AULA 14 - Teoria da Estimação

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Universidade Federal do Rio Grande do Norte 
Centro de Tecnologia - CT 
Departamento de Engenharia de Produção 
ESTATÍSTICA PARA ENGENHARIA 
DE PRODUÇÃO
Prof. Luciano Queiroz
Natal/RN 13/03/14
Sumário
 Inferência estatística
 Teoria da Estimação
 Se é desconhecido, a teoria de probabilidades mostra que, mesmo
assim, é possível obter uma distribuição amostral para X, utilizando uma
distribuição, denominada t de Student. Esta distribuição tem forma
parecida com a da Normal padrão, com caudas um pouco mais
pesadas, ou seja, a dispersão da distribuição t de Student é maior. Se
uma distribuição tem caudas mais pesadas, valores extremos tem maior
probabilidade de ocorrerem.
 Esta dispersão varia com o tamanho da amostra, sendo bastante
dispersa para amostras pequenas, mas se aproximando da Normal
padrão para amostras grandes. A distribuição t de Student tem apenas
um parâmetro, denominado graus de liberdade, gl. No caso da
estimação de uma média, gl = n -1.
Estimativa para desvios padrão 
desconhecidos
Estimativa para desvios padrão 
desconhecidos
 Lembre-se de que a distribuição amostral de medias amostrais tem uma
media μ e um desvio padrão de σ/√n para todas as amostras de
tamanho n, sendo distribuída normalmente, quando a população
amostrada é uniformemente distribuída, ou aproximadamente normal,
quando o tamanho da amostra é suficientemente grande. Isso significa
que a estatística de teste tem uma distribuição normal padrão.
 No entanto, quando σ é desconhecido, o erro padrão σ/√ n também é
indeterminado. Assim, o desvio padrão da amostra s será ́ utilizado como
a estimativa pontual para σ. Como resultado, um erro padrão estimado
da média, s/√ n , será ́ usado, e nossa estatística de teste se tornara ́
Estimativa para desvios padrão 
desconhecidos
 Quando um σ conhecido é usado para fazer uma inferência sobre a
média μ, a amostra fornece um valor para aplicar nas fórmulas. Esse
valor é 𝑥. Quando o desvio padrão da amostra s também é usado, esta
fornece dois valores: a média amostral 𝑥 e o erro padrão estimado s/√ n.
Como resultado, a estatística-z será ́ substituída por uma estatística que
representa o uso de um erro padrão estimado. Essa nova estatística é
conhecida como a estati ́stica-t de Student.
Estimativa para desvios padrão 
desconhecidos
Estimativa para desvios padrão 
desconhecidos
 Mesmo que a variável de interesse, X não tenha uma distribuição
Normal, ainda podemos obter uma distribuição aproximada para X,
sem a necessidade de se conhecer muito sobre a população em
estudo.
Estimativa para desvios padrão 
desconhecidos
 O número de graus de liberdade associado a s² é o divisor (n – 1)
usado para calcular a variância amostral s²; ou seja, gl = n – 1. A
variância amostral é a média do quadrado dos desvios padrões.
 O número de graus de liberdade é o “número de desvios não
relacionados entre si” disponíveis para serem usados na estimativa de
σ2. Os graus de liberdade em uma distribuição correspondem ao
número de variáveis independentes que estão sendo somadas.
 Lembre-se que a soma dos desvios, Ʃ(x – 𝑥), deve ser zero. Com base
em uma amostra de tamanho n, somente o primeiro n – 1 desses
desvios tem liberdade de valor.
Estimativa para desvios padrão 
desconhecidos
Estimativa para desvios padrão 
desconhecidos
 Embora exista uma distribuic ̧a ̃o-t separada para cada grau de
liberdade, gl=1, gl=2, ..., gl=20, ..., gl=40, e assim por diante, somente
determinados valores críticos chave de t serão necessários para o
nosso trabalho. Consequentemente, a tabela da distribuiça ̃o-t de
Student é uma tabela de valores críticos, e não uma tabela completa,
assim como a Tabela com relação à distribuição normal padrão para
z. Ao olhar a Tabela, nota-se que o lado esquerdo e ́ identificado por
“gl”, ou graus de liberdade. A coluna a ̀ esquerda inicia com 3 no topo
e lista os valores seguintes de gl até 30 e, enta ̃o, pula para 35, ..., para
“gl=50” na parte inferior. Como afirmamos, conforme os graus de
liberdade aumentam, a distribuiça ̃o-t aproxima-se das caracteri ́sticas
da distribuic ̧a ̃o-z normal padrão.
