Flexão de vigas

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Flexão
Vigas e eixos são importantes elementos estruturais e mecânicos usados em
projetos de engenharia. Seu projeto, em geral, baseia-se em sua capacidade de
resistir ao esforço de flexão. Nesta aula, será explicado como se determina as
tensões que se originam devido a este tipo de solicitação.
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Deformação por flexão de um barra reta
 Neste item discutir-se-á as deformações que ocorrem quando uma peça
prismática retilínea, feita de um material homogêneo, é submetida à flexão. A
discussão ficará limitada a vigas com seção transversal simétrica em relação a
um eixo, nas quais o momento fletor é aplicado em torno de um eixo
perpendicular ao eixo de simetria (vide figura abaixo).
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Deformação por flexão de uma barra reta
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Hipóteses (Euler-Bernoulli):
- o eixo longitudinal x, que coincide
com a superfície neutra (figura a), não
sofre nenhuma mudança no
comprimento, isto quer dizer que o
momento tenderá a deformar a barra
de modo que essa linha torna-se uma
curva localizada no plano de simetria
x-y;
- todas as seções transversais da
viga permanecem planas e
perpendiculares ao eixo longitudinal
da barra durante a deformação;
- qualquer deformação da seção
transversal dentro do seu próprio
plano, será desprezada. Em particular
o eixo z, que se encontra no plano da
seção transversal e em torno do qual
a seção transversal gira, é
denominado eixo neutro (ou linha
neutra).
Deformação por flexão de uma barra reta
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Para mostrar como a flexão deformará a barra, isolaremos um segmento da viga
localizado à distância x ao longo do comprimento da viga com espessura x antes da
deformação.
Deformação por flexão de uma barra reta
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Por definição, a deformação normal ao longo de s é determinada pela equação
Deformação por flexão de uma barra reta
s 0
s s
s
lim
 
  


Agora, representando essa deformação em termos da localização
y do segmento e do raio  de curvatura, temos:
s e s ( )          x = y
Substituindo as equações anteriores na primeira
equação temos:
0
( )
lim

   

  
   


y


 
y
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Por definição, a deformação normal ao longo de s é determinada pela equação
Deformação por flexão de uma barra reta
s 0
s s
s
lim
 
  


Agora, representando essa deformação em termos da localização
y do segmento e do raio  de curvatura, temos:
s e s ( )          x = y
Substituindo as equações anteriores na primeira
equação temos:
0
( )
lim

   

  
   


y


 
y
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Depende da coordenada y e do raio de curvatura do eixo
longitudinal da barra no ponto.
Deformação por flexão de uma barra reta
Para qualquer seção transversal específica a
deformação normal longitudinal () varia linearmente
com y a partir do eixo neutro.


 
y
máx
c
c


 
y
máx
máx c c
/
/
 
 
 
  
    
 
y y
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Deformação por flexão de uma barra reta
A deformação normal longitudinal () depende somente das hipóteses em relação a deformação. Se somente um momento
seja aplicado a viga (flexão pura), é razoável adotar uma hipótese adicional, ou seja, que esse momento provoque o
aparecimento de uma tensão normal somente na direção longitudinal, ou direção x ( x). Todas as outras componentes de
tensão normal e tensão de cisalhamento são nulas, uma vez que a superfície da viga esta livre de qualquer outra carga. É
esse estado de tensão uniaxial que faz o material ter a componente da deformação longitudinal x (x = E x ).
y x
z x
  
  
 
 
Por Poisson:
Seção transversal deformada
por efeito de Poisson – aqui
desprezadas
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A fórmula da flexão
Hipótese: material segue a lei de Hooke ( = E  )
variação linear da deformação normal  variação linear da tensão normal
Pela proporcionalidade de triângulos ou pela lei de Hooke e
equação podemos escrever:
máx
c
 
 
  
 
y
máx
c
 
 
  
 
y Representa a distribuição das tensões
normais sobre a área da seção transversal
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A fórmula da flexão
Convenção de sinais: M é positivo quando tem o mesmo sentido positivo do
eixo z (traciona as fibras inferiores).
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A fórmula da flexão
Convenção de sinais: M é positivo quando tem o mesmo sentido positivo
do eixo z (traciona as fibras inferiores).
Tensão de tração
Tensão de compressão
Tensão de compressão
Tensão de tração
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A fórmula da flexão
Se um elemento de volume de material for selecionado em um ponto específico 
na seção transversal, somente as tensões normais de tração ou compressão 
agirão sobre ele (vide figura abaixo).
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A fórmula da flexão
Podemos localizar a posição do eixo neutro (linha neutra) na seção transversal
satisfazendo a condição de que a força resultante produzida pela distribuição
de tensão na área da seção transversal deve ser nula.
máx
R x máxA A A A
F F 0 F A A A

 
 
       
 
    
y
d d d y d
c c
Momento estático da área da 
seção em relação ao eixo z
Como o momento estático da área da seção transversal é nulo  o eixo z de 
referência (eixo neutro) passa pelo centroide da seção transversal.
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A fórmula da flexão
Podemos determinar as tensões normais atuantes na seção considerando que o 
momento fletor Mz deve ser igual ao momento produzido pela distribuição das 
tensões normais em torno do eixo neutro (eixo z).
R z z z A A
máxA
M M M F A
A
( ) )

    
 
  
 
  

yd y( d
y
y d
c
Momento de inércia da área da 
seção em relação ao eixo z
2máx
z A
M A

  y d
c
z
máx
z
M
I
 
c
máx - tensão normal máxima no elemento (ocorre em um ponto na área da seção 
transversal mais afastado do eixo neutro)
c - coordenada do ponto (fibra) mais afastado do eixo z (linha neutra) onde a tensão 
normal é máxima
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A fórmula da flexão
Visto que máx / c = -  / y, a tensão normal () a uma distância intermediária y pode ser 
determinada por uma expressão semelhante a anterior. Logo:
Fórmula da Flexão
z
z
M
I
  
y
Onde:
 - tensão normal em um ponto (fibra) da seção 
transversal cuja posição é definidas pela coordenada y
Mz - momento fletor em relação ao eixo z
Iz - momento de inércia da área da seção em relação ao 
eixo z
y - coordenada que define a posição do ponto (fibra) no 
qual queremos calcular a tensão normal ()
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Flexão Pura
Flexão Pura: elementos
prismáticos submetidos 
somente a momentos fletores
M e M’ iguais e opostos 
atuando num mesmo plano 
longitudinal.
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Outros tipos de carregamento
 Carregamento excêntrico: A linha de ação da carga axial não passa pelo
centroide da seção considerada e produz esforços internos que são
equivalentes a uma força de tração axial e um momento de flexão (fletor).
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Outros tipos de carregamento
Carregamento transversal: carga
transversal concentrada ou distribuída
produz forças internas equivalentes a
uma força de cisalhamento (corte) e um
momento fletor.
Princípio da Superposição: combinação 
entre a tensão normal devido à flexão 
pura, a tensão normal devido à carga 
axial e a tensão de cisalhamento devido 
a força de cisalhamento.
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Considerações – Barras em flexão pura
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