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UNIVERSIDADE FEDERAL DE ALAGOAS INSTITUTO DE MATEMA´TICA Geometria Anal´ıtica Lista 5 (1) Ache a equac¸a˜o da esfera com centro na origem e tangente ao plano 16x− 15y − 12z + 75 = 0. (2) Obtenha a equac¸a˜o da esfera que passa pelos pontos A(3, 1,−3), B(−2, 4, 1) e C(−5, 0, 0), cujo centro esta´ no plano 2x + y − z + 3 = 0. (3) Ache a equac¸a˜o da esfera de raio igual a 3 e tangente ao plano x + 2y + 2z + 3 = 0 no ponto A(1, 1,−3). (4) Calcule o raio da esfera tangente aos planos 3x + 2y − 6z − 15 = 0 e 3x + 2y − 6z + 55 = 0. (5) Uma esfera tem centro na reta 2x + 4y − z − 7 = 04x + 5y + z − 14 = 0 e, ale´m disso, ela e´ tangente aos planos x + 2y − 2z − 2 = 0 e x + 2y − 2z + 4 = 0. Ache sua equac¸a˜o. (6) Determine as equac¸o˜es parame´tricas do diaˆmetro da esfera x2 + y2 + z2 + 2x− 6y + z− 11 = 0, o qual e´ perpendicular ao plano 5x− y + 2z − 17 = 0. (7) Verifique se o ponto A(2,−1, 3) esta´ no interior, no exterior ou sobre as esferas seguintes: (a) (x− 3)2 + (y + 1)2 + (z − 1)2 = 4; (b) (x + 14)2 + (y − 11)2 + (z + 12)2 = 625; (c) x2 + y2 + z2 − 4x + 6y − 8z + 22 = 0. (8) Verifique se a reta e´ secante, e´ tangente ou na˜o intersecta a esfera, nos seguintes casos: (a) x = −2t + 2, y = 3t− 7 2 , z = t− 2; x2 + y2 + z2 + x− 4y − 3z + 1 2 = 0; (b) x− 5 3 = y 2 = z + 25 −2 ; x 2 + y2 + z2 − 4x− 6y + 2z − 67 = 0. (9) Determine o centro e o raio da circunfereˆncia (x− 3)2 + (y + 2)2 + (z − 1)2 = 1002x− 2y − z + 9 = 0. 1 2 (10) Ache a equac¸a˜o do plano tangente a` esfera x2 + y2 + z2 = 49 no ponto A(6,−3,−2). (11) Demonstre que o plano 2x − 6y + 3z − 49 = 0 e´ tangente a` esfera x2 + y2 + z2 = 49. Ache as coordenadas do ponto de contato. (12) Deduza a condic¸a˜o segundo a qual o plano Ax + By + Cz + D = 0 e´ tangente a` esfera x2 + y2 + z2 = R2. (13) Pelos pontos de intersec¸a˜o da reta x = 3t− 5; y = 5t− 11; z = −4t + 9 com a esfera (x + 2)2 + (y − 1)2 + (z + 5)2 = 49 trac¸am-se planos tangentes a` esfera. Obtenha as equac¸o˜es destes planos. (14) Ache as equac¸o˜es dos planos tangentes a` esfera x2 + y2 + z2 = 9 e paralelos ao plano x + 2y − 2z + 15 = 0. (15) Demonstre que pela reta x = 4t + 4, y = 3t + 1, z = t + 1 pode-se trac¸ar somente um plano tangente a` esfera x2 + y2 + z2 − 2x + 6y + 2z + 8 = 0 e ache sua equac¸a˜o. (16) Verifique que a curva de intersec¸a˜o do plano x = 2 com o elipso´ide x2 16 + y2 12 + z2 4 = 1 e´ uma elipse e ache seus semi-eixos e seus ve´rtices. (17) Demonstre que o parabolo´ide el´ıptico x2 9 + z2 4 = 2y tem um ponto em comum com o plano 2x− 2y − z − 10 = 0 e ache suas coordenadas. (18) Demonstre que o hiperbolo´ide de duas folhas x2 3 + y2 4 − z 2 25 = −1 tem um ponto em comum com o plano 5x + 2z + 5 = 0 e ache suas coordenadas. (19) Ache a equac¸a˜o do plano que e´ perpendicular ao vetor N = (2,−1,−2) e e´ tangente ao parabolo´ide el´ıptico x2 3 + y2 4 = 2z. (20) Identifique as curvas determinadas pelas equac¸o˜es seguintes: (a) x2 3 + y2 6 = 2z 3x− y + 6z − 14 = 0; (b) x2 4 − y 2 3 = 2z x− 2y + 2 = 0; (c) x2 4 + y2 9 − z 2 36 = 1 9x− 6y + 2z − 28 = 0. 3 Respostas: (1) x2 + y2 + z2 = 9. (2) (x− 1)2 + (y + 2)2 + (z − 3)2 = 49. (3) (x− 2)2 + (y − 3)2 + (z + 1)2 = 9 ou (x− 2)2 + (y − 3)2 + (z + 1)2 = 9. (4) R = 5. (5) (x + 1)2 + (y − 3)2 + (z − 3)2 = 1. (6) x = 5t− 1, y = −t + 3, z = 2t− 1 2 . (7) (a) exterior; (b) na superf´ıcie; (c) interior. (8) (a) secante; (b) nao intersecta. (9) C(−1, 2, 3);R = 8. (10) 6x− 3y − 2z − 49 = 0. (11) (2,−6, 3). (12) A2R2 + B2R2 + C2R2 = D2. (13) 3x− 2y + 6z − 11 = 0 e 6x + 3y + 2z − 30 = 0. (14) x + 2y − 2z − 9 = 0 e x + 2y − 2z + 9 = 0. (15) x− y − z − 2 = 0. (16) 3; √ 3; (2, 3, 0); (2,−3, 0); (2, 0,√3); (2, 0,−√3). (17) (9, 5,−2). (18) (3, 0,−10). (19) 2x− y − 2z − 8 = 0. (20) (a)Elipse, (b)Para´bola, (c)Hipe´rbole.
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