendo
21
2
" ��= (f)
Aplicando o Princípio da Conservação da Energia
( ) 3 0
2
�
� " �� �� �
��
 
+ = + = ∈  �� � (g)
Simplificando, chega-se à equação
3 0
2
�� ��+ =�� (h)
que é idêntica à eq. (f) do Exemplo 2.15.
�������
����
�
Estruturas compostas. Determinar a frequência natural da vibração vertical de uma massa ligada a uma
estrutura flexível como mostrado na Fig. 2.34.
�	
���
���' – Estrutura composta.
�������� A estrutura da Fig. 2.34 é considerada como duas molas associadas em série. O modelo é mostrado na Fig.
2.34a. Par a uma viba bi-apoiadaa constante de mola para a deflexão lateral no meio é
3
48��
�
*
= (a)
�����	�: O sistema possui um grau de liberdade. Seleciona-se a coordenada �.
�����	 : Assume-se que a massa é deslocada �. As forças aplicadas são mostradas na Fig. 2.34d. � é ainda
desconhecida. A compatibilidade dos deslocamentos exige que
1 2
12 1 2 3
1 2 3
1 2
12 3 3
1 2 3 1 2 3
2 2
, , ,
2
1 1 1
2 4 4 4 4
� � �
� � �
� � �
� �
� � � � � �
δ δδ δ δ δ
δ δδ δ δ
+
= = = =
 +
= + = + = + + = + +  
(b)
Mecânica das Vibrações - Capítulo 2 – Conceitos Básicos de Vibrações
49
Então
1 2 31 4 1 4 1
�
�
� � �
=
+ +
(c)
�����	!: A 2ª Lei de Newton estabelece
1 2 3
1 2 3
1 4 1 4 1
1 0
1 4 1 4 1
�
�� �
� � �
�� �
� � �
−
= − =
+ +
+ =
+ +
��
��
 (d)
�����	": A frequência natural é
1 2 3
1
1 4 1 4 1
Q
� � �
�
ω
+ +
= (e)
�������
����
�
Vibração rotacional de sólidos. Um disco circular de raio + tem um furo de raio � a uma distância �
do seu centro (Fig. 2.35). O disco está livre para girar no plano vertical em torno de um eixo perpendicular ao plano do
disco e passando pelo seu centro. Determinar a frequência natural de oscilação do disco.
�	
���
���( – Disco circular com furo.
�������� O sistema é dinamicamente equivalente a um disco I com dois furos e um disco II menor, de massa �
preenchendo o furo inferior. O Princípio de D’Alembert é aplicado para determinar a equação do movimento.
Estabelece que as forças de inércia ��−∑ �� (também chamadas forças efetivas) estão em equilíbrio estático com as
forças estáticas do sistema. Considere-se o disco deslocado de sua posição de equilíbrio por um ângulo θ. Considere-se
as forças efetivas sobre o disco, isto é, os produtos ���� (forças efetivas) e 
2
 θ− �� (momentos efetivos). Além disso,
assumir pequenos deslocamentos. O Princípio de D’Alembert exige que
( ) ( ) 0
HII
2
2
� �+ =∑ ∑ (a)
ou, para pequenos ângulos,
( ) ( )sen
2
�� � �� � θ θ θ− − = ��� (b)
Se � é a massa do disco sem furos, � a massa do material necessário para preencher um furo,
2 2 21 1
2 22
 �+ �� �� = − +   (c)
e
2 2 21 1 0
2 2
�+ �� �� ���θ θ − − + =   �� (d)
ou
Mecânica das Vibrações - Capítulo 2 – Conceitos Básicos de Vibrações
50
2 2 21 1 0
2 2
�
+ � � ��
�
θ θ − − + =   �� (e)
Mas
2
2
� +
� �
= (f)
Portanto
4 2
2 1 1 0
2 2
+ �
� ��
� �
θ θ
    
