AULA 05

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Universidade Federal do Rio Grande do Norte 
Centro de Tecnologia - CT 
Departamento de Engenharia de Produção 
ESTATÍSTICA PARA ENGENHARIA 
DE PRODUÇÃO
Prof. Luciano Queiroz
Natal/RN 29/01/14
Sumário
Estatística descritiva
Análise Estatística
Uma primeira fase em que se procura descrever e 
estudar a amostra:
Estatística Descritiva
e uma segunda fase em que se procura tirar 
conclusões para a população:
Estatística Indutiva
Esquematicamente temos
Análise Estatística
 Podemos dizer que uma análise estatística envolve duas fases
fundamentais, com objetivos distintos:
 1ª Fase : Estatística descritiva
Procura-se descrever a amostra, pondo em evidência as
características principais e as propriedades.
 2ª Fase: Estatística Indutiva
Conhecidas certas propriedades (obtidas a partir de uma análise
descritiva da amostra), expressas por meio de proposições,
imaginam-se proposições mais gerais, que exprimam a existência
de leis (na população).
Estatística Descritiva
 É a parte da Estatística que procura somente descrever e avaliar 
um certo grupo sem tirar quaisquer conclusões ou inferências 
sobre um grupo maior.
Gráficos, Diagramas de Pareto e de Ramo-e-Folha
Após coletar os dados da amostragem, precisamos “nos 
familiarizar” com eles.
Gráfico Estatístico
O gráfico estatístico é uma forma de apresentação
dos dados estatísticos que visa produzir no público
uma impressão mais viva e rápida do fenômeno
estudado. Por sua finalidade, os gráficos devem ser
simples, claros e trazer informações verídicas, pois
com esta iremos estudar os padrões de
comportamento da variável.
Gráficos
 IMPORTANTE:
Não há somente uma resposta correta ao se construir um
gráfico. O julgamento do analista e a circunstâncias que
envolvem o problema desempenham um papel importante
no desenvolvimento do gráfico.
Qualquer representação gráfica utilizada, independente do
tipo, tem de ser totalmente autoexplicativa.
Isso inclui: título descritivo significativo e a identificação
adequada das quantidades e variáveis identificadas.
Gráficos
Existem diversas formas gráficas de descrever dados.
Gráficos de dados qualitativos
Gráficos de dados quantitativos
Gráficos – Dados Qualitativos
Gráfico de pizza
Gráficos que mostram a quantidade de dados que
pertencem a cada categoria como uma parte
proporcional do círculo.
Gráfico de barra
Gráficos que mostram a quantidade de dados que
pertencem a cada categoria como uma área retangular
dimensionada proporcionalmente
Gráficos – Dados Qualitativos
Exemplo
Tabela - Cirurgias realizadas no Hospital Geral no ano passado
Tipos de cirurgia Número de casos
Torácica 20
Ossos e articulações 45
Olho, ouvido, nariz e garganta 58
Geral 98
Abdominal 115
Urológica 74
Proctológica 65
Neurocirúrgica 23
TOTAL 498
Gráficos – Dados Qualitativos
Exemplo Cirurgias realizadas no Hospital Geral no ano passado
TOTAL Abdominal Geral
Urológica Proctológica Olho, ouvido, nariz e garganta
Ossos e articulações Neurocirúrgica
Gráficos – Dados Qualitativos
Exemplo
0 100 200 300 400 500 600
TOTAL
Abdominal
Geral
Urológica
Proctológica
Olho, ouvido, nariz e garganta
Ossos e articulações
Neurocirúrgica
Cirurgias realizadas no Hospital Geral no ano passado
Gráficos – Dados Qualitativos
Diagrama de Pareto
Gráfico de barras n qual as barras são organizadas da
categoria mais numerosa para a menos numerosa. Inclui
também um gráfico de linhas que mostra as porcentagens e
contagens cumulativas com relação às barras.
Muito utilizado no controle da qualidade, pois um Pareto dos
tipos de defeito mostrará aqueles que tem maior impacto
sobre a taxa de defeitos em ordem de efeito.
Gráficos – Dados Qualitativos
Exemplo
115
98
74
65
58
45
23
2023,09%
42,77%
57,63%
70,68%
82,33%
91,37%
95,98%
100,00%
0,00%
20,00%
40,00%
60,00%
80,00%
100,00%
120,00%
0
20
40
60
80
100
120
140
Abdominal Geral Urológica Proctológica Olho, ouvido,
nariz e garganta
Ossos e
articulações
Neurocirúrgica Torácica
CIRURGIAS REALIZADAS NO HOSPITAL GERAL NO ANO 
PASSADO
Gráficos – Dados Quantitativos
Uma razão importante para construir um gráfico de
dados quantitativos é mostrar a sua distribuição, ou o
padrão de variabilidade exibido pelos dados de uma
variável.
A distribuição mostra a frequência de cada valor da
variável.
Gráficos – Dados Quantitativos
Gráfico Dotplot
Exibe os dados de uma amostra representando cada dado
por meio de um ponto posicionado ao longo de uma escala.
Essa escala pode ser tanto horizontal, quanto vertical. A
