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Lista álgebra vetorial 2

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Universidade Federal de Pernambuco
Departamento de Matemática - Geometria Analítica 1
Prof. Rodrigo Cavalcante
Segunda Lista
Álgebra Vetorial II
1. Considere o paralelepípedo retângulo abaixo:
A B
C
D
E F
GH
b b
bb
b b
bb
a) Escreva o vetor
−→
AG como combinação linear dos vetores
−→
AE,
−−→
AD e
−−→
AB;
b) Escreva o vetor
−−→
BH como combinação linear dos vetores
−→
AE,
−−→
AD e
−−→
AB;
c) O vetor
−→
AG pode ser escrito como combinação linear dos vetores
−→
AC,
−−→
AD e
−−→
AB? Justifique sua resposta.
2. Seja ABC um triângulo. Suponha que M , N e P sejam os pontos médios de AB, BC e CA respectivamente.
Seja G o ponto comum às retas AN e BP e seja H o ponto comum às retas AN e CM .
a) Mostre que
−−→
AN = 12
−→
AC + 12
−−→
AB;
b) Mostre que
−−→
BP = 12
−−→
BC + 12
−−→
BA;
c) Mostre que existem números reais α, β, λ e µ tais que:
−→
AG = λ
−−→
AN,
−→
AG = λ
−−→
AN,
−−→
BG = µ
−−→
BP,
−−→
CH = α
−−→
CM e
−−→
AH = β
−−→
AN
d) Mostre que α = β = λ = µ = 23
3. Mostre que se a sequênca (~v1, ~v2, ~v3) é LI, então, dado que αi 6= 0, a sequência (α1~v1, α2~v2, α3~v3) também é
LI.
4. Mostre que se a sequênca (~v1, ~v2, ~v3) é LI e ~u = α~v1+β~v2+γ~v3 é um vetor não nulo genérico, então a sequência
(~v1 + ~u, ~v2 + ~u, ~v3 + ~u) é LI apenas se α+ β + γ + 1 6= 0.
5. Mostre que se a sequênca (~v1, ~v2, ~v3) é LI então a sequênca (~v1 + ~v2 + ~v3, ~v1 − ~v2, ~v2) é LI.
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