− − + =         
��
 (g)
Então
( ) ( )4 22 0,5 0,5Q
��
� + � � �
ω =  
− − 
(h)
�������
���"
�
Uma viga engastada, de aço, com comprimento igual a 1 m possui uma seção transversal retangular de
0,01 x 0,12 m2. Uma massa de 100 kg é anexada à sua extremidade livre como mostra a Fig. 2.36. Determinar a
frequência natural do sistema para vibração vertical.
�	
���
���) – Viga engastada.
�������� Assume-se que a massa da viga é pequena. �
YLJD
 = 7800 x 1 x 0,01 x 0,12 = 9,36 kg, mas se sabe que a sua
massa efetiva é cerca de 1/3 deste valor, 3,12 kg, o que representa 3,12 % da massa colocada na extremidade. A
deflexão na extremidade livre da viga engastada, devida a uma força lateral � ali aplicada é δ = �*3/3��. Portanto, para
pequenas oscilações, a constante de mola é � = �/δ = 3��/*3.
O momento de inércia da viga é � = �,3/12 = 0,12 x 0,013/12 = 10-8 m4, e o módulo de elasticidade do aço é E
= 2,1 x 1011 N/m2. Portanto, � = 3 x 2,1 x 1011 x 10-8/13 = 6300 N/m.
A equação do movimento livre não amortecido é
0�� ��+ =�� (a)
resultando na frequência natural
6300 7,94 rad/s
100Q
�
�
ω = = = (b)
�����������
 �
A corda mostrada na Figura 2.37 está sob uma tensão �, que permanece constante para pequenos
deslocamentos. Determinar a frequência natural da vibração vertical da massa � considerando pequenas oscilações.
Despreze os efeitos da gravidade e a massa da mola.
�	
���
���. – Massa suportada por uma corda tensionada.
�������: Assumir que a massa está deslocada x na direção vertical. A tensão na corda é a força de restauração. Como a
tensão é constante, as componentes verticais da tensão sobre a massa resultam em ( )[ ]
*�
�� −+− . Aplicando a 2ª
Lei de Newton, a equação do movimento é
Mecânica das Vibrações - Capítulo 2 – Conceitos Básicos de Vibrações
51
0=


−
++
*
�
�
��� �� ou ( ) 0=


−
+ �
*
�*
�� �� (a)
e
( )
*
�*
Q
−
=ω (b)
�������
����
�
O pêndulo físico é um corpo rígido de massa � e está pivotado em um ponto localizado a uma distância
� do seu centro de massa G (Figura 2.38). O corpo pode oscilar livremente devido à sua própria força gravitacional.
Determinar a frequência de oscilação do pêndulo.
�	
���
���� – Pêndulo físico.
�������� A aplicação da 2ª Lei de Newton para momentos em torno do ponto O, que é o eixo de rotação, produz
 sen 
2
 ���θ θ= −�� (a)
onde 
2
 é o momento de inércia do corpo em relação ao eixo de rotação.
Considerando apenas pequenas oscilações, sen θ θ� e
0
2
���
 
θ θ+ =�� (b)
e
Q
2
���
 
ω = (c)
Como a frequência natural do pêndulo simples de comprimento � é 
Q
� �ω = , 
2
 �� pode ser definido
como o comprimento equivalente do pêndulo simples.
����# A frequência natural de pêndulos compostos é utilizada para determinar o momento de inércia quando a
geometria é complicada. O corpo deve ser pivotado em um ponto não coincidente com seu centro de massa e seu
período de oscilação livre é medido. Como ω
Q
 = 2π/�, o momento de inércia em relação ao centro de rotação é
22
Q
���
 