Estimativa para desvios padrão 
desconhecidos
 Para determinar o valor de t, você precisará conhecer dois valores de
identificação: (1) gl, o número de graus de liberdade (que identifica a
distribuição de interesse); e (2) α, a área sob a curva para a direita do
valor critico à direita. Uma notação muito semelhante àquela utilizada
com z será́ usada para identificar um valor critico. t (gl, 𝛼), le ̂-se “t de
gl, 𝛼”, é o símbolo para o valor de t com gl (graus de liberdade) e uma
área de α na cauda direita
Estimativa para desvios padrão 
desconhecidos
Estimativa para desvios padrão 
desconhecidos
 Definição de T em relação à média
 Existem três formas de t se relacionar com a média: t pode estar a ̀
direita, estar à esquerda, ou apresentar valores que limitam uma
determinada porcentagem. Comecemos determinando o valor de t a ̀
direita da média, encontrando especificamente o valor de t(10, 0,05)
Estimativa para desvios padrão 
desconhecidos
 Definição de T em relação à
média
 Há 10 graus de liberdade, e
0,05 é a a ́rea a ̀ direita do
valor cri ́tico. Na Tabela T,
procuramos a linha gl = 10 e a
coluna identificada como
“Área em uma cauda”, α =
0,05. Na intersec ̧ão delas,
descobrimos que t(10, 0,05) =
1,81.
Estimativa para desvios padrão 
desconhecidos
 Definição de T em relação à média
 Vamos encontrar o valor de t(15, 0,95). Existem 15 graus de liberdade.
Estimativa para desvios padrão 
desconhecidos
Estimativa para desvios padrão 
desconhecidos
 Procedimento do intervalo de confiança
 O pressuposto para inferências sobre a média, quando é
desconhecida.
A população amostrada é distribuída normalmente
Estimativa para desvios padrão 
desconhecidos
 O procedimento para construir intervalos de confiança usando o
desvio padrão da amostra é muito semelhante ao utilizado quando σ
é conhecido. A diferença é o uso do t de Student no lugar do z
padrão e o uso de s, desvio padrão da amostra, como uma estimativa
de σ. O teorema do limite central implica que essa técnica também
pode ser aplicada a populações não normais, quando o tamanho da
amostra é suficientemente grande.
Estimativa para desvios padrão 
desconhecidos
Estimativa para desvios padrão 
desconhecidos
 Vamos considerar uma amostra aleatória do peso de 20 bebês com
um ano de idade, nascidos no Northside Hospital ano passado. Foi
constatada uma média de 20,73 libras (9,4 quilos) e um desvio padrão
de 2,17 libras (0,98 quilos) para a amostra. Com base em informações
anteriores, pressupomos os pesos dos bebês com um ano são
distribuídos normalmente. Usando o processo dos cinco passos,
podemos estimar com confiança de 95% o peso médio de todos os
bebês com um ano de idade nascidos nesse hospital.
Estimativa para desvios padrão 
desconhecidos
 Passo 1: Definição
 Descrever o parâmetro populacional de interesse.
 μ, peso me ́dio dos bebe ̂s com um ano nascidos no Northside Hospital no ano
passado.
 Passo 2: Critérios do intervalo de confiança
 a. Verificar os pressupostos.
 σ e ́ desconhecido e informações anteriores indicam que a população
amostrada e ́ normal.
 b. Identificar a distribuição de probabilidade e a fórmula a ser utilizada.
 A distribuic ̧a ̃o-t de Student sera ́ usada com a fo ́rmula
 c. Estabelecer o nível de confiança.
 1 – = 0,95.
Estimativa para desvios padrão 
desconhecidos
 Passo 3: Evidência amostral
 n = 20, x = 20,73 e s = 2,17.
 Passo 4: Intervalo de confiança
 a. Determinar os coeficientesde confianc ̧a.
 Sendo 1 – 𝛼 = 0,95, 𝛼 = 0,05; portanto, 𝛼 /2 = 0,025. Além disso, sendo n
= 20, gl = 19. Na interseça ̃o da linha gl = 19 com a coluna unicaudal α
= 0,025 na Tabela, encontramos t(gl, α/2) = t(19, 0,025) = 2,09.
 b. Determinar o erro máximo da estimativa
Estimativa para desvios padrão 
desconhecidos
 Passo 4: Intervalo de confiança
 c. Determinar os limites de confiança e superior
 Passo 5: Resultados
 19,72 a 21,74 é o intervalo de confiança de 95% para μ. Ou seja, com
uma confiança de 95%, estimamos que o peso médio esteja entre
19,72 e 21,74 libras (8,94 e 9,86 quilos).
Estimativa para desvios padrão 
desconhecidos
 Para testar a durabilidade de uma nova tinta para a pintura de faixas
brancas, o DNER testou faixas pintadas em trechos de rodovias de
grande movimento em oito locais diferentes, e os contadores
eletrônicos mostraram que elas se deterioravam após terem sido
cruzadas em média 140.800 vezes, com desvio de 19.200. O
pressuposto para inferências sobre a média, quando é
desconhecida.
Estimativa para desvios padrão 
desconhecidos
Estimativa para desvios padrão 
desconhecidos
Estimativa para desvios padrão 
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 Uma empresa pretende treinar seus empregados em uma nova
metodologia de trabalho e deseja saber quanto tempo precisará
dispor para realizar esse treinamento. Para isso, selecionou 15
empregados para receber os novos conhecimentos. A seguir temos
uma descrição de quanto tempo (em dias) cada empregado
demorou para atingir o nível satisfatório. Adotar um nível de confiança
de 95%.
Estimativa para desvios padrão 
desconhecidos
Estimativa para desvios padrão 
desconhecidos
Estimativa para desvios padrão 
desconhecidos
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