frequência dos valores é representada ao longo da escala.
Gráficos – Dados Quantitativos
Exemplo
0
20
40
60
80
100
120
0 2 4 6 8 10 12 14 16 18
17 notas da prova
Amostra de 17 notas da 
prova
76 74 82 96 66 76 72 52 88 86 84 92 76 68 92 74 88
Gráficos – Dados Quantitativos
Diagrama de Ramo e Folhas
Exibe os dados de uma amostra utilizando os dígitos reais que
formam os valores desses dados. Cada valor numérico é
dividido em duas partes: o(s) dígitos inicial(is) forma(m) o ramo
e o(s) dígito(s) adicional(is) forma(m) a folha. Os ramos são
dispostos ao longo do eixo principal, sendo inserida uma folha
para cada valor de dados de forma que exibe a distribuição
dos dados.
Gráficos – Dados Quantitativos
 Exemplo
Distribuição de Frequências e Histogramas
 Lista de grandes conjuntos de dados não apresentam uma
imagem muito boa
Distribuição de Frequências
 Na análise de conjuntos de dados é costume dividi-los em
classes ou categorias e verificar o número de indivíduos
pertencentes a cada classe, ou seja, a freqüência da classe. Os
dados a seguir apresentam um conjunto de 50 observações da
principal característica dimensional de um tipo de peça usinada
(dados em ordem crescente).
Distribuição de Frequências
Tabela de freqüência absoluta
Tabela de freqüência absoluta
Amplitude da classe: Os limites tais como 12,50 a
13,50 são chamados de intervalos de classe. O
número menor (12,50), é o limite inferior da classe; e
o maior (13,50) é o limite superior da classe.
Ponto Médio: é obtido somando-se o limite inferior
ao superior e dividindo por dois. Assim, o ponto
médio do intervalo 12,50 a 13,50 é (12,50+13,50)/2 =
13,00
Tabela de freqüência absoluta
Amplitude da classe: A diferença entre os limites
superior e inferior dessa classe.
Todas as classes devem possuir a mesma amplitude
Não pode existir sobreposição de classes
Quando conveniente, uma amplitude de classe de
número par é geralmente vantajosa
Distribuição de frequências - NOTAS
 Se os dados tiverem sidos classificados (em forma de lista,
dotplot, ou ramo e folhas), a tabulação é desnecessária,
basta contar os dados que pertencem a cada classe.
 Se os dados não foram classificados, tenham cuidado com a
tabulação.
 A frequência f para cada classe é o número de blocos que
pertencem a cada classe.
 A soma das frequências deve ser igual ao número de blocos
de dados n (n=Σf). Essa soma serve como uma boa forma de
verificação.
Histogramas
Histograma é um gráfico de barras que representa uma
distribuição de frequência de uma variável quantitativa.
Formado por três componentes:
Um título, que identifica a população ou a amostra em
questão
Uma escala vertical, que identifica as frequências nas
diversas classes
Uma escala horizontal, que identifica a variável x. Os valores
para os limites de classe ou pontos médios podem ser
identificados ao longodo eixo-x. Utilize o método de
identificação do eixo que melhor apresenta a variável.
Histograma
Histogramas
 Resumidamente, os termos usados para descrever os histogramas são os
seguintes:
 Simétricos: ambos os lados dessa distribuição são idênticos (as metades são
imagens de espelho).
 Normal (triangular): A distribuição simétrica é elevada em torno da média e
torna-se escassa nas extremidades.
 Uniforme (retangular): Cada valor aparece com igual frequência.
 Assimétricos: Um pico alonga-se mais do que o outro. A direção da assimetria
está do lado do pico mais longo.
 Forma de J: Não existe assimetria ao lado do pico da classe com a maior
frequência.
 Bimodal: As duas classes mais populosas são separadas por uma ou mais classes.
Essa situação, geralmente, implica que duas populações estão sendo
mostradas.
Histograma
Comparação com as
especificações de controle:
Histograma
Estratificação de dados
 Conceito de se trabalhar com dados classificados em
agrupamentos (camadas ou estratos)
 Tempo: os resultados relacionados com o problema são
diferentes de manhã, à tarde ou a noite?
Local: os resultados são diferentes nas linhas de produção?
 Tipo: os resultados obtidos são diferentes dependendo dos
fornecedores?
Sintoma: os resultados diferem dependendo dos defeitos que
posssam ocorrer?
 Indivíduo: é possível comparar os operadores?
Medidas de tendência central
As medidas de tendência central são valores
numéricos que localizam, de certa forma, o centro de
um conjunto de dados, segundo uma regra
estabelecida a priori.
Média aritmética
Moda
Mediana
Medidas de tendência central
Determinação de média
É a média com a qual você está mais familiarizado.
Representada por