ω
= (d)
Pelo Teorema de Steiner, o momento de inércia em relação ao centro de massa é dado por
2
* 2
 ��= − (e)
�������
���� – Uma serra para cortar tubulações em um processo de produção contínua consiste de um disco grande
de raio � e massa �, podendo girar em torno do centro O ligado a uma barra leve, de comprimento �, em cuja
extremidade é montado um motor de massa m contendo um disco de corte (Figura 2.39). O sistema pode oscilar no
planoem torno do ponto O.
(a) Determinar o período da oscilação natural do sistema para pequenos ângulos,
(b) Determinar a velocidade linear máxima do motor se o braço é deslocado inicialmente de um ângulo θ0 e depois
liberado.
Mecânica das Vibrações - Capítulo 2 – Conceitos Básicos de Vibrações
52
�	
���
���� – Pêndulo físico composto.
��������
(a) Aplicando a 2ª Lei de Newton para a rotação em torno do ponto O tem-se
( ) sen 
2
 �� � �θ θ= − +�� (a)
Para θ pequeno
( ) 0
2
 �� � �θ θ+ + =�� (b)
O momento de inércia em torno de O é
( )2 21
22 P 0
 � * � ��= + = + + (c)
O período da oscilação natural é
( )
( )
2 21
22 2HT
Q
HT
� � � ���
�
� �� � �
π π
+ +
= =
+
(d)
(b) Como ω
Q
=2π/�
Q
, tem-se que θ = θ0 cos ωQ�. A velocidade angular é 0 sen Q Q�θ θ ω ω= −� . O seu valor máximo é
( )
( )max 0 0 2 21
2
Q
�� � �
� � � ��
θ θ ω θ
+
= =
+ +
�
 (e)
�	
���
��'" – Vibração de corpos flutuantes.
�������
���' – Um cilindro sólido de raio � está imerso parcialmente em água destilada como ilustra a Figura 2.40.
Determinar a frequência natural de oscilação do cilindro na direção vertical, assumindo que permanece na posição
vertical. As densidades do cilindro e da água são ρ
F
 e ρ
Z
.
Mecânica das Vibrações - Capítulo 2 – Conceitos Básicos de Vibrações
53
�������� O deslocamento vertical do cilindro medido a partir de sua posição de equilíbrio é x. O peso da água
deslocada (empuxo) é ��ρ
Z
�. Esta é força restauradora, de acordo com o Princípio de Arquimedes. A massa do cilindro
é �,ρ
F
. Da 2ª Lei de Newton, a equação do movimento é
0
F Z
�,� �� �ρ ρ+ =�� (a)
ou
0Z
F
�
� �
,
ρ
ρ
+ =�� (b)
portanto
Z
Q
F
�
,
ρ
ω
ρ
= (c)
Como parte da água se move junto com o cilindro, a frequência natural real será um pouco menor. A massa de
água acrescida é:
3
3
2
2
 esfera
12
 disco
3
 movendo-se perpendicularmente a superficie plana
 placa com forma retangular 
4
 cilindro circular movendo-se perpendicularmente ao seu eixo
4
�
�
- *
-*
� *
πρ
π
πρ
πρ
→

