AULA 18 - Teste de hipótese - Desvio Padrão Desconhecido

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Universidade Federal do Rio Grande do Norte 
Centro de Tecnologia - CT 
Departamento de Engenharia de Produção 
ESTATÍSTICA PARA ENGENHARIA 
DE PRODUÇÃO
Prof. Luciano Queiroz
Natal/RN 26/03/14
Sumário
 Inferência estatística
Teste de hipótese para 𝜎 desconhecido
Teste hipótese da média 𝜇 para 𝜎 desconhecido
A estatística-t é utilizada para realizar o teste das
hipóte- ses com relac ̧ão à média populacional μ
de forma muito semelhante ao modo como z foi
usada no Capítulo 8. Nas situac ̧o ̃es de teste de
hipótese, usamos a fórmula para calcular o valor
da estatística de teste t★
Teste hipótese da média 𝜇 para 𝜎 desconhecido
O t calculado é o número de erros padrão
estimados que xmédio está da média μ hipotética.
Assim como ocorre com os intervalos de
confianc ̧a, o teorema do limite central indica que
a distribuic ̧ão-t também pode ser aplicada a
populac ̧o ̃es não normais quando o tamanho da
amostra e ́ suficientemente grande.
TesTe de hipóTeses unicaudal para μ,
com σ desconhecido
 A organização EPA quer mostrar que o nível médio de
mono ́xido de carbono no ar é superior a 4,9 partes por
milhão. Uma amostra aleatória de 22 leituras
(resultado da amostra: x = 5,1 e s = 1,17) apresenta
evidência suficiente para sustentar a alegaça ̃o da
EPA?
 Use 𝛼 = 0,05.
 Estudos anteriores indicaram que essas leituras têm
uma distribuic ̧a ̃o aproximadamente normal.
TesTe de hipóTeses unicaudal para μ,
com σ desconhecido
 Passo 1:
a. μ, nível médio de mono ́xido de carbono do ar
b. Ho: μ ≤ 4,9 (na ̃o superior a)
H1 : μ > 4,9 (superior a)
 Passo 2:
 𝜎 desconhecido
Distribuição normal
TesTe de hipóTeses unicaudal para μ,
com σ desconhecido
 Passo 3:
n = 22, x = 5,1 e s = 1,17.
Passo 4:
Podemos fazer pelo valor-P ou região crítica
TesTe de hipóTeses unicaudal para μ,
com σ desconhecido
Valor-P = 0,216
0,216 > 0,05, portanto não
rejeitar H0.
TesTe de hipóTeses unicaudal para μ,
com σ desconhecido
Região crítica
TesTe de hipóTeses unicaudal para μ,
com σ desconhecido
 Passo 5:
Não rejeitar H0
No nível de significância 0,05, o EPA não tem
evidências suficiente para mostrar que o nível
médio de monóxido de carbono é maior que 4,9.
TesTe de hipóTeses bicaudal para μ,
com σ desconhecido
Dessa vez, examinaremos os dados de um teste de
autoimagem popular que resulta em pontuações
distribuídas normalmente. Espera-se que a pontuação
média para os beneficiários da assistência pública
seja 65. Uma amostra aleatória com 28 beneficia ́rios
da assistência pu ́blica do Condado de Emerson é
testada. Eles atingem uma pontuaça ̃o média de 62,1,
com um desvio padrão de 5,83. Na média, o resultado
foi diferente do esperado, para um nível de
significância de 0,02?
TesTe de hipóTeses bicaudal para μ,
com σ desconhecido
Passo 1
μ, pontuac ̧ão média do teste de autoimagem
para todos os beneficiários da assistência pública
no Condado de Emerson.
H0: μ = 65 (a me ́dia e ́ 65)
H1: μ = ̸ 65 (a me ́dia e ́ diferente de 65)
TesTe de hipóTeses bicaudal para μ,
com σ desconhecido
Passo 2
Esperava-se que o teste produzisse pontuações
distribuídas normalmente; assim, o pressuposto foi
satisfeito, sendo σ desconhecido.
A distribuic ̧ão-t com gl = n – 1 = 27, e a estatística
de teste e ́ t★
𝛼 = 0,02
TesTe de hipóTeses bicaudal para μ,
com σ desconhecido
Passo 3
n = 28, x = 62,1 e s = 5,83.
Passo 4:
Podemos fazer pelo valor-P ou região crítica
TesTe de hipóTeses bicaudal para μ,
com σ desconhecido
Valor-P = 0,016 < 𝛼 = 0,02
TesTe de hipóTeses bicaudal para μ,
com σ desconhecido
Região crítica
TesTe de hipóTeses unicaudal para μ,
com σ desconhecido
 Passo 5:
Rejeitar H0
No nível de significância 0,02, temos evidência
suficiente para concluir que os resultados do teste
com os beneficiários da assistência pública no
Condado de Emerson são significativamente
diferentes, em média, dos 65 esperados.
Sumário
 Inferência estatística
Teste de hipótese para uma proporção
TesTe de hipo ́Teses para uma proporção
Quando o para ̂metro binomial p tiver de ser testado
usan- do um procedimento de teste de hipóteses,
utilizaremos uma estatística de teste que representa a
diferença entre a proporça ̃o observada e a
proporça ̃o hipotética, dividida pelo erro padrão.
Pressupo ̃e-se que essa estatística de teste tenha uma
distribuiça ̃o normal quando a hipótese nula é
verdadeira, os pressupostos para o teste sa ̃o satisfeitos
e n é suficientemente grande (n > 20, np > 5 e nq > 5).
TesTe de hipo ́Teses para uma proporção
TesTe de hipóTeses unicaudal para uma 
proporção
Muitas pessoas dormem mais nos fins de semana para
compensar “noites curtas” durante a semana de
trabalho. De acordo com o Conselho para um Sono
Melhor, 61% de nós tem mais de sete horas de sono
por noite nos fins de semana. Uma amostra aleatória
de 350 adultos descobriu que 235 deles tiveram mais
de sete horas de sono por noite no fim de semana
passado. No ni ́vel de significância de 0,05, essa
evidência mostra que mais de 61% dormem sete horas
ou mais por noite nos fins de semana?
TesTe de hipóTeses unicaudal para uma 
proporção
Passo 1:
p, a proporção de adultos que têm mais de sete
horas de sono por noite nos finais de semana.
H0: p = P(7+ horas de sono) ≤ 0,61 (não mais de
61%)
H1: p > 0,61 (mais de 61%)
TesTe de hipóTeses unicaudal para uma 
proporção
 Passo 2:
A amostra aleatória de 350 adultos foi entrevistada
separadamente
O z normal padrão será utilizado com a fo ́rmula .
Sendo n = 350 maior que 20 e tanto np = (350) (0,61) =
213,5 quanto nq = (350)(0,39) = 136,5 maiores que 5,
espera-se que p′ tenha uma distribuiça ̃o
aproximadamente normal.
 𝛼 = 0,05
TesTe de hipóTeses unicaudal para uma 
proporção
Passo 3:
n = 350, x = 235 e

