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Universidade Federal de Pernambuco Departamento de Matemática - Geometria Analítica 1 Prof. Rodrigo Cavalcante Segunda Lista Álgebra Vetorial II 1. Considere o paralelepípedo retângulo abaixo: A B C D E F GH b b bb b b bb a) Escreva o vetor −→ AG como combinação linear dos vetores −→ AE, −−→ AD e −−→ AB; b) Escreva o vetor −−→ BH como combinação linear dos vetores −→ AE, −−→ AD e −−→ AB; c) O vetor −→ AG pode ser escrito como combinação linear dos vetores −→ AC, −−→ AD e −−→ AB? Justifique sua resposta. 2. Seja ABC um triângulo. Suponha que M , N e P sejam os pontos médios de AB, BC e CA respectivamente. Seja G o ponto comum às retas AN e BP e seja H o ponto comum às retas AN e CM . a) Mostre que −−→ AN = 12 −→ AC + 12 −−→ AB; b) Mostre que −−→ BP = 12 −−→ BC + 12 −−→ BA; c) Mostre que existem números reais α, β, λ e µ tais que: −→ AG = λ −−→ AN, −→ AG = λ −−→ AN, −−→ BG = µ −−→ BP, −−→ CH = α −−→ CM e −−→ AH = β −−→ AN d) Mostre que α = β = λ = µ = 23 3. Mostre que se a sequênca (~v1, ~v2, ~v3) é LI, então, dado que αi 6= 0, a sequência (α1~v1, α2~v2, α3~v3) também é LI. 4. Mostre que se a sequênca (~v1, ~v2, ~v3) é LI e ~u = α~v1+β~v2+γ~v3 é um vetor não nulo genérico, então a sequência (~v1 + ~u, ~v2 + ~u, ~v3 + ~u) é LI apenas se α+ β + γ + 1 6= 0. 5. Mostre que se a sequênca (~v1, ~v2, ~v3) é LI então a sequênca (~v1 + ~v2 + ~v3, ~v1 − ~v2, ~v2) é LI. 1
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