n
i
ix
n
x
1
1
Medidas de tendência central
 Anotamos o número de produtos com defeito coletados de 1 em 1 
hora, durante 7 horas. Qual a média de defeitos?
Valores observados: 37, 37, 38, 39, 37, 39, 39.
O tamanho da amostra é n = 7
38
7
39393739383737


x
Medidas de tendência central
Determinação da mediana
O valor que ocupa a posição central quando
colocados em ordem de acordo com o tamanho.
Representado por




 

parn
ímparn
xx
x
x
nn
n
2
~
)12/()2/(
)2/)1((
Medidas de tendência central
 Grupo de dados ordenados separado ao meio 
 Qual a mediana dos defeitos?
 Valores observados: 37, 37, 38, 39, 37, 39, 39
 Valores ordenados: 37, 37, 37, 38, 39, 39, 39
 n = 7 é ímpar – mediana valor central
38~ x
Medidas de tendência central
Determinação da moda
O valor de x que ocorre com a mais frequência
Medidas de tendência central
 Qual a moda de defeitos?
 Valores observados: 37, 37, 37, 38, 39, 39, 39
 Duas modas: 37 e 39
Medidas de tendência central
Relação entre média e mediana → fornece a forma da 
dispersão
A Distribuição simétrica 10 12 14 16 18 
14~ 14  xx
 
B Distribuição assimétrica à direita 10 12 14 16 23 
14~ 15  xx
 
C Distribuição assimétrica à esquerda 05 12 14 16 18 
14~ 13  xx
 
 
 
 
 
Simétrica 
Forma de Sino 
Assimétrica à Direita 
Assimetria Positiva 
Assimétrica à Esquerda 
Assimetria Negativa 
 
x
x~
x~ x x x~
Mediana tem maior robustez a dados 
atípicos do que a média
Medidas de dispersão (variabilidade)
 Tendo localizado o “ponto médio” com
as medidas de tendência central, a
nossa busca por informações com base
nos conjuntos de dados agora se volta
para as medidas de dispersão
(variabilidade).
Medidas de dispersão (variabilidade)
Variância:
quadrado da distância de todos os valores xi em relação
a sua média
alpopulacioniância
n
x
amostraliância
n
xx
s
n
i
i
n
i
i
var
)(
var
1
)(
2
12
2
12











Medidas de dispersão (variabilidade)
Desvio-padrão:
a raiz quadrada da variância (é expresso na unidade
original dos dados)
alpopulacionpadrãodesvio
n
x
amostralpadrãodesvio
n
xx
s
n
i
i
n
i
i
2
1
2
1
)(
1
)(











Medidas de dispersão (variabilidade)
Observação
Quando a amostra é grande (n > 30) ou quando trata-se da
população usa-se n no denominador
Medidas de dispersão (variabilidade)
Medida do diâmetro de uma peça
Amostra 10 12 14 16 18 (cm)
A média é e a variância e o desvio-padrão
são:
 14 cmx 
2
22222
2 98,9
15
)1418()1416()1414()1412()1410(
cms 



cms 16,398,9 
Medidas de dispersão (variabilidade)
Medida do diâmetro de uma peça
41418
21416
01414
21412
41410





