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Universidade Federal de Pernambuco Departamento de Matemática - Geometria Analítica 1 Prof. Rodrigo Cavalcante Terceira Lista Dependência Linear, Bases e Componentes 1. Julgue os itens abaixo como verdadeiro ou falso, justificando sua resposta. a) Se a sequência ( → u, → v , → w) é LD, então o vetor → w é uma combinação linear de → u e → v . b) Uma sequência de vetores contendo o vetor nulo é sempre LD. c) A sequência ( → u, → v , → w) é LI se, e somente se, ( → u, → v ) também é. d) Dado que → u é forma com → v uma sequência LI e que o vetor → w também forma uma sequência LI com → v , então a sequência formada por estes três vetores pode ou não ser LI. 2. Dados os vetores não coplanares → e 1, → e 2 e → e 3 a) Justifique porque esses vetores formam uma base; b) Encontre as componentes de → e 1, → e 2 e → e 3 na base β1 = ( → e 1, → e 2, → e 3); c) Encontre as componentes de → e 1, → e 2 e → e 3 na base β2 = (3 → e 1, 2 → e 2, 4 → e 3); d) Encontre as componentes do vetor (2, 1, 0)β1 + (3, 2, 1)β2 nas bases β1 e β2. 3. Seja OABC um tetraedro e M o ponto médio de BC. a) Justifique porque a sequência β = ( −→ OA, −−→ OB, −−→ OC) é uma base do espaço (V3); b) Determine as componentes do vetor −−→ AM na base β; 4. Seja V ABCD uma pirâmide regular de base quadrada com vértice fora do quadrado V . a) Justifique porque a sequência β = ( −→ V A, −−→ V B, −−→ CD) não é uma base do espaço (V3); b) Considere a sequência β = ( −→ V A, −−→ V B, −−→ V C). Escreva os vetores −→ AC e −−→ BD como combinação linear dos vetores desta sequência. c) As combinações lineares do item anterior são únicas? 5. Dadas as componentes dos vetores → u , → v e → w em relação a uma base β de V3, determine m ∈ R de forma que as sequências formadas pelos seguintes vetores sejam LD: a) → u= (m2 − 4,m+ 2, 0)β ; b) → u= (1, 3, 5)β e → v= (2,m+ 1, 10)β ; c) → u= (3, 5, 1)β , → v= (2, 0, 4)β e → w= (1,m, 3)β . 1
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