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Universidade Federal do Rio Grande do Norte Centro de Tecnologia - CT Departamento de Engenharia de Produção ESTATÍSTICA PARA ENGENHARIA DE PRODUÇÃO Prof. Luciano Queiroz Natal/RN 17/02/14 Sumário Distribuição de Probabilidade Introdução Uma distribuição de probabilidade é um modelo matemático que relaciona o valor da variável em estudo com a sua probabilidade de ocorrência na população. Tipos de distribuição de probabilidade: 1. Distribuições Contínuas: Quando a variável que está sendo medida é expressa em uma escala contínua: Ex: Diâmetro de uma peça Distribuições Discretas: Quando a variável que está sendo medida só pode assumir certos valores, como por exemplo os valores inteiros. Ex: Número de reclamações de clientes Introdução No caso de distribuições discretas, a probabilidade de que a variável X assuma um valor específico xo é dada por: P(X = xo ) = P( xo ) b a dxxfbXaP )( No caso de variáveis contínuas, as probabilidades são especificadas em termos de intervalos, pois a probabilidade associada a um número específico é zero. Distribuição Discreta Distribuição Binomial Distribuição Hipergeométrica Distribuição de Poisson Distribuição Binomial A distribuicao binomial e adequada para descrever situacoes em que os resultados de uma variável aleatoria podem ser agrupados em apenas duas classes ou categorias. As categorias devem ser mutuamente excludentes, de forma que nao haja duvidas na classificacao do resultado da variavel nas categorias e coletivamente exaustivas, de forma que nao seja possivel nenhum outro resultado diferente das categorias. Por exemplo, um produto manufaturado pode ser classificado como perfeito ou defeituoso, a resposta de um questionario pode ser verdadeira ou falsa, as chamadas telefonicas podem ser locais ou interurbanas. Distribuição Binomial Distribuição Binomial Seja um processo composto de uma seqüência de n observações independentes com probabilidade de sucesso constante igual a p, a distribuição do número de sucessos seguirá o modelo Binomial: x = 0,1,....,n onde representa o número de combinações de n objetos tomados x de cada vez, calculado como: )!(! ! xnx nn x P x p pxn x n x( ) ( ) 1 xn Distribuição Binomial Distribuição Binomial Distribuição Binomial Suponha que haja uma probabilidade de 0,60 de um carro furtado em Natal ser recuperado. Qual a probabilidade de no maximo 3 dentre 10 carros furtados serem recuperados? Para n =10 e p = 0,6 Os valores de X = 0, 1, 2, 3 são 0,000; 0,002; 0,011 e 0,042 A probabilidade de no maximo tres carros furtados serem recuperados é: 0,000 + 0,002 + 0,011 + 0,042 = 0,055 Distribuição Hipergeométrica Considere o problema básico de inspeção por amostragem, em que observamos uma amostra de n itens de um lote com N itens, sendo r defeituosos. Avaliamos o número X de itens defeituosos na amostra. A variável aleatória X aparenta ser binomial, mas só é realmente binomial se: A seleção da amostra for aleatória (para garantir a mesma probabilidade p de sair item defeituoso em todos os ensaios); Com reposição (para garantir independência entre ensaios). Distribuição Hipergeométrica A segunda condição não costuma ser satisfeita na prática. Se a amostragem for aleatória, mas sem reposição, a distribuição de X é conhecida como hipergeométrica de parâmetros N, n e r. Seja um conjunto com N elementos tal que existem K elementos do tipo A e N- K elementos do tipo B. Um conjunto de n elementos é selecionado, aleatoriamente e sem reposição, do conjunto de N elementos. A variável aleatória X denota o número de elementos tipo A. Então, X tem distribuição hipergeométrica Distribuição Hipergeométrica A função de probabilidade de X é expressa por: x = 0,1,....,min(r,n) n N xn rN x r xP )( Distribuição Binomial x Hipergeométrica Distribuição Hipergeométrica Dos 16 caminhoes de entrega de uma loja de departamento, cinco emitem excesso de poluentes. Selecionados aleatoriamente para inspecao 8 dos 16 caminhoes, qual e a probabilidade de essa amostra incluir ao menos 3 dos caminhoes que emitem excesso de poluentes? • P(3) + P(4) + P(5) • R = 5, n = 8, N = 16 Distribuição Hipergeométrica Distribuição Hipergeométrica Uma empresa fabrica um tipo de tomada que são embalados em lote de 25 unidades. Para aceitar o lote enviado por essa fábrica, o controle de qualidade da empresa tomou o seguinte procedimento: sorteia-se um lote e desse lote selecionam-se 8 tomadas para teste, sem reposição. Se for constatado, no máximo, duas tomadas defeituosas, aceita-se o lote fornecido pela fábrica. Se o lote sorteada tiver 7 peças defeituosas, qual a probabilidade de se aceitar o lote? Distribuição Hipergeométrica Suponha que 3 moedas comemorativas foram colocadas por engano em um cofrinho no qual já haviam algumas moedas comuns, o qual ficou contendo um total de 12 moedas. Suponha que, devido a dificuldade de tirar as moedas do cofrinho sem quebrá-lo, vamos retirar ao acaso um total de 4 moedas, qual a probabilidade de retirarmos no mínimo 1 moeda comemorativa? Distribuição Hipergeométrica
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