TesTe de hipóTeses unicaudal para uma 
proporção
Passo 4:
Valor-P = 0,0096 < 𝛼 = 0,05
TesTe de hipóTeses unicaudal para uma 
proporção
Passo 4: Região crítica
TesTe de hipóTeses unicaudal para uma 
proporção
Passo 5:
Rejeitar H0
Há razo ̃es suficientes para concluir que a
proporc ̧ão de adultos na populac ̧ão amostrada
que dormem mais de sete horas por noite nos fins
de semana é significativamente maior que 61%, no
nível de signi- ficância de 0,05.
TesTe de hipóTeses bicaudal para uma 
proporção
Durante uma conversa sobre os carros dirigidos por
seus colegas estudantes, Tom afirmou que 15% dos
alunos dirigiam conversíveis. Jody acha isso difícil de
acreditar e deseja verificar a validade da afirmac ̧ão
de Tom utilizando a amostra aleatória de Dana. Em um
nível de significância de 0,10, queremos determinar se
existe evidência suficiente para rejeitar a afirmaça ̃o de
Tom caso houvesse 17 conversíveis em amostra de 200
veículos coletada por Dana.
TesTe de hipóTeses bicaudal para uma 
proporção
Passo 1:
p = P(estudante dirige um conversi ́vel).
H0: p = 0,15 (15% dirigem conversíveis)
H1: p ≠ 0,15 (a porcentagem e ́ diferente de 15%).
TesTe de hipóTeses bicaudal para uma 
proporção
 Passo 2:
A amostra foi selecionada aleatoriamente e a resposta
de cada entrevistado é independente das respostas
fornecidas pelos demais.
O z normal padrão e a fo ́rmula sera ̃o utilizados.
Sendo n = 200 maior que 20 e np e nq maiores que 5,
espera-se que p′ tenha uma distribuiça ̃o apro-
ximadamente normal.
 𝛼 = 0,10.
TesTe de hipóTeses bicaudal para uma 
proporção
Passo 3:
n = 200, x = 17 e

TesTe de hipóTeses bicaudal para umaproporção
Passo 4:
Valor-p: P = 2 × 0,0051 =
0,0102
0,0102 < 𝛼 = 0,05
TesTe de hipóTeses bicaudal para uma 
proporção
Passo 4: Região crítica
TesTe de hipóTeses bicaudal para uma 
proporção
Passo 5:
Rejeitar Ho.
Há evidência suficiente para rejeitar a afirmac ̧ão de
Tom e concluir que a porcentagem de alunos que
di- rigem conversíveis é diferente de 15% no nível de
significância de 0,10.