→ → 
→
�������
���(
�
Um corpo de massa �1 está suportado por uma mola de rigidez � (Figura 2.41). Uma massa � cai de
um altura , sobre o corpo ocorrendo um impacto perfeitamente plástico. Determinar a expressão da vibração resultante
e a frequência natural do sistema após o impacto.
equilíbrio
�
�1
�
�0
�1
,
��
�
�,� 2=
�0
�	
���
��'� – Vibração devida ao impacto.
�������� Em primeiro lugar determina-se a velocidade da massa � no momento do impacto. A seguir, utilizando o
princípio da conservação da quantidade de movimento, calcula-se a velocidade do conjunto após o impacto, que é a
velocidade inicial do movimento das duas massas se vibrando como um corpo rígido.
Quando a massa � atinge o corpo �1, possui velocidade 2� �,= . O princípio da conservação da quantidade
de movimento estabelece que ( )1 0�� � � �= + onde �0 é a velocidade das duas massas após o impacto.
Neste instante o sistema não estará na sua posição de equilíbrio estático. Se a massa �1 for carregada com uma
carga adicional ��, a posição de equilíbrio estático estaria 0 �� �δ = abaixo da posição do impacto. Se o movimento é
medido a partir desta posição (impacto), as condições iniciais são
0 0
1
, 2�� �� � �,
� � �
 −
= =  
+  (a)
A equação do movimento é similar à Eq. (2.29)
Mecânica das Vibrações - Capítulo 2 – Conceitos Básicos de Vibrações
54
( )1 0� � � ��+ + =�� (b)
com
1
Q
�
� �
ω =
+
 (c)
A solução, em função das condições iniciais, é dada pela Eq. (2.34), resultando em
( ) ( )
1
0 0
1
1
2
2
cos sen cos sen sen cos
Q Q Q Q Q Q
� �,
� ��� �, ��
� � � � � � � � � � �
� � � � ��
� �
ω ω ω ω ω ω
+−
= + = + = −
+
+
��(
#
,	-�����
2	&��
 �
�	������
���
*������	�����
,	�����
O amortecimento representa a capacidade do sistema em dissipar energia. Como modelo mais simples de
amortecimento se apresenta o �
�����
����	�
�����, assim chamado pois representa a força dissipativa proporcionada
por um fluido viscoso. Esta força tem como característica principal ser proporcional à velocidade relativa entre as
superfícies em movimento quando existe um fluido separando-as. Esta proporcionalidade garante que a equação
diferencial do movimento não perderá nenhuma de suas características enunciadas na seção 2.4.1. A força de
amortecimento viscoso �
D
�tem como expressão
� ��
D
= − � (2.38)
onde ��é a chamada ���������	��	�
�����
����.
��(��
#
�%�����
 �
��&	�����
�
(a)
��
� �
��.
���
�
Sistema Diagrama de corpo livre
(b)
�	
���
��'�
#
Sistema de um grau de liberdade com amortecedor viscoso
A Figura 2.42a mostra o esquema de um sistema de um grau de liberdade com amortecimento. Se a força de
amortecimento for de natureza viscosa, será igual a (2.38) e o diagrama de corpo livre da Figura 2.42b permite que se
escreva a seguinte equação, ao se aplicar a Segunda Lei de Newton
�� �� ���� �= − −
que pode ser escrita na forma
�� �� ���� �+ + = 0 (2.39)
A solução de (2.39) tem forma ( )� � /�VW= que, introduzida na equação, resulta
( )�0 �0 � /� VW2 0+ + =
que tem solução não trivial quando a equação característica
�0 �0 �2 0+ + = (2.40)
Mecânica das Vibrações - Capítulo 2 – Conceitos Básicos de Vibrações
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for satisfeita. Isto só é possível se as raízes forem
0
� � ��
�
�
�
�
�
�
�1,2
2 24
2 2 2
=
− ± −
= − ± 

 − (2.41)
Como as duas raízes satisfazem a equação diferencial (2.39), a solução resultante será uma combinação linear
das mesmas na forma
( )� � / � / �V W V W= +1 21 2 (2.42)
��(��
#
�	������
��-#�������	 �6
��	�	�������
�������	 �
�
�����#�������	 ��
A forma funcional de (2.42) depende fundamentalmente da natureza das raízes (2.41): se complexas ou reais.
Para facilitar a notação, antes de estudar a influência da natureza das raízes na forma funcional, deve-se definir alguns
parâmetros auxiliares.
��(����
#
���������
 �
*������	�����
����	��
A constante de amortecimento crítico �
F
�é definida como o valor de � que faz com que o discriminante ∆ de
(2.41) se anule. Isto porque, é do sinal deste discriminante que depende a natureza das raízes: ∆ > 0 �implica em raízes
reais enquanto que para ∆ < 0 as raízes formarão um par complexo. ∆ = 01�se apresenta como o limite entre estas duas
situações distintas. Tem-se então
�
�
�
�
F
2
0
2


 − =
de forma que
� �
�
�
�
F Q
= =2 2 ω (2.43)
��(����
#
�����
 �
*������	�����
A constante de amortecimento � dá uma indicação da relação entre a força de amortecimento e a velocidade
relativa entre as partes em movimento. Ela, porém não proporciona uma visão da ��
���
������
�2�������
�2 que atua
sobre o sistema real, uma vez que uma força de amortecimento pode ser grande para um sistema e pequena