 A média e o desvio padrão possuem a
mesma unidade de medida
 Os desvios de cada valor em relação à
média totalizam zero pois a média é o
valor central
Medidas de dispersão (variabilidade)
Coeficiente de variação
Um desvio padrão pode ser considerado grande ou
pequeno dependendo da ordem de grandeza da média
da variável.
Quanto menor o CV mais homogêneo é o conjunto de
dados.
Medida adimensional, útil para comparar resultados de
amostras cujas unidades podem ser diferentes.
100
x
s
CV
Medidas de dispersão (variabilidade)
BoxPlot
Gráfico que apresenta a variabilidade de um conjunto
de dados através de 6 medidas
Exemplo: 1, 2, 2, 3, 4, 5, 6
Medidas de posição
Medidas de posição são utilizadas para descrever a
posição de uma valor de dados específico em relação
ao resto dos dados
Medidas de posição
Quartis
Valores da variável que dividem os dados classificados em 
quatro partes iguais, sendo que cada conjunto de dados é 
composto por três quartis. Ela não é influenciada pelos 
dados atípicos
Medidas de posição
Quartis
 1º quartil ou quartil inferior (Q1) = valor aos 25% da amostra 
ordenada
 2º quartil ou mediana (Q2) = valor até ao qual se encontra 
50% da amostra ordenada
 3º quartil ou quartil superior (Q3) = valor a aos 75% da amostra 
ordenada
Medidas de posição
Quartis
 Exemplo
Amostra: 36, 40, 7, 41, 15, 39
Amostra ordenada: 7, 15, 36, 39, 40, 41
Q1 = 15
Q2 = (39+36)/2 = 37,5
Q3 = 40
Amplitude inter-quartil: Q3-Q1 (40 - 15 = 25)
Medidas de posição
Quartis
Regra para descobrir os quartis
1) use a mediana para dividir os dados ordenados em duas 
metades, não inclua a mediana nas metades
2) o quartil inferior (ou superior) é a mediana da metade 
inferior (ou superior).
Medidas de posição
Percentis
Valores da variável que dividem um conjunto de dados
classificados em cem subconjuntos iguais, sendo que cada
conjunto de dados é composto por 99 percentis.
Medidas de dispersão (variabilidade)
BoxPlot
Exemplo: 1, 2, 2, 3, 4, 5, 6
Medidas de posição
Pontuações padrão
 Até aqui examinamos medidas de posição gerais, mas às vezes é
necessário medir a posição de um valor específico com relação à
média e ao desvio padrão. Nesses casos, é utilizada a pontuação
padrão, comumente chamada de escore-z.
 A pontuação padrão (ou escore-z) é a posição de um determinado
valor de x em relação à média, medida e desvios-padrão.
Medidas de posição
Pontuações padrão
 O escore-z é determinado pela fórmula
Medidas de posição
Vamos aplicar essa fórmula para determinar as
pont~uações padrão para (a) 92 e (b) 72 com relação
a uma amostra de notas de provas com uma
pontuação média de 74,92 e um desvio padrão de
14,20.
Medidas de posição
 SOLUÇÃO
 (a)x = 92, xbarra = 74,92, s = 14,20.
Z = 1,20
 (b) x = 72, xbarra = 74,92, s = 14,20
Z - -0,21
 Interpretação: a pontuação (a) é aproximadamente um
desvio padrão e um quinto acima da média, enquanto a
(b) é um quinto do desvio padrão abaixo da média.
Medidas de posição
 Por ser um escore-z uma medida de posição relativa
quanto à média, pode ser utilizado para ajudar a comparar
duas pontuações brutas obtidas de populações distintas.
 Por exemplo, suponha que você deseja comparar a nota
que tirou em uma prova com a nota que uma amiga
obteve em uma prova equivalente no curso que ela faz.
Você recebeu uma nota de 45 pontos, enquanto ela
obteve 72 pontos.
A nota dela é melhor?
Medidas de posição
Necessitamos de mais informações antes de chegarmos
a uma conclusão. Suponha que a média que você
obteve na prova foi 38 e a média de sua amiga na
prova dela foi 65. Suas notas estão, ambas, 7 pontos
acima da média, mas ainda não podemos estabelecer
uma concisão definitiva.
O desvio padrão da prova que você fez foi de 7 pontos,
e de 14 pontos da prova da sua amiga.
Medidas de posição
 Isso significa que a sua pontuação está em (1) desvio
padrão acima da média (z=1), enquanto a nota da sua
amiga é apenas meio desvio padrão acima da média
(z=0,5). Uma vez que a sua pontuação tem a “melhor”
posição relativa, conclui-se que é ligeiramente melhor
do que a pontuação da sua amiga (LEMBRANDO:
ESTAMOS FALANDO DE UM PONTO DE VISTA RELATIVO).